6.2 投针试验(好)

北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》说课稿一. 教材分析北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》是北师大版数学教材九年级上册第六章第二节的内容。

这一节主要介绍了投针试验的基本概念、原理和应用。

教材通过具体的案例，让学生了解投针试验的原理，培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于概率和统计方面的知识有一定的了解。

但是，对于投针试验这一概念和相关原理可能比较陌生，需要通过具体案例和实践操作来理解和掌握。

三. 说教学目标1.让学生了解投针试验的基本概念和原理。

2.培养学生运用投针试验解决实际问题的能力。

3.培养学生合作交流、归纳总结的能力。

四. 说教学重难点1.投针试验的基本概念和原理。

2.投针试验在实际问题中的应用。

五.说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的案例引导学生理解和掌握投针试验的原理和应用。

2.利用多媒体手段，展示投针试验的实验过程和结果，增强学生的直观感受。

3.学生进行小组讨论和实践操作，培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。

六.说教学过程1.引入：通过讲解和演示，引导学生了解投针试验的基本概念和原理。

2.实践操作：学生进行小组讨论和实践操作，让学生亲身体验投针试验的过程和结果。

3.案例分析：通过具体的案例，引导学生运用投针试验解决实际问题。

4.归纳总结：学生进行小组讨论和总结，引导学生理解投针试验的应用和意义。

5.巩固提高：布置适量的练习题，让学生进一步巩固和提高投针试验的应用能力。

七.说板书设计板书设计要简洁明了，突出投针试验的基本概念和原理。

可以设计如下：•投针试验是一种实验方法，通过投掷针来研究随机现象。

•投针试验的基本原理是针的随机投掷结果与概率有关。

•投针试验可以应用于估计圆周率π的值。

•投针试验可以解决其他与随机现象相关的问题。

八.说教学评价教学评价主要包括两个方面：过程评价和结果评价。

1.过程评价：主要评价学生在小组讨论和实践操作中的参与程度、合作交流能力和问题解决能力。

北师大版数学九年级上册6.2《投针试验》教学设计一. 教材分析《投针试验》是北师大版数学九年级上册第六章第二节的内容。

本节课主要介绍了投针试验的基本原理和应用，通过投针试验可以估计π的值。

教材通过实例引导学生探究投针试验的规律，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对概率和统计有一定的了解。

但投针试验作为一种特殊的概率实验，对学生来说较为陌生。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生逐步理解投针试验的原理，并运用到实际问题中。

三. 教学目标1.了解投针试验的基本原理，学会进行投针试验。

2.能够运用投针试验估计π的值。

3.培养学生的观察能力、思考能力和合作能力。

4.提高学生对数学的兴趣和好奇心。

四. 教学重难点1.投针试验的基本原理。

2.如何进行投针试验。

3.投针试验在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.讲授法：教师讲解投针试验的基本原理和步骤。

2.演示法：教师演示投针试验，学生跟随操作。

3.讨论法：学生分组讨论，分享投针试验的结果和感受。

4.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用投针试验解决问题。

六. 教学准备1.投针试验材料：针、圆盘、直尺。

2.投针试验教学课件。

3.实际问题案例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入投针试验的背景，激发学生的兴趣。

例如，讲述古人是如何猜测π的值的，引出投针试验这一方法。

2.呈现（10分钟）教师讲解投针试验的基本原理和步骤，引导学生理解投针试验的意义。

3.操练（10分钟）学生分组进行投针试验，记录试验结果。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师邀请部分学生分享投针试验的结果和感受，引导学生总结投针试验的规律。

5.拓展（10分钟）教师提出实际问题，引导学生运用投针试验解决问题。

例如，估计一个多边形的周长。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，巩固投针试验的知识。

7.家庭作业（5分钟）教师布置相关的家庭作业，巩固投针试验的知识。

最新数学基础初三年级训练《投针试验》知识要点较复杂事件发生的概率.
能力要求能用实验的方法估计一些复杂的随机事件
发生的概率.
基础练习 1.如图6-1，在围棋棋盘上有九个黑点，请你作如下实验：抓一把围棋子(如每次20粒)扔到棋盘上，记下每次棋子刚好压住黑点的数目，重复50次，根据实验结果估计棋子压住黑点的概率，并与同伴交流. 2.图6-2是一张9×9方格纸，每个小方格的边长为3cm，抓一把大头针(比如30枚)扔到方格纸上，记下每次有多少枚大头针压住方格边，重复100次，根据实验结果估计大头针压住方格边的概率，并与同伴交流. 综合练习全班同学分成若干小组，每组准备100张卡片，分别写上1、2、3、、100. 实验是这样进行的：将卡片混合均匀后，从中随意抽取两张，记下这两张卡片上的数字，然后放回去，重新混合均匀，再随意抽取两张，记下卡片上的数字，，如此重复100次(或更多)，试估计出现两张卡片上的数字之和等于86的概率. 每组之间进行交流.
只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。

由为您提供的最新数学基础初三年级训练《投针试验》，祝您学习愉快!。

第4课时
§6.2 投针试验
教学目标
1、经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力
2、能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率
教学重点和难点
重点：用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率
难点：用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
在上几节课，我们通过画树状图和列表，认识到当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率。

这节课，我们通过历史上的一个试验，进一步说明事件发生的概率。

二、师生共同研究形成概念
1、书本引例——投针试验
☆做一做书本P 169 投针试验
首先要求每组学生都确定相同的l和a的值，这是因为对于不同的l和a的值，试验的结果是不同的，那样就不能将各组的试验结果汇总，也就无法保证试验的次数。

2、读一读——投针试验
☆读一读书本P 170 读一读
通过阅读这篇文章，进一步了解投针试验。

三、随堂练习
1、书本P 171 随堂练习
2、《练习册》P 52 、56
四、小结
用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。

五、作业
书本P 171 习题6.4
六、教学后记。

公元1777年的一天，法国科学家布丰（D．Buffon1707-1788）的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。

试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。

接着他又抓出一大把原先准备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。

然后布丰先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。

”众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙。

“圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！”布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的更精确的近似值。

不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。

”说着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。

π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。

由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。

布丰得出的一般结果是：如果纸上两平行线间相距为d，小针长为，投针的次数为n，所投的针当中与平行线相交的次数是m，那么当n相当大时有：在上面故事中，针长等于平行线距离d的一半，所以代入上面公式简化我想，喜欢思考的读者，一定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简单而巧妙的证明。

找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰好等于平行线间的距离d。

可以想象，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。

因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。

现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。

显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点、3个交点、2个交点、1个交点，甚至于都不相交。

由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。

一、问题的提出在人类数学文化史中，对圆周率兀精确值的追求吸引了许多学者的研究兴趣。

在众多的圆周率计算方法中，最为奇妙的是法国物理学家布丰(Boffon)在1777年提出的“投针实验”。

与传统的“割圆术”等儿何计算方法不同的是，“投针实验”是利用概率统讣的方法讣算圆周率的值，进而为圆周率计算开辟了新的研究途径，也使其成为概率论中很有影响力的一个实验。

本节我们将借助于MATLAB仿真软件，对“投针实验”进行系统仿真，以此来研究类比的系统建模方法和离散事件系统仿真。

二、系统建模“投针实验”的具体做法是：在一个水平面上画上一些平行线，使它们相邻两条直线之间的距离都为然后把一枚长为；(0＜；＜a)的均匀钢针随意抛到这一平面上。

投针的结果将会有两种，一种是针与这组平行线中的一条直线相交，一种是不相交。

设力为投针总次数，&为相交次数，如果投针次数足够多，就会发现公式竺讣算出来的值就是圆周率兀。

当然汁算精度与投针次数有关，一般情ak况下投针次数要到成千上万次，才能有较好的计算精度。

有兴趣的读者可以耐心地做一下这个实验。

为了能够快速的得到实验结果，我们可以通过编写计算机程序来模拟这个实验，即进行系统仿真。

所谓的系统仿真是指以计算机为工具，对具有不确定性因素的、可模型化的系统的一种研究方法。

建立能够反映实验情况的数学模型是系统仿真的基础。

系统建模中需解决两个问题，一个是如何模拟钢针的投掷结果，另一个是如何判断钢针与平行线的位置关系。

这里，设0为钢针中点，y为0点与最近平行线之间的距离，&为钢针与平行线之间的夹角(0 S&V180 )。

首先，山于人的投掷动作是随机的，钢针落下后的具体位置也是随机的，因此可用按照均匀分布的两个随机变量y和&来模拟钢针投掷结果。

其次，人工实验时可以用眼睛直接判断出钢针是否与平行线相交，而计算机仿真实验则需要用数学的方法来判别。

如下图所示，如果八2和&满足关系式y<-/sin^,那么钢针就与平行线相交，否则反之，进而可以判断钢针与平行线2的位置关系。

课题：第六章 频率与概率2．投针试验课型：新授授课人：枣庄十五中学东校 王雪峰授课时间：2012年11月22日星期四教学目标：1. 能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．2. 经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生的合作交流的意识和能力．3. 培养学生实事求是的科学态度．亲历试验，提高学生学习数学的兴趣． 教学重点：能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．教学难点：借助大量重复试验去感悟试验频率稳定于理论概率．教法及学法指导：教法：“试验—探究—归纳”法学法：学生通过小组活动，亲自动手试验，主动探索，发现规律；互动合作、解决问题；使学生主体地位得以体现．让学生充分感悟多次试验频率稳定于理论概率这一事实． 教具准备：大头针，图钉，多媒体演示教学过程:一．感悟导入[师]上节课我们介绍了用树状图或列表格的方法计算随机事件的概率．但这些方法也不是万能的。

下面我们来看一个例子．比如掷一枚图钉，有几种结果?它们是等可能的吗?[生]有“朝天”和“倾斜”两个可能结果，但我觉得这两个可能的结果不是等可能的.[师]能不能说“朝天”的概率是21，“倾斜”的概率也是21呢? [生]当然不能．[师]再例如，掷一只瓶盖，也有“正”“反”两种可能，但出现的可能性相等吗?[生]不相等．[师]很好．这些随机事件的概率还能用树状图或列表格的方法计算吗？该怎样求？[生]只有动手做大量的试验．因为我们知道：当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率．[师]看来，有些事件发生的概率只有亲自做很多次实验了．二．合作探究试验一：从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能钉帽着地．你估计哪种事件发生的概率大?试验目的：利用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”来估计某一事件发生的概率．试验方式：小组合作交流，全班汇总实验数据，交流研讨．试验工具：形状、大小完全相同的图钉．试验步骤：1．分组：每组6人．2．每组每人做10次实验，根据实验结果，3．根据上表你认为哪种情况的频率较大?4．分别汇总本小组其中两人、三人、四人、五人、六人的实验数据，相应得到实验40次、60次、80次、100次时钉帽着地的频率，填写下表，并绘制折线统计图．5．汇总全班各小组其一个组．两个组、三个组、四个组……的实验数据，相应得到实验120次、180次、240次、360次……时钉帽着地的频率.6．估计钉帽着地的概率．注意：①图钉必须从一定高度自由落下，保证着地时的随机性；②组内同学合作时要进行适当的分工；③体现学生的自主性，实验活动以及实验数据的汇总等都可以由学生白行组织完成；④教师认真评价学生合作交流的意识和能力，学生的思维水平，学生的动手能力等.[师生共析]我们一同来研究一下，掷一枚图钉时，出现“钉帽着地”这一结果的概率．将图钉掷200次，每掷20次，统计一下两个组同学“钉帽着地”这一结果出现的次数，并算出相应的频率，如下表．将统计数据(“钉帽着地”的频率)从图中可发现，“顶帽着地”的频率开始“摆动”得很厉害，随着试验次数的增加，这个频率就开始比较稳定了，最后大致在56.5％左右摆动．由此我们可以估计“顶帽着地”的概率约为56．5％，即0.565.[师]在数学的历史上，有一个较为著名的投针实验：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离为a，向此平面任投一长度为l(l<a)的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交．相交和不相交的可能性相同吗?你能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗?[生]相交和不相交的可能性不相同，由于结果的可能性不同，因此这个事件的概率也不能列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率．也必须用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”来估计该针与平行线相交的概率．[师]很好，我们还是分组活动．试验二：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离都是a，向此平面任投一长度为l(l<a)的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们不相交，估计针与平行线相交的概率．试验目的：利用“当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率”，并据此估计针与平行线相交的概率．试验方式：小组交流，全班研讨的方法．试验工具：每组学生要在平面上画有相同距离“的一组平行线，并且有长度都为l的针(l<a)．要求针必须粗细均匀．活动步骤：1．分组，两人一组．2．取一张白纸，在上面画一组平行线．它们之间的距离为2厘米，另外准备一根1厘米长的针．在纸下面垫一层软布，使针落在纸面上时不会弹跳起来．3．每组至少完成50次实验，分别记录下其中相交和不相交的次数．4．统计全班的实验数据，估计针与平行线相交的概率．活动效果：在具体实验的过程中，要求每组学生都确定相同的l和a，而对于针可由教师统一准备．这样做是因为如果l和a取不同的值，实验结果是不同的．那样全班就无法统计数据．为了保证随机性。

投针试验投针问题1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题。

投针步骤这一方法的步骤是：1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。

2）取一根长度为l（l<a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l<a）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。

”布丰本人证明了，这个概率是p=2l/（πd) π为圆周率利用这个公式可以用概率的方法得到圆周率的近似值。

下面是一些资料试验者时间投掷次数相交次数圆周率估计值Wolf1850年5000 2532 3.1596Smith 1855年3204 1218.5 3.1554C.De Morgan 1680年600 382.5 3.137Fox1884年1030 489 3.1595Lazzerini 1901年3408 1808 3.1415929Reina 1925年2520 859 3.1795设这三个正数为x，y，z，不妨设x≤y≤z，对于每一个确定的z，则必须满足x+y>z，x&sup2;+y&sup2；﹤z&sup2；，容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x&sup2;+y&sup2;=z&sup2；围成的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=（πz&sup2;/4-z&sup2;/2）/z&sup2;=（π-2）/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。

6.2 投针试验学习目标：能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率．一、填空题1．口袋中有2个白球，1个黑球，从中任取一个球，用实验的方法估计摸到白球的概率为_________；2．把一对骰子掷一次，共有_________种不同的结果；3．任意掷三枚均匀硬币，如果把掷出正面朝上记为“上”，掷出正面朝下记为“下”，所有的结果为_________；4．必然事件的概率为_________，不可能事件的概率为_________，不确定事件的概率范围是_________；5．频数和频率都能反映一个对象在实验总次数中出现的频繁程度，我认为：（1）频数和频率间的关系是_________；（2）每个实验结果出现的频数之和等于_________；（3）每个实验结果出现的频率之和等于_________；6．已知全班同学他们有的步行，有的骑车，还有的乘车上学，根据已知信息完成下表．上学方式步行骑车乘车“正”字法记录正正正频数9频率40%7．表中是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率．抛掷结果5次50次300次800次3200次6000次9999次出现正面的频数 1 31 135 408 1580 2980 5006 出现正面的频率20% 62% 45% 51% 49．4% 49．7% 50．1% （1）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________；（2）由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_________次正面，正面出现的频率是_________；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_________次反面，反面出现的频率是_________；二、选择题8．给出以下结论，错误的有（）①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生；②如果一件事发生的机会达到99．5%，那么它就必然发生；③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生；④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生．A、1个B、2个C、3个D、4个9．一位保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的概率各占50%”他的说法（）A、正确B、不正确C、有时正确，有时不正确D、应由气候等条件确定10．某位同学一次掷出三个骰子三个全是“6”的事件是（）A、不可能事件B、必然事件C、不确定事件可能性较大D、不确定事件可能性较小三、解答题11．与他人合作掷骰子50次，要求（1）完成下表点数 1 2 3 4 5 6出现的频数（2）制出条形统计图．（3）计算出各点的概率．（4）有可能再现7点吗？它的概率为多少？参考答案一、1．322．36 3．上上上 上上下 上下上 上下下 下上上 下上下 下下上 下下下 4．1 0 大于0小于1 15．（1）样本数频数 =频率 （2）样本总数 （3）1 6．略7．（1）4 80% （2）5006 50．1% 4994 49．9% 二、8．D 9．B 10．D 三、11．略 12．略 13．略一、如图（1）是不是所有的随机事件的概率都可以用画树形图或列表的方法来求，试举例说明你的理由．（1）（2）二、图（2）钉落地实验，将图钉抛在地上．（1）观察图钉落地后出现几种状态．（2）猜想哪种情况发生的概率大？（3）连续抛掷50次，将实验结果填在下表．落地状态钉尖朝上钉尖着地频数频率（4）实验结果中各种情况发生的概率与你猜想的概率是否相符呢？（5）如果班里有50位同学，每人做50次实验共做了2500次实验，请将实验数据汇总，再进一步计算各种情况发生的频率．（6）现在你能估计钉尖着地的概率了吗？（7）以上做法是：利用大量的实验数据计算出某一情况发生的频率，再利用此频率来估计这一情况发生的概率，你还能举出生活中利用这一原理求概率的实例吗？参考答案一、不是所有的事件发生的概率都可以计算的．举例如抛一个圆锥、底边落地的概率．二、（1）两种状态：尖着地，尖朝上．（2）（3）（4）（5）（6）（7）略。