学案 2.4.2抛物线的简单几何性质

《抛物线的简单几何性质》学历案一、学习目标1、掌握抛物线的定义、标准方程。

2、理解并掌握抛物线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、离心率等。

3、能够运用抛物线的几何性质解决相关问题。

二、学习重难点1、重点（1）抛物线的几何性质。

（2）利用几何性质求抛物线的方程和解决相关问题。

2、难点（1）抛物线的几何性质的应用。

（2）与抛物线相关的综合问题。

三、知识回顾1、抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

2、抛物线的标准方程：（1）焦点在 x 轴正半轴上，方程为 y²＝ 2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

（2）焦点在 x 轴负半轴上，方程为 y²＝－2px（p ＞ 0），焦点坐标为（＼（＼frac{p}｛2}＼），0），准线方程为 x ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

（3）焦点在 y 轴正半轴上，方程为 x²＝ 2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

（4）焦点在 y 轴负半轴上，方程为 x²＝－2py（p ＞ 0），焦点坐标为（0，＼（＼frac{p}｛2}＼）），准线方程为 y ＝＼（＼frac{p}｛2}＼）。

四、新课导入我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么抛物线还有哪些重要的几何性质呢？这些性质又能帮助我们解决哪些问题呢？让我们一起来探究吧。

五、抛物线的几何性质1、范围以抛物线 y²＝ 2px（p ＞ 0）为例，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以对于抛物线上任意一点 M（x，y），有\（x ＼geq 0\），即抛物线在 x 轴的右侧（包括 x 轴）。

同理，对于抛物线 y²＝－2px（p ＞ 0），有\（x ＼leq 0\），即抛物线在 x 轴的左侧（包括 x 轴）。

2.4.2 抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1．掌握抛物线的几何性质．(重点)2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)1．通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养．2．通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p＞0)图形性质焦点 ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 ⎝⎛⎭⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎫0，－p 2准线 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈R________________对称轴 ________________顶点 ________ 离心率e ＝112y 2)，则有：(1)y 1y 2＝ ，x 1x 2＝ ； (2)|AB |＝ ，|AF |＝ ； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有_____个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线 公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有一个公共点． 思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？初试身手1．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是( ) A ．1716B ．78C ．1D ．15162．顶点在原点，对称轴为x 轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±8xD ．y 2＝±16x3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( ) A ．10 B ．8 C ．6D ．44．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用例1 (1)等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是( ) A ．8p 2 B ．4p 2 C ．2p 2D ．p 2(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．规律方法把握三个要点确定抛物线的简单几何性质1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.2.关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴.3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦又称为通径长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1．已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题例2(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_________________________．(2)已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线'E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．①求抛物线E的方程；②求直线AB的方程．规律方法直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法跟踪训练2．已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在的直线方程．类型3 直线与抛物线的位置关系例3(1)已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点(2)已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？规律方法直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px p>0，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.1.若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.2.若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.跟踪训练3．若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．类型4 抛物线性质的综合应用探究问题1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？2．如何求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值？例4如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．母题探究1．若本例题改为：如图所示，已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△P AB的面积最大，并求出这个最大面积．如何求解？移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．(1)求动点Q的轨迹方程；(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点(3,0)．如何求解？规律方法应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．课堂小结1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＞0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＜0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．课堂检测1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．设A ，B 是抛物线x 2＝4y 上两点，O 为原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的面积为16，则∠AOB＝()A．30°B．45°C．60° D．90°3．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值．参考答案新知初探1．y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴y轴(0,0) 12．(1)－p2 p2 4(2) x 1＋x 2＋p x 1＋p23．两 一 没有 平行或重合思考：[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．初试身手1．【答案】D【解析】抛物线方程可化为x 2＝14y ，其准线方程为y ＝－116，点M 到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M 到x 轴的距离是1516．2．【答案】C【解析】顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线方程有两个：y 2＝－2px ，y 2＝2px (p >0)，由顶点到准线的距离为2知p ＝4，故选C ． 3．【答案】B【解析】|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8． 4．【答案】2【解析】F (1,0)，由抛物线定义得A 点横坐标为1． ∴AF ⊥x 轴， ∴|BF |＝|AF |＝2．合作探究类型1 抛物线几何性质的应用 例1 (1)【答案】B【解析】由抛物线的对称性质及OA ⊥OB 知，直线OA 的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得A (2p,2p )，则B (2p ，－2p )，所以|AB |＝4p ，所以S △ABO ＝12·4p ·2p ＝4p 2，选择B ．(2)解：设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，交点A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23．(*)由对称性，知y 2＝－y 1，代入(*)式，得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4，得x 1＝±1， 所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上， 或点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上， 得3＝2p 或3＝－2p ×(－1)，所以p ＝32．故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x ．跟踪训练1．解：(1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4． ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12．∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y ．故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y ．准线方程为x ＝－1或y ＝18．类型2 与中点弦、焦点弦有关的问题 例2 (1)【答案】y 2＝4x【解析】设抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－2px ＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2p ．又因为P (2,2)为AB 的中点， 所以2p ＝4，所以y 2＝4x ．(2)解：①由于抛物线的焦点为(1,0)， 所以p2＝1，p ＝2，所求抛物线的方程为y 2＝4x ． ②法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1 ①，y 22＝4x 2 ②，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)，又x 1≠x 2， 所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0．法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2，y 2＝4x ，消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0， 所以y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点， 所以y 1＋y 2＝2， 所以k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 跟踪训练2．解：由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ， 消去y ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0． 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝p ＋2pk2，所以|AB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝52p ，解得k ＝±2．所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2． 类型3 直线与抛物线的位置关系 例3 (1)【答案】C【解析】直线方程可化为y ＝k (x －1)，因此直线恒过定点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px (p >0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点，故选C ． (2)解：由题意，直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0．① ①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1． ②当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)．a ．由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，所以方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点． b ．由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组(*)有两个解，这时直线l 与抛物线有两个公共点．c ．由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1或k >12．于是当k <－1或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解，直线l 与抛物线无公共点．综上，当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点．当－1<k <12，且k ≠0时直线l 与抛物线有两个公共点．当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线无公共点．跟踪训练3．解：因为直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a ＋1x －1，y 2＝ax只有一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，即(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0，①(1)当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程①是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，这时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程①是关于x 的一元二次方程．令Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－45．所以原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2. 综上，实数a 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－45．类型4 抛物线性质的综合应用 探究问题1．[提示] 两条直线的斜率互为相反数． 2．[提示] 法一：设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，法二：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∴Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43．∴最小距离为⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43．例4 (1)解：由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1．(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1．又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1．母题探究1．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2.由图可知，A (4,4)，B (1，－2)， 则|AB |＝35．设P (x 0，y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点，d 为点P 到直线AB 的距离，则 d ＝|2x 0－y 0－4|5＝15⎪⎪⎪⎪y 202－y 0－4 ＝125|(y 0－1)2－9|．∵－2<y 0<4，∴(y 0－1)2－9<0． ∴d ＝125[9－(y 0－1)2]．从而当y 0＝1时，d max ＝925，S max ＝12×925×35＝274．故当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，1时，△P AB 的面积取得最大值，最大值为274． 2．(1)解：因为点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，所以点R 是线段FP 的中点，由此及RQ ⊥FP 知，RQ 是线段FP 的垂直平分线．因为|PQ |是点Q 到直线l 的距离，而|PQ |＝|QF |，所以动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x (x >0)．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，直线AB ：x ＝my ＋1(m ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0．于是，有y M ＝y 1＋y 22＝2m ，x M ＝m ·y M ＋1＝2m 2＋1，即M (2m 2＋1,2m )．同理，N ⎝⎛⎭⎫2m 2＋1，－2m ． 因此，直线MN 的斜率k MN ＝2m ＋2m2m 2＋1－⎝⎛⎭⎫2m 2＋1＝m m 2－1，方程为y －2m ＝mm 2－1(x －2m 2－1)，即mx ＋(1－m 2)y －3m ＝0．显然，不论m 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 过定点(3,0)．课堂检测1．【答案】C【解析】设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，通径为2p ＝8，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x ． 2．【答案】D【解析】由|OA |＝|OB |，知抛物线上点A ，B 关于y 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫－a ，a 24，B ⎝⎛⎭⎫a ，a24，则S △AOB ＝12×2a ×a 24＝16，解得a ＝4，所以|AB |＝8，|OA |＝|OB |＝42，所以∠AOB ＝90°．3．【答案】B【解析】当直线垂直于x 轴时满足条件，当直线不垂直于x 轴时，设直线方程为y ＝kx ＋1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线． 4．解：由抛物线y 2＝8x 知，p ＝4．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以x 1＋x 2＝|AB |－p ．由条件知x 1＋x 22＝3，则x 1＋x 2＝6，所以|AB |－p ＝6， 所以|AB |＝10．。

教学内容 2.4.2 抛物线的简单几何性质三维目标【知识与技能】1．掌握抛物线的简单的几何性质，能根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程；2．能由抛物线方程解决简单的应用问题；3．学会判断抛物线与直线的位置关系；4．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化．【过程与方法】通过抛物线性质的学习，让学生更加熟悉求曲线方程的方法，培养学生的转化能力和数形结合能力。

【情感态度与价值观】通过抛物线性质的学习，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点。

教学重点抛物线的几何性质及其运用，以及抛物线与直线的位置关系。

教学难点抛物线性质的应用．教学方法启发引导，分析讲解，练习领会。

教学过程复习引入一．引入新课【师】复习提问：1、抛物线定义：平面内到一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数1的点的轨迹（或平面内到一个定点F和一条直线l（F不在l上）距离相等的点的轨迹）是抛物线。

点F叫做焦点．．，l叫做准线。

．．．2、抛物线的标准方程标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图形焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下那么，抛物线有哪些几何性质呢？点题，板书课题。

新课学习二．新课讲解1．抛物线的简单几何性质标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图像范围0≥x0≤x0≥y0≤y 对称性关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称顶点()0,0()0,0()0,0()0,0离心率1=e焦点坐标⎪⎭⎫⎝⎛0,2p⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p⎪⎭⎫⎝⎛2,0p⎪⎭⎫⎝⎛-2,0p准线方程2px-=2px=2py-=2py=开口方向向右向左向上向下2．通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。

直接应用抛物线定义，得到通径：pd2=。

三．练习领会师生共同解答下列各例：【例1】已知点()2,0A和抛物线C：xy62=，求过点A且与抛物线C相切的直线L的方程。

2.4.2 抛物线的简单几何性质预习导引区核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的下列性质：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的范围是什么？(2)抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴是什么？是否存在对称中心？(3)抛物线的顶点坐标有几个？顶点坐标是什么？(4)抛物线的离心率是多少？2．归纳总结，核心必记抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0，0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下在同一坐标系下画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，试分析影响抛物线开口大小的量是什么？课堂互动区知识点1 抛物线的几何性质 讲一讲1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程． 类题通法(1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程． 练一练1．已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．知识点2 抛物线的焦点弦问题思考 抛物线上一点与焦点F 的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦，若P (x 0，y 0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？讲一讲2．已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.类题通法(1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．练一练2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．知识点3 直线与抛物线的位置关系思考1若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线相切吗？思考2如何判断点P(x0，y0)与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系？讲一讲3．设直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离．类题通法研究直线和抛物线的位置关系时，由于消元后所得的方程中含参数，因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论．练一练3．已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．————————[课堂归纳·感悟提升]——————————1．本节课的重点是抛物线的几何性质和焦点弦问题，难点是直线与抛物线的位置关系．2．在研究直线与抛物线的位置关系时，直线与抛物线只有一个公共点，包括相交和相切两种情况，这是本节课的一个易错点．3．本节课要重点掌握的规律方法(1)抛物线的焦点弦问题，见讲2；(2)直线与抛物线的位置关系，见讲3.4．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．参考答案预习导引区核心必知1．(1)提示：x≥0，y∈R．(2)提示：对称轴为x轴，不存在对称中心．(3)提示：只有一个顶点坐标(0，0)．(4)提示：e ＝1． 问题思考提示：影响抛物线开口大小的量是参数p ，p 值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 课堂互动区知识点1 抛物线的几何性质 讲一讲1．解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3. 练一练1．解：因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2. 知识点2 抛物线的焦点弦问题思考 名师指津：x 0＋p 2 p 2－x 0 y 0＋p 2__p2－y 0 x 1＋x 2＋p p －x 1－x 2 y 1＋y 2＋p p －y 1－y 2． 讲一讲2．解：设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3，∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝ 1＋19·22－4×（－22）＝22303. 练一练2．解：(1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝⎛⎭⎫32，0.所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知， |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.知识点3 直线与抛物线的位置关系思考1 名师指津：直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但是只有一个公共点时，直线与抛物线可能相切也可能平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 思考2 名师指津：(1)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)内部⇔y 20<2px 0； (2)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上 ⇔y 20＝2px 0； (3)P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)外部⇔y 20>2px 0． 讲一讲3．解：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.若k ≠0，方程k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0为一元二次方程．∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． (1)当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 相切， (2)当Δ>0，即k <1时，l 与C 相交， (3)当Δ<0，即k >1时，l 与C 相离．若k ＝0，直线l 方程为y ＝1，显然与抛物线C 交于⎝⎛⎭⎫14，1.综上所述，当k ＝1时，l 与C 相切；当k <1时，l 与C 相交；当k >1时，l 与C 相离． 练一练3．证明：设OA 所在直线的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ，由题意知k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫2k 2，2k ，同样由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得点B 的坐标为(2k 2，－2k )．故AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k 2k 2－2k 2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝⎛⎭⎫1k －k y ＝x －2. 不论实数k 取任何不等于0的实数， 当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2，0)．。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）》导学案5一．学习目标：1、会类比椭圆、双曲线的几何性质，讨论抛物线的几何性质；2、会解决与抛物线几何性质有关的问题。

二.重点、难点：抛物线几何性质的应用三.自学指导：导读：阅读课本6968P P -导思：据抛物线()022>=x px y 研究其几何性质：1.由方程()022>=p px y 可知，其上任一点M （x,y ）中，x 0,所以这条抛物线在 ，当x 增大时，这说明抛物线向右上方和左下方 .2.以-y 代y ，方程()022>=p px y ，说明抛物线以 为对称轴.3. 叫做抛物线的顶点，在方程()022>=p px y 中，其顶点坐标为 .4. 叫做抛物线的离心率，离心率e= .5.抛物线()022>=p px y 的开口大小受 的影响，如何影响？6.完成下列表格：（可在笔记本仿此表归纳总结）四、导练展示：1.顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点M ()22,2-的抛物线有几条，求出它们的标准方程.2.求证：抛物线()022>=p px y 上，任意一点()00,y x P 到焦点F 的距离为20p x PF +=.3. P 为抛物线x y 22=上的动点，Q 为⊙C ：()1322=+-y x 上的动点，则PQ的最小值为 .A 、1B 、2C 、15-D 、54.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆422=+y x 相交的公共弦长等于32，求这条抛物线的方程.五、达标检测：1.72P 1，22.若抛物线()022>=p px y 上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M 的横坐标和p 的值分别是（ ）A 、9,2B 、1,18C 、9,2或1,18D 、9,18或1,2六、反思小结：。

2.4.2抛物线的几何性质教学目标(1)理解抛物线的几何性质及应用．(2)掌握与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系．(3)通过对抛物线几何性质的探究与应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．教学重点：(1)抛物线的几何性质．(2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程．教学难点：抛物线各个几何性质的灵活应用，直线与抛物线的位置关系问题．抛物线的几何性质问题导思类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？【答案】范围、对称性、顶点、离心率．在直角坐标平面内，顶点在原点、轴与坐标轴重合的抛物线有四种位置情况，因此抛物线的方程相应地有四种形式，它们都叫做抛物线的标准方程.设焦点到准线的距离为p(p>0),则抛物线标准方程的四种形式如下表所示标准方程y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形对称轴x轴y轴顶点原点焦点坐标F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2直线与抛物线的位置关系问题导思1．结合直线与椭圆、双曲线的位置关系，请你思考怎样讨论直线与抛物线的位置关系？【答案】联立直线与抛物线的方程，消元后，用“Δ”法．2．如果直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切，对吗？为什么？【答案】不对．因为直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况：①相切；②直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行．直线与抛物线的位置关系有相离、相切、相交三种情形，可以通过联立方程，判定解的个数来确定.典例精析例1已知抛物线以x轴为轴，顶点是坐标原点且开口向右，又抛物线经过点M(4，23)，求它的标准方程.解根据已知条件，设抛物线的方程为y2＝2px (p>0).因为点M(4,2 3 )在抛物线上，所以(2 3 )2＝2p·4，得2p＝3.因此，所求方程为y2＝3x.例2．汽车前灯反射镜与轴截面的脚线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处.已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点（即截得的抛物线的顶点）距离是多少？（图2-24（1））如图2-24解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标与那点，建立平面直角坐标系xOy，如图2-24（2）所示.如图2-24因为灯口直径|AB|=24，灯深|OP|=10，所以点A的坐标是（10,12）.设抛物线的方程为y2=2px（p>0）.因为点A (10，12)在抛物线上，得 122=2p ×10，所以p =7.2，抛物线焦点F 的坐标为（36，0）. 因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6cm.例3 已知点A 在平行于y 轴的直线l 上，且l 与x 轴的交点为(4,0).动点P 满足AP →平行于x 轴，且OA →⊥OP →，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹的形状.解 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由已知得A 点坐标为(4，y )，所以OA →＝(4，y )， OP →＝(x ，y ).因为OA →⊥OP →，所以OA →·OP →＝0， 因此4x ＋y 2＝0，即P 的轨迹方程为4x ＋y 2＝0. 轨迹的形状为抛物线. 课堂检测1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x【解析】 由题意知抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴标准方程为y 2＝8x .【答案】 B2．直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 的公共点的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个【解析】 直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点． 【答案】 B3．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝________.【解析】 |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 【答案】 84．通过抛物线的焦点且垂直于抛物线的对称轴的直线与抛物线交于两点，连结这两点的线段叫做抛物线的通径，求证：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的通径长为2p .证明 如图，过通径的两端点A 、B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，由题意四边形AA′B′B是矩形，由抛物线的定义知：AA′＝AF＝p，BB′＝BF＝p，∴通径AB的长为：AF＋BF＝2p.课堂小结1．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线动点的规律，一般用定义法．2．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，设而不求，能避免求交点坐标的复杂运算．3．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质等.。

2.3.2抛物线的简单几何性质一、学习目标：1.能由抛物线的标准方程导出它的几何性质；2.会对比抛物线标准方程的四种形式，观察其性质的异同；3.能由抛物线的性质确定抛物线的方程，并注意运用数形结合的思想方法解决相关问题.二、重点和难点：重点：掌握抛物线的几何性质，能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些相关问题. 难点：抛物线的几何性质的灵活应用.三、问题探究：(自学课本P60—P63)探究抛物线标准方程的四种形式及相关的简单几何性质填如下表：四．典例分析：例1：（1）抛物线2y ax =的准线方程为1y =-，求a 的值；（2）指出抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标及准线方程.例2：（1）抛物线28y x =上的点00(,)x y 到抛物线焦点的距离为3，求0y 的值； （2）抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，求点A 与抛物线焦点的距离.例3：（1）过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，若126x x +=，则A B 的长为 ；（2）AB 是过抛物线2x y =的焦点的弦，且4AB =，则AB 的中点到直线10y +=的距离 ；（3）已知AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，若AB m =，求AB 中点的横坐标为 ；.（4）经过抛物线28y x =-的焦点且和抛物线的对称轴成60︒的角的直线与抛物线交于A,B两点，则A B 的长为例4：（1）已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点(3,2)A ，求PA PF +的最小值；（2）点P 是抛物线24y x =上一动点，求点P 到点(0,1)的距离与P 到直线1x =-的距离和的最小值.例5：已知抛物线22y x =.（1）设点A 的坐标为2(,0)3，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离PA ；（2）在抛物线上求一点P ,使P 点到直线30x y -+=的距离最短，并求出距离的最小值.五．拓展训练A 级1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）． A ．212y x=B ．2y x =C ．22y x =D ．24y x =2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（ ） ． A ．220y x = B ．220x y = C ．2120y x=D ．2120x y=3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则A B 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．44.抛物线28y x =上的点00(,)x y 到抛物线焦点的距离为3，则0y =( )A.B. C.2 D.45．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则A B =6.过抛物线22(0)y px p =>的焦点的弦长为5p ，则此弦的中点横坐标为 B 级7.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为（ ） A.12B.1C.2D.48.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为9.已知点P 为抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7(,4)2A ，则PA PM +的最小值是（ ） A.112B.4C..92D.510. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222333(,),(,),(,)P x y P x y P x y 在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ） A.123P F P F P F += B.222123PF P FP F+=C.2132P F P F P F =+D.2132P F P F P F =⋅C 级11.已知点P 是抛物线24y x =上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为1d ，到直线2120x y +-=的距离为2d ，求1d +2d 的最小值.12．抛物线22y x =，A,B 在抛物线上，且直线AB 过焦点，则OA OB ⋅=六、课时小结。