数列典型习题及解题方法

数列题型及解题方法题型1：等差数列解题方法：首先确定数列的首项和公差，然后使用递推公式an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。

根据题目给出的条件，可以求得所求的项或者公式中的未知数。

题型2：等比数列解题方法：首先确定数列的首项和公比，然后使用递推公式an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。

根据题目给出的条件，可以求得所求的项或者公式中的未知数。

题型3：斐波那契数列解题方法：斐波那契数列是指后一项等于前两项之和的数列，即an = an-1 + an-2。

根据题目给出的条件，可以使用递归或循环的方式计算斐波那契数列的第n项。

题型4：数列求和解题方法：对于等差数列和等比数列，可以使用求和公式直接计算数列的和。

等差数列的和用Sn = (n/2)(a1 + an)表示，等比数列的和用Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)表示。

根据题目给出的条件，代入公式计算即可得到所求的和。

题型5：数列拓展解题方法：有时候题目需要在基本的数列模型上进行拓展，可以根据数列的特点和题目的要求进行分析和解答。

可以使用递推公式或者递推关系式进行推导，并根据题目给出的条件计算所求的项或和。

题型6：递推关系式解题方法：有时候数列无法使用基本的递推公式进行求解，需要根据数列的特点建立递推关系式。

递推关系式是指数列的每一项与前面的若干项之间存在某种关系，通过这个关系可以递推求解数列的项或和。

根据题目给出的条件，建立递推关系式，并根据初始条件求解所求的项或和。

高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：1234.n S 52.（1（2例1.例2.例3.3.（11-n q .（2例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

答案：12+=n a n 练习：1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

答案：)1(2+=n n a n2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

4.形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例1.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：231-=n a n2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：121-=n a n5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,利用待定系数法求出A例126.(1)若例题.所以{=∴n b (2)若①若②若令n b 例1.在数列{}n a 中，521-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a 21(21+=-，求通项公式n a 。

数列全部解题方法及对应题型归纳数列通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，211n n a a -=+（,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈. 求证：11n a -??是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n ba n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列n a4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++ 求数列n a（三）累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a （2）122 2,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期 16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a 拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=?=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠ （1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n na a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+== ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134nn n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nnn b a c =，求数列{}n c 的通项公式。

知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。

（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）2434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。

高中数学数列经典题型及解析1. 求数列的通项公式：题目描述：已知数列的前几项为1，4，9，16，...，求该数列的通项公式。

解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的平方加1，所以可以得到通项公式为an =n^2 + 1。

2. 求数列的和：题目描述：已知数列的前几项为2，5，8，11，...，求前100项的和。

解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加3，所以可以得到通项公式为an = 3n - 1。

根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前100项的和为S100 = (100/2)(2 + a100)，代入通项公式，得到S100 = (100/2)(2 + (3*100 - 1)) = 10100。

3. 求等差数列的前n项和：题目描述：已知数列的前几项为3，7，11，15，...，求前20项的和。

解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加4，所以可以得到通项公式为an = 4n - 1。

根据等差数列的求和公式，前n项的和可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an)，所以前20项的和为S20 = (20/2)(3 + (4*20 - 1)) = 820。

4. 求数列的极限：题目描述：已知数列的前几项为1，1/2，1/3，1/4，...，求该数列的极限值。

解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项的倒数，即an = 1/n。

当n趋向于无穷大时，an趋向于0，所以该数列的极限值为0。

5. 求数列的递推关系：题目描述：已知数列的前几项为1，2，4，7，11，...，求该数列的递推关系。

解析：观察该数列可以发现，每一项都是前一项加一个递增的数，递增的数可以依次为1，2，3，4，...，所以可以得到递推关系为an = an-1 + (n-1)。

以上是高中数学中数列的经典题型及解析，希望对你有帮助！。

高中数学数列经典题数列是高中数学的重要知识点之一，掌握好数列的概念、性质和解题方法对于学习整个数学课程都至关重要。

在高中数学中，数列常常出现在各个章节的习题中，今天我们就来讲解一些经典的数列题目，并详细介绍其解题思路和方法。

1. 等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。

它的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

经典题目：已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1 + a2 + a3 = 3, a2 + a3 + a4 = 7，求证a1 + a4 = 10。

解题思路：根据已知条件，我们可以列出方程组：a1 + a2 + a3 = 3 (方程1)a2 + a3 + a4 = 7 (方程2)将方程2中的a2 + a3展开，可得：a1 + a2 + a3 + a3 + a4 = 7利用方程1中的a1 + a2 + a3 = 3，可以将上式化简为：3 + a3 + a3 + a4 = 72a3 + a4 = 4 (方程3)同时，我们根据等差数列的性质，可得：a4 - a1 = (a3 + d) - (a1 + d) = a3 - a1即a3 - a1 = 4d (方程4)将方程4中的a3 - a1代入方程3中，得到：2(4d) + a4 = 48d + a4 = 4a4 = 4 - 8d (方程5)将方程5代入方程4中，解得：4 - 8d - a1 = 4d-4d - a1 = 44d + a1 = -4 (方程6)将方程1中的a1代入方程6中，可得：4d + (3 - a2 - a3) = -44d + 3 - a2 - a3 = -44d - a2 - a3 = -7 (方程7)将方程2中的a2 + a3展开，得到：4d + a2 + a3 = 7 (方程8)将方程8减去方程7，可消去a2和a3，解得：8d = 14d = 7/4将d的值代入方程5，解得：a4 = 4 - 8(7/4) = -6再将a4的值代入方程4，解得：a3 - a1 = 4(7/4) = 7最后，将a3 - a1和方程1代入，可得：7 + a1 = 3a1 = -4因此，a1 + a4 = -4 + (-6) = -10.2. 等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

数列题型11种（方法+例题+答案）1.作差法求通项公式2.累乘法求通项公式3.累加法求通项公式4.构造法求通项公式（一）5.构造法求通项公式（二）6.取倒法求通项公式7.分组求和法求前n项和8.错位相减法求前n项和9.裂项相消法求前n项和10.数列归纳法与数列不等式问题11.放缩法与数列不等式问题1、作差法求数列通项公式已知n S （12()n a a a f n +++= ）求n a ，{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥注意：分两步，当2≥n 时和1=n 时一、例题讲解1、（2015∙湛江）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ），且12a =，23a =． ()1求数列{}n a 的通项公式2、（2015∙茂名）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且)1()1(221+=+-+n n S n nS n n ，)(*∈N n ，数列}{n b 满足,0212=+-++n n n b b b )(*∈N n ，53=b ，其前9项和为63（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式3、（2015∙中山）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,40,842==S a 数列}{n b 的前n 项和为n T ，且,032=+-n n b T *∈N n 。

（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式4、（2015∙揭阳）已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，)1(3--=n n na S n n ，（*∈N n ），且,112=a （1）求1a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式5、（2014∙汕头）数列{}n a 中，11=a ，n S 是{}n a 前n 项和，且)2(11≥+=-n S S n n(1)求数列{}n a 的通项公式6、（2014∙肇庆）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足,21=a )1(1++=+n n S na n n （1）求数列}{n a 的通项公式7、（2014∙江门）已知数列}{n a 的前n 项和122-=n S n ，求数列}{n a 的通项公式。

1知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。

（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）22434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。

知识框架数列的分类数列的通项公式数列的递推关系等差数列的疋义a n a n 1d(n2)等差数列的通项公式a n a1 (n1)d等差数列等差数列的求和公式Sn n /(a1a n) na1n(n 1)d 22等差数列的性质a n a m a p a q(m n p q)两个基本数列等比数列的定义ana n 1q(n2)等比数列的通项公式a n a1q n 1数列等比数列a1a n q a1(1q n)(q1)等比数列的求和公式S n 1 q 1 qn a© 1)等比数列的性质a n a m a p a q (m n [)q)公式法分组求和（1）观察法。

（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

⑴递推式为a n+i=a+d及a n+i=qa n（d，q为常数）例1、已知｛a n｝满足a n+i=a n+2，而且a i=1。

求a n。

例1、解■/a n+i-a n=2为常数••• ｛a n｝是首项为1，公差为2的等差数列--a n=1+2 （n-1 ）即a n=2n-11例2、已知｛a n｝满足a n 1 a n，而a1 2，求a n =?2(2)递推式为a n+1=a n+f (n)1例3、已知｛a n｝中a1，a n 12+ ( a n-a n-1 )数列求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和解：由已知可知a n 1 a n1(2n 1)(2 n 1)1 1 12(2n 1 2n 1)累加累积令n=1，2，…，（n-1 ），代入得（n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1) + (a3-a 2) + …数列的应用分期付款其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法1、求通项公式★ 说明只要和a n C £(1f (1) +f (2) +…+f1 ) 4n 32n 1) 4n 2（n-1 ）是可求的，就可以由a n+1=a n+f （n）以n=1，2，…，（n-1 ）代入，可得n-1个等式累加而求a n ⑶递推式为a n+1=pa n+q （p, q为常数）数列的概念函数角度理解归纳猜想证明例 4、｛a *｝中，a i 1，对于 n > 1 (n € N )有 a n 3a “ 1 2，求 a n .求a * 。

数列的通项公式的求法以及典型习题练习数列解题方法与研究顺序一、累加法累加法是最基本的两个数列解题方法之一，适用于广义的等差数列，即an+1=an+f(n)。

1.若an+1-an=f(n)（n≥2），且a2-a1=f(1)，则可得an+1-a1=∑f(n)（k=1至n）。

例1：已知数列{an}满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2n+1，故an+1-an=f(n)=2n+1，且a2-a1=f(1)=3.根据累加法得an+1-a1=∑f(n)=∑(2n+1)=n(n+1)+n= n^2+2n，即an=n^2+2n。

所数列{an}的通项公式为an=n^2+2n。

2.若an+1-an=f(n)，则可得an+1/an=f(n)。

例2：已知数列{an}满足an+1=an+2×3+1，a1=3，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2×3+1=7，故an+1-an=f(n)=7.根据累乘法得an+1/an=f(n)=7，即an=3×7^(n-1)。

所以数列{an}的通项公式为an=3×7^(n-1)。

二、累乘法累乘法是最基本的两个数列解题方法之二，适用于广义的等比数列，即an+1=f(n)×an。

1.若an+1/an=f(n)，则可得an+1/an=∏f(k)（k=1至n）。

例3：已知数列an=an-1/n，a1=2，求数列的通项公式。

解：由题可知，f(n)=1/n，故an+1/an=f(n)=1/n。

根据累乘法得an+1/an=∏f(k)=∏(1/k)=1/n。

即an=n!/n。

所以数列的通项公式为an=n!/n。

2.若an+1/an=f(n)，则可得an+1×an=f(n)。

例4：已知数列{an}满足an+1=2(n+1)5×an，a1=3，求数列{an}的通项公式。

解：由题可知，f(n)=2(n+1)5，故an+1/an=f(n)=2(n+1)5.根据累乘法得an+1×an=∏f(k)=∏2(k+1)5=2^(n+1)×3^(n(n+1)/2)，即an=3^n×2^(n-1)。

数列常见题型及解题技巧
数列常见题型及解题技巧
一、等差数列
1、求首项：求出首项a1可用公式：a1=Sn−n(d+a2)
2、求末项：求出末项an可用公式：an=Sn−n(d+a1)
3、求和：求出数列前n项和可用公式：Sn=n(a1+an)2
4、求通项公式：求出通项公式可用公式：an=a1+(n-1)d
5、求某项：求出第k项可用公式：ak=a1+(k-1)d
二、等比数列
1、求首项：求出首项a1可用公式：a1=Sn(qn−1)
2、求末项：求出末项an可用公式：an=a1qn−1
3、求和：求出数列前n项和可用公式：
Sn=a1(1−qn)1−q
4、求通项公式：求出通项公式可用公式：an=a1qn−1
5、求某项：求出第k项可用公式：ak=a1qk−1
三、复合数列
1、求和：求出数列前n项和可用公式：
Sn=a1+a2+…+an
2、求某项：求出第k项可用公式：ak=ak−1+ak
解题技巧：
1、利用性质转化：根据所给的条件，尝试将原数列转换成更简单的形式，如等差数列、等比数列或者复合数列。

2、利用关系性：通过对数列中一些特殊项的求出，可以确定整个数列的情况，比如求出第一项和最后一项，就可以确定数列的前n项和。

3、利用规律性：数列中的每一项都有一定的规律性，依靠这一点可以得到数列的通项公式，进而求出数列的其他项。

. v ..知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a qa a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=⎧⎪←⎨⎪⎩-=≥⎧⎪=+-⎪⎪-⎨=+=+⎪⎪+=++=+⎪⎩两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎨⎩⎩等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。

一、典型题的技巧解法1、求通项公式 （1）观察法。

（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a =？（2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n. v ..令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）2434)1211(211--=--+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f（n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。

高中数学《数列》常见、常考题型总结题型一 数列通项公式的求法1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T1、若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=，求该数列的通项公式。

2、若数列}{n a 的前n 项和323-=n n a S ，求该数列的通项公式。

3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足22n S T n n -=， 求数列}{n a 的通项公式。

2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.2. 已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.3.形如)(1n f a a nn =+型（累乘法） （1）当f(n)为常数，即：q a a n n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。

1、在数列}{n a 中1111,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。

2、求数列)2(1232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

小学数列题库及答案详解1. 题目：找出下列数列的规律，并求出第10项。

数列：2, 4, 6, 8, ...答案：这是一个等差数列，公差为2。

第10项可以通过公式 a_n = a_1 + (n-1)d 计算得出，其中a_1是首项，d是公差，n是项数。

所以第10项 a_10 = 2 + (10-1)*2 = 2 + 18 = 20。

2. 题目：下列数列中，哪一个数是第20项？数列：1, 3, 5, 7, ...答案：这是一个等差数列，首项为1，公差为2。

使用公式 a_n = a_1 + (n-1)d 计算第20项，a_20 = 1 + (20-1)*2 = 1 + 38 = 39。

3. 题目：如果一个数列的前三项为5, 7, 9，求第5项的值。

答案：这是一个等差数列，首项为5，公差为2。

第5项可以通过公式 a_n = a_1 + (n-1)d 计算得出，a_5 = 5 + (5-1)*2 = 5 + 8 = 13。

4. 题目：数列1, 4, 9, 16, ... 的第10项是多少？答案：这是一个平方数列，每一项都是其项数的平方。

第10项是10的平方，即 a_10 = 10^2 = 100。

5. 题目：如果一个数列的前四项为2, 5, 10, 17，求第5项的值。

答案：这是一个等差数列，首项为2，公差逐渐增加。

第二项与首项的差为3，第三项与第二项的差为5，第四项与第三项的差为7。

可以推断出公差是递增的，每次增加2。

因此，第五项与第四项的差应该是9，所以 a_5 = 17 + 9 = 26。

6. 题目：数列2, 6, 18, 54, ... 的第8项是多少？答案：这是一个等比数列，首项为2，公比为3。

第8项可以通过公式 a_n = a_1 * r^(n-1) 计算得出，其中a_1是首项，r是公比，n 是项数。

所以第8项 a_8 = 2 * 3^(8-1) = 2 * 3^7 = 4374。

7. 题目：找出下列数列的规律，并求出第15项。

1数列典型例题分析【题型1】 等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n 项和S n . 解：（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得＝， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)==2n+1-2.小结与拓展：数列{}na 是等差数列，则数列}{na a 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}na 的121d +1812d d++2ma 2(12)12n --公差。

（a>0且a≠1）.【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例 2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．求数列{a n}与{b n}的通项公式。

解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n－1)(n∈N*) ②①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，2∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n －b n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，＋1法一（迭代法）b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二（累加法）即b n－b n－1＝2n－8，b n－1－b n－2＝2n－10，…b3－b2＝－2，b2－b1＝－4，b1＝8，相加得b n＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)34 ＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n∈N *)．小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。

文德教育知识框架求和公式及性质， 掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用， 就有可 数列的分类能在高考中顺利地解决数列问题。

数列 函数角度理解一、典型 的技巧解法数列的通项公式1、求通 公式的概念数列的递推关系（ 1） 察法。

（2）由 推公式求通 。

等差数列的定义 a n a nd ( n 2)1于由 推公式所确定的数列的求解，通常可通 推公式的 化成等等差数列的通项公式a na 1 ( n 1)d差数列或等比数列 。

等差数列S nn ( a 1 a n ) na 1 n(n 1)d (1) 递推式为 a n+1=a n +d 及 a n+1=qa n （d ， q 为常数）等差数列的求和公式2 2 例 1、 已知 {a } 足 a =a +2，而且 a =1。

求 a 。

nn+1n1 n等差数列的性质 a n a m a p a q ( mn p q)例 1、解∵a n+1-a n =2 常数∴ {a n } 是首1，公差 2 的等差数列两个基a nnnq( n2) ∴ a =1+2（ n-1 ）即 a =2n-1等比数列的定义1本数列a n1例 2、已知 {} 足，求 an 1a n a n 1a n ，而 a 1 2 ？等比数列的通项公式a na 1 q n =2等比数列a 1 a n q a 1 (1 q n )1)数列S n1q1 ( q等比数列的求和公式qna 1 ( q 1)等比数列的性质a n a m a p a q ( m npq)公式法 分组求和错位相减求和数列 裂项求和求和倒序相加求和 累加累积 归纳猜想证明分期付款 数列的应用其他（ 2） 递推式为 a n+1=a n +f （n ）例 3、已知 { a n } 中 a1a1，求 a n .， an 112n4n 2 1解： 由已知可知 a n 1a n(2n11 (1 1 )1)( 2n 1)2 2n 1 2n 1令 n=1， 2，⋯，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a 2-a 1） +（ a 3-a 2） +⋯+（ a -a n-1 ）n掌握了数列的基本知识， 特别是等差、等比数列的定义、 通项公式、a nb n 3( 1)n2( 1) na na 11(1 1 ) 4n 3 2n2322n 1 4n2★ 明 只要和f （ 1） +f （ 2） +⋯ +f （ n-1 ）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （ n ）以 n=1，2，⋯，（ n-1 ）代入，可得 n-1 个等式累加而求 a n 。

高中数学数列基本题型及解法例2．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==,⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列; ⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n ｝中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径．解：(1）由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +—S 1n +=4（a 1n +-a n ），即a 2n +=4a 1n +-4a n ．（根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a 2n +—2a 1n +=2(a 1n +—2a n ），又b n =a 1n +—2a n ，所以b 1n +=2b n ① 已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列，故b n =3·21n -．当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n —4）+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S n =21n -（3n —4)+2．说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和。

解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．例3．设数列{a n ｝的前项的和S n =31（a n -1） （n ∈N +),(1）求a 1；a 2; （2）求证数列｛a n ｝为等比数列. 解: (Ⅰ）由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a ∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .（Ⅱ）当n >1时，),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-，公比为21-的等比数列。

数列考试题型及答案解析一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=3，公差d=2，则a_5的值为（）。

A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A解析：根据等差数列的通项公式a_n = a_1 + (n-1)d，代入n=5，a_1=3，d=2，可得a_5 = 3 + (5-1)×2 = 13。

2. 已知数列{a_n}满足a_1=1，且a_{n+1} = 2a_n + 1，求a_3的值。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C解析：根据题目给出的递推关系，a_2 = 2a_1 + 1 = 2×1 + 1 = 3，再求a_3 = 2a_2 + 1 = 2×3 + 1 = 7，因此a_3的值为9。

二、填空题3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，且a_{n+1} = 3a_n - 2，求a_4的值。

答案：14解析：根据递推关系，a_2 = 3a_1 - 2 = 3×2 - 2 = 4，a_3 = 3a_2- 2 = 3×4 - 2 = 10，a_4 = 3a_3 - 2 = 3×10 - 2 = 28。

4. 已知等比数列{a_n}的首项为3，公比为4，求a_5的值。

答案：972解析：根据等比数列的通项公式a_n = a_1 × q^(n-1)，代入n=5，a_1=3，q=4，可得a_5 = 3 × 4^4 = 3 × 256 = 768。

三、解答题5. 已知数列{a_n}满足a_1=1，且a_{n+1} = a_n + n，求a_n的通项公式。

答案：a_n = n(n-1)/2 + 1解析：设S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_n = a_1 + a_2 + ... +a_n。

根据题意，a_{n+1} = a_n + n，所以S_{n+1} - S_n = a_{n+1} = a_n + n。