2020高考文科数学一轮总复习课标通用版作业：第6章 数列 课时作业30

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课时规范练30 数列求和基础巩固组1。

数列1，3,5,7,…，（2n—1)+，…的前n项和S n的值等于（)A.n2+1-B。

2n2—n+1—C.n2+1-D。

n2—n+1-2.(2018河北衡水中学金卷十模,3)已知数列｛a n}是各项为正数的等比数列，点M （2，log2a2)，N（5,log2a5)都在直线y=x—1上，则数列{a n}的前n项和为() A。

2n-2 B.2n+1—2C.2n-1D.2n+1—13。

(2018山东潍坊二模,4)设数列｛a n}的前n项和为S n，若S n=-n2-n，则数列的前40项的和为()A. B.-C。

D.-4。

已知函数f(x）=x a的图像过点(4,2）,令a n=,n∈N+.记数列｛a n}的前n项和为S n,则S2 018= .5.(2018浙江余姚中学4月模拟，17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S 5=30,S10=110.（1）求S n;（2）记T n=+…+,求T n.6。

（2018山西晋城月考）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+(-1）n（3n+1）.（1）求证:数列{a n+（-1）n n｝是等比数列;（2）求数列{a n｝的前10项和S10。

6-4课时作业A 组——基础对点练1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －3⎝ ⎛⎭⎪⎫15n，则其前20项和为( )A ．380－35⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1519B ．400－25⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520C ．420－34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520D ．440－45⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1520【答案】 C2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．120B ．99C ．11D ．121 【答案】 A3．(2019·江西师大附中调研)定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( )A.817B.919C.1021D.1123 【答案】 C4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (2n －1)·cos n π2＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120 【答案】 D5．(2019·湘潭模拟)已知T n 为数列⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1013恒成立，则整数m 的最小值为( )A ．1026B ．1025C ．1024D ．1023 【答案】 C6．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N*，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1)C ．9n －1 D.14(3n －1)【答案】 B7．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________．【答案】 288．设函数f(x)＝12＋log2x1－x，定义S n＝f⎝⎛⎭⎪⎫1n＋f⎝⎛⎭⎪⎫2n＋…＋f⎝⎛⎭⎪⎫n－1n，其中n∈N*，且n≥2，则S n＝________．【答案】n－1 29．(2018·天津高考)设{a n}是等差数列，其前n项和为S n(n∈N*)；{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求S n和T n.(2)若S n＋(T1＋T2＋…＋T n)＝a n＋4b n，求正整数n的值．10．(2019·长沙模拟)已知数列{a n}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.(1)求数列{a n}的通项公式．(2)记b n＝2a n a n＋1，设{b n}的前n项和为S n.求最小的正整数n，使得S n>20162017.B组——能力提升练1．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()A．440 B．330C．220 D．110【答案】 A2．(2019·马鞍山期中)设数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (2n －1)·cos n π2＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 120＝( )A ．－60B ．－120C ．180D ．240 【答案】 D3．(2019·邯郸质检)在公差大于1的等差数列{a n }中，已知a 21＝64，a 2＋a 5＋a 8＝36，则数列{|a n |}的前20项和为________．【答案】 8124．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于__________．【答案】302725．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－2，且满足S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式． (2)若b n ＝log 3(－a n ＋1)，设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋2的前n 项和为T n ，求证：T n <34.。

课时规范练29 等比数列及其前n 项和基础巩固组1。

（2018北京师大附中期中）在等比数列{a n ｝中,a 1=3,a 1+a 2+a 3=9,则a 4+a 5+a 6等于（ ) A.9 B.72 C 。

9或72 D 。

9或—722。

(2018湖南岳阳一中期末)等比数列{a n }中,a n a n+1=4n-1,则数列｛a n }的公比为（ ) A 。

2或-2 B.4 C 。

2 D 。

√23。

(2018黑龙江仿真模拟十一）等比数列{a n }中，a n >0,a 1+a 2=6，a 3=8,则a 6=（ ) A.64 B.128 C.256 D 。

5124.在公比为正数的等比数列｛a n ｝中，a 1+a 2=2，a 3+a 4=8，则S 8等于( ） A 。

21 B.42 C 。

135 D.1705。

(2018重庆梁平二调)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ) A.1盏 B 。

3盏 C.5盏 D 。

9盏6.（2018衡水中学仿真,6）已知数列｛a n ｝为等比数列,且a 2a 3a 4=-a 72=—64，则tana 4a 63·π=( ）A 。

-√3B 。

√3 C.±√3 D.—√337。

(2018陕西咸阳三模）已知数列{a n ｝为等比数列,且a 3a 11+2a 72=4π，则tan （a 1a 13）的值为 。

8.（2018全国3，文17）等比数列｛a n }中，a 1=1,a 5=4a 3. （1）求｛a n }的通项公式;（2）记S n 为｛a n ｝的前n 项和，若S m =63，求m 。

9.（2018北京城六区一模）已知等比数列{a n ｝满足以a 1=1,a 5=18a 2。

课时作业31 数列的综合问题一、选择题1．(2019年广东省六校高三上学期第一次联考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是( )．(参考数据：lg1.12＝0.05，lg1.3＝0.11，lg2＝0.30)．A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年解析：设从2015年开始第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得130×(1＋12%)n －1≥200，∴1.12n －1≥200130，两边取常数对数得(n －1)lg1.12≥lg 200130，∴n －1≥lg2－lg1.3lg1.12＝0.3－0.110.05＝3.8，∴n ≥5，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.答案：B2．(2019年贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下学期)《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”(整数部分)及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸(未通者)分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：n＝2及n＝3时，如图1：图1记S n为每个序列中最后一列数之和，则S7为()A．1 089 B．680C．840 D．2 520解析：当n＝7时，序列如图2：图2故S7＝420＋210＋140＋105＋84＋70＋60＝1 089，故选A.答案：A3．(2018年重庆巴蜀中学二诊)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”意思是：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人，他们共猎获五只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少．若五只鹿的鹿肉共500斤，则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为( )A ．200B ．300C.5003 D ．400解析：由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列，记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝500.由等差数列的性质可得5a 3＝500，即a 3＝100，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝300.答案：B4．(2018年吉林延边二中调研)设某商品一次性付款的金额为a 元，若以分期付款的形式等额地分成n 次付清，且每期利率r 保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是 ( )A.a n (1＋r )n 元B.ar （1＋r ）n （1＋r ）n －1元 C.a n (1＋r )n －1元 D.ar （1＋r ）n －1（1＋r ）n －1元 解析：设每期期末所付款是x 元，则各次付款的本利和为x (1＋r )n －1＋x (1＋r )n －2＋x (1＋r )n －3＋…＋x (1＋r )＋x ＝a (1＋r )n ，即x ·（1＋r ）n －1r ＝a (1＋r )n ，整理得x ＝ar （1＋r ）n （1＋r ）n －1.故选B. 答案：B5．(2019年广东省广州外国语学校高二下学期期末考试)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为() A．2 017×22 015B．2 017×22 014C．2 016×22 015D．2 016×22 014解析：由题意得，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2 015行公差为22 014；第一行的第一个数为2×2－1；第二行的第一个数为3×20；第三行的第一个数为4×21；……；第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，第2 016行只有M＝(1＋2 016)·22 014＝2 017·22 014，故选B.答案：B6．(2019年辽宁省重点高中协作校高二下学期期末考试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则a2 016a2 018－(a2 017)2等于() A．1 B．－1C．2 017 D．－2 017解析：由“斐波那契数列”的通项公式a n＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n－⎝⎛⎭⎪⎫1－52n可得a2 016＝15[⎝⎛⎭⎪⎫1＋522 016－⎝⎛⎭⎪⎫1－522 016]，a 2 018＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52 2 016×3＋52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52 2 016×3－52] a 2 016·a 2 018＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52 4 034－3＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫1－54 2 016－3－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1－542 016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52 4 034]；a 22 017 ＝15[⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52 4 034－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－54 2 017＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52 4 034]， 故a 2 016·a 2 018－a 22 017＝15[－3－2]＝－1，应选答案B.答案：B7.图3(2019年福建省三明市第二中学高二第二学期阶段(一)考试)如图3所示：在杨辉三角中，斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列： 记这个数列前n 项和为S n ，则S 16等于 ( )A ．128B ．144C ．155D ．164解析：由题干图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，第15项是C 29，第16项是C 19，所以S 16＝C 22＋C 12＋C 23＋C 13＋…＋C 29＋C 19＝(C 22＋C 23＋…＋C 29)＋(C 12＋C 13＋…＋C 19)＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29)＝44＋C 310＝44＋120＝164，故选D.答案：D8．在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是 ( )A ．m (1＋q )4元B ．m (1＋q )5元C.m [（1＋q ）4－（1＋q ）]q元 D.m [（1＋q ）5－（1＋q ）]q元 解析：2016年存款到2017年存款的本息和为m (1＋q )，2015年存款到2017年存款的本息和为m (1＋q )2，2014年存款到2017年存款的本息和为m (1＋q )3，2013年存款到2017年存款的本息和为m (1＋q )4，三年存款的本息和为m (1＋q )＋m (1＋q )2＋m (1＋q )3＋m (1＋q )4＝m （1＋q ）[（1＋q ）4－1]（1＋q ）－1＝m [（1＋q ）5－（1＋q ）]q ，选D. 答案：D9．(2019年陕西省黄陵中学高三(重点班)下学期高考前模拟)在圆C ：x 2＋y 2＝5x 内，过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32有n 条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项a 1，最长的弦长为a n ，若公差d ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，13，那么n 的取值集合为 ( )A ．{4，5，6}B ．{6，7，8，9}C ．{3，4，5}D ．{3，4，5，6}解析：由题设已知圆的圆心坐标与半径分别为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，r ＝52，最长弦与最短弦分别为a n ＝L ＝2r ＝5，a 1＝2 254－94＝4，所以d ＝a n －a 1n －1＝1n －1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，13，解之得4≤n ＜7，即n ＝4，5，6，应选答案A.答案：A10．(2019年福建省福州第一中学高三质检)已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝12，a n ＋1＝2a n ＋a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则∑2017i ＝11a i －1a i ＋1的整数部分是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵a 1＝12，a 2＝12，a n ＋1＝2a n ＋a n －1，所以可得1a i －1a i ＋1＝12a i⎝ ⎛⎭⎪⎫1a i －1－1a i ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a i －1a i－1a i a i ＋1， ∑2017i ＝2 1a i －1a i ＋1＝12(1a 1a 2－1a 2a 3＋1a 2a 3－1a 3a 4＋…＋1a 2 015a 2 016－1a 2 016a 2 017)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1a 2－1a 2 016a 2 017 ＝12(4－1a 2 016a 2 017) ∴1＜∑2 017i ＝2 1a i －1a i ＋1＜2，∑2 017i ＝2 1a i －1a i ＋1的整数部分是1， 故选B.答案：B11．(2019年宁夏平罗中学高二下学期期末考试)口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为 ( )A ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135 C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫135 D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫235 解析：S 7＝3表示7次中5次白球2次红球，所以概率为C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135，选B.答案：B 12．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n ＝P 0(1＋k )n (k >－1)，其中P n 为预测人口数，P 0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1<k <0，那么这期间人口数( )A. 呈上升趋势B. 呈下降趋势C. 摆动变化D. 不变解析：∵－1<k <0，则0<k ＋1<1，∴(1＋k )n 是减函数，又∵P 0>0，∴P n 为减函数，即人口呈下降趋势．答案：B二、填空题13．某种树的分枝生长规律如图4所示，第1年到第6年的分枝数分别为1，1，2，3，5，8，则预计第10年树的分枝数为________．图4解析：记第n 年分枝数为a n ，则a 1＝a 2＝1，当n ≥3时，a n ＝a n －1＋a n －2，所以a 7＝5＋8＝13，a 8＝8＋13＝21，a 9＝13＋21＝34，a 10＝21＋34＝55，故答案为55.答案：5514．(2019年陕西省西安市第一中学高三上期中)一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为________．13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9…解析：设第n (n ≥2)行的第二个数为a n ，则a 2＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝2n －3，叠加可得a n ＝n 2－2n ＋3，所以第九行的第二个数a 9＝81－18＋3＝66.答案：6615．(2019年辽宁省锦州市高三质量检测)已知数列{a n }各项均为正数，a 1＝12，对任意的n ∈N *，有a n ＋1＝a n ＋12016a 2n ，若a n ＞1则n的最小值为________．解析：∵a n ＋1＝a n ＋12 016a 2n ，a 1＝12，∴a n ＋1＞a n ＞0.∴1a n ＋2 016＝1a n －1a n ＋1， ∴1a 1＋2 016＋1a 2＋2 016＋…＋1a n ＋2 016＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n－1a n ＋1＝2－1a n ＋1， ∴2－1a n ＋1＜n a 1＋2 016. 当n ＝2 016时，2－1a 2 017＜ 2 01612＋2 016＜1，得a 2 017＜1. 当n ＝2 017时，2－1a 2 018＞ 2 017a 2 017＋2 016＞1， 得a 2 018＞1.因此存在n ，使得a n ＞1，且n 的最小值为2 018.答案：2 01816．(2019年江苏省徐州市第一中学高一下学期期中考试)我们知道，如果定义在某区间上的函数f (x )满足对该区间上的任意两个数x 1、x 2，总有不等式f （x 1）＋f （x 2）2≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立，则称函数f (x )为该区间上的向上凸函数(简称上凸). 类比上述定义，对于数列{a n }，如果对任意正整数n ，总有不等式a n ＋a n ＋22≤a n ＋1成立，则称数列{a n }为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列{a n }满足如下两个条件：(1)数列{a n }为上凸数列，且a 1＝1，a 10＝28；(2)对正整数n (1≤n ＜10，n ∈N *)，都有|a n －b n |≤20，其中b n ＝n 2－6n ＋10.则数列{a n }中的第三项a 3的取值范围为________．解析：由题意得，∵a n ＋a n ＋22≤a n ＋1，a n ＋2－a n ＋1n ＋2－（n ＋1）≤a n ＋1－a n n ＋1－n∴a 10－a 110－1≤a 3－a 13－1⇒a 3≥7 又|a n －b n |≤20，b n ＝n 2－6n ＋10令n ＝3，则b 3＝1∴－20≤a 3－b 3≤20⇒－19≤a 3≤21又∵a 3≥7∴7≤a 3≤21答案：[7，21]三、解答题17．(2019年《数列》单元检测题)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n.若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．解：(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，∴a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6. 综上可得第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤670×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7. (2)证明：设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式，得①当1≤n ≤6时，S n ＝120n ＋n （n －1）2×(－10) ＝120n －5n (n －1)，∴A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；∴数列{A n }是递减数列，故A n ≥A 6＝95，M 可继续使用．②当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －61－34＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6， ∴A n ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6， 易知数列{A n }是递减数列．又A 8＝18⎣⎢⎡⎦⎥⎤780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝824764＞80， A 9＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝767996＜80，所以需在第9年初对M 更新．18．(2019年河北衡水中学高三联考摸底)中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2016年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式(注：2016年为第一年)；(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2035年后是否需要调整政策？(说明：0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)解：(1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，∴a n ＝45.5＋0.5(n －1)＝45＋0.5n ，当n ≥11时，数列{a n }是以公比为0.99的等比数列，又∵a 10＝50，∴a n ＝50×0.99n －10，因此，新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万)的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧45＋0.5n ，1≤n ≤1050×0.99n －10，11≤n ≤20； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈972.5万，(说明：0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)，∴新政策实施到2035年年人口均值为S 2020≈48.63万，由于S 2020＜49，故到2035年不需要调整政策．19．(2019年福建省三明市高三阶段性测试)随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q 型车、R 型车的销量引起市场的关注．已知2017年1月Q 型车的销量为a 辆，通过分析预测，若以2017年1月为第1月，其后两年内Q 型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R 型车前n 个月的销售总量T n 大致满足关系式：T n ＝228a (1.012n －1)．(n ≤24，n ∈N *)(1)求Q 型车前n 个月的销售总量S n 的表达式；(2)比较两款车前n 个月的销售总量S n 与T n 的大小关系；(3)试问从第几个月开始Q 型车的月销售量小于R 型车月销售量的20%，并说明理由．⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：54.5828≈1.09，lg 1.09lg 1.01≈8.66 解：(1)Q 型车每月的销售量{a n }是以首项a 1＝a ，公比q ＝1＋1%＝1.01的等比数列前n 个月的销售总量S n ＝a （1.01n －1）1.01－1＝100a (1.01n －1)，(n ∈N *，且n ≤24)．(2)∵S n －T n ＝100a (1.01n －1)－228a (1.012n －1)＝100a (1.01n －1)－228a (1.01n －1)(1.01n ＋1)＝－228a (1.01n－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1.01n ＋3257 又1.01n －1＞0，1.01n ＋3257＞0，∴S n ＜T n .(3)记Q 、R 两款车第n 个月的销量分别为a n 和b n ，则a n ＝a ×1.01n－1当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝228a (1.012n －1)－228a (1.012n －2－1) ＝228a ×(1.012－1)×1.012n －2＝4.582 8a 1.012n －2.b 1＝4.582 8a ，显然20%×b 1＜a 1.当n ≥2时，若a n ＜20%×b n ，即a 1.01n －1＜12×4.582 8a 1.012n －2， 1．012(n －1)＞54.582 8×1.01n －1，1.01n －1＞54.582 8≈1.09，n －1＞lg 1.09lg 1.01≈8.66.∴n ≥10，即从第10个月开始，Q 型车月销售量小于R 型车月销售量的20%.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

数列的概念及其表示法1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 等于(B) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6由S n ＝n 2－9n ，可根据a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.解得a n ＝2n －10，再根据5<2k －10<8，解得7.5<k <9，所以k ＝8. 2．数列{a n }满足a n ＝nanb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，那么a n 与a n －1的大小关系是(A) A ．a n >a n －1 B ．a n <a n －1 C ．a n ＝a n －1 D ．不能确定a n ＝na nb ＋c ＝ab ＋cn是关于n 的增函数，所以a n >a n －1. 3．(2018·静宁县期末)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2018＝(C) A ．20182B ．2018×2019C ．2017×2018 D．2016×2017因为a n －a n －1＝2(n －1)，所以a n －a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＝n (n －1)， 因为a 1＝0，所以a n ＝n (n －1)． 所以a 2018＝2018×2017.4．(2018·南昌模拟)设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是(C)A ．a n ＝12nB ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝12n ＋1设{2n －1a n }的前n 项和为T n ，由条件T n ＝n2.当n ≥2时，2n －1a n ＝T n －T n －1＝n 2－n －12＝12，所以a n ＝122n －1＝12n ，当n ＝1时，20a 1＝a 1＝T 1＝12，所以a 1＝12满足上式，所以a n ＝12n .5．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝ 2n ＋1－3 .因为a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，所以a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)(n ≥1)，即{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝4·2n －1＝2n ＋1，所以该数列的通项a n ＝2n ＋1－3.6．数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝ 12 .由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1， 因为a 8＝2，所以a 7＝1－1a 8＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，所以{a n }是以3为周期的数列，所以a 1＝a 7＝12.7．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.8．(2017·安徽黄山二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，则S 5＝(D)A ．31B ．42C ．37D ．47因为a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，即S n ＋1－S n ＝S n ＋1，所以S n ＋1＋2＝2(S n ＋1)(n ∈N *)，所以数列{S n ＋1}是首项为3，公比为2的等比数列， 所以S 5＋1＝3×24，解得S 5＝47.9．(2018·瓦房店市一模)设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *，都有4S n ＝a 2n ＋2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式为a n ＝ 2n .因为4S n ＝a 2n ＋2a n ，①当n ＝1时，4a 1＝a 21＋2a 1，得a 1＝2. 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1，② ①－②得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1， 即2(a n ＋a n －1)＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)， 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2.所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .10．(2018·广州市模拟)已知数列{a n }满足a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －1a n ＝n4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4na n2n ＋1，求数列{b n b n ＋1}的前n 项和T n .(1)当n ＝1时，a 1＝14.因为a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＋4n －1a n ＝n4，①所以a 1＋4a 2＋42a 3＋…＋4n －2a n －1＝n －14，n ≥2.②①－②得4n －1a n ＝14，所以a n ＝14n (n ≥2，n ∈N *)．由于a 1＝14也满足上式，故a n ＝14n (n ∈N *)．(2)由(1)得b n ＝4na n 2n ＋1＝12n ＋1.所以b n b n ＋1＝1n ＋n ＋＝12(12n ＋1－12n ＋3)． 故T n ＝12(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝12(13－12n ＋3)＝n 6n ＋9.等差数列的概念及基本运算1．已知数列{a n }是等差数列，且a 7－2a 4＝6，a 3＝2，则公差d ＝(B) A ．2 2 B ．4 C ．8 D ．16因为a 7－2a 4＝a 7－(a 1＋a 7)＝－a 1＝6，所以a 1＝－6.又a 3＝2，所以公差d ＝a 3－a 13－1＝2－－2＝4.2．(2018·武汉二月调研)在等差数列{a n }中，前n 项和S n 满足S 7－S 2＝45，则a 5＝(B) A ．7 B ．9 C ．14 D ．18因为S 7－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝45，所以5a 5＝45，所以a 5＝9.3．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于(D) A ．16 B ．8 C ．2 2 D ．4由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1可知数列{a 2n }是等差数列，且首项为a 21＝1，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3.所以{a 2n }的通项a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2， 所以a n ＝3n －2.所以a 6＝3×6－2＝4.4．(2018·汕头模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝15a 5，S 5－S 2＝18，则3a 3－a 4的值为(A)A ．21B ．24C ．27D ．30因为{a n }是等差数列，由等差数列的性质和前n 项和公式及S 5＝15a 5，得a 3＝3a 5，①又因为S 5－S 2＝18，得a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝18， 得a 4＝6，且a 4＝a 3＋d ，a 4＋d ＝a 5，②由①②得 a 4－d ＝3(a 4＋d )，解得a 4＝－2d ＝6， 所以d ＝－3，则3a 3－a 4＝3(a 4－d )－a 4＝2a 4－3d ＝2×6－3×(－3)＝12＋9＝21.5．(2018·北京卷)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为__a n＝6n －3__.(方法一)设公差为d .因为a 2＋a 5＝36，所以(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝36，所以2a 1＋5d ＝36. 因为a 1＝3，所以d ＝6，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6n －3.(方法二)设公差为d ，因为a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3， 所以a 6＝33，所以d ＝a 6－a 15＝6.因为a 1＝3，所以通项公式a n ＝6n －3.6．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝ －1n.由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1·S n ，两边同除以S n ＋1·S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.7．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －9.(2)由(1)得S n ＝a 1＋a n2·n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.8．(2018·郑州市二模)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n＋1，则a 20的值是(D) A ．415 B ．425C ．435D ．445由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ， 又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }为首项为1，公差为5的等差数列， 则20a 20＝1＋19×5＝96，解得a 20＝245.9．数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝10，a 11＋a 12＋…＋a 20＝20，则a 41＋a 42＋…＋a 50＝ 50 .因为A 1＝S 10，A 2＝S 20－S 10，A 3＝S 30－S 20，…，数列{A n }构成等差数列，其中A 1＝S 10＝10，公差d ＝10，所以a 41＋a 42＋…＋a 50＝A 5＝A 1＋(5－1)×d ＝10＋4×10＝50.10．已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n－1(n ≥2且n ∈N *)． (1)求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)(方法一：构造法)因为a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n－1， 所以当n ≥2时，a n －1＝2(a n －1－1)＋2n， 所以a n －12n＝a n －1－12n －1＋1， 所以a n －12n－a n －1－12n －1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 是以a 1－12＝2为首项，以1为公差的等差数列． (方法二：代入法) 因为a 1＝5，n ≥2时， 所以a n －12n－a n －1－12n －1＝a n －1＋2n －－12n －a n －1－12n －1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 是以a 1－12＝2为首项，以1为公差的等差数列． (2)由(1)知a n －12n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，所以a n ＝(n ＋1)2n＋1.等比数列的概念及基本运算1．(2018·石家庄二模)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，则a 6＝(C) A ．14 B ．28 C ．32 D ．64因为a 2＝2，a 5＝16，所以q 3＝a 5a 2＝8，所以q ＝2，所以a 6＝a 5q ＝32.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝(C)A ．2B ．1 C.12 D.18由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)，所以a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2. 所以a 2＝a 1q ＝12.3．(2018·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，当q ＝1时，S n ＝A ＋B ，所以a n ＝0(n ≥2)与数列{a n }是等比数列矛盾，所以q ≠1，S n ＝a 1－q n1－q，所以A ＝－a 11－q ，B ＝a 11－q，所以A ＝－B ， 因此“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的必要不充分条件．4．(2018·西宁模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝33，则a 12＋a 2012a 18＋a 2018＝(D)A.29B.49C.23D.89依题意知等比数列{a n }的公比q ＝a 3a 2＝332，故a 12＋a 2012a 18＋a 2018＝a 12＋a 2012q 6a 12＋a 2012＝1q 6＝89.5．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝ －1 .因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11.即(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋10d )，解得a 1＝－1.6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝6，S 4＝30，则S 6＝ 126 .因为{a n }是等比数列，所以S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列． 所以S 6－S 4S 4－S 2＝S 4－S 2S 2，故S 6＝126. 7．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.8．(2017·湖南三湘名校联盟三模)一个等比数列{a n }的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(B)A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项设首项为a 1，公比为q ，共有n 项．前三项的积为a 31q 3＝2， 最后三项的积为a 31q 3n －6＝4，两式相乘得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2，又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，所以a n1qn n －2＝64.则(a 21q n －1)n＝642，所以2n ＝642，所以n ＝12.9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ 50 .因为a 1a 20＝a 10a 11＝a 9a 12＝e 5，所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20) ＝ln[(a 1·a 20)·(a 2·a 19)·…·(a 10·a 11)] ＝ln(e 5·e 5·…·e 5)＝ln e 50＝50.10．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q (q ≠0)．(1)由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3，①由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0. 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.数列求和1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9等于(C) A ．729 B ．387 C ．604 D ．854a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 5＝93－53＝604.2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的正整数n (A)A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值31S n ＝log 2(23·34·45·…·n ＋1n ＋2)＝log 22n ＋2<－5， 所以2n ＋2<2－5，所以n ＋2>26，n >62，所以n ≥63. 3．(2018·湖南湘潭三模)已知T n 为数列{2n＋12n }的前n 项和，若m >T 10＋1013恒成立，则整数m 的最小值为(C)A ．1026B ．1025C ．1024D ．1023因为2n＋12n ＝1＋(12)n，所以T n ＝n ＋12＋122＋…＋12n ＝n ＋1－12n .所以T 10＋1013＝11－1210＋1013＝1024－1210.又m >T 10＋1023恒成立，所以整数m 的最小值为1024. 4．(2018·广州市二测)数列{a n }满足a 2＝2，a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，S n为数列{a n }的前n 项和，则S 100＝(B)A ．5100B ．2550C ．2500D ．2450当n 为奇数时，a n ＋2＋a n ＝0，即a 3＋a 1＝a 5＋a 3＝…＝a 99＋a 97＝0. 当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2. 即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 100－a 98＝2. 所以S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100) ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100 ＝2＋4＋6＋…＋a 100 ＝2×50＋50×492×2＝2550.5．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若S n ＝10，则n ＝ 120 .a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝n ＋1－1＝10，所以n ＝120.6．设数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 2＝12, S n ＝kn 2－1(n ∈N *), 则数列{1S n}的前n 项和为n2n ＋1.由题意知，a 2＝S 2－S 1＝4k －1－(k －1)＝3k ＝12，所以k ＝4.所以S n ＝4n 2－1，则1S n ＝14n 2－1＝12(12n －1－12n ＋1)，则数列{1S n}的前n 项和为1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 7．(2018·深圳一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝2＋S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1＋log 2(a n )2，证明：1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1<16.(1)当n ≥2时，a n ＋1＝2＋S n ， ①a n ＝2＋S n －1， ②①－②得a n ＋1－a n ＝a n ，所以a n ＋1＝2a n ， 因为n ＝1时，a 2＝2＋2＝4，满足a n ＋1＝2a n ， 所以{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列， 所以a n ＝2n(n ∈N *)．(2)证明：由(1)得b n ＝1＋log 2(2n )2＝2n ＋1， 1b n b n ＋1＝1n ＋n ＋＝12(12n ＋1－12n ＋3)， 所以T n ＝12(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝12(13－12n ＋3)<16.8．设f (x )＝9x9x ＋3，则f (12000)＋f (22000)＋…＋f (19992000)的值为(B)A ．999 B.19992C ．1000 D.20012因为f (x )＝9x9x ＋3，所以f (1－x )＝91－x91－x ＋3＝39x ＋3，所以f (x )＋f (1－x )＝1.设S ＝f (12000)＋f (22000)＋…＋f (19992000)，S ＝f (19992000)＋f (19982000)＋…＋f (12000)，上述两式相加得2S ＝1×1999＝1999，所以S ＝19992.9．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N )，则数列{1a n }的前10项和为 2011 .由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n －＋n2＝n 2＋n －22.又因为a 1＝1，所以a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．因为当n ＝1时也满足此式，所以a n ＝n 2＋n2(n ∈N )．所以1a n ＝2n 2＋n ＝2(1n －1n ＋1)．所以S 10＝2(11－12＋12－13＋…＋110－111)＝2(1－111)＝2011.10．(2018·广州二模)已知各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＋1＝3a 2n ＋2a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝3(a 3＋3)，其中n ∈N *.(1)证明数列{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)令b n ＝na n, 求数列{b n }的前n 项和S n .(1)由a 2n ＋1＝3a 2n ＋2a n a n ＋1，得a 2n ＋1－2a n a n ＋1－3a 2n ＝0，得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－3a n )＝0，由已知a n >0，得a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1＝3a n . 所以数列{a n }是公比为3的等比数列．由a 2＋a 4＝3(a 3＋3)，得3a 1＋27a 1＝3(9a 1＋3)， 解得a 1＝3，所以a n ＝3n. (2)由b n ＝na n ＝n ·3n，则S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋(n －1)·3n －1＋n ·3n,①3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋(n －1)·3n＋n ·3n ＋1,②①－②得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1＝－3n1－3－n ·3n ＋1＝(12－n )·3n ＋1－32. 所以S n ＝(n 2－14)·3n ＋1＋34.数列的综合问题1．(2018·北京卷)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n .(1)设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为e a 1＝eln 2＝2，e a n e a n －1＝e a n －a n －1＝e ln 2＝2，所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝－2n1－2＝2(2n－1)＝2n ＋1－2.2．(2018·郑州三模)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，其前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝22，且a 4，a 7，a 12成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ，证明：T n <34.(1)因为{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝22，所以a 5＝12(a 2＋a 8)＝11.由a 4，a 7，a 12成等比数列，得a 27 ＝a 4 ·a 12 ， 即(11＋2d )2＝(11－d )·(11＋7d )，因为d ≠0，所以d ＝2，所以a 1＝11－4×2＝3， 故a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)证明：因为S n ＝n a 1＋a n2＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋＝12(1n －1n ＋2)，所以T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)] ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝34－12(1n ＋1＋1n ＋2)<34， 故T n <34.3．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，则b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3， 当n ≥3时，Tn ＝3＋－3n －21－3－n ＋n －2＝3n－n 2－5n ＋112，又当n ＝2时，T 2＝3也满足上式． 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3n －n 2－5n ＋112， n ≥2，n ∈N *.4．(2018·石家庄一模)已知数列是{a n }满足： a 1＝1, a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n . (1)设b n ＝a nn，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n， 又因为b n ＝a n n ，所以b n ＋1－b n ＝12n .由a 1＝1，得b 1＝1.累加可得：(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1＝1－12n －1，所以b n －b 1＝1－12n －1，因为b 1＝1，所以b n ＝2－12n －1.(2)由(1)可得a n ＝2n －n2n －1，设数列{n2n －1}的前n 项和为T n ，则 T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1， ①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n2n ， ② 12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝120－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，所以T n ＝4－n ＋22n －1，又2(1＋2＋…＋n )＝n (n ＋1)，所以S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.算法初步与程序框图1．(2018·广州二模)执行如图的程序框图， 若输出y ＝32，则输入x 的值为(A)A ．log 23－1或 2B ．1－log 23或 2C ．1－log 23 D. 2此题的功能是已知分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2log 2x ，x >1，2x， x ≤1的函数值，求相应的自变量的值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2x ＝32，得x ＝log 232＝log 23－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2－log 2x ＝32，得log 2x ＝12，所以x ＝ 2.所以x 的值为log 23－1或 2.2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为(C)A ．2B ．7C ．8D ．128由程序框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，9－x ，x ＜2.因为输入x 的值为1，比2小，所以执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.3．(2017·山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为(B)A ．x >3B ．x >4C ．x ≤4 D．x ≤5输入x ＝4，若满足条件，则y ＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y ＝log 24＝2，符合题意，结合选项可知应填x >4.4．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为(D)A ．5B ．4C ．3D ．2假设N ＝2，程序执行过程如下：t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出的S ＝90＜91.符合题意． 所以N ＝2成立．显然2是N 的最小值．5．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝(D)A ．4B ．5C ．6D ．7k ＝1时，1≤2成立，此时M ＝2，S ＝2＋3＝5；k ＝2时，2≤2成立，此时M ＝2，S ＝2＋5＝7； k ＝3时，3≤2不成立，终止循环，输出的S ＝7.6．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝(B)A ．2B ．3C ．4D ．5当K ＝1时，S ＝0＋(－1)×1＝－1，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝2；当K ＝2时，S ＝－1＋1×2＝1，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝3； 当K ＝3时，S ＝1＋(－1)×3＝－2，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝4；当K ＝4时，S ＝－2＋1×4＝2，a ＝－1，执行K ＝K ＋1后，K ＝5； 当K ＝5时，S ＝2＋(－1)×5＝－3，a ＝1，执行K ＝K ＋1后，K ＝6；当K ＝6时，S ＝－3＋1×6＝3，执行K ＝K ＋1后，K ＝7>6，输出的S ＝3.结束循环． 8．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入(B)A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4把各循环变量在各次循环中的值用表格列举如下．因为N ＝N ＋1i，由上表知i 是1→3→5，…，所以i ＝i ＋2，且当i ＝101>100时，循环终止．故空白框内应填入i ＝i ＋2.9．(2018·广州模拟)在如图的程序框图中，f′i(x)为f i(x)的导函数，若f0(x)＝sin x，则输出的结果是(A)A．－sin x B．cos xC．sin x D．－cos x初值f0(x)＝sin x，i＝0，i＝1，f1(x)＝cos x，i＝2，f2(x)＝－sin x，i＝3，f3(x)＝－cos x，i＝4，f1(x)＝sin x，由此可知f n(x)是以4为周期的一个周期函数．……当i＝2017时，因为2017＝4×504＋1，所以f2017(x)＝f1(x)＝cos x,2017>2017不成立，再进行一次循环，i＝2018，f2018(x)＝－sin x，因为2018>2017成立，退出循环，输出的f2018(x)＝－sin x.10．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是(C)A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出的k ＝8，所以应填s ≤1112. 11．(2016·天津卷)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 4 .按照程序框图中的顺序依次计算，直到满足条件输出S 的值．第一次，S ＝8，n ＝2；第二次，S ＝2，n ＝3；第三次，S ＝4，n ＝4，满足n >3，输出的S ＝4.12．执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 为 4 .执行第一次判断：|a －1.414|＝0.414＞0.005，a ＝32，n ＝2；执行第二次判断：|a －1.414|＝0.086＞0.005，a ＝75，n ＝3；执行第三次判断：|a －1.414|＝0.014＞0.005，a ＝1712，n ＝4；执行第四次判断：|a －1.414|＜0.005，输出的n ＝4.。