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以一门大炮的射程为例. 以一门大炮的射程为例. 影响大炮的射程的随机因素包括: 影响大炮的射程的随机因素包括:大炮炮身结构 导致的误差,炮弹质量导致的误差,瞄准时的误差, 导致的误差,炮弹质量导致的误差,瞄准时的误差, 风速,风向等干扰导致的误差等. 风速,风向等干扰导致的误差等. 但其中每一种误差造成的影响在总的影响中所 起的作用是微小的,并且可以看成是相互独立的, 起的作用是微小的,并且可以看成是相互独立的, 人们关心的是这众多误差因素对大炮射程所造成的 总的影响, 总的影响,因此需要讨论大量独立随机变量和的问 题. 下面将要介绍的中心极限定理从理论上阐明了这 样的随机变量总是近似地服从正态分布的. 样的随机变量总是近似地服从正态分布的.
EX i = , DX i = σ 2 ≠ 0, i = 1,2,
则对任意的x有 则对任意的 有
n ∑ X i n i =1 lim P nσ < x = n→ ∞ 证明( 证明(略)
1 2π
∫
x
∞
e
t2 2
dt
两点说明: 两点说明: 1°无论随机变量 1,X2,…,Xn,…服从同一分布 °无论随机变量X , 服从同一分布 的情况如何,只要{X 满足定理的条件 满足定理的条件, 的情况如何 , 只要 i}满足定理的条件, 则随机变量 n 序列: 序列: ∑1 X i n Yn = i= nσ 无限增大时, 当n无限增大时,总以标准正态分布为其极限分布. 无限增大时 总以标准正态分布为其极限分布. 或者说, 充分大时, 近似服从标准正态分布. 或者说,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.根 充分大时 据这一点,在实际应用中,只要n充分大 充分大, 据这一点,在实际应用中,只要 充分大,我们便可把 n个独立同分布的随机变量的和当作正态随机变量. 个独立同分布的随机变量的和当作正态随机变量. 个独立同分布的随机变量的和当作正态随机变量
≈ 1
∫
1 ∞
1 e 2π
t2 2
dt
= 1 Φ ( 1 ) = Φ (1 ) = 0 . 8413 .
作为定理4的推论有 作为定理 的推论有 定理5(棣莫佛—拉普拉斯 拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理) 定理) 定理 (棣莫佛 拉普拉斯 定理 重贝努里试验中, 在n重贝努里试验中,事件 在每次试验中出现的概率 重贝努里试验中 事件A在每次试验中出现的概率 次试验中事件A出现的次数 为p,Yn为n次试验中事件 出现的次数,则对任意的 , , 次试验中事件 出现的次数,则对任意的x, 有
二,基本定理
定理4(独立同分布的林德贝尔格 莱维 莱维(Lindeberg 定理 (独立同分布的林德贝尔格-莱维 中心极限定理) -Levy)中心极限定理)设X1,X2,…,Xn,…是相 中心极限定理 , 是相 互独立,且服从同一分布的随机变量序列, 互独立,且服从同一分布的随机变量序列,并具有数 学期望和方差: 学期望和方差:
EX i = p,
DXi = p(1 p) ,
i = 1,2,n
易知 Yn = X 1 + X 2 + + X n
Yn 令 X= , n Yn 1 则 EX = E = EYn = p n n
由契比雪夫不等式得 于是, 于是,
2 Yn σ |≥ ε } ≤ DX P p ≥ = | X P {| X ε P {|ε }≤EX 2 ≥ n ε2
例 1 设 有 1 0 0 个 电 子 器 件 , 它 们 的 使 用 寿 命 X1, X2,…,X 100 均服从参数为 λ =0.05(h-1)的指数分布 , 均服从参数为λ 的指数分布, , 的指数分布 其使用情况为:第一个损坏第二个立即使用, 其使用情况为:第一个损坏第二个立即使用,第二个 损坏第三个立即使用等等. 表示这100个电子器件 损坏第三个立即使用等等.令X表示这 表示这 个电子器件 使用的总时间,试求X超过 超过1800h小时的概率. 小时的概率. 使用的总时间,试求 超过 小时的概率 由于X 的指数分布. 解 由于 i 服从参数为 λ= 0.05的指数分布.因此 的指数分布
1 n lim P n ∑ X i < ε = 1 n→ ∞ i =1
伯努利大数定律说明了当n很大时 , 伯努利大数定律说明了当 很大时, 事件发生的 很大时 频率会非常" 接近" 概率, 频率会非常 " 接近 " 概率 , 而这里的辛钦大数定律 则表明, 很大时, 则表明,当n很大时,随机变量 在n次观察中的算术 很大时 随机变量X在 次观察中的算术 平均值 也会"接近"它的期望值,即 X 也会"接近"它的期望值,
Yn P p <ε =1 n
lim
n→ ∞
或
lim
n→ ∞
Yn P p ≥ε = 0 n
证 令
1 , Xi = 0 , A在第 i次试验中出现 , A在第 i次试验中不出现 . (1 ≤ i ≤ n )
个相互独立的随机变量, 则X1,X2,…,Xn是n个相互独立的随机变量,且 , 个相互独立的随机变量
Yn np 1 lim P np(1 p) < x = 2π n→∞
∫
x ∞
e dt
t2 2
的定理1的证明可知 证 由§5.1的定理 的证明可知,Yn可以看成是 个 的定理 的证明可知, 可以看成是n个 且服从同一(0-1) 分布的随机变量 1, 分布的随机变量X 相互独立 , 且服从同一 X2,…,Xn之和,即 , 之和,
2°因为对Yn = °
∑X
i =1
n
i
n
nσ
=∑
i =1
n
Xi 中每一被加项 nσ
1 1 Xi Xi D( X i ) = = 有 D 2 n nσ n σ nσ
故有
1 Xi u lim D nσ = lim n = 0 n→ ∞ n→ ∞
中每一被加项对总和的影响都很微小, 即 Yn中每一被加项对总和的影响都很微小, 但它们迭加的和却以标准正态分布作为极限. 但它们迭加的和却以标准正态分布作为极限.
n→ ∞
DX i ≤ c , i = 1,2,
n
i =1
n
i =1
证明( 证明(略)
伯努利大数定律是契比雪夫大数定律的特例, 伯努利大数定律是契比雪夫大数定律的特例 在 它们的证明中, 都是以契比雪夫不等式为基础的, 它们的证明中 都是以契比雪夫不等式为基础的 所 以要求随机变量具有方差.但进一步的研究表明, 以要求随机变量具有方差 . 但进一步的研究表明 , 方差存在这个条件并不是必要的. 方差存在这个条件并不是必要的 . 即有下面的独立 同分布的辛钦大数定律. 同分布的辛钦大数定律. 定理4 (辛钦 辛钦(ХИНЧИН)大数定律 设 X1,X2,…, 大数定律)设 定理 辛钦 大数定律 , Xn,…是相互独立的随机变量序列 , 且数学期望存 是相互独立的随机变量序列, 是相互独立的随机变量序列 在: EX i = , i = 1,2, 则对任意的ε , 则对任意的ε >0,有n → ∞ )
定理2(契比雪夫大数定律) 定理 (契比雪夫大数定律)设X1,X2,…,Xn,…是 , 是 相互独立的随机变量序列,又设它们的方差有界, 相互独立的随机变量序列,又设它们的方差有界,即 存在常数c>0,使得 存在常数 , 则对任意的 ε >0,有 , 1 n 1 n lim P n ∑ X i n ∑ EX i < ε = 1 n→ ∞ i =1 i =1 或 1 n 1 n lim P ∑ X i ∑ EX i ≥ ε = 0
1 n P X = ∑ X i → (n → ∞ ) n i =1
这就为寻找随机变量的期望值提供了一条实际 可行的途径. 可行的途径.
小结
契比雪夫定理的特殊情况 三个大数定理 伯努利大数定理 辛钦定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性. 定性.
二,基本定理
首先,我们引进依概率收敛的概念. 首先,我们引进依概率收敛的概念. 依概率收敛的概念 是一个随机变量序列, 定义 设X1,X2,…,Xn,…是一个随机变量序列,a , 是一个随机变量序列 是一个常数,若对任意的正数ε 是一个常数,若对任意的正数ε,有
n→ ∞
lim P {| X n a |< ε } = 1
EX i = 1
λ
= 20, DX i =
1
λ
2
= 400,
i = 1,2,,100
又由题设知 X =
因此由定理5得 ∑ X ,因此由定理 得:
i =1 i
100
{X > 1800} = P X 100 × 20 > 1800 100 × 20 P
20 100 20 100
X 2000 X 2000 = P > 1 = 1 P ≤ 1 200 200
第五章 大数定律与中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律
一,问题的引入 二,基本定理
一,问题的引入
第一章引入概率概念时,曾经指出, 第一章引入概率概念时,曾经指出,事件发 生的频率在一, 生的频率在一,二次或少数次试验中具有随机性 的,但随着试验次数n的增大,频率将会逐渐稳 但随着试验次数 的增大, 的增大 定且趋近于概率.特别,当n很大时,频率与概 很大时, 定且趋近于概率.特别, 很大时 率会非常"接近" 率会非常"接近"的.这个非常"接近"是什么 这个非常"接近" 意思? 意思? 这与高等数学中的极限概念是否有联系? 这与高等数学中的极限概念是否有联系?本章将 从理论上讨论这一问题. 从理论上讨论这一问题.
