Newmark

newmark-β方法计算圆柱绕流流固耦合为了计算圆柱绕流流固耦合，可以使用Newmark-β方法。

Newmark-β方法是一种显式的数值积分方法，常用于求解动力学问题。

它通过引入增量参数β来控制数值解的稳定性和精确度。

首先，需要将流体和结构的方程建模。

对于流体，可以采用Navier-Stokes方程来描述流体的运动。

对于结构，可以用弹性力学方程来描述结构的动力学行为。

接下来，我们将流体和结构的方程耦合起来。

通过使用声学渐近逼近原理，可以在空间和时间上对流动进行离散化。

然后，通过使用有限体积法和有限元法来离散化流动和结构方程。

在离散化流体和结构的方程后，可以得到时间步长Δt。

然后，可以使用Newmark-β方法来迭代求解流动和结构的变化。

Newmark-β方法的核心思想是引入两个参数γ和β，用于控制数值积分的稳定性和精确度。

其中，γ和β的取值范围通常为0到1、当γ等于1/2，β等于1/4时，Newmark-β方法退化为中心差分法。

具体来说，可以按照以下步骤来实现Newmark-β方法：1.初始化流动和结构的状态，包括速度、位移、应力等。

2.根据流动和结构的状态，计算出流体和结构的单位质量矩阵M和切向刚度矩阵K。

3.根据流体和结构的状态，计算出流体和结构的单位质量力F。

4.根据当前时间步长Δt和参数γ、β，计算出流体和结构的位移、速度和加速度。

5.更新流体和结构的状态，包括应力、速度、位移等。

6.根据更新后的流体和结构的状态，计算出流体和结构的单位质量力F。

7.根据流体和结构的单位质量力F和切向刚度矩阵K，计算出流体和结构的加速度。

8.重复步骤4-7，直到达到收敛要求。

通过以上步骤，可以实现圆柱绕流流固耦合的Newmark-β方法计算。

这种方法能够有效地模拟圆柱绕流的动态响应，对工程实践和科学研究具有重要意义。

用matlab编程实现Newmark-β法计算多自由度体系的动力响应姓名：***学号：**************专业：结构工程用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。

Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。

当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。

研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。

由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。

Newmark方法是一种用于计算自由结构多度响应的数值技术。

在地震工程中通常用于预测地震加载下的建筑物和其他结构的行为。

Newmark方法考虑了结构的质量，硬度和坝积，以计算迁移，速度，以及每个自由度的加速。

这使得工程师能够评价结构反应，并评估损坏或故障的可能性。

要使用Newmark方法，结构首先分为离散自由度，一般在关节或连接点。

然后根据结构几何和物质特性来确定每一自由度的质量、坚硬度和筑坝特性。

这些属性用于构成结构的支配性运动方程，这些方程可以使用Newmark方法进行数字解析。

Newmark方法是一个迭代过程，它计算每个时段的结构响应。

每个自由度的迁移、速度和加速都根据应用负荷、结构特性和坝积效应加以更新。

通过穿越每个时间步，Newmark方法可以准确预测结构随时间推移的动态响应。

Newmark方法的关键优势之一是它能够同时对结构中的线性和非线性行为进行衡算。

这在地震工程中尤其重要，在强地运动下，建筑物和其他结构的反应可以高度非线性。

Newmark方法使工程师能够准确捕捉地震加载下的结构的复杂行为，对它的性能和脆弱性提供了宝贵的见解。

除地震工程外，Newmark方法也被用于风力工程和振动分析等其他领域。

在这些应用中，该方法可用于评估结构对不同类型的环境装载的动态反应，使工程师能够优化设计并确保结构安全。

总体而言，Newmark方法是预测多度自由结构的动态响应的有力工具。

它对非线性行为和复杂装载条件的衡算能力，使它成为在不同领域工作的工程师的一种宝贵的技术。

通过使用Newmark方法，工程师可以更深入地了解结构行为，做出知情的决定，以确保建筑环境的安全和复原力。

用matlab 编程实现Newmark -β法计算多自由度体系的动力响应用matlab 编程实现Newmark -β法 计算多自由度体系的动力响应一、Newmark -β法的基本原理Newmark-β法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。

Newmark-β法假定：t u u u ut t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (1-1)2]}{}){21[(}{}{}{t u u t uu u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (1-2) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。

当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({21t t t u u ∆++ 。

研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。

由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有t tt t t t t u u t u u t u}){121(}{1)}{}({1}{2----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t uu u t u}{)21(}){1()}{}({}{ ∆γβγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：t t t t t t t t R u K u C uM ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (1-5) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)式中][][1][][2C t M tK K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1]([}{}{2t t t t t t t t u t uu t C u u t u tM R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。

多自由度系统的振动——Newmark-β数值积分方法要求：（1）计算程序可以求出多自由度系统在任意荷载作用下的响应；（2）编写程序流程图；（3）做示例验算；（4）总结分析算法的稳定性及精度。

算例：计算图示结构的响应。

阻尼采用Rayleigh阻尼，α、β值自拟。

答：（1）程序流程图：是否（2）程序代码：%Newmark-β法求多自由度结构的响应dt=0.001; %计算时间间隔a=0.0452; b=0.0463; %计算阻力矩阵的α，β(Rayleigh阻尼) A=0.5;B=0.25; %Newmark-β法中的α，βa0=1/(A*dt^2); a1=B/(A*dt); a2=1/(A*dt); a3=1/(2*A)-1;a4=B/A-1; a5=dt/2*(B/A-2); a6=dt*(1-B); a7=B*dt;%计算所需数据T=30; %计算终点时刻n=T/dt+1;t=0:dt:T; %时间向量m=3; %质点个数M=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]; %质量矩阵y=ones(m,n); %位移矩阵v=ones(m,n); %速度矩阵ac=ones(m,n); %加速度矩阵%确定初始位移、初速，计算初始加速度y(:,1)=[0;0;0];v(:,1)=[0;0;0];%K=[t(1)+1,0,0;0,t(1)+1,0;0,0,t(1)+2];%以时间为自变量的刚度矩阵K=[1,-1,0;-1,3,-2;0,-2,5];%常量刚度矩阵C=a.*K+b.*M;F=[sin(t(1));0;0]; %t0时刻荷载向量ac(:,1)=M\(F-C*v(:,1)-K*y(:,1)); %t0时刻加速度%计算等效刚度矩阵、位移向量、加速度向量、速度向量fori=2:n%K=[t(i)+1,0,0;0,t(i)+1,0;0,0,t(i)+2];%以时间为自变量的刚度矩阵C=a.*K+b.*M;F=[sin(t(i));0;0];F1=F+M*(a0*y(:,i-1)+a2*v(:,i-1)+a3*ac(:,i-1))...+C*(a1*y(:,i-1)+a4*v(:,i-1)+a5*ac(:,i-1)); %等效力K1=K+a0*M+a1*C; %等效刚度矩阵y(:,i)=K1\F1; %计算位移向量ac(:,i)=a0*(y(:,i)-y(:,i-1))-a2*v(:,i-1)-a3*ac(:,i-1);%计算加速度向量v(:,i)=v(:,i-1)+a6*ac(:,i-1)+a7*ac(:,i);%计算速度向量end%提取某些指点的位移、速度、加速度向量，绘制响应图plot(t,y(1,:),':b',t,y(2,:),'-r',t,y(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('位移y');figure(2)plot(t,v(1,:),':b',t,v(2,:),'-r',t,v(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('速度v');figure(3)plot(t,ac(1,:),':b',t,ac(2,:),'-r',t,ac(3,:),'--g');grid onlegend('质点1','质点2','质点3');xlabel('时间t');ylabel('加速度ac');程序运行结果：（3）算法稳定性及精度Newmark-β法基于泰勒公式将t(k+1)时刻的速度、位移在t(k)时刻展开，并将未知项做近似替换。