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第四章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，则实数k 的取值范围是( )A ．k >2B ．－3<k <2C ．k <－3或k >2D ．以上都不对2．点A (3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是( )A ．(－3,4，－10)B ．(－3,2，－4)C ．⎝⎛⎭⎫32，－12，12 D ．(6，－5,11) 3．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( )A ．4B ．2C ．85D ．1254．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝05．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )6．若圆C 1：(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则实数a ，b 应满足的关系式是( )A ．a 2－2a －2b －3＝0B ．a 2＋2a ＋2b ＋5＝0C ．a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝0D ．3a 2＋2b 2＋2a ＋2b ＋1＝07．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x8．设直线2x －y －3＝0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x ＋1)2＋y 2＝25的直径分为两段，则这两段之比为( )A ．73或37B ．74或47C ．75或57D ．76或679．若x 、y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．5－5B ．5－5C ．30－10 5D ．无法确定10．过圆x 2＋y 2－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m 、n 满足的关系式是( )A ．(m －2)2＋n 2＝4B ．(m ＋2)2＋n 2＝4C ．(m －2)2＋n 2＝8D ．(m ＋2)2＋n 2＝811．若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x －y －2＝0D ．x －y ＋2＝012．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且只有一个公共点，则b 的取值范围是( )A ．|b |＝2B ．－1<b <1或b ＝－2C ．－1<b ≤1D ．－1<b ≤1或b ＝－2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．点M (1,2，－3)关于原点的对称点是________．14．两圆x 2＋y 2＋4y ＝0，x 2＋y 2＋2(a －1)x ＋2y ＋a 2＝0在交点处的切线互相垂直，那么实数a 的值为________．15．已知P (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，则过点P 的最短弦所在直线方程是________，过点P 的最长弦所在直线方程是________．16．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．18．(12分)在三棱柱ABO －A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2．若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．19．(12分)已知A (3,5)，B (－1,3)，C (－3,1)为△ABC 的三个顶点，O 、M 、N 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，求△OMN 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径．20．(12分)已知动直线l ：(m ＋3)x －(m ＋2)y ＋m ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝9．(1)求证：无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交．(2)m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小？请求出该最小值．21．(12分)矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．(1)求AD 边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD 外接圆的方程．22．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0．(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标．第四章 圆与方程(B) 答案1．C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k ＋2×2＋k 2－15>0，解得k <－3或k >2．]2．A [设点A 关于点(0,1，－3)的对称点为A ′(x ，y ，z )，则(0,1，－3)为线段AA ′的中点，即x ＋32＝0，y －22＝1，4＋z 2＝－3， ∴x ＝－3，y ＝4，z ＝－10．∴A ′(－3,4，－10)．]3．A [根据题意，知点P 在圆上，∴切线l 的斜率k ＝－1k OP ＝－11－42＋2＝43． ∴直线l 的方程为y －4＝43(x ＋2)． 即4x －3y ＋20＝0．又直线m 与l 平行，∴直线m 的方程为4x －3y ＝0．故直线l 与m 间的距离为d ＝|0－20|42＋32＝4．] 4．A [设两切线切点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则两切线方程为x 1x ＋y 1y ＝4，x 2x ＋y 2y ＝4．又M (4，－1)在两切线上，∴4x 1－y 1＝4,4x 2－y 2＝4．∴两切点的坐标满足方程4x －y ＝4．]5．B [由直线的斜率a 与在y 轴上的截距b 的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，所以只有B 符合．]6．B [圆C 1与C 2方程相减得两圆公共弦方程，当圆C 2的圆心在公共弦上时，圆C 1始终平分圆C 2的周长，所以选B ．]7．B [由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝2，故选B ．]8．A [由题意知P (0，－3)．P 到圆心(－1,0)的距离为2，∴P 分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．选A ．]9．C [配方得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝5，所以x 2＋y 2的最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故可求x 2＋y 2的最小值为30－105．]10．C [由勾股定理，得(m －2)2＋n 2＝8．]11．D [l 为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k l ＝1， ∴y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0．]12．D [如图，由数形结合知，选D ．]13．(－1，－2,3)14．－2解析 两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a ＝－2．15．x ＋y －3＝0，x －y －3＝0解析 点P 为弦的中点，即圆心和点P 的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直径时最长．16．(x ＋2)2＋y 2＝2解析 设圆心坐标为(a,0)(a <0)，则由圆心到直线的距离为2知|a |2＝2，故a ＝－2，因此圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2．17．解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－12，－1，又|AB |＝(－2－1)2＋(－1＋1)2＝3． 所求圆的标准方程是⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94． 18．解如图所示，以三棱原点，以OA 、OB 、OO ′所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)、B (0,2,0)、O (0,0,0)，A ′(2,0,2)、B ′(0,2,2)、O ′(0,0,2)． 由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)，设E 点坐标为(0,2，z )，∴|EC |＝(0－1)2＋(2－0)2＋(z －1)2＝(z －1)2＋5．故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5．此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点．19．解 ∵点O 、M 、N 分别为AB 、BC 、CA 的中点且A (3,5)，B (－1,3)，C (－3,1)， ∴O (1,4)，M (－2,2)，N (0,3)．∵所求圆经过点O 、M 、N ，∴设△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，把点O 、M 、N 的坐标分别代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋42＋D ＋4E ＋F ＝0(－2)2＋22－2D ＋2E ＋F ＝002＋32＋3E ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝7E ＝－15F ＝35．∴△OMN 外接圆的方程为x 2＋y 2＋7x －15y ＋36＝0，圆心为⎝⎛⎭⎫－72，152，半径r ＝12130． 20．(1)证明 直线l 变形为m (x －y ＋1)＋(3x －2y )＝0．令⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.如图所示，故动直线l 恒过定点A (2,3)．而|AC |＝(2－3)2＋(3－4)2＝2<3(半径)．∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交．(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC 垂直直线l 时，弦长最小，此时k l ·k AC ＝－1，即m ＋3m ＋2·4－33－2＝－1，∴m ＝－52． 最小值为232－(2)2＝27．故m 为－52时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小，最小值为27． 21．解 (1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3．又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－2，∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．22．解 (1)将圆C 整理得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2．①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y ＝kx ， ∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2±6． ∴y ＝(2±6)x ；②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x ＋y －a ＝0， ∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1． ∴x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．(2)∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35， ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．。
单元测评(四) 圆与方程(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．点A (2a ，a －1)在以点C (0,1)为圆心，半径为5的圆上，则a 的值为( )A ．±1B ．0或1C ．－1或15D ．－15或1解析：由题意，已知圆的方程为x 2＋(y －1)2＝5，将点A 的坐标代入圆的方程可得a ＝1或a ＝－15.答案：D2．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相交或相切D ．不能确定解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x 2＋y 2＝1上，所以直线与圆相交或相切．答案：C3．点P (x,2,1)到点A (1,1,2)、B (2,1,1)的距离相等，则x 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：由题意，|PA |＝|PB |，即(x －1)2＋(2－1)2＋(1－2)2 ＝(x －2)2＋(2－1)2＋(1－1)2，即x ＝1. 答案：B4．直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )A ．8B ．4C ．2 2D ．4 2解析：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2.圆心(－2,2)在直线x －y ＋4＝0上． ∴被截得的弦长为直径2 2. 答案：C5．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为( )A ．m ＜12 B ．m ＜0 C ．m ＞12D ．m ≤12解析：∵(－1)2＋12－4m ＞0，∴m ＜12，故选A. 答案：A6．直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为D (0,1)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：圆C 的圆心坐标为(－1,2)，弦AB 中点D (0,1)，∴k CD ＝2－1－1－0＝－1，∴k AB ＝－1k CD＝1，∴直线l 的方程为y －1＝x －0，即：x －y ＋1＝0. 答案：A7．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －2)2＝2B ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2解析：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.如图，当已知圆与所求圆圆心连线垂直于已知直线时，半径最小，此时2r ＋32等于已知圆圆心到已知直线的距离，即|6＋6－2|2＝2r ＋32，解得：r ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧b －6a －6＝1，|a ＋b －2|2＝2.解得：a ＝2，b ＝2.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 答案：A8．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋3×4－11|5＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．答案：B9．方程4－x 2＝lg x 的根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无法确定解析：设f (x )＝4－x ，g (x )＝lg x ，则方程根的个数就是f (x )与g (x )两个函数图像交点的个数．如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像．由图可得函数f (x )＝4－x 2与g (x )＝lg x 仅有1个交点，所以方程仅有1个根．答案：B10．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|32＋(－4)2＝a 2＋7－1，解得a ＝±3.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是__________．解析：原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.答案：x 2＋y 2＝2512．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________．解析：由题意知A、B两点在圆上，∴AB的垂直平分线x＝3过圆心，又圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，∴k BC＝－1，∴直线BC的方程为y＝－x＋3，∴圆心坐标为(3,0)，∴r＝2，∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.答案：(x－3)2＋y2＝213．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有1个公共点，则b 的取值范围是__________．解析：曲线x＝1－y2可化为x2＋y2＝1(x≥0)，它表示单位圆的右半部分，在同一坐标系中画出直线与曲线的图像，如图，相切时b ＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.答案：b＝－2或－1＜b≤114．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y ＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为__________．解析：设圆心(a,0)(a ＞0)，∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫|a －1|22＋(2)2＝|a －1|2. ∴a ＝3.∴圆心(3,0)．∴所求直线方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝0三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)求平行于直线3x ＋3y ＋5＝0且被圆x 2＋y 2＝20截得长为62的弦所在的直线方程．解：设弦所在的直线方程为x ＋y ＋c ＝0.① 则圆心(0,0)到此直线的距离为d ＝|c |1＋1＝|c |2.(6分)因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|c |22＋(32)2＝20.(10分)由此解得c ＝±2，代入①得弦的方程为x ＋y ＋2＝0或x ＋y －2＝0.(12分)16．(12分)已知圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时，(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0.(4分) (2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，∴d＝|1－1＋m|12＋(－1)2＝|m|2＝2.(8分)m＝±2 2.(10分)即m＝±22时，直线l与圆相切．(12分)17．(12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B、C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．解：设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.(2分) 又∵∠BAC＝90°.∴|MA|＝12|BC|＝|MB|.(6分)∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x2＋(y－1)2＝7.(10分)∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．(12分)18．(14分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．解：如图所示．以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz.(4分)由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，O(0,0,0)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，O′(0,0,2)．(8分)由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，(10分)设E点坐标为(0,2，z)，根据空间两点间距离公式得|EC|＝(0－1)2＋(2－0)2＋(z－1)2＝(z－1)2＋5，(12分)故当z＝1时，|EC|取得最小值为5，此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．(14分)。
第四章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.圆心为(1,-7),半径为2的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+7)2=4B.(x+1)2+(y-7)2=4C.(x+1)2+(y-7)2=2D.(x-1)2+(y+7)2=2解析:由已知条件得圆的标准方程为(x-1)2+(y+7)2=4.答案:A2.已知空间两点P1(-1,3,5),P2(2,4,-3),则|P1P2|等于( )A解析:|P1P2|答案:A3.直线l:x-y=1与圆C:x2+y2-4x=0的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定解析:圆C的圆心为C(2,0),半径为2,圆心C到直线l的距离d.答案:C4.圆x2+y2=1与圆x2+y2=4的位置关系是( )A.外离B.内含C.相交D.相切解析:圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,则圆心距0<|2-1|=1,所以两圆内含.答案:B5.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x+2y+2=0的最短距离为( )A解析:由已知得圆心坐标为(1,1),半径r为1,圆心到直线的距离d.所以最短距离为d-r答案:C6.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是( )A.点B.直线C.线段D.圆解析:∵圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1,0),∴(1-a)2+(0-b)2=1,即(a-1)2+b2=1.故圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆.答案:D7.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y-1)2=2C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2解析:由题意设圆心坐标为(a,-a),因为圆心到直线x-y-4=0与x-y=0的距离相等,所a=1.所以圆心坐标为(1,-1),半径r故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案:C8.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是( )A.-2B.-4C.-6D.-8解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r圆心到直线x+y+2=0的距离d4,因此由勾股定理可a=-4.故选B.答案:B9.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+2=0的距离A.1个B.2个C.3个D.4个解析:圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=((-1,-2)到直线x+y+2=0的距离4个.答案:D10.若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是( )A.0<kC.0<k解析:圆x2+4x+y2-5=0可变形为(x+2)2+y2=9,如图所示.当x=0时,y=A(0k AM∈(0答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.点P(3,4,5)关于原点的对称点的坐标是.解析:因为点P(3,4,5)与P'(x,y,z)的中点为坐标原点,所以点P'的坐标为(-3,-4,-5).答案:(-3,-4,-5)12.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆C2:(x+5)2+(y+2)2=m2(m>0)外切,则m的值为.解析:由已知得C1(-1,1),半径r1=1;C2(-5,-2),半径r2=m,所以圆心距d=|C1C2|又因为两圆外切,所以d=r1+r2.所以5=1+m,即m=4.答案:413.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是.解析:由题意可知点P在以MN为直径的圆上,且除去M,N两点,所以圆心坐标为(0,0),半径为2.所以轨迹方程是x2+y2=4(x≠±2).答案:x2+y2=4(x≠±2)14.若圆x2+y2=4与圆x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a=.解析:两圆的圆心分别为O1(0,0),O2(a,0),半径分别为r1=2,r2=1.由两圆内切可得|O1O2|=r1-r2,即|a|=1,所以a=±1.答案:±115.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.解析:因为直线mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,半径最大,此时半径r(x-1)2+y2=2.答案:(x-1)2+y2=2三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l经过点P(2,3)且与圆M交于A,B两点,且|AB|=解:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.如图,作MC⊥AB于点C,连接BM.在Rt△MBC中,|BC||MC|由点到直线的距离公式解得k l的方程为3x-4y+6=0.当直线l的斜率不存在时,其方程为x=2,且|AB|=.综上所述,直线l的方程为3x-4y+6=0或x=2.17.(8分)求与直线y=x相切,圆心在直线y=3x上且截y轴所得的弦长为解:设圆心坐标为O1(x0,3x0),半径为r,解得r y轴被圆截得的弦长∴即圆的方程为(x(x18.(9分)已知一个圆的圆心为A(2,1),且与圆x2+y2-3x=0相交于P1,P2两点.若|P1P2|=2,求这个圆的方程. 解:设圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0.所以直线P1P2的方程为x+2y-5+r2=0.则点A(2,1)到直线P1P2的距离又因为|P1P2|=2,所以当r=1时,易知符合题意,此时所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.当r≠1时,r2=6或r2=1(舍去).此时所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=6.故所求圆的方程是(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=1.19.(10分)在棱长为2的正方体OABC-O1A1B1C1中,P是对角线O1B上任意一点,Q为棱B1C1的中点.求|PQ|的最小值.解:分别以OA,OC,OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由于Q是B1C1的中点,所以Q(1,2,2).点P在xOy平面上的射影在OB上,在yOz平面上的射影在O1C上 ,所以点P的坐标(x,y,z)满则|PQ|当x=1时,即P(1,1,1)时,|PQ|取得最小20.(10分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O 为坐标原点.(1)求点M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.解:(1)当C,M,P三点均不重合时,∠CMP=90°,所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆(除去点P,C),即(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2,且y≠2或x≠0,且y≠4).当C,M,P三点中有重合的情形时,易求得点M的坐标为(2,2)或(0,4).综上可知,点M的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1,3)为圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率l的方程为y=又易得|OM|=|OP|=O到l的距离△POM的面积第四章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标为( )A.(-3,4,-10)B.(-3,2,-4)C解析:由中点坐标公式得A(3,-2,4)关于点(0,1,-3)对称的点为(-3,4,-10).答案:A2.若方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,则k的取值范围是( )A.k<2B.k>2C.k≥2D.k≤2解析:若方程表示圆,则(-4)2+42-4(10-k)>0,解得k>2.答案:B3.圆心为(1,1),且与直线x+y=4相切的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=4B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:根据题意得r故圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D4.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心解析:直线y=kx+1恒过定点(0,1),定点到圆心的距离d=1,所以直线y=kx+1与圆相交但直线不过圆心. 答案:C5.若圆C1:(x-a)2+y2=12与圆C2:x2+y2=4相切,则a的值为( )A.±3B.±1C.±1或±3D.1或3解析:圆C1的圆心坐标为(a,0),半径为1,圆C2的圆心坐标为(0,0),半径为2.当两圆外切时,|a|=3,则a=±3.当两圆内切时,|a|=1,则a=±1.答案:C6.已知半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是( )A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36解析:由题意可设圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=36.由两圆内切,a2=16,所以a=±4,故所求圆的方程是(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=36.答案:D7.已知一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆C:(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.C.解析:圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为C(-3,2),半径r=1.如图,作出点A(-2,-3)关于y轴的对称点B(2,-3).由题意可知,反射光线的反向延长线一定经过点 B.设反射光线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y-(-3)=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切可|5k+5|12k2+25k+12=0,即(3k+4)(4k+3)=0,解得k=k=答案:D8.过点A(3,1)和圆(x-2)2+y2=1相切的直线方程是( )A.y=1B.x=3C.x=3或y=1D.不确定解析:由题意知,点A在圆外,故过点A的切线应有两条.当所求直线的斜率存在时,设其为k,则直线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.因为直线与圆相切,所以d k=0,所以切线方程为y=1.当所求直线的斜率不存在时,x=3也符合条件.综上所述,所求切线方程为x=3或y=1.答案:C9.已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为( )A.解析:圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,即(x+2)2+(y-2)2=11,圆心为C1(-2,2),半径圆C2:x2+y2-4x-12=0,即(x-2)2+y2=16,圆心为C2(2,0),半径为4,则|C1C2|故△PC1C2的面积最大值 B.答案:B10.若两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心距|C1C2|等于( )A.4B.解析:由题意知两圆的圆心在直线y=x上.设C1(a,a),C2(b,b),可得(a-4)2+(a-1)2=a2,(b-4)2+(b-1)2=b2,即a,b是方程x2-10x+17=0的两根,a+b=10,ab=17,|C1C2|答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11. 如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,若|B1E|A1B1答案:12.已知点M是圆x2+y2=1上的任意一点,点N是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的任意一点,则|MN|的最小值为.解析:由已知可得两圆圆心分别为(0,0),(3,4),半径分别为1,2,所以圆心距为5>1+2.所以两圆外离,所以当M,N在圆心连线上时,|MN|取最小值,且最小值为5-3=2.答案:213.已知点A(1,2,-1),点C与点A关于平面xOy对称,点B与点A关于x轴对称,则|BC|的值为.解析:由已知可求得点C的坐标为(1,2,1),点B的坐标为(1,-2,1),所以|BC|答案:414.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为.解析:由题意知点O到直线y=kx+1的距离答案:15.若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是.解析:由题意知点A处的切线分别过两圆的圆心,所以OA⊥O1A.所以m2=m=±5.由等面积法得|AB|=2答案:4三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知圆x2+y2+x-6y+3=0与直线x+2y-3=0的两个交点为P,Q,求以PQ为直径的圆的方程.解:设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则点P,Q的坐标满足方程组,即点P(1,1),Q(-3,3),所以线段PQ的中点坐标为(-1,2),|PQ|故以PQ为直径的圆的方程是(x+1)2+(y-2)2=5.17.(8分)已知圆C:x2+y2-2x+4my+4m2=0,圆C1:x2+y2=25,直线l:3x-4y-15=0.(1)求圆C1:x2+y2=25被直线l截得的弦长;(2)当m为何值时,圆C与圆C1的公共弦平行于直线l?解:(1)因为圆C1:x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径r=5,所以圆心O到直线l:3x-4y-15=0的距离d由勾股定理可知,圆C1:x2+y2=25被直线l截得的弦长(2)圆C与圆C1的公共弦的方程为2x-4my-4m2-25=0.因为该公共弦平行于直线3x-4y-15=0,m18.(9分)已知实数x,y满足x2+y2+4x+3=0,求:(1(2)(x-3)2+(y-4)2的最大值与最小值.解:圆x2+y2+4x+3=0的标准方程为(x+2)2+y2=1,记为圆C,则圆心C(-2,0),半径r=1.(1)如图①,设点M(x,y)在圆C上,Q(1,2),k kx-y-k+2=0.由图可知,当直线QM与圆C相切时,k取得最大值或最小值.由C(-2,0)到直线kx-y-k+2=0的距离为1,k所图①图②(2)如图②,令A(3,4),则(x-3)2+(y-4)2表示圆上的点与点A距离的平方.设直线AC与圆交于P,Q两点,则(x-3)2+(y-4)2的最大值为|AQ|2,最小值为|AP|2.|AQ|=|AC|+r( x-3)2+(y-4)2的最大值最小值19.(10分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过P作圆C的切线l,设切点为M.(1)若点P运动到(1,3)处,求此时切线l的方程;(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.解:把圆C的方程化成标准方程(x+1)2+(y-2)2=4,所以圆心为C(-1,2),半径r=2.(1)当l的斜率不存在时,此时l的方程为x=1,点C到l的距离d=2=r,满足条件.当l的斜率存在时,设斜率为k,则l的方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,k=所以l的方程为y-3=即3x+4y-15=0.综上,满足条件的切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)设P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2=(x+1)2+(y-2)2-4,|PO|2=x2+y2,因为|PM|=|PO|,所以(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,整理,得2x-4y+1=0.故点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.20.(10分)已知圆C经过点M(0,-2),N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.(1)求圆C的方程;(2)设直线ax-y+1=0与圆C相交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0.(2)设符合条件的实数a存在,由于l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,所以l的斜率k PC=-2,k AB=a=所以a把直线ax-y+1=0,即y=ax+1代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0.由于直线ax-y-1=0交圆C于A,B两点,故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0,即-72a>0,解得a<0.则实数a的取值范围是(-∞,0).由∉(-∞,0),故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB.。
第四章圆与方程检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( C )(A)x+y+1=0 (B)x+y-1=0(C)x-y+1=0 (D)x-y-1=0解析:易知点C为(-1,0),因为直线x+y=0的斜率是-1,所以与直线x+y=0垂直直线的斜率为1,所以要求直线方程是y=x+1,即x-y+1=0.2.空间直角坐标系Oxyz中的点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,则点Q的坐标为( A )(A)(1,2,0) (B)(0,0,3)(C)(1,0,3) (D)(0,2,3)解析:因为空间直角坐标系Oxyz中,点P(1,2,3)在xOy平面内射影是Q,所以点Q的坐标为(1,2,0).3.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( A )(A)m< (B)m>(C)m<0 (D)m≤解析:由题意得1+1-4m>0,得m<.4.圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是( D )(A)相交 (B)相离 (C)内含 (D)内切解析:把圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0分别化为标准式为(x-2)2+(y-3)2=1和(x-4)2+(y-3)2=9,两圆心间的距离d==2=|r1-r2|,所以两圆的位置关系为内切,故选D.5.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为,则a的值为( C )(A)-2或2 (B)或(C)2或0 (D)-2或0解析:圆x2+y2-2x-4y=0的圆心是(1,2).点(1,2)到直线x-y+a=0的距离是=,所以|a-1|=1,所以a=2或a=0.选C.6.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为( D )(A)-,4 (B),4(C)-,-4 (D),-4解析:直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则直线2x+y+b=0一定过圆(x-2)2+y2=1的圆心(2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,可得-2×k=-1,解得k=,故选D.7.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=1 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设圆上任意一点坐标为(x1,y1),其与点P所连线段的中点坐标为(x,y),则即代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.8.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是( A )(A) (B)1 (C) (D)解析:如图所示,当直线l上恰好只存在一个圆与圆C相切时,直线l的斜率最大,此时,点C(4,0)到直线l的距离是2.即=2.解得k=或k=0.所以k的最大值是.9.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( A )(A)x+y-2=0 (B)y-1=0(C)x-y=0 (D)x+3y-4=0解析:欲使两部分的面积之差最大,需直线与OP垂直,因为k OP=1,所以所求的直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.10.过点P(-4,0)作直线l与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为( C )(A)5x+12y+20=0(B)5x-12y+20=0(C)5x+12y+20=0或x+4=0(D)5x-12y+20=0或x+4=0解析:x2+y2+2x-4y-20=0可化为(x+1)2+(y-2)2=25,当直线l的斜率不存在时,符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x+4),由题意得==3,得k=-.所以直线l的方程为y=-(x+4),即5x+12y+20=0,综上,符合条件的直线l的方程为5x+12y+20=0或x+4=0.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是,半径是.解析:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径为.答案:(2,-3)12.如图所示,在单位正方体ABCDA1B1C1D1中,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1C和A1C1的长度分别为, .解析:易得A1(1,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,1),所以|A1C|==,|A1C1|==.答案:13.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0与直线l2:x+3y=0都对称,则D= ,E= .解析:由题设知直线l1,l2的交点为已知圆的圆心.由得所以-=-3,D=6,-=1,E=-2.答案:6 -214.若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则m+n的值等于,mn的取值范围是.解析:圆心(2,1),则m×2+2n×1-4=0,即m+n=2,m=2-n,于是mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+1≤1,故mn的取值范围是(-∞,1].答案:2 (-∞,1]15.若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点,则实数b的取值范围是.解析:将曲线x=变为x2+y2=1(x≥0).如图所示,当直线y=x+b与曲线x2+y2=1相切时,则满足=1,|b|=,b=±.观察图象,可得当b=-,或-1<b≤1时,直线与曲线x=有且只有一个公共点.答案:(-1,1]∪{-}16.若集合A={(x,y)|x2+y2≤16},B={(x,y)|x2+(y-2)2≤a-1},且A∩B=B,则a的取值范围是.解析:A∩B=B等价于B⊆A.当a>1时,集合A和B中的点的集合分别代表圆x2+y2=16和圆x2+(y-2)2=a-1的内部,如图,容易看出当B对应的圆的半径小于2时符合题意.由0<a-1≤4,得1<a≤5;当a=1时,满足题意;当a<1时,集合B为空集,也满足B⊆A,所以当a≤5时符合题意.答案:(-∞,5]17.已知直线l1:x+y-=0,l2:x+y-4=0,☉C的圆心到l1,l2的距离依次为d1,d2且d2=2d1,☉C与直线l2相切,则直线l1被☉C所截得的弦长为.解析:当圆心C在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,d1+d2=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=2,d1=1,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=2;同理,当圆心C不在直线l1:x+y-=0与l2:x+y-4=0之间时,则d2-d1=3且d2=2d1,☉C与直线l2相切,此时r=d2=6,d1=3,则直线l1被☉C所截得的弦长为2=2=6.故直线l1被☉C所截得的弦长为2或6.答案:2或6三、解答题(本大题共5小题,共74分)18.(本小题满分14分)一直线 l 过直线 l1:2x-y=1 和直线 l2:x+2y=3 的交点 P,且与直线 l3:x-y+1=0 垂直.(1)求直线 l 的方程;(2)若直线 l 与圆 C:(x-a)2+y2=8 (a>0)相切,求 a.解:(1)由解得P(1,1),又直线l与直线l3:x-y+1=0垂直,故l的斜率为-1,所以l:y-1=-(x-1),即直线l的方程为x+y-2=0.(2)由题设知C(a,0),半径r=2,因为直线l与圆C:(x-a)2+y2=8(a>0)相切,所以C到直线l的距离为2,所以=2,又a>0,得a=6.19.(本小题满分15分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程;(2)求圆P的方程.解:(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①又直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40,②由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.20.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+4x-4ay+4a2+1=0,直线l:ax+y+2a=0.(1)当a=时,直线l与圆C相交于A,B两点,求弦AB的长;(2)若a>0且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C′的方程.解:(1)因为圆C:(x+2)2+(y-2a)2=()2,又a=,所以圆心C为(-2,3),直线l:3x+2y+6=0,圆心C到直线l的距离d==,所以|AB|=2=.(2)将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0,(*)所以Δ=[4(1+2a2)]2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,因为a>0,所以a=,所以方程(*)的解为x=-,所以切点坐标为(-,),根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC′的中点,故圆心C′的坐标为(-5,),所以圆C′的方程为(x+5)2+(y-)2=3.21.(本小题满分15分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等,求切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的点P的坐标.解:(1)由方程x2+y2+2x-4y+3=0知,圆心为(-1,2),半径为.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,则=.所以k=2±,即切线方程为y=(2±)x.当切线不过原点时,设切线方程为x+y=a,则=.所以a=-1或a=3,即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.所以切线方程为y=(2±)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)设P(x1,y1).因为|PM|2+r2=|PC|2,即|PO|2+r2=|PC|2,所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).22.(本小题满分15分)圆C:x2+y2+2x-3=0内有一点P(-2,1),AB为过点P且倾斜角为α的弦.(1)当α=135°时,求AB的长;(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程;(3)若圆C上的动点M与两个定点O(0,0),R(a,0)(a≠0)的距离之比恒为定值λ(λ≠1),求实数a的值.解:(1)由题意知,圆心C(-1,0),半径r=2,直线AB的方程为x+y+1=0,直线AB过圆心C,所以弦长AB=2r=4.(2)当弦AB被点P平分时,AB⊥PC,k AB·k PC=-1,又k PC=-1, 所以k AB=1,直线AB的方程为x-y+3=0.(3)设M(x0,y0),则满足++2x0-3=0, ①由题意得,=λ,即=λ.整理得+=λ2[-2ax0+a2+], ②由①②得,3-2x0=λ2[3-2x0-2ax0+a2]恒成立,所以又a≠0,λ>0,λ≠1,解之得a=3.。
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)²+y²=5B。
x²+(y-2)²=5C。
(x+2)²+(y+2)²=5D。
x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1-√2D。
1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
2或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。
教A 版高中数学必修2第四章《圆与方程》综合测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.在空间直角坐标系中, 点()3,4,5P 与点(3,4,5)Q --的位置关系是（ ） A.关于x 轴对称B.关于xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对2.圆1O :2220x y x +-=与圆2O ：2240x y y +-=的位置关系是( ) A.外离B.相交C.外切D.内切3.过点(1,1)A -与(1,1)B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为( ) A. 22(3)(1)4x y -++= B. 22(3)(1)4x y ++-= C. 22(1)(1)4x y -+-= D. 22(1)(1)4x y +++=4.已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心,且与直线10x y ++=垂直,则l 的方程是( ) A. 20x y +-=B. 20x y -+=C. 30x y +-=D. 30x y -+=5.若圆221:1C x y +=,与圆222:680C x y x y n +--+=外切,则n =（ ）A. 21B. 9C. 19D. -116.圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称,则l 的方程为( ) A.0x y +=B.20x y +-=C.20x y --=D.20x y -+=7.已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定8.若直线y x b =+与曲线3y =,则b 的取值范围是( )A.1,1⎡-+⎣B.1⎡-+⎣C.1⎡⎤-⎣⎦D.1⎡⎤⎣⎦9.在平面直角坐标系中, ,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为( )A.45π B. 34πC. (6π-D.54π 10.已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16x y -++=相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A. 22(5)(7)25x y -+-=B. 22(5)(7)17x y -++=或22(5)(7)25x y -++= C. 22(5)(7)9x y -++=D. 22(5)(7)25x y -++=或22(5)(7)9x y -++=11.已知点(,)(0)M a b ab ≠是圆222(0)x y r r +=>内一点,直线g 是以M 为中点的弦所在的直线,直线l 的方程为20ax by r ++=,则( ) A. //,l g 且l 与圆相离 B. l g ⊥且l 与圆相切 C. //,l g 且l 与圆相交 D. l g ⊥且l 与圆相离12.已知直线1y kx =+与圆22(2)(1)4x y -+-=相交于两,?P Q 点,若||PQ ≥则实数k的取值范围是( )A. 3[-,0]4B. [-, 33C. []1,1-D. [ 二、填空题13.过点()3,1作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为__________.14.过点()2,4P -作圆22:(2)(1)25C x y -+-=的切线l ,直线1:320l ax y a ++=与l 平行,则1l 与l 间的距离为__________.15.圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为则圆C 的标准方程为 .16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心, 1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 . 三、解答题17.已知圆C :222440x y x y +-+-=,是否存在斜率为1的直线l ,使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.18.已知方程22260x y x y m ++-+=.1.若m R ∈,试确定方程所表示的曲线;2.若方程表示的是圆,且圆的圆心到直线210x y --=的距离等于半径,求m 的值.19.在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为. （1）求圆心P 的轨迹方程;（2）若P 点到直线y x =求圆P 的方程.20.已知圆22:(1)5C x y +-=，直线():10R l mx y m m -+-=∈．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，若直线l 的倾斜角为120︒，求弦AB 的长．21.已知点()2,0P 及圆C :226440x y x y +-++=1.若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1,求直线l 的方程;2.设直线10ax y -+=与圆C 交于A ,B 两点,是否存在实数a ,使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ?若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.22.已知圆M 的圆心在 x 轴上,半径为1,直线41:32l y x =-被圆M 且圆心M在直线l 的下方. 1.求圆M 的方程;2.设(0,),(0,6)(52)A t B t t +-≤≤-,若圆M 是△ABC 的内切圆,求△ABC 的面积S 的最大值和最小值.参考答案1.答案：A 解析：点()3,4,5P 与点()3,4,5Q --的横坐标相同,而纵、竖坐标分别互为相反数,所以两点关于x 轴对称. 2.答案：B解析：本题考查圆的方程及其互相转化关系;圆与圆的位置关系及其判断也是考查重点. 要知道圆与圆的位置关系得知道圆心的坐标以及圆心距与两圆半径,因此先求坐标,再求距离. 1O :2220x y x +-=与圆2O :2240x y y +-=故,圆心坐标与半径分别为1(1,0)O ,2(0,2)O ,11r =,22r =,12O O =,211r r -=,13< 所以相交,选B点评:本题属于概念题,掌握基本概念及判断方法即可。
阶段质量检测〔四〕 圆 与 方 程(时间：120分钟 总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( )A ．243B ．221C ．9D.86解析：选D 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86.2．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，那么m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞解析：选A 由题意得1＋1＋4m >0，解得m >－12.3．圆O 以点(2，－3)为圆心，半径等于5，那么点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外D ．无法判断解析：选B 点M (5，－7)到圆心(2，－3)的距离d ＝(5－2)2＋(－7＋3)2＝5，故点M 在圆O 上．4．A (2,0)，B (1，－2)，那么以AB 为直径的圆的方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y ＋1)2＝34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝54D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y ＋1)2＝54 解析：选D 以AB 为直径的圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －0)(y ＋2)＝0，化简得x 2＋y 2－3x ＋2y ＋2＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y ＋1)2＝54，应选D.5．假设直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切，那么直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 依题意，直线l 与圆C 相切，那么|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得kk ＜0，所以k＝－1，于是直线l 的方程为x ＋yD (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22＜3，所以直线l 与圆D 相交，应选A.6．过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，那么a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D.12解析：选C 因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直．因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.7．一条光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上，那么光走过的最短路程为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D A (－1,1)关于x 轴的对称点B (－1，－1)，圆心C (2,3)，所以光走过的最短路程为|BC |－1＝4.8．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选D 当CM ⊥l ，即弦长最短时，∠ACB 最小， ∴k l ·k CM ＝－1，∴k l ＝12，∴l 的方程为： x －2y ＋3＝0.9．假设点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，那么弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.10．在平面直角坐标系中，圆M 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，假设直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，那么m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34解析：选D 依题意，圆M 的圆心为M (0,4)，半径rx ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，那么在直线上至少存在一点P ，使得|MP |≤2＋2成立，又点M 到直线的距离为|4m ＋2|m 2＋1，那么|4m ＋2|m 2＋1≤4，解得m ≤34，应选D.11．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，那么直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，那么P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC为圆的直径，∴四边形PACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54， ①圆C ：(x －1)2＋y 2＝1， ②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．12．圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，那么|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：选A 由题意知，圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心分别为C 1(2,3)，C 2(3,4)，且|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4，点C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C (2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC |＋|PC 2|≥|CC 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．在如下图的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，那么点B 1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标一样，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标一样，∴B 1(a ，b ，c )．答案：(a ，b ，c )14．在平面直角坐标系中，假设圆Q ：x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋5a 2－1＝0上所有的点都在第二象限内，那么实数a 的取值范围是________．解析：依题意，圆Q 的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝1，圆心为Q (2a ，－a )，半径为rQ 上所有的点都在第二象限内，那么⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，－a ＞1，解得a ＜－1.答案：(－∞，－1)15．直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，那么实数a ＝________.解析：依题意，知圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3，于是有|1×a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15.答案：4±1516．设点M (x 0,1)，假设在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，那么x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题总分值10分)圆C 的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l 的方程为y ＝x ＋m ，求当m 为何值时，(1)直线平分圆； (2)直线与圆相切．解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m ＝0. (2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，∴d ＝|1－1＋m |12＋(－1)2＝|m |2＝2，m ＝±2 2. 即m ＝±22时，直线l 与圆相切．18．(本小题总分值12分)直线l 1：x －y －1＝0，直线l 2：4x ＋3y ＋14＝0，直线l 3：3x ＋4y ＋10＝0，求圆心在直线l 1上，与直线l 2相切，截直线l 3所得的弦长为6的圆的方程．解：设圆心为C (a ，a －1)，半径为r ，那么点C 到直线l 2的距离d 1＝|4a ＋3(a －1)＋14|5＝|7a ＋11|5.点C 到直线l 3的距离d 2＝|3a ＋4(a －1)＋10|5＝|7a ＋6|5.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|7a ＋11|5＝r ，⎝ ⎛⎭⎪⎫|7a ＋6|52＋32＝r 2.解得a ＝2，r ＝5，即所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝25.19．(本小题总分值12分)一座圆拱桥，当水面在如下图位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解：以圆拱顶点为原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴，建立如下图的平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，那么由可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，那么C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设A ′(x 0，－3)(x 0＞0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得2x 0＝251，即当水面下降1米后，水面宽251米．20．(本小题总分值12分)△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为圆H .(1)求圆H 的标准方程；(2)假设直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)对于线段BH 上的任意一点P ，假设在以C 为圆心的圆上始终存在不同的两点M ，N ，使得M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围．解：(1)设圆H 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 那么由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，9＋4＋3D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－6，F ＝－1，所以圆H 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10.(2)设圆心到直线l 的距离为d ，那么1＋d 2＝10，所以d ＝3.假设直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，那么直线方程为x ＝3，满足题意； 假设直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋2， 圆心到直线l 的距离为d ＝|－3k －1|(－1)2＋k2＝3，解得k ＝43， 所以直线l 的方程为4x －3y －6＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0. (3)由题意得0＜|CP |－r ≤2r ，即r ＜|CP |≤3r 恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧r ＜|CP |min ＝4105，3r ≥|CP |max ＝|CH |＝10，解得103≤r ＜4105. 于是圆C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，4105.21．(本小题总分值12分)圆C: x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)假设点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0，那么|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.(2)设P(x，y)，那么|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，|PO|2＝x2＋y2.∵|PM|＝|PO|，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理，得2x－4y＋1＝0，∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0，22．(本小题总分值12分)(2021·全国卷Ⅰ)点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)假设A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径．(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由得|AOMO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.。
高一数学（必修2）第四章 圆与方程[提高训练]一、选择题1．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）A.30x y ++= B ．250x y --=C ．390x y --=D ．4370x y -+=2． 方程1x -= ）A ．一个圆B ．两个半圆C ．两个圆D ．半圆3．已知圆C ：22()(2)4(0)x a y a -+-=>及直线03:=+-y x l ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =（ ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+4．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是（ ） A ．21 B ．23 C ．1 D ．35．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（ ） A ．030 B ．045C ．060D ．0906．圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是（ ）A ．6B ．4C ．5D ．17．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切二、填空题1．若(1,2,1),(2,2,2),A B -点P 在z 轴上，且PA PB =，则点P 的坐标为2．若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有交点，则b 的取值范围是___________；若有一个交点，则b 的取值范围是________；若有两个交点，则b 的取值范围是_______；３．把圆的参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 21y x 化成普通方程是______________________．４．已知圆C 的方程为03222=--+y y x ，过点(1,2)P -的直线l 与圆C交于,A B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________。
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第四章圆与方程一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．点P(2，－3，1)关于坐标原点的对称点是( ）．A．（－2，－3，－1） B．（－2,3，－1）C．(2,－3，－1） D．（－2，3,1）2．方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是（）．A．m〉－错误! B．m<－错误! C．m≤－错误!D．m≥－错误!3．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是（)A．（1，－2)，5 B．(1，－2），错误!C．(－1，2),5 D．（－1,2),错误!4．（2013陕西文）已知点M（a，b）在圆221+=外, 则直线ax + by = 1与圆O的位O x y:置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定5．圆x2＋y2＋ax＝0的圆心到y轴的距离为1，则a＝（)A．－1 B．±1 C．－2 D．±26．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线的条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．47．两圆x2＋y2＝1与x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直线的方程是( ）A．x＝1 B．x＝错误! C．y＝x D．x＝错误!8．若直线x－y＝2被圆（x－a）2＋y2＝4所截得的弦长为2错误!，则实数a的值为( ) A．－1或错误! B．1或3 C．－2或6 D．0或49．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A．（x－2)2＋（y＋1）2＝1 B．（x－2）2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋（y－2）2＝4 D．(x＋2)2＋（y－1)2＝110．(2013·成都质检）在圆x2＋y2－2x－6y＝0内,过点E（0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( ）A．5 2 B．10错误! C．15错误! D．20错误!11点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上,点Q在圆C2:x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( ）A．5 B．1 C．3错误!－5 D．3错误!＋512．若直线y＝kx－1与曲线y＝－错误!有公共点,则k的取值范围是（)A．(0,错误!］ B．[错误!，错误!］ C．[0,错误!］ D．［0,1]二、填空题（本大题共６个小题，每小题5分，共３0分，把正确答案填在题中横线上）13．已知点A（1,2，3)，B（2,－1,4)，点P在y轴上，且|PA|＝|PB｜,则点P的坐标是________．14.．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．15．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0）的公共弦的长为2错误!，则a＝________.16．已知圆(x－2）2＋(y－3）2＝13和圆（x－3）2＋y2＝9交于A、B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是________．三、解答题(本大题共6个大题，共60分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题满分10分）求经过两点A（－1,4），B（3，2)且圆心C在y轴上的圆的方程．20。
第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是()A．－4<a<3B．－5<a<4C．－5<a<5 D．－6<a<4解析：由a2＋(a＋1)2<25可得2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3.答案：A2．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是() A．5B．3 C．4D．2解析：圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，所以d＝|－25|32＋42＝5.答案：A3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则() A．a2＋b2＝0 B．a2＋b2＝r2C．a2＋b2＋r2＝0 D．a＝0，b＝0解析：由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2.即a2＋b2＝r2.答案：B4．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．2 B．1＋ 2C．2＋22D．1＋2 2解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.答案：B5．圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．若点M(6，9)在圆上，则a的值为()A.10 B．2C. 2 D．1解析：因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又由a＞0，可得a＝10.答案：A二、填空题6．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．解析：C1(5，3)，C2(2，－1)，根据两点间距离公式得|C1C2|＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5.答案：57．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2，4)从而r ＝（2－0）2＋（4－0）2＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝20.8．已知点P (1，－5)，则该点与圆x 2＋y 2＝25的位置关系是______________．解析：由于12＋(－5)2＝26＞25，故点P (1，－5)在圆的外部． 答案：在圆的外部三、解答题9．求经过A (－1，4)，B (3，2)两点且圆心在y 轴上的圆的方程． 解：法一 设圆心坐标为(a ，b )．因为圆心在y 轴上，所以a ＝0.设圆的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.因为该圆过A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2＋（4－b ）2＝r 2，32＋（2－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.法二 因为线段AB 的中点坐标为(1，3)，k AB ＝2－43－（－1）＝－12， 所以弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 所以点(0，1)为圆的圆心．由两点间的距离公式，得圆的半径r＝10，所以所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.10．求圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程．解：因为点P(x，y)关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，所以(1，2)关于直线y＝x对称的点为(2，1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x －2)2＋(y－1)2＝1.B级能力提升1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为() A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1，1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程x＋y－2＝0.答案：A2．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________________．解析：因为点(－2，1)关于原点的对称点为(2，－1)，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝13．若直线y＝x＋b与曲线y＝4－x2有公共点，试求b的取值范围．解：如图，在坐标系内作出曲线y＝4－x2(半圆)．当直线y＝x＋b与半圆y＝4－x2相切时，|b|2＝2，所以b＝2 2.当直线y＝x＋b过(2，0)时，b＝－2.直线l1：y＝x－2，直线l2：y＝x＋2 2.当直线l：y＝x＋b夹在l1与l2之间(包括l1，l2)时，l与曲线y＝4－x2有公共点，所以截距b的取值范围为：[－2，22]．。
