浙江高考数列经典例题汇总

浙江省历年高考数列大题总汇（题目及答案）1已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f?(x)?6x?2。

数列项和为Sn，点(n,Sn)(n?N 求数列*?an?的前n)均在函数y?f(x)的图像上。

?an?的通项公式；m3*，Tn是数列?bn?的前n项和,求使得Tn?对所有n?N都成立的最小20anan?1设bn正整数m。

?2. 己知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．求数列{an}的通项公式；设Tn为数列?小值． 3. 设数列?an?的前n项和为Sn，已知a1?1，a2?6，a3?11，且?1?*对?n?N恒成立，求实数?的最?的前n项和，若Tn≤?an?1¨?anan?1?(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，n?1,2,3,?，其中A、B 为常数．(Ⅰ) 求A与B的值；(Ⅱ)证明数列?an?为等差数列；(Ⅲ) 证明不等式5amn?aman?1对任何正整数m、n都成立． 4. 已知数列?an?，?bn?满足a1?3，anbn?2，bn?1?an(bn?求证：数列{2)，n?N*．1?an1}是等差数列，并求数列?bn?的通项公式；bn111，，成等差数列？若存在，试用p 表示q，r；若不crcqcp设数列?cn?满足cn?2an?5，对于任意给定的正整数p，是否存在正整数q，r(p?q?r)，使得存在，说明理． 5. 已知函数f(x)?x?a?lnx (a?0). (1)若a?1，求f(x)的单调区间及f(x)的最小值；(2)若a?0,求f(x)的单调区间；ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)*?2???2与(3)试比较的大小(n?N且n?2),并证明22(n?1)23n你的结论.6已知f(x)?(x?1)2,g(x)?10(x?1)，数列{an}满足(an?1?an)g(an)?f(an)?0，9(n?2)(an?1) 10a1?2，bn?求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求数列{bn}中最大项.7. 设k?R，函数f(x)?ex?(1?x?kx2)(x?0).若k?1，试求函数f(x)的导函数f?(x)的极小值；若对任意的t?0，存在s?0，使得当x?(0，s)时，都有取值范围. f(x)?tx2，求实数k的8. 已知等差数列{an}的公差不为零，且a3 =5, a1 , 成等比数列(I)求数列{an}的通项公式：(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2nbn=an且数列{bn}的前n项和Tn 试比较Tn与-1 3n?1的大小n?19. 已知函数f(x)?12x?(2a?2)x?(2a?1)lnx 2(I )求f(x)的单调区间；(II)对任意的a?[,],x1,x2?[1,2]，恒有|f(x1)|?f(x2)??|数?的取值范围. 352211?|，求正实x1x2 1. 解：依题意可设f(x)?ax2?bx(a?0),则f`(x)?2ax?b f`(x)?6x?2 得a?3,b??2,所以f(x)?3x2?2x. 又点(n,Sn)(n?N*) 均在函数y?f(x)的图像上得Sn22?3n2?2n 当n?2时an?Sn?Sn?1?3n?2n???3(n?1)?2(n?1)???6n ?5 当n?1时a1所以an?S1?3?12?2?1?6?1?5 ?6n?5(n?N*)?33111??(?), anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1得bn 故，Tn?111?11111??(1?). =(1?)?(?)?????(?)??26n?12?77136n?56n?1 ?1m11m,即m?10 (1?)?(n?N*)成立的m必须且必须满足?22026n?120因此使得故满足最小的正整数m为10 ?4a1?6d?142. 设公差为d.已知得?....................................3分2?(a1?2d)?a1(a1?6d)解得d?1或d?0(舍去），所以a1?2,故an?n?1 (6)分?1111???，anan?1(n?1)(n?2)n?1n?211n1111?? (9)分?Tn?????…?n?1n?22(n?2)2334n≤?(n+ 2)对?n?N?恒成立?Tn≤?an?1对?n?N?恒成立，即2(n?2)n111?≤?又242(n?2)2(n??4)2(4?4)16n1∴?的最小值为……………………………………………………………12分163. 解：(Ⅰ)a1?1，a2?6，a3?11，得S1?1，S2?2，S3?18．把n?1,2分别代入(5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B，得?解得，A??20，B??8．(Ⅱ)(Ⅰ)知，5n(Sn?1?Sn)?8Sn?1?2Sn??20n?8，即?A?B??28, 2A?B??48?5nan?1?8Sn?1?2Sn??20n?8，①又5(n?1)an?2?8Sn?2?2Sn?1??20(n?1)?8．②②-①得，5(n?1)an?2?5nan?1?8an?2?2an?1??20，即(5n?3)an?2?(5n?2)an?1??20．又(5n?2)an?3?(5n?7)an?2??20．③④④-③得，(5n?2)(an?3?2an?2?an?1)?0，∴an?3?2an?2?an?1?0，∴an?3?an?2?an?2?an?1???a3?a2?5，又a2?a1?5，因此，数列?an?是首项为1，公差为5的等差数列．(Ⅲ)(Ⅱ)知，an?5n?4,(n?N?)．考虑5amn?5(5mn?4)?25mn?20．(aman?1)2?aman?2aman?1?aman?am?an?1?25mn?15(m?n)?9．∴5amn?(aman?1)2厖15(m?n)?2915?2?29?1?0．即5amn?(aman?1)2，∴5amn?aman?1．因此，5amn?aman?1． 4. 因为anbn?2，所以an?2，bn42anb2bn4则bn?1?anbn?， (2)分?2?n?2??21?anbn?2bn?21?bn所以111??，bn?1bn2又a1?3，所以b1?即?1?231，故??是首项为，公差为的等差数列，……4分322?bn?131n?22??(n?1)??，所以bn?．………………………6分bn222n?2知an?n?2，所以cn?2an?5?2n?1，①当p?1时，cp?c1?1，cq?2q?1，cr?2r?1，若12111?1?，，成等差数列，则，2q?12r?1crcqcp21?1，1??1，2q?12r?1因为p?q?r，所以q≥2，r≥3，所以不成立．………………………...9分②当p≥2时，若则111，，成等差数列，crcqcp2111214p?2q?1?????，所以，2q?12p?12r?12r?12q?12p?1(2p?1)(2q?1)( 2p?1)(2q?1)2pq?p?2q，所以r?，...........................12分4p?2q?14p?2q?1222即2r?1?欲满足题设条件，只需q?2p?1，此时r?4p?5p?2，..................14分因为p≥2，所以q?2p?1?p，r?q?4p?7p?3?4(p?1)?p?1?0，即r?q．..............................15分综上所述，当p?1时，不存在q，r满足题设条件；当p≥2时，存在q?2p?1，r?4p?5p?2，满足题设条件． (16)分 5. (1) 当x?1时,f(x)?x?1?lnx ，f(x)?1?,,21?(x)在?1,???上是递增. x1?(x)在?0,1?上是递减. x故a?1时, f(x)的增区间为?1,???,减区间为?0,1?,f(x)min?f(1)?0. ………4分当0?x?1时,f(x)?x?1?lnx,f(x)??1?(2)○1若a?1, 当x?a时,f(x)?x?a?lnx,f(x)?1?是递增的; 当0?x?a时,f(x)?a?x?lnx, f(x)??1?,, 1x?1??0,则f(x)在区间?a,???上xx1?0,则f(x)在区间?0,a?上是递x减的 (6)分2若0?a?1, ○当x?a时, f(x)?x?a?lnx, f(x)?1?,1x?1,?,x?1,f(x)?0 ; xxa?x?1,f,(x)?0. 则f(x)在?1,???上是递增的, f(x)在?a,1?上是递减的; 当0?x?a时,f(x)?a?x?lnx, f(x)??1?,f(x)在区间?0,a?上是递减的,而f(x)在x?a处有意义;则1?0 x f?x?在区间1,???上是递增的,在区间?0,1?上是递减的 (8)分??a,???,递减区间是?0,a?; 当0?a?1,f(x)的递增区间是?1,???,递减区间是?0,1?综上: 当a?1时, f(x)的递增区间是………9分lnx1?1? (3)(1)可知,当a?1,x?1时,有x?1?lnx?0,即xxln22ln32lnn2?2???2 则有223n?1?111111?1????1??n?1?(????)…………12分22222223n23n ?n?1?(111????2?33?4n(n?1)111111?n?1?(???????)2334nn?111(n?1)(2n?1)?n?1?(?)=2n?12(n?1)ln22ln32lnn2(n?1)(2n?1)?2??? 2?故：.............15分2(n?1)223n 6. 题意：(an?1?an)?10(an?1)?(an?1)2?0 ?1)(1 0an?1?9an?1)?0.........3分经化简变形得：(an?an?1,?10an?1变形得：?9an?1?0 (5)分an?1?19? an?1109为公比的等比数列。

数列真题演练一、选择题1、【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8 2、【2017年高考全国I 卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 3、【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4、【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．8 5、【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10D ．127、【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>8、【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 9、【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．210、【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->二、填空题1、【2017年高考全国II 卷理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑___________． 2、【2017年高考全国III 卷理数】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4=___________．3、【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．4、【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=___________．5、【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________．三、解答题1、【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．证明：当n *∈N 时， （1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （3）112n -≤x n ≤212n -．2、【2018年高考全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．3、【2018年高考全国III 卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．4、【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．5、【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.6、【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N7、【2020年高考浙江卷】已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足1111121,,,nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=∈*N ． （Ⅰ）若{b n }为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若{b n }为等差数列，公差0d >，证明：*12311,n c c c c n d++++<+∈N ． 8、【2020年高考全国I 卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．数列真题演练答案一、选择题1、【答案】C【解析一】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C ． 【解析二】因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=， 则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C ． 【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+. 2、【答案】A【解析】由题意得，数列如下： 11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭， 要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A.【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 3、【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ． 4、【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ． 5、【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．6、【答案】B【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭，整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ． 7、【答案】B【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+. 若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意； 若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q +++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230ln a a a a a a a +++≤<++，不合题意；因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B. 8、【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ．9、【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．10、【答案】A90b -时，总存在b ≥，()22bbb +二、填空题1、【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++，所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 2、【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-． 3、【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.4、【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 5、【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 三、解答题1、【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）用数学归纳法证明：0n x >．当n =1时，x 1=1>0．假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0()n x n *>∈N ．所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>， 因此10()n n x x n *+<<∈N ． （2）由11ln(1)n n n x x x ++=++得，2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，22()ln(1)0(0)1x x f'x x x x +=++>>+，函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，故112()2n n n n x x x x n *++-≤∈N ． （3）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=，所以112n n x -≥，由1122n n n n x x x x ++≥-，得111112()022n n x x +-≥->， 所以12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=， 故212n n x -≤． 综上，1211()22n n n x n *--≤≤∈N ．2、【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16． 3、【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =. 故1(2)n n a -=-或12n n a -=. （2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=.由63m S =得(2)188m -=-此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =. 综上，6m =.4、【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=，因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+.设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.5、【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n n b n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21nn a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．6、【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．所以2*n S n n n =-∈N ，， 由12,,n n n n n nS b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-．所以2*,n b n n n =+∈N ． （2）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12k c c c +++<那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<<==．即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii），不等式12n c c c +++<*n ∈N 成立．7、【答案】（Ⅰ）由1236b b b +=得216q q +=，解得12q =．由14n n c c +=得14n n c -=．由114n n n a a -+-=得121421443n n n a a --+=++++=．（Ⅱ）由12n n n n b c c b ++=得12111111()n n n n n b b c d c b b d b b +++==-，所以123111(1)n n d c c c c d b ++++++=-， 由11b =，d >得10n b +>，因此*12311,n c c c c n d++++<+∈N ． 8、【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9nn n S -+-=.【解析】（1）设{}n a 公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，1,2q q ≠∴=-；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++-，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+-，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++---1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--， 1(13)(2)9nn n S -+-∴=.。

数列（04年）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，))(1(31*N n a S n n ∈-=。

（Ⅰ）求1a ，2a ；（Ⅱ）求证数列}{n a 是等比数列。

（05年）已知实数a ，b ，c 成等差数列，1+a ，1+b ，4+c 成等比数列，且15=++c b a ，求a ，b ，c 。

（06年）若n S 是公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列。

（Ⅰ）求数列1S ，2S ，4S 的公比；（Ⅱ）若42=S ，求}{n a 的通项公式。

（07年）已知数列}{n a 的相邻两项12-k a ，k a 2是关于x 的方程023)23(2=⋅++-kkk x k x 的两个根，且k k a a 212≤-（=k 1，2，3，…）。

（Ⅰ）求数列1a ，3a ，5a ，7a 及)4(2≥n a n （不必证明）；（Ⅱ）求数列}{n a 的前n 2项和n S 2。

（08年）已知数列}{n a 的首项31=x ，通项nq p x n n +=2（*N n ∈，p ，q 为常数），且1x ，4x ，5x 成等差数列。

求： （Ⅰ）p ，q 的值；（Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和n S 的公式。

（09年）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，n kn S n +=2，*N n ∈，其中k 是常数。

（Ⅰ）求1a 及n a ；（Ⅱ）若对于任意的*N m ∈，m a ，m a 2，m a 4成等比数列，求k 的值。

（10年）设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足01565=+S S 。

（Ⅰ）若55=S ，求6S 及1a ；（Ⅱ）求d 的取值范围。

（11年）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项1a 为)(R a a ∈，且11a ，21a ，41a 成等比数列。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）对*N n ∈，试比较na a a a 2222111132++++ 与11a 的大小。

2013-2017年浙江高考理科数学历年真题之数列大题（教师版）1、（2013年）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列.(Ⅰ)求d ，n a ； ⅠⅠ()120,|||||.n da a a <+++ 若求|(Ⅰ) 解;：由题意得223125(22)34014a a a d d d d ⋅=+⇒--=⇒=-=或所以 11,*46,*.n n a n n N a n n N =-∈=+∈或ⅠⅠ()设数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为0,d <由(Ⅰ)得1,11,n da n =-=-则当11n ≤时，212121||||||.22n n a a a S n n +++==-+ 当12n ≥时，21211121||||||2110.22n n a a a S S n n +++=-+=-+ 综上即得212212111,22||||||12111012.22n n n n a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++=⎨⎪-+≥⎪⎩2、（2014年）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==(Ⅰ)求n a 与n b ； ⅠⅠ()设()*∈-=N n b a c nn n11。

记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求n S ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥． 解析：（I ）由题意，()()*∈=N n a a a nb n 221 ，326b b-=，知3238b b a -==，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *=∈，所以()()1121232n n n n n a a a a ++==，故数列{}n b 的通项公式为，()1()n b n n n N *=+∈；（II ）（i ）由（I ）知，11111()21n n n n c n N a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，所以11()12n nS n N n *=-∈+； （ii ）因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得()()51551122n n n ++≤<，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．3、（2015年）已知数列{a n }满足a 1=21, 且1n a +=n a -2n a (n ∈N*) (I)证明：1≤1+n na a ≤2 (n ∈N*) (II)设数列{2n a }的前n 项和为S n , 证明)2(21+n ≤nSn ≤)1(21+n (n ∈N*)解: (I)∵a n -a n +1=2n a ≥0 ∴a n +1≤a n ∴a n ≤a 1=21由a n =11)1(---n n a a 得a n =0)1()1)(1(1121>-----a a a a n n , 故0< a n ≤21 从而n n n n n n a a a a a a -=-=+11)1(1∈[1, 2] 即1≤1+n n a a ≤2 法二: 在0< a n ≤21基础上证a n ≤2a n +1可用分析法 要使a n ≤2a n +1, 只要a n ≤2(a n -2n a )⇔22n a ≤a n ⇔0< a n ≤21, 故a n ≤2a n +1成立 (II)∵2n a =a n -a n +1 ∴S n =a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=21-a n +1 由a n +1=a n (1-a n ) ∴n n n a a a -+=+11111∴n n n a a a -=-+11111∈[1, 2], 0<a n ≤21 故1≤n n a a 111-+≤2, n ∈N*, 累加得n ≤1111a a n -+≤2n 即n +2≤11+n a ≤2n +2即221+n ≤a n +1≤21+n ,从而)2(2+n n ≤S n =21-a n +1≤)1(2+n n因此,)2(21+n ≤nSn ≤)1(21+n (n ∈N*) (n n n a a a -=-+11111=1+n n a a , (I)(II)关联在此)法二: (用数学归纳法)∵2n a =a n -a n +1 ∴S n =a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=21-a n +1 要使)2(21+n ≤nS n ≤)1(21+n 成立, 只须且必须221+n ≤a n +1≤21+n (n ∈N*)当n =1时, a 2=41, 可得41≤a 2≤31, 结论成立假设当n =k 时, 结论成立, 即221+k ≤a k +1≤21+k , k ∈N*,则当n =k +1时, 注意到x -x 2在[0,21]上是增函数,∴a k +2=a k +1-21+k a ≤22)2(1)2(121++=+-+k k k k ≤313412+=+++k k k k且a k +2=a k +1-21+k a ≥22)1(412)22(1221++=+-+k k k k ≥421+k (事实上, ∵(2k +1)(2k +4)-4(k +1)2=2k ≥0 ∴2)1(412++k k ≥421+k ) 也就是说, 当n =k +1时, 结论也成立 因此, 原命题得证4、（2016年）设数列{}n a 满足112n n a a +-…，n *∈N ． （1）求证：()1122n n a a--…，n *∈N ；（2）若32n n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭…，n *∈N ，证明：2n a …，n *∈N ．解析：5、 (2017年) 已知数列{x n }满足x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n ∈N *）．证明：当n ∈N *时， （1）0＜x n +1＜x n ； （2）2x n +1− x n ≤x n x n +12；（3）12n-1≤x n ≤12n-2．解析：。

高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。

)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。

数列专题一．等差数列练习题1.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2n 2-5n ，证明数列{a n }是等差数列。

2.设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列3.等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 为（ ）A ．48B ．49C ．50D ．514.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的范围是______。

5.如果等差数列{}n a 中，34512712,___.a a a a a a ++=+++=那么6.已知1，a ，b 成等差数列，3，a ＋2，b ＋5成等比数列，则公差为（ ）A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－37.已知{a n }为等差数列，若a 1+a 5+a 9＝π，则cos(a 2+a 8)的值为______.8.等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-9.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）A.18B.20C.22D.2410.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==,则9__.a = 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若924972,___.S a a a =++=则12.{}n a 是公差为-2的等差数列，a 1+a 4+….. + a 97 =50，a 3+a 6+ a 9+….. + a 99 =（ ）A.-182B.-78C.-148D.-8213.}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若 则k =14.在等差数列}{n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -= 15.已知}{n a 为等差数列，a 1+a 8+ a 13+ a 18=100，求a 10= 16.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n -40)，则下列判断正确的是（ ） A.a 19＞0,a 21＜0B.a 20＞0,a 21＜0C.a 19＜0,a 21＞0D.a 19＜0,a 20＞017.等差数列{a n }中，a 1>0，S 4=S 9，则S n 取最大值时，n=18.等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

一．基础题组1. 【2012年.浙江卷.理7】设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列2. 【2012年.浙江卷.理13】设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝__________．3. 【2010年.浙江卷.理3】设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-4. 【2010年.浙江卷.理15】设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=，则d 的取值范围是__________________ .5. 【2009年.浙江卷.理11】设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ． 6. 【2008年.浙江卷.理6】已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（A ）16（n--41） （B ）16（n--21）（C ）332（n --41） （D ）332（n--21） 7. 【2006年.浙江卷.理11】设S n 为等差数列{}n a 的前n 项和，若51010,5S S ==-,则公差为 （用数字作答）.8. 【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>9. 9. 【2016高考浙江理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}nS 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}nd 是等差数列 10.【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .二．能力题组1. 【2013年.浙江卷.理18】(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |. 三．拔高题组1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b ba +==(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。

v1.0可编辑可修改浙江高考数列经典例题汇总1. 【 2014年 . 浙江卷 . 理 19】（本题满分 14分）已知数列a n和b n满足b na 1a 2 a n 2n N . 若 a n 为等比数列，且 a 1 2,b 3 6 b 2 .( Ⅰ ) 求an 与bn ；c n1 1 n N (Ⅱ)设a nb n。

记数列 c n 的前 n 项和为S n.（i ）求S n；（ii ）求正整数 k，使得对任意nN，均有S k S n ．2. 【 2011年 . 浙江卷 . 理 19】（本题满分 14分）已知公差不为 0的等差数列 { a n } 的首项 a 1 a111(a R), 设数列的前 n 项和为S n，且a 1，a2 ，a 4成等比数列（Ⅰ）求数列{ a n }的通项公式及S n11 11B n1 1 1 ...1A n...a 1 a 2a 22a2n，当n（Ⅱ） 记S 1 S 2 S 3S n ，2时，试比较An 与Bn 的大 小.v1.0可编辑可修改3. 【 2008 年 . 浙江卷 . 理 22】（本题 14 分）已知数列a n ， a n 0， a1 0 ，a n21 a n 1 1 a n2 (n N ) ．S n a1 a2 a n1 1 1T n(1 a1 )(1 a2 ) a1 )(1 a2 ) an )．1 a1 (1 (1 求证：当 n N 时，（Ⅰ）anan 1；（Ⅱ） S n n2；（Ⅲ）Tn3。

4.【2007 年 . 浙江卷 . 理 21】（本题 15 分）已知数列{ an}中的相邻两项a2 k 1,a2k是关于x的方程的两个根，且a2 k 1a2k(k 1,2,3, )（Ⅰ）求a1,a3, a5, a7；（Ⅱ）求数列{ an}的前 2n 项的和S2 n；v1.0 可编辑可修改f ( n) 1 ( |sin n | 3) T n( 1)f (2) ( 1)f (3)( 1)f (4)( 1)f ( n 1)a 1a 2a 3a 4a 5 a 6a 2 n 1a2n（ Ⅲ）记2 sin n ，1T n5(n N * )求证：6245. 【2005年 .浙江卷 .理20】设点An (xn ，0)，P n(x n,2n 1 )和抛物线Cn ：y ＝ x2＋ an x ＋1bn(n ∈N*) ，其中 an ＝－ 2－ 4n －2n 1，x n由以下方法得到： x1 ＝1，点 P2(x2 ， 2) 在抛物线 C1： y ＝ x2＋ a1x ＋ b1 上，点 A1(x1 ， 0) 到 P2 的距离是 A1 到 C1 上点的最短距离， ，点P n 1 ( x n 1 ,2n) 在抛物线 C n ：y ＝ x2 ＋ an x ＋ bn 上，点 A n ( x n ， 0) 到Pn 1的距离是 A n 到C n上点的最短距离．( Ⅰ) 求 x2 及 C1的方程．( Ⅱ) 证明 {x n} 是等差数列．16. 【 2015 高考浙江，理 20】已知数列a n满足a1= 2 且an 1 =a n -a n2（nN * ）v1.0可编辑可修改a n 2（1）证明： 1 an 1 N *（n）；a n2 1 S n 1（2）设数列的前 n 项和为Sn，证明 2( n 2) n 2( n 1) （n N * ）a n 11a n满足a n7. 【 2016 高考浙江理数】设数列 2 ，n ．（I ）证明：an2n 1 a12， n ；3 na n，证明：an2， n．2 ，n（II ）若例 1．（浙江省新高考研究联盟2017 届高三下学期期初联考）已知数列a满足a1=3，na n+1=a n2+2a n，n∈ N* ，设b n=log 2(a n+1).（I ）求 {a n} 的通项公式；（II ）求证： 1+<n(n ≥2) ；（I II ）若2c n =b n，求证： 2≤(cn 1)n <3.c n例 2．（浙江省温州中学2017 届高三 3 月高考模拟）正项数列a n满足a 2 a 3a 2 2a ， a 1．n n n 1 n 1 1（Ⅰ）求 a2的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N ，a 2a ；n n 1（Ⅲ）记数列 a n 的前 n 项和为S n，证明：对任意的n1S n 3 ．N ， 22n 1例 3．（浙江省温州市十校联合体2017 届高三上学期期末）已知数列 { a n } 满足a1 1,a n 1 1a n2m，8(1)若数列 { a n } 是常数列，求m的值；（2）当m1时，求证：a n a n 1；（3）求最大的正数m ，使得a n 4 对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。

专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数角度1：求n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的前2n 项和2n T角度2：求n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的前n 项和n T类型二：通项含有(1)n -的类型；例如：(1)nn n c a =-类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题二、典型例题类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数角度1：求n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的前2n 项和2n T例题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足24692,,,a a a a =成等比数列．数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足()22N n n S b n *=⋅-∈(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足211,,n n n n n n a a c a n b ++⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．第（2）问解题思路点拨：由（1）知：,，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：，即：注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧，由于奇偶项通项比较复杂，可设；，则（注意到本例求解的为偶数项和，最后一项一定是代入偶数的通项公式，否则，若是求，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，则需要讨论）分组求和当为奇数 当为偶数，两式相减得：综上：【答案】(1)n a n =；2nn b =(2)2255212n n n n T n +=+-+ (1)由题：46922,24,27a d a d a d =+=+=+，∵2649a a a =⋅，即()()()2242227d d d +=++得：1d =，即n a n = 当1n =时，12b =，当2n ≥时，22n n S b =⋅-，1122n n S b --=⋅-，两式相减整理得12nn b b -=， 即数列{}n b 是以首项12b =，公比2q的等比数列∴2nn b =(2)当n 为奇数时，1111(2)22n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1352111111112335212121n n nA c c c c n n n -⎛⎫=++++=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 当n 为偶数时，n c =23521222n n n B +=+++， 231135212122222n n n n n B +-+=++++ 两式相减得：23111113222213121525122222222222n n n n n n n n n B +-+++++=++++-=+--=- 得：2552n nn B +=-2255212n n n n n n T A B n +=+=+-+角度2：求n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的前n 项和n T例题2．（2022·山东日照·模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，2n n a ka +=（1k ≠），n *∈N ，23a a +，34a a +，45a a +成等差数列．(1)求k 的值和{}n a 的通项公式；(2)设22log n n na nb a n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n S ．第（2）问解题思路点拨：由（1）知，代入即：注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧当为偶数时，数列{的前项中有个奇数项，有个偶数项．（注意到本例求解的，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：21n b -++1n a -+，注意到最后一项n 为偶数，再利用1n n a -+，其中奇数项，偶数项各为【答案】(1)2k =，12222n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数(2)12221,38211,38n n n n nn S n n +⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为偶数为奇数 (1)解：23a a +，34a a +，45a a +成等差数列， 所以()3423452a a a a a a +=+++，得5342a a a a -=-，得()()2311k a k a -=-， 因为1k ≠，所以322a a ==，所以312a k a ==，得12222n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数． (2)由（1）知，122n n n b n n -⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数当n 为偶数时，设n ＝2k ，可得21321242n k k k S S b b b b b b -==++⋅⋅⋅+++++()022212222422k k -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ()()22114141142232k k k k k k ++--=+⨯=+-，即()22138n n n nS +-=+； 当n 为奇数时，设n ＝2k －1，可得2113212422n k k k S S b b b b b b ---==++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ()0222122224222k k -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+- ()()()2221114141142232k k k k k k +-----=+⨯=+-， 即1221138n n n S +--=+． 综上所述，()12221,38211,38n n n n nn S n n +⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为偶数为奇数.类型二：通项含有(－1)n的类型通项含有(1)n -的类型；例如：(1)nn n c a =-例题3．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））在数列{}n a 中，33a =，数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*112n n S a n n =+∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()21nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)()*n a n n =∈N (2)2*2*,,2,.2n n nn N n T n n n N n ⎧+-∈⎪⎪=⎨+⎪∈⎪⎩且是奇数且是偶数 第（2）问解题思路点拨：由题意知，求，代入：注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的，代入最后一项，是正，还是负，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，即：注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：(1)因为()112n n S a n =+，所以()12n n nS a =+． 所以当2n ≥时，()11112n n n S a ---=+． 两式相减，得()()1211n n n a na n n a n -=+----， 即()()1211n n n a n a --=--． 所以()111n n n a na +-=-．相减得()()()11121n n n n n a n a na n a +----=--， 即112n n n a a a -+=+． 所以数列{}n a 是等差数列． 当n ＝1时，()11112a a =+，解得11a =． 所以公差31131a a d -==-． 所以()()*11n a n n n =+-=∈N ． (2)()()2211nnn nb a n =-=-⨯， 当n 为奇数时，()()22222212311212n n nT n n n +=-+-+⋅⋅⋅+-⨯=++⋅⋅⋅+--=-⎡⎤⎣⎦；当n 为偶数时，22222123122n n n T n n +=-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=．综上所述，2*2*,,2,.2n n n n N n T n n n N n ⎧+-∈⎪⎪=⎨+⎪∈⎪⎩且是奇数且是偶数例题4．（2022·重庆八中模拟预测）已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，36S =，2319a a a =⋅.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列()()24141nnn a b n n +=-∈-N ，数列化{}n b 的前2n 项和为2n T感悟升华（核心秘籍）（1）对比例题3，例题4，通项都含有“(1)n-”，在求和时都使用（连续两项分组求和法：即连续的两项分一组）；不同的是，例题3求前n 项和nT ；例题4求前2n 项和2nT ；（2）对于例题3求123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+，其中最后一项代入，是取“正”还是取“负”不确定，故需讨论n 为奇数还是偶数，在讨论时，作为核心技巧，先讨论n 为偶数，再利用n 为偶数的结论，快速求n 为奇数的和；；（3）对于例题4求21234212n n n T b b b b b b -=++++++，注意到最后一项2n b 一定是正，故不需要讨论；【答案】(1)*,N na n n =∈(2)21141n T n =-++ (1)公差d 不为零的等差数列{}n a ，由2319a a a =⋅， ()()211182a a d a d +=+，解得1a d =.第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：，注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的为偶数项和，代入最后一项，一定是正，故不需要讨论）分组求和又31336S a d =+=，可得11a d ==，所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列， 所以*,N na n n =∈.(2)解：由（1）可知()()241111412121nn n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭， 211111111113355743414141n T n n n n ∴=--++--+--++---+1141n =-++， 类型三：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题例题5．（2022·江西赣州·二模（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()22n n S a n *=-∈N(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知()2cos log n n b n a π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．感悟升华（核心秘籍）第（2）问解题思路点拨：由题意知，求，注意，所以可化简为：，注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正”还是取“负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的，代入最后一项，是正，还是负，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，即：注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，，整理：综上：【答案】(1)2n n a =(2),;1,.n n n T n n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数(1)当1n =时，1122S a =-，即12a = 当2n ≥时，1122n n S a --=-，即12a =所以1122n n n n n a S S a a --=-=-得()122n n a a n -=≥ 即{}n a 以12a =为首相，公比为2的等比数列 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =(2)()()()cos 2cos 12nn n b n a n n n ππ=⋅=⋅=-⋅①当n 为偶数时，1232468102n n T b b b b n =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+ 22nn =⋅= ②当n 为奇数时，1231n n n n T b b b b T b -=+++⋅⋅⋅+=+ ()12212n n n -=⋅+-=-- 综上：,;1,.n n n T n n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数三、题型归类练1．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列{}n a 的前n 项和为112n n S a +=-，且214a = (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)()0.5*log ,,n n n a n b n N a n ⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ； 【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)211334nn +-⨯ (1)在数列{}n a 中， 由112n n S a +=-可知1212n n S a ++=-， 两式作差可得()()1211212n n n n S a S a +++---=-，即2112n n a a ++=， 当1n =时，1212S a =-，，即112a =，211412a a ==， 所以数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，即1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (2)由（1）知()*,1,2nn n n b n N n ⎧⎪=∈⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数， 所以()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()211113214162n n ⎛⎫=+++-++++ ⎪⎝⎭()111441211214nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦=+-211334nn =+-⨯.2．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，14nn n a a +⋅=，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若2log ,,1,,n n n a n b a n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【答案】(1)12,,2,.n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数(2)1224433n n S n +=+-(1)由题意，当1n =时，24a =，因为14n n n a a +⋅=①，则1124n n n a a +++⋅=②，可得24n na a +=， 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列.因为11a =，24a =，所以当n 为奇数时，1112142n n n a a +--=⨯=；当n 为偶数时，12242nn n a a -=⨯=.综上，12,,2,.n n nn a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 (2)由（1）得1,,21,,n n n n b n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数∴()()21321242n n n S b b b b b b -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()41422214nn n n ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦124433n n +=+-. 3．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，19nn n a a +⋅=，N n *∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若13log ,1,n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】(1)13,3,n n nn a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数(2)1229898n n n S +--= (1)解：由题意，当1n =时，129a a =，可得29a =，因为19n n n a a +⋅=，可得1129n n n a .a +++=，所以，29n na a +=， 所以数列{}n a 的奇数项和偶数项都是公比为9的等比数列.所以当n 为奇数时，设()21N n k k *=-∈，则1221211933k k n n k a a ----==⋅==， 当n 为偶数时，设()2N n k k *=∈，则12299933k k k nn k a a -==⋅===.因此，13,3,n n nn a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数. (2)解：由（1）得1,31,n n n n b n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，()()21321242n n n S b b b b b b -∴=+++++++()()2462024223333n n n =-----+++++-⎡⎤⎣⎦()()12919229892198nn n n n n +----=-+-=-.4．（2022·福建三明·模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，()122n n S n a +-+=，210a =，1n n b a =-． (1)求证：{}n b 是等比数列；(2)设332,1,log log n n nn b n c n b b +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前21n 项和21n T +．【答案】(1)证明见解析(2)()232133841n n nT n ++-=++ (1)证明：对任意的N n *∈，1224n n S a n +=+-， 当1n =时，则有12228a a =-=，解得14a =，当2n ≥时，由1224n n S a n +=+-可得1226n n S a n -=+-，上述两个等式作差得122n n n a a a +=-+，所以，132n n a a +=-，则()1131n n a a +-=-， 所以，13n n b b +=且1113b a =-=，所以，数列{}n b 是等比数列，且首项和公比均为3.(2)解：由（1）可知1333n nn b -=⨯=，所以，()3,1,2n n n c n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数，所以，()1321211113332446222n n T n n ++=++++++⨯⨯+()()3211113332446222n n n +⎡⎤=+++++++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦()21339111119412231n n n +⎡⎤-⨯=++++⎢⎥-⨯⨯+⎣⎦()232333111111331842231841n n nn n n ++--⎛⎫=+⨯-+-++-=+ ⎪++⎝⎭. 5．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））在数列{}n a 中，21,,2,n nn n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 (1)求1a ，2a ，3a ；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】(1)11a =，24a =，35a =(2)212224,,2324,.23n n n n n n S n n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 (1)因为21,,2,,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数所以12111a =⨯-=，2224a ==，32315a =⨯-=，(2)因为21,,2,,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 所以1a ，3a ，5a ，是以1为首项，4为公差的等差数列，2a ，4a ，6a ，是以4为首项，4为公比的等比数列．当n 为奇数时，数列的前n 项中有12n +个奇数项，有12n -个偶数项．所以()()1231322431n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++12211141411242214221423n n n n n n n -+⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=+-； 当n 为偶数时，数列{{}n a 的前n 项中有2n 个奇数项，有2n个偶数项．所以()()1231331242n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++2224141242214221423nn n n n n n +⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=+-． 所以212224,,2324,.23n n n n n n S n n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））已知数列{}n a 的前n 项和为,239n n n S S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()31log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n a +=；（2）,23,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数 【详解】（1）当1n =时，11239S a =-.因为11S a =，所以11239a a =-，所以19a =. 因为239n n S a =-，所以11239n n S a ++=-. 两式相减，得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a += 又因为19a =，所以0n a >.所以数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列.所以11933n n n a -+=⨯=.（2）由（1）可知()()()31log 11n nn n b a n =-=-+故当n 为偶数时，()()()234512n nT n n ⎡⎤=-++-++⋯+-++=⎣⎦当n 为奇数时，()()()()()123451112n n T n n n n -⎡⎤=-++-++⋯+--+-+=-+⎣⎦ 32n +=-所以,23,2n nn T n n 为偶数为奇数⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩ 7．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 中，()112,1n n n a n a a a +=-=+. （1）求证：数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列；（2）令(1),nn n n b a S =-为数列{}n b 的前n 项和，求使得99n S ≤-的n 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为67. （1）由()11n n n n a a a +-=+得：()111n n na n a +=++，即()1111n n a a n n n n +=+++ 11111n n a a n n n n +∴=+-++，即有111,1n n a a n n +++=∴+数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列； （2）由（1）知：()1113,31,(1)31n n n n a a a n b n n+=+=∴=-∴=-- 即()31,31,n n n b n n -⎧⎪=⎨--⎪⎩为偶数为奇数，∴当n 为偶数时，()()()()32581134312n nS n n ⎡⎤=-++-+++--+-=⎣⎦，显然99n S -无解； 当n 为奇数时，()()11313131122n n n n n S S a n ++++⎡⎤=-=-+-=-⎣⎦，令99n S ≤-，解得：66n ， 结合n 为奇数得：n 的最小值为67. 所以n 的最小值为67.8．（2022·重庆八中模拟预测）已知{n a }是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且满足12n n nS a a =+. (1)求证:数列{2n S }为等差数列； (2)设()1nnnb a =-，求{n b }的前64项和64T .【答案】(1)证明见解析；(2){}n b 的前64项和648T =. (1)∵ 12n n nS a a =+，所以221n n n S a a -= 当2n ≥时，有1n n n a S S -=-，代入上式得()12n n n S S S -- ()211n n S S ---=整理得()22112n n S S n --=≥.又当1n =时， 211121S a a -=解得11S =；∴数列{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由（1）可得211n S n n =+-=，∵{}n a 是各项都为正数，∴n S ，∴12)n n n a S S n -=-=≥， 又111a S ==，∴n a则(1)(1)n nn n n b a -===-，6411)T ∴=-+-+⋅⋅⋅-+=11-+⋅⋅⋅8，即：648T =.∴{}n b 的前64项和648T =．9．（2022·辽宁·模拟预测）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1522a a +=，()22n n S n a n =-+． (1)求{}n a 的通项公式； (2)设()1821nn n n n b a a ++=-⋅，求数列{}n b 的前21n 项和21n T +． 【答案】(1)41n a n =-(2)8102421n n +-+(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ． 由1522a a +=，得311a =，由()22n n S n a n =-+，得()2222S a =-， 又21222S a a a d =+=-，解得4d =， 所以()3341n a a n d n =+-=-． (2)由（1）得()1821nn n n n b a a ++=-⋅， ()()()8214143+=-⋅-+nn n n ，()1114143⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭n n n ，所以21123221++=+++++n n n T b b b b b ，111111113771111158183⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n 118387⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭n n ， 11387=--+n ，8102421+=-+n n .10．（2022·山东济宁·三模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =，数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记()tan n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和. 【答案】(1)3n n a =，2nn b =(2))187n - (1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则3161216157a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得113a d ==，所以，()111333n na n =+-=，当1n =时，21222b ，当2n ≥时，112122n n n b b b b +-++++=-，可得12122n n b b b -+++=-，上述两个等式作差可得1222n n nn b +=-=，12b =也满足2n n b =，故对任意的N n *∈，2n n b =.(2)解：由（1）可得2tan3nn n c π=， 设(323132323132202n n n n n n n p c c c -----=++=⨯+=，所以，18nn p p +==，所以，数列{}n p 是等比数列，且首项为1p =-8， 因此，数列{}n c 的前3n 项和为))31818187n n n T ---==-.11．（2022·陕西西安·三模（理））设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36S =，2a ，4a ，8a 成等比数列，数列{}n b 满足11b =，121n n b b +=+． (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求10021πsin 2kk k aa =⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭∑的值．【答案】(1)n a n =，21nn b =-；(2)5000-.(1)设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题意得()()()31211133637S a d a d a d a d =+=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩， 故数列{}n a 的通项公式n a n =． ∵121n n b b +=+，∴()1121n n b b ++=+，即1121n n b b ++=+（*n ∈N ），又11b =， ∴{}1n b +是以2为首项，2为公比的等比数列，12nn b +=， ∴21nn b =-．(2)当2k m =，*m ∈N 时，()22πsin 2sin π02k k a a m m ⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，当21k m =-，*m ∈N 时，()()()2122π21sin 21sinπ12122m k k m a a m m +-⎛⎫⋅⋅=-=-⋅- ⎪⎝⎭， ∴10022222221πsin 135797992kk k aa =⎛⎫⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭∑()()()()()()1313575797999799=-++-++⋅⋅⋅+-+()2135797995000=-⨯++++⋅⋅⋅++=-．12．（2022·江苏·南京市第一中学三模）数列{}n a 满足116nn n a a +=，12a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若2sin 2n n n b a π=，求数列{}n b 的前20项和20S ．【答案】(1)212n n a -=(2)()4022115- (1)116nn n a a +=11216n n n a a +++∴=，两式相除得：216n na a +=， 当21n k =-时， 1357211352316k k k a a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯= 121216k k a --∴=⨯ ，212n n a -∴=当2n k =时， 168242462216k kk a a a a a a a a --⨯⨯⨯⨯= 12816k k a -∴=⨯，212n n a -∴=综上所述，{}n a 的通项公式为：212n n a -=(2)由（1）知：212n n a -∴=2212sin 2n n n b π-∴= ∴ 数列{}n b 的前20项和：20123419201357373949163614002sin2sin2sin 2sin 2sin2sin 222222S b b b b b b ππππππ=++++++=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅1537373993614164002sin 2sin 2sin2sin 2sin 2sin222222ππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()104401593337404421222122222221122115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=+++++===--- 13．（2022·广东茂名·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()213n n S a =-，*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记sin2n n n b a π=⋅，求数列{}n b 的前100项的和100T . 【答案】(1)()2nn a =-，n *∈N (2)101225- (1)当2n ≥时，()()11221133n n n n n a S S a a --=-=---， 整理得12nn a a -=-， 又()111213a S a ==-，得12a =- 则数列{}n a 是以-2为首项，-2为公比的等比数列. 则()2nn a =-，n *∈N(2)当4,n k k N *=∈时，()4442sin 02k kk b π=-⋅=， 当41,n k k N *=-∈时，()()444111412sin22k k k k b π----=-⋅=， 当42,n k k N *=-∈时，()()4242422sin 02k k k b π---=-⋅=， 当43,n k k N *=-∈时，()()444333432sin22k k k k b π----=-⋅=-，则()()5973799100123100222222T b b b b =++++=-+++++++()()25254334101442222222212125-⋅-⋅-=-+=--。

浙江高考数列经典例题汇总1.【2014年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知数列 和'bn ■满足a 1a2an= (J 2 F (n 匸 N )若 En ｝为等比数列 且 a 1 = 2, 3 = 6 + b 2 .(I ) 求 a n 与 bn ；(∏ )设Cn TE 「N l 记数列⑺的前n 项和为S n(i )求 Sn ;(ii )求正整数k ,使得对任意n ∙ N ",均有S k- S n2.【2011年.浙江卷•理19】(本题满分14分)已知公差不为O 的等差数列｛an ｝的首项a ^ a(aR ),设数列的前n 项和为Sn ,且a 1 ,(I)求数列｛a n｝的通项公式及 SnA l与Bn 的大小.% , %成等比数列A n(∏)记丄丄丄SS2S 3-B nSn丄丄丄a 〔 a ? a ?2丄a2n ,当n 一 2时，试比较3.【2008年•浙江卷•理22】 (本题14分)已知数列^n [ an≥0 a 1 = Oa ； 1 a . 1 T = a 2(n ∙ N t ) S n ^ a 1a 2 R nT n+1 a 1(1 a 1)(1 a 2)+…+(1 *1)(1 *2厂(1 a n )求证： 当n . N •时, (I) an ：：： an 1 ；(∏)S n n -'2；(川)Tn < 3O4.【2007年浙江卷 理21】(本题15分)已知数列｛an ｝中的相邻两项 舷」，如 是关于X 的 方程的两个根，且a 2k 」-a 2k (k =1,2,3,…) (I)求 a 1,a 3,a 5,a 7 ；1 5 *求证：Ln 讨n N )5.【2005年•浙江卷•理20】设点An (Xn , 0), Pn(Xn ,2 )和抛物线Cn : y = x2 + an X +1n 4bn(n ∈ N*)其中an = - 2 — 4n — 2 , Xn 由以下方法得到： x1 = 1,点P2(x2 , 2)在抛物 线C1 : y = x2 + a1x + b1上，点 A1(x1 , 0)到P2的距离是 A1到C1上点的最短距离,(∏)求数列｛an｝的前2n 项的和S2n ；f(n)T 直 3)(川)i 己 2 Sln n ,Tna.(-1)f ⑶.(-1)f (4). (-1)f (τa 5a6a2n∕a2na 3a4点 P n 1 (X n I ,2 )在抛物线 C n : = χ2 + an X + bn 上，点 Al(Xn , 0)到 Pn -1 的距离是 An 到 Cn 上点的最短距离.(求 x2及C1的方程. (∏证明｛xn ｝是等差数列.16.【2015高考浙江，理20】已知数列 E 满足a ι=2且a n 1 = a n -a ^ ( n N i )-电-2*(1 )证明：1a n1( nN )；1 / S n 』1/ 2 A(2)设数列® '的前n 项和为S n ,证明2(n∙2) n 2(n I) ( n N )a n% 1 < 12 丨 n = N*(I )证明： a n 白2心(a 1 -2 ) n 乏N *.a n(II )若7.【2016高考浙江理数】 设数列y 满足n2n ，证明:例1 .（浙江省新高考研究联盟 2017届高三下学期期初联考） 已知数列^a n 满足a 1=3,(III )若 2c n=b n ,求证：2≤(c ^1)n <3∙C n例2 •（浙江省温州中学 2017届高三3月高考模拟）正项数列a n a n- 3an 12an 1 ,a i _ 1•（I ）求a 2的值；（∏）证明：对任意的 n∙ N , a n 乞2a n1;（川）记数列Ia nI 的前n 项和为S h ,证明：对任意的 n∙ Na n+ι=a n 2+2a n , n ∈ N* , 设b n =∣og 2(a n +1)∙ ⑴求｛a n ｝的通项公式;:a n ∙'满足(II )求证:例3•(浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末) 已知数列｛a n｝满足12a naι =1,a8 n(1)若数列｛a n｝是常数列，求m的值;(2)当m∙1时，求证：a n：：： a n 1；(3)求最大的正数m,使得a n 4对一切整数n恒成立，并证明你的结论。