八所老牌重点中学2013届高三第一次联考数学

全国100所名校2013届高三学期初考试示范卷数 学（理科）考试时间：120分钟 满分： 150分一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）1．定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ⊕==+∈∈．设集合},{10=A ，},{32=B ，则集合B A ⊕的所有元素之和为 （ ） A.0 B.6 C.12D.182.若函数)(),(x g x f 的定义域都是R ，则)()()(R x x g x f ∈>成立的充要条件是（ ） A. 有一个 R x ∈，使)()(x g x f > B. 有无数多个R x ∈，使)()(x g x f > C. 对R 中任意的x ，使1+>)()(x g x f D. 在R 中不存在x ，使)()(x g x f ≤3.设复数θθsin cos i z +=，],[πθ0∈，i +-=1ω，则||ω-z 的最大值是（ ） A.12+B.5C.2D.12-4.已知b a ,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2，b a b ⊥-)(2，则a 与b 的夹角是（ ） A.6πB.3π C.32π D.65π 5.右面程序框图表示的算法的运行结果是（ ）A.5 B .6 C. 7 D .86.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A.1 B.21C.31D.617. 若函数R x xx x f ∈+=,cos sin )(ωω3，又02=-=)(,)(βαf f ，且βα-的最小值为43π，则正数ω的值是（ ） A. 31 B. 32 C.34 D.238. 如图，已知抛物线)(022>=p pxy 的焦点F 恰好是双曲线12222=-by a x 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F ，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.2C.12+D.12-11. 已知数列54321,,,,a a a a a 的各项均不等于0和1，此数列前n 项的和为n S ，且满足)51(22≤≤-=n a a S n n n ，则满足条件的数列共有（ ）A. 2个B. 6个C. 8个D. 16个12. 已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数，且)()('x f x f < 对于任意R x ∈恒成立，则（ ）A. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅>B. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅< C. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅> D. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.数列{}n a 中，)2,(122,511≥∈-+==*-n N n a a a n n n ，若存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn a 2λ为等差数列，则λ=14.已知*)(1)1(23N n cx bx ax x x n n ∈+++++=+ ，其中13::=b a ，那么=n 15.已知关于x 的实系数方程022=++b ax x 的一根在),(10内，另一根在),(21内，则点),(b a 所在区域的面积为16.如图所示，是一个由三根细铁杆PA ,PB ,PC 组成的支架，三根铁杆的两两夹角都是︒60，一个半径为1的球放在支架上，则球心到P 的距离为____________三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分） 已知ABC ∆的面积S 满足2323≤≤S ，且3=⋅，与的夹角为θ. （1）求θ的取值范围；（2）求函数θθθθθ22323cos cos sin sin )(+⋅+=f 的最大值及最小值．18.（本小题满分12分） 从全校参加数学竞赛的学生的试卷中抽取一个样本，考察竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的小长方形的高之比为1:3:6:4:2，最右边一组的频数是6，请结合直方图提供的信息，解答下列问题： (1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表；(3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求出该小组的频数，频率； (4)估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比.19.（本题满分为12分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥,CD AC ⊥,︒=∠60ABC , BC AB PA ==,E 是PC 的中点． （1） 证明：AE CD ⊥；（2） 证明：⊥PD 平面ABE ；（3） 求二面角D PC B --的余弦值．分数 50.5数 60.5数 70.5数 80.5数90.5数100.5数20.（本题满分为12分）已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为32． （I ）求椭圆方程；（II ）设椭圆在y 轴的正半轴上的焦点为M ，又点A 和点B 在椭圆上，且M 分有向线段所成的比为2，求线段AB 所在直线的方程．21.（本题满分为12分）已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<+++-=1123x x a x c bx x x x f ,ln ,)(的图像过坐标原点O ，且在点))1(,1(--f 处的切线的斜率是5-． （1）求实数c b ,的值；（2）求()x f 在区间[]2,1-上的最大值；（3）对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在轴上？请说明理由．（以下三道题任选其一,满分10分)22. 圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的圆的切线与AB 的延长线交于点D ，72=CD ， AB=BC=3，求BD 以及AC 的长．C23. 已知曲线C 1的极坐标方程为θρcos 6=，曲线C 2的极坐标方程为4πθ=，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点（I ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； （II ）求弦AB 的长度．24. 已知c b a ,,都是正数，且c b a ,,成等比数列，求证：2222)(c b a c b a +->++参考答案一、选择题：1 D 2D 3 B 4 B 5 C 6 D 7 B 8 C 9 D 10 A 11B 12A 二、填空题：13、1- 14、11 15、2116、3 三、解答题：17、解：（1）因为3=⋅，与的夹角为θ3=θcosθθπsin )sin(⋅=-⋅=S （3分） 又2323≤≤S ，所以232323≤≤θtan ，即133≤≤θtan ，又],[πθ0∈， 所以],[46ππθ∈ . （5分）18、解：频率分布直方图中,长方形高之比=面积之比=频数之比=频率之比. （I ）样本的容量为(1+3+6+4+2)×26=48 （3分） （II ）频率分布表如下:分组频数 频率 55.5~60.5 3 1/16 60.5~70.5 9 3/16 70.5~80.5 18 3/8 80.5~90.5 12 1/4 90.5~100.5 6 1/8 合计481（6分）（III ）成绩落在[70.5,80.5)内的人数最多,频数为18266=⨯,频率为： 83246316=++++（9分） （IV ）估计成绩高于60分的学生占总人数的%75.93%100246312463=⨯+++++++ （12分）19、（I ）证明： ⊥PA 底面ABCD ，∴CD PA ⊥.又 CD AC ⊥∴⊥CD 面PAC ，⊂AE 面PAC ，∴AE CD ⊥.（3分）（II ）证明： BC AB =,︒=∠60ABC ∴ABC ∆是等边三角形，∴AC PA =，又E 是PC 的中点，∴AE PC ⊥，又由（1）可知AE CD ⊥，∴⊥AE 面PDC ∴AE PD ⊥又⊥PA 底面ABCD ，∴PA AB ⊥， 又 AD AB ⊥∴⊥AB 面PDA ∴AB PD ⊥∴⊥PD 平面ABE .（6分）（III ）解：由题可知 AD AB PA ,,两两垂直,设面PDC 的一个法向量为),,(z y x =),,(231-= ),,(2340-=PD⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n PD即2020x z y z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取3=y 则21==z x ,即),,(231=ny742821633=++=>=<||||,cos n m 由图可知二面角D PC B --的余弦值为742-． （12分）20、解：（I ）2=c ，32==a c e ，3=a ，5=b ． 所以，所求椭圆方程为19522=+y x . （4分） （II ）设),(11y x A ，),(22y x B ，过A ，B 的直线方程为 2+=kx y由M 分有向线段所成的比为2，得212x x -=，（6则由 ⎩⎨⎧=++=4559222y x kx y 得 025205922=-++kx x k )(（8分）故 122221222209525295k x x x k x x x k -⎧+=-=⎪⎪+⎨-⎪⋅=-=⎪+⎩， 消 x 2得 222592559202k k k +=+)( 解得312=k ，33±=k （11分） 所以，233+±=x y ． （12分）21、解：（I ）当1<x 时，,)(23c bx x x x f +++-=则b x x x f ++-='23)(2． （1分）依题意，得⎩⎨⎧-=-'=5)1(0)0(f f 即⎩⎨⎧-=+--=5230b c ，解得0==c b ． （3分）（II ）由（1）知，⎩⎨⎧≥<+-=1,ln 1,)(23x x a x x x x f①当11<≤-x 时),32(323)(2--=+-='x x x x x f令,0)(='x f 得,0=x 或32=x （4分） 当x 变化时)(),(x f x f '的变化情况如下表：x)0,1(-0 )32,0( 32 （1,32） )(x f ' - 0 + 0 - )(x f单调递减极小值单调递增极大值单调递减又,0)0(,274)32(,2)1(===-f f f 所以)(x f 在[)1,1-上的最大值为2． （6分） ②当21≤≤x 时，x a x f ln )(=不妨设)0()),(,(>t t f t P ，则),(23t t t Q +-，显然1≠t因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形， 所以0=⋅OQ OP ，即0))((232=++-t t t f t ①若方程①有解，则存在满足题意的两点Q P ,；若方程①无解，则不存在满足题意的两点Q P ,若10<<t ，则23)(t t t f +-=，代入①式得0))((23232=++-+-t t t t t ，即0124=+-t t ，而此方程无实数解，因此1>t ． （10分）此时()ln f t a t =，代入①式得,232(ln )()0t a t t t -++=即1(1)ln t t a=+ ② 令()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则'1()ln 10h x x x=++>，所以)(x h 在[)+∞,1上单调递增，因为1>t ，所以0)1()(=>h t h ，当+∞→t 时，+∞→)(t h ，所以)(t h 的取值范围为()+∞,0．所以对于0>a ，方程②总有解，即方程①总有解．因此对任意给定的正实数a ，曲线)(x f y =上总存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边的中点在y 轴上． （12分）22、解：由切割线定理得 2DC DA DB =⋅2)(DC BA DB DB =+，故02832=-+DB DB ， 解得 4=DB （6分） 因为BCD A ∠=∠，所以 DBC ∆∽DCA ∆ （8分） 所以 DC DB CA BC =，得 273=⋅=DB DC BC AC （10分）因为c b a ,,成等比数列，所以 ac b =2又因为c b a ,,都是正数，所以c a ca acb +<+≤=<20 ………… 4分 所以 b c a >+0)(2)(2)(22>-+=-+=-+b c a b b bc ab ac bc ab所以，2222)(c b a c b a +->++ ………… 10分。

八校联考数学（理）试卷 第1页 共6页 八校联考数学（理）试卷 第2页 共6页2013年江西省 联 合 考 试数学（理科）命题人：上饶县中 杨学武 萍乡中学 杨井根（本试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．已知122,12z i z i =+=-，则复数201220132131i z z i z +=--的模等于（ ）B.D.2．已知R 是实数集，集合3|1M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|3N y y t t ==-≥，则R N C M= ( ) A. []2,3 B. [2,)+∞ C.(,2]-∞ D.[]0,23．一个算法的程序框图如右，则其输出结果是（A.0B.2C.12+ 1 4．某几何体的三视图（单位：m ）如图所示，则其表面积为（ ）A ．2(96m +B ．2(64m +C ．2(144m +D ．2(80m + 5．若圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过3(2,(,2A B -，则（ ）A ．曲线C 可为椭圆，也可为双曲线B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆D ．这样曲线C 不存在 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足150S >，160S <，则3151212315S S S S a a a a 、、…中最大项为（ ） A.66S a B. 77S a C. 88S a D. 99S a 7．函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的x R ∈，都有2()()f x f x '>成立，则（ ）A.3(2ln 2)2(2ln 3)f f >B. 3(2ln 2)2(2ln3)f f <C. 3(2ln 2)2(2ln3)f f =D. 3(2ln 2)2(2ln3)f f 与的大小不确定 8．已知点(,)x y 是不等式组 表示的平面区域内的一个动点，且目标函数2z x y =+的最大值为7，最小值为1，则4cy a c x b-+的取值范围是（ ） A.2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 18,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 110,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 214,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围ax by c ++≤4x y +≤1x ≥抚州一中 赣州一中 吉安一中 九江一中 萍乡中学 新余一中 宜春中学 上饶县中八校联考数学（理）试卷 第3页 共6页 八校联考数学（理）试卷 第4页 共6页是（ ）A.[]0,2B. ⎡-⎣C. ⎡⎣D. []1,2-10．一高为H 、满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数的大致图像可能是（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省九校2013届高三第一次联考数学试卷（理科） 主命题： 乐平中学 许敏 副命题：余江一中 宋卫华 时长：120分钟 总分：150分注意事项：答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。

答案填写在答题．．卷．上对应题目的答案空格内，答案写在试卷上无效。

考试结束后，交回答题卷。

一、选择题（每小题5分，合计50分.每小题只有唯一正确选项,请填写在答题纸中相应的位置） 1.已知集合}55|{},53|{>-<=≤<-=x x x N x x M 或，M N 等于（ ） A }55|{<<-x x B }35|{->-<x x x 或 C }53|{≤<-x x D }53|{>-<x x x 或 2.已知向量a =（1，2），b a ∙=5，52||=-b a ，则||b 等于（ ） A 、5 B 、52 C 、5D 、253．定义运算bc ad dc b a -=,,，则符合条件01121=+-+ii i z ，，的复数z 的共轭复数．．．．z -对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．若,,R y x ∈则“()324log2=-+y x xy ”是“0258622=++-+y x y x ”成立的条件（ ）A ．充分不必要B ．充要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要5．设函数()2sin+4f x x πωω=（）(>0)与函数()cos(2)(||)2g x x πφφ=+≤的对称轴完全相同，则φ的值为（ ）A ．4π-B ．4πC ．2πD ．2π-6．某市端午期间安排甲．乙等5支队伍参加端午赛龙舟比赛，若在安排比赛赛道时不将甲安排在第一及第二赛道上，且甲和乙不相邻，则不同的安排方有（ ） A ．56种 B ．48种 C ．42种 D ．36种7.定义在R 上的函数g=f （x ）满足f （4－x ）=f （x ），（x －2）f ′（x ）＜0，若x 1＜x 2，且x 1＋x 2＞4，则（ ） A 、f(x 1)＜f(x 2) B 、f(x 1)＞f(x 2) C 、f(x 1)=f(x 2) D 、f(x 1)与f(x 2)的大小不确定8，执行如图所示的程序框图，输出的y 值最接近的是（ ） Ａ，234Ｂ．34 Ｃ．3 Ｄ．239．某正多面体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．4310. 设函数f （x ）＝x e (sin x cosx )-（0≤ x ≤2013π），则函数f （x ）的各极大值之和为（ ）A.()πππe e e --112013 B.()πππ2100711e e e --C. ()πππeee --111007 D.()πππ2201411ee e --二、填空题 (每小题5分,合计25分,请将答案填到答题纸上。

绝密 ★ 启用前 考试时间：2013年1月24日15:00—17:00云南省部分名校高2013届第一次统一考试 （楚雄一中、玉溪一中、昆明三中）理 科 数 学命题：玉溪一中高2013届数学备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．），（11B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 【答案】D【KS5U 解析】21111ii i i +=+=-，对应的坐标为(1,1)-，选D. 2.已知幂函数)(x f 的图像经过点（9，3），则)1()2(f f -=（ ） A.3 B.21- C.12- D.1 【答案】C【KS5U 解析】设幂函数为()f x x α=，由(9)93f α==，即233α=，所以1212αα==，，所以12()f x x ==(2)(1)1f f -=，选C.3．已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴 【答案】B【KS5U 解析】当4k <时，940k k ->->，所以14922=-+-k y k x 为椭圆方程。

所以229,4a k b k =-=-。

又9(4)945k k ---=-=，所以两曲线有相同的c ，即有相同的焦点，选B.4.若21()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 （ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．36 【答案】B【KS5U 解析】因为所有二项式系数和为2512n=，所以9n =。

所以二项展开式的通项为291831991()()(1)kk k k k k k T C x C x x--+=-=-，由1830k -=得6k =，所以常数项为6679(1)=84T C =-，选B.5．函数)(cos sin 42sin )(3R x x x x x f ∈-=的最小正周期为 （ ） A.8π B.4π C.2πD.π 【答案】C【KS5U 解析】33()sin 24sin cos 2sin cos 4sin cos f x x x x x x x x =-=-212sin cos (12sin )sin 2cos 2sin 42x x x x x x =-==，所以函数的周期2242T πππω===，选C.6．设b a ,是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则”“b l a l ⊥⊥,是”“α⊥l 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【KS5U 解析】当,a b 不相交时，则”“α⊥l 不一定成立。

2012---2013学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中 三 年 数学（理科） 科试卷命题学校： 连江一中考试日期：11月13日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知全集是R ，集合{}41≤≤-=x x A ，{}53≤≤=x x B ，则()R A B ðI 等于（ ） A ．]5,1[- B ．]4,3[ C ．)3,1[- D. ]5,4(2.已知向量(1,1),(1,0)a b ==-r r ，若向量ka b +r r 与向量(2,1)c =r共线，则k =（ ）A ． 1-B ．1C ． 2- D. 23.已知sin()(0,)2ππαα-=∈，则tan 2α=（ ） A ．43- B ．43 C ．45- D. 454.函数41()log f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1]B ． (1,2]C ．(2,3] D. (3,4]5. 若幂函数)(x f 的图像经过点A )21,41(，则它在点A 处的切线方程为（ ）A ．02=-y xB ．02=+y xC ．0144=+-y x D. 0144=++y x6.给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b≤-”；③ “2,11x R x ∀∈+≥”的否定是“2,11x R x ∃∈+≤”； ④要得到函数sin(2)6y x π=-的图像，只需将函数sin 2y x =的图像向右平移6π个单位。

其中不正确．．．的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3 D. 47. 已知二次函数2()f x ax bx =+，则“(2)0f ≥”是“函数()f x 在()1,+∞单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 定义在R 上的函数()f x 满足2log (4),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则(3)f 的值为（ ）A ．1B ． 1-C ． 2 D. 2-9． 函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（ ）10．如图，非零向量 OM a =uuu r r ，ON b =u u u r r ，且N P O M ⊥，P 为垂足，若向量OP a λ=uu u r r，则λ的值为（ ）A ．a b a b ⋅⋅r r r rB ． a b a b ⋅-⋅r r r rC ． 2a b a ⋅r r r D. 2a b b⋅r r r11.已知函数()sin()f x x ωφ=+（其中0,2πωφ><），若将函数()f x 的图像向左平移12π个单位后所得图像关于y 轴对称，若将函数()f x 的图像向右平移6π个单位后所得图像关于原点对称，则ω的取值不可能．．．是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D. 1012. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2)f x f x +=-成立，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。

河北省重点中学2013届高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．1．（5分）（2012•河北模拟）已知复数z=1+i，则=（）A．B．C．i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题设条件将复数z=1+i代入进行运算化简出复数式的值，再选出正确选项解答：解：∵z=1+i∴====故选A点评：本题考查得数代数形式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握复数的代数形式的乘除运算的规则，通过运算化简得出答案，本题考查复数的运算能力2．（5分）（2012•河北模拟）设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（）A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：选项A的逆命题是c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的性质定理可判定，选项B的逆命题是b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理可知正确，对于C的逆命题根据平面垂直的性质定理可知不正确，选项D的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c，根三垂线的逆定理可知正确．解答：解：选项A的逆命题是c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的性质定理，可知成立选项B的逆命题是b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理，可知成立C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α．不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直于交线的才垂直另一个平面．选项D的逆命题是b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥a，则b⊥c，根三垂线的逆定理可知正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，属于基础题．3．（5分）（2012•河北模拟）设全集U=R，A={x|＜2}，B={x|}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|x≥1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x≤1}考点：对数函数的单调性与特殊点；Venn图表达集合的关系及运算；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先分别化简集合A，B，利用图中阴影部分表示的集合为A∩C U B，可得结论．解答：解：由题意，∵＜2，∴（x﹣1）2＜1，∴0＜x＜2，∴A=（0，2）∵∴x2+x+1＜x2+2，∴x＜1∴C U B=[1，+∞）图中阴影部分表示的集合为A∩C U B=[1，2）故选A．点评：本题考查解不等式，考查集合的运算，正确化简集合是关键．4．（5分）（2011•浙江）若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．点：专题：综合题．分析：根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，然后结合充要条件的定义即可得到答案．解答：解：若“0＜ab＜1”当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1”⇒“”为假命题若“”当a＜0时，ab＞1即“”⇒“0＜ab＜1”为假命题综上“0＜ab＜1”是“”的既不充分也不必要条件故选D点评：本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0＜ab＜1”⇒“”与“”⇒“0＜ab＜1”的真假，是解答本题的关键．5．（5分）（2012•河北模拟）已知，则tan（α+β）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：由2α的范围和sin2α的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cos2α的值，进而求出tan2α的值，然后把所求式子中的角α+β变为2α﹣（α﹣β）后，利用两角和与差的正切函数公式化简，把各自的值代入即可求出值．解答：解：由sin2α=，2α∈（，π），得到cos2α=﹣=﹣，所以tan2α==﹣，则tan（α+β）=tan[2α﹣（α﹣β）]===﹣2．故选A点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时注意角度的变换．6．（5分）（2012•河北模拟）如图是一个程序框图，该程序框图输出的结果是，则判断框内应该填入的是（）A．i≥3？B．i＞3？C．i≥5？D．i＞5？考点：循环结构．专题：图表型．分析：因为该框图是不满足条件执行循环体，所以假设条件不满足，依次执行，当执行到n 的值为时，看此时i的值，从而确定判断框中的条件．解答：解：因为i=1，m=0，n=0；i=2，m=1，n=；i=3，m=2，n=；i=4，m=3，n=；i=5，m=4，n=．输出的结果是，所以此时判断框中的条件是i≥5？．故选C．点评：本题考查了循环结构，虽然是先判断后执行，但是在不满足条件下能执行循环，直到条件满足结束循环，实则是直到型循环结构．7．（5分）（2010•江西）展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0C．1D．2考点：二项式定理．专题：计算题．分析：采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C8820（﹣1）8=1即为所求解答：解：中，令x=1得展开式的各项系数和为1的展开式的通项为=令得含x4项的系数为C8820（﹣1）8=1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故选项为B点评：考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．8．（5分）（2013•三门峡模拟）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：压轴题．分析：由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．解答：解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，∴离心率，故选B．点评：挖掘题设条件，合理运用双曲线的性质能够准确求解．9．（5分）（2012•河北模拟）已知向量的夹角为，且，，在△ABC 中，，D为BC边的中点，则=（）A．1B．2C．3D．4考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；向量的加法及其几何意义．分析：利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用三角形的平行四边形法则表示出；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．解答：解：=====故选A点评：本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则：平行四边形法则、向量模的平方等于向量的平方．10．（5分）（2012•河北模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A ．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；简单复合函数的导数．专题：计算题；数形结合．分析：根据题意，先求出f（x）的导函数，再根据导函数的图象找出导函数的周期，利用周期公式求出ω的值，进而根据导函数的最大值为2，求出A的值，把求出的ω与A 的值代入导函数中，再从导函数图象上找出一个已知点的坐标代入即可求出ψ的值，将A，ω及φ的值代入即可确定出f（x）的解析式，即可得答案．解答：解：根据题意，对函数f（x）=Asin（ωx+φ）求导，可得f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由导函数的图象可知：导函数的周期为2[﹣（﹣）]=4π，则有T==4π，解得ω=，由导函数图象可得导函数的最大值为2，则有Aω=2，即A=4，∴导函数f′（x）=2cos（x+φ），把（﹣，2）代入得：4cos（﹣+φ）=2，且|φ|＜，解得φ=，则f（x）=4sin（x+）．故选B．点评：此题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，涉及复合函数的导数的运算；借助导函数图象中的周期、最值，来确定A，ω及ψ的值是解本题的关键．11．（5分）（2012•河北模拟）甲，乙，丙，丁，戊5人站成一排，要求甲，乙均不与丙相邻，不同的排法种数有（）A．72种B．54种C．36种D．24种考点：排列及排列数公式．专题：计算题．分析：本题限制条件比较多，可以分类解决，乙如果与两人相邻则，一定是丁和戊，而丁和戊可交换位置共有两种，则乙和丁戊共同构成3人一团，乙如果在首末两位，则有两种选择与乙相邻的只有丁和戊，根据分类和分步原理得到结果．解答：解：乙如果与两人相邻则，一定是丁和戊，而丁和戊可交换位置共有两种，则乙和丁戊共同构成3人一团，从五个位置中选3个相邻的位置共有3种方法，而甲乙可互换又有两种，则有2×3×2=12，乙如果在首末两位，则有两种选择与乙相邻的只有丁和戊，其余的三个位置随便排A33种结果根据分步计数原理知共有2×2×1×2×3=24根据分类计数原理知有12+24=36，故选C．点评：站队问题是排列组合中的典型问题，解题时，要先排限制条件多的元素，本题解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．12．（5分）（2012•河北模拟）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于（）A．1B．2C．1或2 D．4或2考点：利用导数研究函数的极值；抽象函数及其应用．专题：计算题；压轴题．分析：由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．解答：解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则f（x）=f（2x）=[1﹣（2x﹣3）2]此时当x=时，函数取极大值当2≤x≤4时，f（x）=1﹣（x﹣3）2此时当x=3时，函数取极大值1当4＜x≤8时，2＜x≤4则f（x）=cf（x）=c（1﹣（x﹣3）2，此时当x=6时，函数取极大值c∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点（，），（3，1），（6，c）共线，∴解得c=1或2．故选C点评：本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．二、填空题（20分）13．（5分）（2012•河北模拟）已知数列{a n}为等比数列，且a3•a7=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=a5，则S9= 18 ．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题．分析：首项根据等比数列的性质若m+n=k+l则a m a n=a k a l，计算出b5=a5=2，再根据等差数列的性质若m+n=k+l则b m+b n=b k+b l，得出S9=9b5，进而得到答案．解答：解：在数列{a n}为等比数列中，若m+n=k+l则a m a n=a k a l．已知数列{a n}为等比数列，且a3•a7=2a5，所以a5=2．所以b5=a5=2．在数列{b n}为等差数列中，若m+n=k+l则b m+b n=b k+b l．所以S9=（b1+b9）=9b5=18．故答案为18．点评：解决此类问题的关键是首项等差数列的性质以及等比数列的性质，再结合着正确的运算即可，此类题目在高考中常以选择题或填空题的形式出现．14．（5分）（2012•河北模拟）设z=x+y其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为﹣3 ．考点：简单线性规划．分析：先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线z=x+y过A点时取最大值，从而求出k 值，再当直线z=x+y过B点时取最小值，求出z最小值即可．解答：解：作出可行域如图：直线x+y=6过点A（k，k）时，z=x+y取最大，∴k=3，z=x+y过点B处取得最小值，B点在直线x+2y=0上，∴B（﹣6，3），∴z的最小值为=﹣6+3=﹣3．故填：﹣3．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15．（5分）（2012•河北模拟）已知抛物线C1：y2=2px和圆，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为．考点：圆与圆锥曲线的综合；平面向量数量积的运算．专题：常规题型．分析：法一：利用特殊位置法解决，当直线l垂直x轴时就可得结果．法二：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，由此能够求出•的值．解答：解：法一：当直线l垂直于x轴时，|AB|=|CD|=p﹣=，=法二：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故答案为：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．16．（5分）（2012•河北模拟）一个几何体的三视图如图所示．刚该几何体的体积为32 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知．该几何体是一个棱长为4的正方体被一个平面截去一部分后余下的一部分，作出图象．据图可计算出体积．解答：解：由三视图可知．该几何体是一个棱长为4的正方体被一个平面截去一部分后余下的一部分，如图．连接AC、NC，则该几何体的体积是四棱锥C﹣ABEN的体积的2倍，∴V该几何体=．故答案为32．点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．三、解答题：17．（10分）（2012•河北模拟）已知在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，a2b2cosC=a2+b2﹣c2，S△ABC=．（I）求证：△ABC为等腰三角形．（II）求角A的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）在△ABC中，由利用正弦定理可得sin（B﹣A）=0，可得 B﹣A=0，故△ABC为等腰三角形．（II）由余弦定理求出 cosC，代入a2b2cosC=a2+b2﹣c2可得 ab=2 或 a2+b2﹣c2=0．ab=2时，由S△ABC=求出A的值，可得C的值．当a2+b2﹣c2 =0，△ABC为等腰直角三角形，从而求得A的值，综合可得结论．解答：解：（I）证明：在△ABC中，∵，由正弦定理可得，∴sinBcosA=cosBsinA，∴sin（B﹣A）=0．再由﹣π＜A﹣B＜π 可得 B﹣A=0，∴△ABC为等腰三角形．（II）∵a2b2cosC=a2+b2﹣c2，且 cosC=，∴ab•=a2+b2﹣c2，即（ab﹣2）（ a2+b2﹣c2）=0．∴ab=2 或 a2+b2﹣c2 =0．当 ab=2时，由S△ABC==求得sinC=，∴C=，或，故 A=或．当a2+b2﹣c2 =0，△ABC为等腰直角三角形，A=．综上可得，A=，或A=，或A=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．18．（12分）（2012•河北模拟）已知数列{a n}的前n项和Sn=2﹣a n，数列{b n}满足b1=1，b3+b7=18．且b n+1+b n﹣1=2b n（n≥2）．（I）数列{a n}和{b n}的通项公式．（II）若b n=a n•c n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）根据由Sn求a n的方法可求{a n}的通项公式，由题意可得{b n}为等差数列，由条件求其公差d，可得结果；（II）由（I）结合题意可得，=（2n﹣1）•2n﹣1．，下面可由错位相减法求和，得到T n．解答：解由题意可得S n=2﹣a n，①当n≥2时，S n﹣1=2﹣a n﹣1，②①﹣②得，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣1﹣a n，即又a1=S1=2﹣a1，可得a1=1，易知a n﹣1≠0，故数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，所以由b n+1+b n﹣1=2b n可知数列{b n}为等差数列，设其公差为d，则，所以d==2，故b n=b1+（n﹣1）d=2n﹣1（II）由（I ）结合题意可得，=（2n﹣1）•2n﹣1．则+…+（2n﹣1）×2n﹣1③两边同乘以2得，+…+（2n﹣1）×2n④③﹣④得，﹣T n=1+2（21+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n整理得，﹣T n =1+=﹣（2n﹣3）•2n﹣3故点评：本题为数列的通项公式和求和的问题，涉及等比数列的判定和错位相减法求和，属中档题．19．（12分）（2012•河北模拟）如图，四棱住ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA1=2．（I）求三棱柱C﹣A1B1C1的体积V；（II）求直线BD1与平面ADB1所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间向量及应用．分析：（Ⅰ）由A1D⊥平面ABCD，可得A1D为两个底面的距离即三棱锥C﹣A1B1C1的高，再利用三棱锥C﹣A1B1C1的体积V=计算公式即可得出；（Ⅱ）通过建立如图所示的空间直角坐标系，先求出平面ADB1的法向量，利用BD1的方向向量与其法向量的夹角即可得出线面角．解答：解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABCD，∴A1D⊥AD，A1D即为两个底面的距离．在Rt△A1DA 中，，AA1=2，AD=1，由勾股定理得．又=．∴三棱锥C﹣A1B1C1的体积V==；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），A1（0，0，），B1（0，1，），D1（﹣1，0，），C1（﹣1，1，）．∴，，．设平面ADB1的法向量为，则，即，令z=1，则y=，x=0，∴．设直线BD1与平面ADB1所成角为θ，则===．点熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法求空间角、空间距离、线面垂直的判定与性评：质、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．20．（12分）（2012•河北模拟）第11届全国人大五次会议于2012年3月5日至3月14日在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．（I）根据以上数据完成以下2×2列联表：会俄语不会俄语总计男女总计30并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？参考公式：K2=其中n=a+b+c+d参考数据：P（K2≥k0）0.40 0.25 0.10 0.010k00.708 1.323 2.706 6.635（II）若从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，则小组中既有男又有女的概率是多少？（III）若从14名女记者中随机抽取2人担任翻译工作，记会俄语的人数为ξ，求ξ的期望．考点：独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）先根据以上数据完成以下2X2列联表，再假设是否会俄语与性别无关，然后由已知数据可求得k2进行判断．（Ⅱ）从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，有种选法，小组中既有男又有女的选法有种选法，由此能求出小组中既有男又有女的概率．（Ⅲ）会俄语的人数ξ的取值分别为0，1，2．分别求出其概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．解答：（本题满分12分）解：（Ⅰ）如下表：会俄语不会俄语总计男10 6 16 女 6 8 14 总计16 14 30 …（2分）假设：是否会俄语与性别无关．由已知数据可求得所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关；…（5分）（Ⅱ）从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组，有种选法，小组中既有男又有女的选法有种选法，∴小组中既有男又有女的概率；…（8分）（Ⅲ）会俄语的人数ξ的取值分别为0，1，2．其概率分别为，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，…（10分）所以ξ的分布列为：ξ0 1 2P．…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，是历年高考的必考题型之一．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．21．（12分）（2012•河北模拟）如图，已知椭圆，梯形ABCD（AB∥CD∥y轴，|AB|＞|CD|）内接于椭圆C．（I）设F是椭圆的右焦点，E为OF（O为坐标原点）的中点，若直线AB，CD分别经过点E，F，且梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，求椭圆C的离心率；（II）设H为梯形ABCD对角线的交点，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正实数λ使得恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，可得|AE|=|ED|，由此建立方程，求得几何量之间的关系，从而可求椭圆C的离心率；（II）先确定H在x轴上，再利用韦达定理表示出m﹣n，进而利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：（I）设F（c，0），则E（，0），D（c，），A（）由题意，梯形ABCD外接圆的圆心在直线AB上，则|AE|=|ED|，所以化简得2a2=3c2，所以椭圆的离心率；（II）根据对称性知识，可得H在x轴上，设H（x0，0），则|x0|=d设直线BD的方程为x=ty+x0，代入椭圆方程，消去x得（a2+b2t2）y2+y+=0设B（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=﹣由题意，m=|y1|，n=|y2|，且y1，y2异号∵m＞n＞0∴m﹣n=|y1+y2|=|﹣|=∴=≤∴存在正实数λ使得恒成立，且λ的最小值为1．点评：本题考查椭圆的离心率，考查存在性问题，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2012•河北模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（I）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（II）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．考利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．点：专题：导数的概念及应用．分析：（I）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（II）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．解答：解：（I）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增，∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（）=﹣，②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，∴f（x）min=；（II）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵G′（x）=﹣+2，，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意，两式相减可得ln=2（x2﹣x1）=2ln2∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，此时a=ln2﹣ln（）﹣1，所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（）﹣1；点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查的知识点比较多，考查数形结合的数学思想，综合性强．。

湖南十二校 2013届高三第一次联考数学（理）试题由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中 石门一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中联合命题炎德文化审校、制作总分：150分 时量：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置． 1．已知i 是虚数单位，且()(1)x i i y --=，则实数,x y 分别为 A ．x=一1，y=l B ．x=－1，y=2 C ．x=1，y=lD ．x=1，y=22．已知条件p ：x≤1，条件q ：1x<1，则p ⌝是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103h=A 3B 3C ．3D ．34．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量(n n c a =·*1),(,1)n n a b n n n N -=+∈下列命题中真命题是A ．若对任意的*n N ∈，都有c n ∥b n 成立，则数列{}n a 是筹差数列 B ．若对任意的*n N ∈，都有c n ∥b n 成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若对任意的*n N ∈，都有c n ⊥b n 成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，都有c n ⊥b n 成立，则数列{}n a 是等比数列 5．若下边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．n≤5 B ．n≤6 C ．n≤7 D ．n≤86．若在直线l 上存在不同的三点A 、B 、C ，使得关于x 的方程20x OA xOB OC ++=有解（点O 不在直线l 上），则此方程的解集为 A ．φB ．{一1，0}C ．{－1}D ． 1515-+--⎪⎪⎩⎭7．已知()tansin 42f x a b x π=-+（其中以a 、b 为常数且0ab ≠），如果(3)5f =则，(20123)f π-的值为A ．－3B ．－5C ．3D ．58．已知函数(),f x x R ∈是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当∈ [0，2]时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[－10,10]上的解的个数是 A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．12()sin()4p R πθ=∈+的距离为 。

广东省中山一中等六校2013届高三8月第一次联考数学理试题参考学校：仲元中学 中山一中 南海中学 潮阳一中 宝安中学 普宁二中本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．第一部分 （选择题 满分40分）一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22（ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -12．设U=R ，集合2{|2,},{|40}x A y y x R B x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)AB =+∞B ．(](),0UC A B =-∞C ．(){2,1,0}U C A B =--D ．(){1,2}U C A B =3．如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则a =（ ）A ． 2B ．－2C ．2,－2D ．2,0,－24. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：①()sin cos f x x x =； ②()2sin()4f x x π=+；③()sin f x x x =；④()21f x x +．其中“同簇函数”的是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④ 5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为 （ ） A ．16 B ．163C ．64+163D ． 16+3346．已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’则y x z -=2的取值范围是 （ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]正视图俯视图侧视图A 1C 7．若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则MA MB ⋅=( ) A.98 B.913 C ．98- D ．913- 8．定义：关于x 的不等式||x A B -<的解集叫A 的B 邻域．已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-，其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）A ． 13822=+y x B ． 14922=+y x C ．18922=+y x D ．191622=+y x第二部分 （非选择题 满分110分）二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9~13题）9．已知数列{}n a 的首项11=a ，若N n *∀∈，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．10．执行程序框图，如果输入4=a ，那么输出=n ．11．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种(用数字作答) ． 12．如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -内 （含正方体表面）任取一点M ，则11≥⋅AM AA 的概率=p ．13.设函数()y f x =在（-∞，+∞）内有意义．对于给定的正数k ，已知函数(),()(),()k f x f x k f x k f x k ≤⎧=⎨>⎩，取函数()f x =xe x ---3．若对任意的x ∈（-∞，+∞），恒有()kf x =()f x ，则k 的最小值为 ．（二）选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点π224⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分) 设(6cos ,3)a x =-, (cos ,sin 2)b x x =,()f x a b =⋅（1）求()f x 的最小正周期、最大值及()f x 取最大值时x 的集合； （2）若锐角α满足()323f α=-4tan 5α的值．17．(本小题满分12分) 某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查． （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．18．(本小题满分14分) 如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E ．中学 A B C D 人数 30 40 20 10 第15题图OEDCBAF 、G 分别是CE 、AD 的中点．现将ADE ∆沿AE 折起，使二面角C AE D --的平面角为0135．（1）求证：平面⊥DCE 平面ABCE ； （2）求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值．19．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点O ，离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OA OP +与FA 共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．20．(本小题满分14分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，对任意的n N +∈，都有(1)n n S m ma =+-（m 为正常数）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）数列{}n b 满足11112,,(2,)1n n n b b a b n n N b -+-==≥∈+，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21. (本小题满分14分)设函数21()ln .2f x x ax bx =-- (Ⅰ)当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值；(Ⅱ)令21()()2aF x f x ax bx x=+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．参考答案一、选择题 D C C C D D C B 二、填空题 9．⎩⎨⎧-=是正偶数是正奇数，2 , 1n n a n ，或23)1(211±-+-=n n a ； 10．4； 11． 30； 12．43； 13． 2； 14. cos 2ρθ= 15. 30º16．解：（1）解：2()6cos 2f x a b x x =⋅= …………………1分1cos 2622x x +=⨯- 3cos23x x =+ 1sin 2322x x ⎫=-+⎪⎪⎭…3分236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……4分 最小正周期22T π==π ……5分当22,6Z x k k ππ+=∈，即,12Z x k k ππ=-∈时，()f x 有最大值3，此时，所求x 的集合为{|,}12Z x x k k ππ=-∈．………7分（2）由()3f α=-得 2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，故cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ …9分又由02απ<<得 2666απππ<+<π+， 故26απ+=π，解得512α=π．……11分从而4tan tan53απ==． ………………12分 17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分∴3502()12257P M ==． 答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分 （3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．…… 11分∴ξ的分布列为： … 12分18．（1）证明：DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，,DECE E DE CE CDE =⊂，平面，∴ AE ⊥平面CDE ， ……3分AE ⊂平面ABCE ，∴平面⊥DCE 平面ABCE ．……5分（2）（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为,x y 轴，建立空间直角坐标系......6分 DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135， (7)分1=AB ，2=BC ，21+=CD ，∴A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，1-，1）．……9分F 、G 分别是CE 、AD 的中点，∴F 1002（，，），G 11122-（，，） ……10分203∴FG =1112-(，，)，AE =(2,0,0)-，……11分由（1）知AE 是平面DCE 的法向量， ……12分设直线FG 与面DCE 所成角02παα≤≤（），则22sin ||||33||||22FG AE FG AE α⋅-===⋅⨯，故求直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为23． ……14分（列式1分，计算1分） （方法二）作AE GH //，与DE 相交于H ，连接FH ……6分由（1）知AE ⊥平面CDE ，所以⊥GH 平面CDE ，GFH ∠是直线FG 与平面DCE 所成角……7分G 是AD 的中点，GH 是ADE ∆的中位线，1=GH ，22=EH ……8分 因为DE ⊥AE ，CE ⊥AE ，所以DEC ∠是二面角C AE D --的平面角，即DEC ∠=0135 (9)分在EFH ∆中，由余弦定理得，FEH EHEF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 222211152(422224=+-⨯⨯-=（或25=FH ）……11分（列式1分，计算1分） ⊥GH 平面CDE ，所以FH GH ⊥，在GFH Rt ∆中， 2322=+=FH GH GF ……13分所以直线FG 与面DCE 所成角的正弦值为32sin ==∠GF GH GFH ……14分 19．解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， ……1分离心率23=e ，右焦点为)0 , 3( F ，∴2c c a ==∴2a =，21b =…… 3分故椭圆C 的方程为2214x y +=．…… 4分（2）假设椭圆C 上存在点P （00,x y ），使得向量OA OP +与FA 共线，……5分00(,1)OP OAx y +=+，(FA =-，∴001)x y =+ （1） ……6分又点P （00,x y ）在椭圆2214x y +=上，∴220014x y += （2） ……8分由（1）、（2）组成方程组解得：(0,1)P -，或1()7P ， ……11分 当点P 的坐标为(0,1)-时，直线AP 的方程为0y =， 当点P的坐标为1()7P 时，直线AP440y -+=， 故直线AP 的方程为0y =440y -+=． ……14分20．解：（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．…………………1分当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=．…………………2分又m 为常数，且0m >，∴1(2)1n n a mn a m-=≥+．………………………3分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为1mm+的等比数列．……………………4分 （2）解：1122b a ==…5分 ∵111n n n b b b --=+，∴1111n n b b -=+，即1111(2)n n n b b --=≥． (7)分 ∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………8分 ∴1121(1)122n n n b -=+-⋅=，即2()21n b n N n *=∈-． (9)分（3）解：由（2）知221n b n =-，则122(21)n n nn b +=-．所以2341123122222n n n n nT b b b b b +-=+++++， ...10分 即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ① ......11分 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ② (12)分②－①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------，……………………13分故31112(12)2(21)22(23)612n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………14分21.解：（1）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞， 当12a b ==时，211()ln 42f x x x x =--，111(2)(1)()222x x f x x x x-+-'=--=………………2分 令，解得 1.(0)x x =>因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =，当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减。

湖北省 鄂南高中 荆州中学 华师一附中 孝感高中 黄冈中学襄阳四中 黄石二中 襄阳五中八校2013届高三第一次联考数学试题（文）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合一目要求的.1、复数1iz i=-的实部为（ ）A 、12B 、2iC 、－12D 、－2i2、集合A={}1610-2-+=x x y x ，集合B ={}A x x y y ∈=,log 2，则=⋂BC A R ( )A .[]32，B .(]21，C .[]83， D.(]83，3、若命题p:[]012,3,3-0200≤++∈∃x x x ，则对命题p 的否定是（ ）A []012,3,3-0200>++∈∀x x xB ()()2000-,-33,,210x U x x ∀∈∞+∞++>C . ()()2000-,-33,,210x U x x ∃∈∞+∞++≤ D. []012,3,3-0200<++∈∃x x x4、某实心机器零件的三视图如图所示，该机器零件的体积为（ ）A .π236+B .π436+C .π836+D .π1036+5、函数的图象如上图所示，为了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则只要将f （x0）的图象（ ）A 、向右平移6π个单位长度 B 、向右平移12π个单位长度C 、向左平移6π个单位长度 D 、向左平移12π个单位长度6、已知两个正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为A 、1B 、2C 、4D 、7、等比数列{}n a 各项为正，453-,,a a a 成等差数列.n S 为{}n a 的前n 项和，则36S S =（ ） A .2 B .87 C .89 D .458、任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，则点P （a ，b ）落在区域｜x ｜＋｜y ｜≤3中的概率为 A 、2536B 、16C 、14D 、1129、如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD ，若双曲线以A ，B 为焦点且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为A 1B 1C D10、已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则实数2t ≤-是关于x 的方程2()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（一）必做题（11-14题）11、已知抛物线22y ax =的准线为x ＝－14，则其焦点坐标为＿＿＿12、三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =b ＝1，∠A ＝3π，则∠B＝＿＿＿13、已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为＿＿14、超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过70km/h,否则视为违规。