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第一节相似三角形的判定及有关性质【最新考纲】 1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行线截割定理.2.会证明和应用直角三角形射影定理．1．平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(3)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．定理3：三边对应成比例，两三角形相似．4．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等．( )(2)两组对应边成比例，一组对应边所对的角相等的两个三角形相似．( ) (3)三角形相似不具有传递性．( )(4)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2014·广东卷改编)如图所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析：因为ABCD 的平行四边形，所以AB∥DC，且AB ＝DC ，于是△CDF ∽△AEF，且CDAE ＝ABAE＝3. 因此△CDF 的面积△AEF的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9.答案：93．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，点E ，F 分别是△ABD，△ACD 的重心，EF 与AD交于点M ，则AMDM＝________．解析：连接AE ，AF ，并延长交BC 于G ，H.因为点E ，F 分别是△ABD，△ACD 的重心， 所以AE EG ＝AFFH ＝2，所以EF∥GH，所以AMDM ＝2.答案：24．如图所示，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A＝∠C，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________．解析：∵PE∥BC，∴∠C ＝∠PED，又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠P 为公共角， 所以△PDE∽△P EA ，∴PDPE＝PEPA，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝ 6.答案： 65．(2015·广东卷)如图，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝23，则AD________．解析：由切割线定理，EB·(AB＋EB)＝EC2又AB＝4，CE＝2 3∴EB2＋4EB＝12，解得EB＝2.连接OC，由题意得OC∥AD.所以△EOC∽△EAD.∴OCAD＝EOEA＝46，则AD＝3.答案：3一个关键平行线发线段成比例定理、射影定理是通过三角形相似证明的，故掌握好三角形相似的判定是解决本节问题的关键．两个防范1．防止写三角形相似时，两个三角形的顶点不对应；2．防止应用射影定理时，线段的位置记错．三种方法判定三角形相似有三种常用的方法：1．两组对应角分别相等，两三角形相似；2．一组对应角相等，且角的两边对应成比例，两三角形相似． 3．三边对应成比例，两三角形相似．1．如图所示，已知：在R t△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB·BM＝AM·BN.证明：∵在Rt △ACM 中， CM 2＝MN·AM，又∵M 是BC 的中点，即CM ＝BM ， ∴BM 2＝MN·AM，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM·BN. 2．(2014·陕西卷改编)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，求EF 的长．解：连接EC ，BF ，如图所示．由题设，四边形BCFE 为圆的内接四边形． 因此∠AEF＝∠ACB，∠AFE ＝∠ABC. 所以△AEF∽△ACB，于是AE AC ＝EFCB又AC ＝2AE ，BC ＝6 所以EF ＝3.3．如图所示，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF·HF.证明：∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF ＋∠BAC＝90°， ∴∠H ＝∠GBF.∵∠AFH ＝∠GFB＝90°， ∴△AFH ∽△GFB.∴HF BF ＝AFGF ，∴AF ·BF ＝GF·HF.因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，∴DF 2＝AF·BF， 所以DF 2＝GF ·HF.4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED ，CB 延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴FBFD＝FDFC，∴FD2＝FB·FC.5．(2016·贵阳质检)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC ＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以Rt △ADO ∽Rt △ACB. 所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ， 故AC ＝2AD.6．(2016·大连模拟)如图所示，⊙O 为△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ，过点A 的直线交⊙O 于D ，交BC 的延长线于F ，DE 是BD 的延长线，连结CD.求证：(1)∠EDF＝∠CDF； (2)AB 2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形． ∴∠CDF ＝∠ABC.又∠ADB 与∠EDF 是对顶角． ∴∠ADB ＝∠EDF. 又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB，∴△ADB∽△ABF，∴ABAF＝ADAB，∴AB2＝AF·AD.7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，B C＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DC B，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶DC，∴DE·DC＝AE·BD.8．(2016·河北衡水中学调研)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE 的延长线交BC于F.(1)求BF FC的值． (2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG∥BC，并交AF 于G 点，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE. 又因为∠EBF＝∠EDG，∠BEF ＝∠DEG， 所以△BEF≌△DEG，则BF ＝DG ， 所以BF∶FC＝DG∶FC.又因为D 是AC 的中点，则DG∶FC＝1∶2，则BF∶FC＝1∶2，即BF FC ＝12. (2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF∶BC＝1∶3，又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，其中h1，h2分别为△BEF和△BDC的高，则S△BEFS△BDC＝13×12＝16，则S1∶S2＝1∶5.。
第1讲 相似三角形的判定及有关性质1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，求BC 的长． 解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED⇒E 为AD 的中点，M 为BC 的中点．又EF∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，所以BC ＝2MC ＝24 cm .2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE∶EB＝1∶2，DE 与AC交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，求△ABC 的面积． 解：在平行四边形ABCD 中，AB 綊CD.因为AE∶EB＝1∶2，所以AE∶DC＝1∶3，所以△AEF 与△CDF 对应边AE 与DC 上的高的比为1∶3， 所以△AEF 与△ABC，AE 与AB 边上的高的比为1∶4. 因为AE∶AB＝1∶3，所以S △AEF ∶S △ABC ＝1∶12，所以S △ABC ＝6×12＝72(cm 2)． 3.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH∥BE.连接ED 并延长，交AB 于F ，交AH 于H.若AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：因为AH∥BE，所以HF HE ＝AFAB .因为AB ＝4AF ，所以HF HE ＝14.因为HE ＝8，所以HF ＝2.因为AH∥BE，所以HD DE ＝ADDC.因为D 是AC 的中点，所以HDDE＝1.因为HE ＝HD ＋DE ＝8，所以HD ＝4. 所以DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF ＝2DE·AF.证明：取AC 的中点M ，连接DM 交CF 于点N.在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，所以DN ＝12BF.因为DN∥AF，所以△AFE∽△DNE，所以AE AF ＝DE DN.又因为DN ＝12BF ，所以AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF. 5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF∥AB，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE·PF. 证明：如图，连接PC.易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP. 因为CF∥AB， 所以∠F＝∠ABP. 从而∠F＝∠ACP.又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE∽△FPC，所以CP FP ＝PE PC. 所以PC 2＝PE·PF.又PC ＝PB ，所以PB 2＝PE·PF. 6.已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE⊥BC，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B＝∠1.又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE∥AM，所以DE AM ＝BD BM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.。
几何证明选讲 第1讲 相似三角形的判定及有关性质练习 理 选修4.11．如图所示，在△ABC 中，DE∥BC，DF∥AC，AE ＝2，AC ＝3，BC ＝4，则BF 的长为 ( )A .13B .43C .83D .163答案 B解析 因为DE∥BC，所以AD AB ＝AE AC ＝23.因为DF∥AC，所以AD AB ＝CFCB .两式联立可得23＝CF 4，解得CF ＝83，故BF ＝4－83＝43.2．如图所示，▱ABCD 中，AE∶EB＝2∶5，若△AEF 的面积等于4 cm 2，则△CDF 的面积等于( )A ．10 cm 2B ．16 cm 2C ．25 cm 2D ．49 cm 2答案 D解析 ▱ABCD 中，△AEF∽△CDF， 由AE∶EB＝2∶5，得AE∶CD＝2∶7， ∴S △AEF S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫272， ∴S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722×S △AEF ＝494×4＝49 (cm 2)．3．一个直角三角形的一条直角边为3，斜边上的高为125，则这个三角形的外接圆半径是( )A ．5B .52C .54D ．25答案 B解析 长为3的直角边在斜边上的射影为 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝95，故由射影定理知斜边长为3295＝5，因此这个直角三角形的外接圆半径为52.4. [2016·汉中模拟]如图，在梯形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF∥AB，EF ＝30 cm ，AC 交EF 于G ，若FG －EG ＝10 cm ，则AB 等于( )A ．30 cmB ．40 cmC ．50 cmD ．60 cm答案 B解析 因为EF ＝30 cm ，即FG ＋EG ＝30 cm ， 又FG －EG ＝10 cm ，所以FG ＝20 cm . 因为E 为AD 的中点，EF∥AB， 所以F 为BC 的中点． 所以G 为AC 的中点，所以AB ＝2GF ＝2×20＝40(cm )．5．[2015·广东高考]已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.答案 8解析 由于O 为AB 的中点且BC∥OD，∴OP∥BC 且OP ＝12BC ＝12，AC ＝AB 2－BC 2＝15，∴CP＝12AC ＝152.又∵CD 是圆O 的切线， ∴∠ACD＝∠ABC.又∵∠DPC＝∠ACB＝90°， ∴Rt △ABC∽Rt △DCP， ∴PD AC ＝CPBC， ∴PD＝CP·AC BC ＝152×151＝152，∴OD＝OP ＋PD ＝12＋152＝8.6．[2015·湖北高考]如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，则ABAC＝________.答案 12解析 设PB ＝1，则PC ＝4. ∵PA 2＝PB·PC，∴PA＝2. ∵△PBA∽△PAC， ∴AB AC ＝PA PC ＝24＝12. 7．[2013·陕西高考]如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.答案6解析 ∵PE∥BC，∴∠PED＝∠BCE. 又∵∠BCE＝∠BAD，∴∠PED＝∠BAD. 在△PDE 和△PEA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠P＝∠P ∠PED＝∠EAP，∴△PDE∽△PEA，∴PD PE ＝PE PA，∴PE 2＝PD·PA＝2×3＝6，∴PE＝ 6. 8．如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF·DB＝________.答案 5解析 圆的半径OC ＝3，OE ＝2，CE ＝DE ＝32－22＝ 5. 而△DFE∽△DEB，∴DF DE ＝DE DB，∴DF·DB＝DE 2＝5.9．[2015·课标全国卷Ⅱ]如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．解 (1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD 是∠CAB 的角平分线． 又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD⊥EF.从而EF∥BC. (2)由(1)知，AE ＝AF ，AD⊥EF，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE⊥AE.由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 10．[2015·江苏高考]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D.求证：△ABD∽△AEB.证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD＝∠C. 又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE 为公共角，可知△ABD∽△AEB.11．[2015·开封一模]如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE⊥CD，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE＝∠C.(1)求证：△ABF∽△EAD；(2)若∠BAE＝30°，AD ＝3，求BF 的长． 解 (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD.(2)∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°， ∴AB AE ＝sin 60°＝32， 又△ABF∽△EAD，∴BF AD ＝AB AE ，∴BF＝AB AE ·AD＝332.12．[2015·山西四校联考]如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和圆O 分别交于D 和E 两点．(1)求证：AB AC ＝PAPC ；(2)求AD·AE 的值．解 (1)证明：∵PA 为圆O 的切线， ∴∠PAB＝∠ACP，又∵∠P 为公共角，∴△PAB∽△PCA， ∴AB AC ＝PA PC. (2)∵PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线， ∴PA 2＝PB·PC，即102＝5PC ， ∴PC＝20，∴BC＝15.又∵∠CAB＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225. 又由(1)知AB AC ＝PA PC ＝12，∴AC ＝65，AB ＝35，如图，连接EC，则∠AEC＝∠ABC，又∵∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴AEAB＝ACAD，∴AD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.。
