空气阻力影响北半球自由落体的偏离理论力学教学札记之一
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（自然科学版）2009,15(4)
针对一般文献中将空气阻力与地球自转分开来处理抛体运动存在误差大的问题,本文同时考虑空气阻力与地球自转的影响,结合不同的空气阻力模型 建立了相应的抛体运动微分方程.忽略二阶小量,解微分方程,依次得到抛体的运动规律,最后利用Mathematic编程作出了抛体的位移-时间图像.
6.黄永念 关于"用逐次逼近法求解落体问题"一文的讨论[期刊论文]-力学与实践 1999(02) 7.于凤军.李建法 用辅助变量法确定落体问题[期刊论文]-力学与实践 1999(03)
相似文献(10条)
1.期刊论文 王健.韩修林.WANG Jian.HAN Xiu-lin 空气阻力与地球自转影响下抛体的运动 -安庆师范学院学报
ＣＯＳ２ｕｔ
＋
ＣＯＳＡ ｓｉｎ２ｕ￡
一ｓｉｎ＾ｃｏｓ２ｕｆ］
Ａ３（ｔ）ｅ—ｋ。
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一＝一９￡＋２ｕ分
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Ｊ
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笔者认为(陕西人民教育出版社出版的)<高中物理--2轮导与练>有一题的答案不妥,现与编者商榷. 题目:如图1所示,在赤道上,发射两颗质量相同、沿赤道正上方圆形近地轨道绕地心做圆周运动的卫星A和B.A向正东方发射,B向正西方发射.不计空气阻力 影响,但要考虑地球自转的作用.试分析、计算:
10.期刊论文 龙晓霞.LONG Xiao-xia 抛体运动的计算机模拟 -阜阳师范学院学报（自然科学版）2005,22(4)
选取固结在地面上的一组坐标系ｏｘｙｚ，ｏ点在 地面．ｚ轴切于经线向南，”轴切于纬线向东，；轴 沿地球径向． ｏ点柏纬度为＾（北半球）．设质点从高 ｈ处自由落下，受到的空气阻力为，＝－ｍｋｕ（ｋ为常 数），则质点的运动微分方程为
羞＝２ｍ篡ｗＶ Ａ－ｍｋ＝２ｓｉｎ－ＣＯＳ小１ＣＯＳｓｉ＝ｎ ｍ０＝一２”ｗ忙 ＾ｊ Ａ）一ｍ蛐＞ （）
指出了抛体运动传统研究方法的局限性,提出了一种新的研究方法,即利用MATLAB对考虑地球自转和空气阻力的抛体运动进行数值求解以及运动轨迹 的模拟,并对其结果和方法进行了分析.
引证文献(5条)
1.张赤军.张为民 空气阻力与科里奥利力对绝对重力测量的影响[期刊论文]-大地测量与地球动力学 2007(1) 2.张赤军.张为民 空气阻力与科里奥利力对绝对重力测量的影响[期刊论文]-大地测量与地球动力学 2007(1) 3.楼智美 北半球向南平抛物体的运动方程及其偏离表达式[期刊论文]-西南师范大学学报(自然科学版) 2002(2) 4.朱戎 空气阻力和地球自转对抛射体影响的系统研究[期刊论文]-山西师范大学学报(自然科学版) 2002(3) 5.楼智美.陈刚 辅助变量法研究北半球向东平抛物体的运动[期刊论文]-甘肃科学学报 2002(1)
第２期
楼智美：空气阻力影响北半球自由落体的偏离——理论力学教学札记之一
６９
积分得
．４ｚ（￡）＝（去一壶）雪ｓｊｎ ２Ａｅｎ
１
ｃｏｓ２∽）９ｃ矾∥｝（６） Ａ２（ｆ）＝（－Ｂ ｓｉｎ２ｗｔ＋Ｄ
‘４３（‘）＝（Ｂ。。８２ｕ。十Ｄ ８ｉ“２ｕ２）９。０ｓ＾。“ Ｊ
其中
Ｂ＝（七３ｆ＋４ｗ２ｋｔ＋４ｗ２一ｋ２）／（４ｕ２＋ｋ２）２
４尹新田．北半球自由落体东僖和南偏的一种近似屏．大学 物理．】９９５，１４（９）：１９
５同风利．在地心参照系中对地球赤道上幕体信东的计算． 大学物理．１９９４，１３（１）：２６
９黄永念．关于。用鼍次逼近法求■落体目曩’一文的讨论 力学与宴殴．１９９９，２１（２）：７４
７于风军，丰建ｊ击．用辅助变量ｊ击确定幕体问置．力学与宴 践．１９９９，２１（３）：６９
力
学
与
实
践
２００１年第２３卷
空气阻力影响北半球自由落体的偏离
一理论力学教学札记之一
搂智美 （绍兴文理学院物理系，浙江绍兴３１２０００）
摘要空气阻力将影响北半球自由落件的偏离．本文介 绍了当空气阻力与自由落体速度的一次方成正比时， 北半球自由落伴运动方程的精确解及落体南偏和东偏 表达式的求法．
关薯词空气阻力，地球自转，运动方程
＋
—ＣＯＳ＾ＣＯＳ２ｗｔ
（去一丽１）ｇ ｓｉｎ２ｘ一；Ｂｇｓｉｎ２－
Ｄ９ｃ∞＾
一一ｆＬ去磊一一丽ｉ１萨Ｊ１
ｓｉｎ２Ａｔ＾一Ｂｇ
Ａｔｇ“一９。９０ｃ８ｏ‘ｓ“ ２＾
（１）当ｋ－÷０．即忽略空气阻力．对式（９）取 七一＋ｏ的极限，所得结果与文献【２】的式（１２）一致ｆ
文献旨意描吼即只考虑空气阻力’式‘９冲
落时间ｔ＝何，代入式（１０ａ），式（１０ｂ），可得 另外。若忽略空气阻力，从式（ｆＯｅ）中可解得下
与文献【２】相同的结论．
参考文献
ｌ周衙伯．理论力学拄程．北京ｔ＾民教育出版挂．１９８５．
４０
２周木平．刘孜杰北半球自由落体南信的一种精确解怯． 大学物理，１９９４，１３（６）：１
３项红专．自由蒜体偏＾的组皴近似解法．大学物理，１９９５， １４（０）：１８
万方数据
空气阻力影响北半球自由落体的偏离--理论力学教学札记之
一
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
楼智美， LOU Zhimei 绍兴文理学院物理系,
力学与实践 MECHANICS IN ENGINEERING 2001，23(2) 5次
参考文献(7条) 1.周衍伯 理论力学教程 1985 2.周永平.刘孜杰 北半球自由落体南偏的一种精确解法 1994(06) 3.项红专 自由落体偏离的级数近似解法 1995(09) 4.尹新国 北半球自由落体东偏和南偏的一种近似解 1995(09) 5.阎凤利 在地心参照系中对地球赤道上落体偏东的计算 1994(01)
2.期刊论文 朱戎 空气阻力和地球自转对抛射体影响的系统研究 -山西师范大学学报(自然科学版)2002,16(3)
本文主要计算了当空气阻力与抛射体的速度的一次方成正比时,抛射体在地球自转和空气阻力两种影响下,北半球抛射体运动方程的精确解.
3.期刊论文 楼智美 北半球向南平抛物体的运动方程及其偏离表达式 -西南师范大学学报(自然科学版)2002,27(2)
ｍｊ＝一ｍ９＋２＂ｗ０ Ａ 一ｍ托
Ｊ
积分一次可得
通解为
￥
Ⅳ
＝Ａ１ｅ一‘‘
一
１
０
十
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ＣＯＳ２ｗｔ
＋
ｃｏｓ＾ｓｉｎ２ｕ￡
ｓｉｎ＾ｃｏｓ ２ｗｔ
ｓｉｎ２ｕｔ
ＣＯＳ＾ＣＯＳ２ｗｔ
根据拉格朗日常数变易法，与非齐次方程组（２） 相对应的特解为
『圣１
Ｉ口ｌ＝．４１（ｆ，ｅ“
ｌＦ Ｊ
讣
ｓｉｎ＾ｓｉｎ２ｗｔ
在现行的理论力学教材中【ｌＪ．空气阻力和地球 自转对自由落体的影响总是分别考虑的．已有不少作 者运用不同的方法讨论了只考虑地球自转时落件的偏 向问题１２￣”而事实上自由落体在下落过程中还受到 空气阻力的影响．本文介绍了同时考虑两种影响．井 投空气阻力与落体速度的一次方成正比时．从牛顿动 力学方程求出北半球自由落体运动方程的精确解厦落 体南偏和东偏表达式的方法．
8.期刊论文 张建平.李阳 地球自转和空气阴力影响下抛体运动规律的研究 -乐山师范学院学报2007,22(12)
本文利用MATLAB数学工具,研究了在地球自转和空气阻力影响下,北半球向任意方向的抛体运动规律,得到了比其他文献[1-9]更好的解析解,并对结果 进行了分析和讨论.
9.期刊论文 王举村 向西发射卫星到底多消耗多少能量? -物理教师2005,26(9)
6.期刊论文 姜广智.张燕林 对抛体运动射程规律的再讨论 -河南教育学院学报(自然科学版)2004,13(3)
利用微分方程导出不同条件下抛体运动的射程表达式和最大射程.
7.期刊论文 陈小波.李强.CHEN Xiao-bo.LI Qiang 关于抛体运动的分析 -四川文理学院学报2009,19(5)
空气阻力和地球自转对抛体的运动皆会产生影响.分析了只考虑空气阻力和只考虑地球自转因素下的抛体运动;并用Matlab工具绘图比较在不同参数 影响下的射程变化趋势;推导了在地球自转和空气阻力共同影响下的抛体运动运动学方程.
｝ （８）
Ａ３－（ｋ２—４ｗ２）ｇｃｏｓＡ／（“２＋驴）２ Ｊ
故自由落体的运动方程为
＝斧“匕 Ｚ ＋
ｒ． ． ．Ｌ ￡ Ⅳ一 ＾
ｓｉｎＡｓｉｎ２ｗｔ］
丝堑！塑ｉ。一 （轧２＋％２）２’
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（ｋ２一如２）９ ＣＯＳ＾ （“２＋ｋ２）２
—ｓｉｎ＾ＣＯＳ２ｗｔ
Ｓｉｌｌ ２ｗｔ
在式（９）中．对ｅ～舭，ｃｏｓ２ｕ￡，ｓｉｎ ２ｕｆ进行 太勒级盐展开得
ｚ＝壶ｕ２删ｎ２∥一嘉ｕ２ｋｇｓｉｎ ２时（１０ａ）
”＝；ｕ。ｃｏｓ舻一去山ｃｏｓ∥一 ；ｋｕｇｃ＊＾护＋嘉ｕ＾２９ｃｏｓ舢５（１０ｂ）
：一＾＝一２１。ｔ２＋１６ｋｇｔ３一ｌｋ２９ｔ４＋
扣鲫ｓ２彬００ｃ）
式（１０ｃ）中，ｚ＝０，自由落体着地。给定知、ｈ值 并忽略ｕ２项可解得ｔ．由于空气阻力的影响，使落体 下落时问增大．将ｔ值代入式（１０ａ）、（１０ｂ），就得蒂 体南偏和东偏的表达式．
ｉｎ２ｗｔ“｝ｅ¨ Ａｓ（ｔ）０７ Ｊｔｃ０８Ａｃｏｓ２ｃｏｔｅ｝【Ｌａ５，）
下载时间：2010年10月24日
（自然科学版）2009,15(4)
针对一般文献中将空气阻力与地球自转分开来处理抛体运动存在误差大的问题,本文同时考虑空气阻力与地球自转的影响,结合不同的空气阻力模型 建立了相应的抛体运动微分方程.忽略二阶小量,解微分方程,依次得到抛体的运动规律,最后利用Mathematic编程作出了抛体的位移-时间图像.
6.黄永念 关于"用逐次逼近法求解落体问题"一文的讨论[期刊论文]-力学与实践 1999(02) 7.于凤军.李建法 用辅助变量法确定落体问题[期刊论文]-力学与实践 1999(03)
相似文献(10条)
1.期刊论文 王健.韩修林.WANG Jian.HAN Xiu-lin 空气阻力与地球自转影响下抛体的运动 -安庆师范学院学报
ＣＯＳ２ｕｔ
＋
ＣＯＳＡ ｓｉｎ２ｕ￡
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Ａ３（ｔ）ｅ—ｋ。
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（ｔ）
一ＣＯＳＡＣＯＳ２ｕ￡ｌ
ｉ口二＝：２＝ｗｙｓ一 ：ｉｎ。Ａ２－ｕ：ｋ０＋ｚｓｉｎ。ｃ—ｏｓＡ：＾一＋ｔ”｝一 ｃ２ｏｓＡ ）一七掣｝ （），
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笔者认为(陕西人民教育出版社出版的)<高中物理--2轮导与练>有一题的答案不妥,现与编者商榷. 题目:如图1所示,在赤道上,发射两颗质量相同、沿赤道正上方圆形近地轨道绕地心做圆周运动的卫星A和B.A向正东方发射,B向正西方发射.不计空气阻力 影响,但要考虑地球自转的作用.试分析、计算:
10.期刊论文 龙晓霞.LONG Xiao-xia 抛体运动的计算机模拟 -阜阳师范学院学报（自然科学版）2005,22(4)
选取固结在地面上的一组坐标系ｏｘｙｚ，ｏ点在 地面．ｚ轴切于经线向南，”轴切于纬线向东，；轴 沿地球径向． ｏ点柏纬度为＾（北半球）．设质点从高 ｈ处自由落下，受到的空气阻力为，＝－ｍｋｕ（ｋ为常 数），则质点的运动微分方程为
羞＝２ｍ篡ｗＶ Ａ－ｍｋ＝２ｓｉｎ－ＣＯＳ小１ＣＯＳｓｉ＝ｎ ｍ０＝一２”ｗ忙 ＾ｊ Ａ）一ｍ蛐＞ （）
指出了抛体运动传统研究方法的局限性,提出了一种新的研究方法,即利用MATLAB对考虑地球自转和空气阻力的抛体运动进行数值求解以及运动轨迹 的模拟,并对其结果和方法进行了分析.
引证文献(5条)
1.张赤军.张为民 空气阻力与科里奥利力对绝对重力测量的影响[期刊论文]-大地测量与地球动力学 2007(1) 2.张赤军.张为民 空气阻力与科里奥利力对绝对重力测量的影响[期刊论文]-大地测量与地球动力学 2007(1) 3.楼智美 北半球向南平抛物体的运动方程及其偏离表达式[期刊论文]-西南师范大学学报(自然科学版) 2002(2) 4.朱戎 空气阻力和地球自转对抛射体影响的系统研究[期刊论文]-山西师范大学学报(自然科学版) 2002(3) 5.楼智美.陈刚 辅助变量法研究北半球向东平抛物体的运动[期刊论文]-甘肃科学学报 2002(1)
第２期
楼智美：空气阻力影响北半球自由落体的偏离——理论力学教学札记之一
６９
积分得
．４ｚ（￡）＝（去一壶）雪ｓｊｎ ２Ａｅｎ
１
ｃｏｓ２∽）９ｃ矾∥｝（６） Ａ２（ｆ）＝（－Ｂ ｓｉｎ２ｗｔ＋Ｄ
‘４３（‘）＝（Ｂ。。８２ｕ。十Ｄ ８ｉ“２ｕ２）９。０ｓ＾。“ Ｊ
其中
Ｂ＝（七３ｆ＋４ｗ２ｋｔ＋４ｗ２一ｋ２）／（４ｕ２＋ｋ２）２
４尹新田．北半球自由落体东僖和南偏的一种近似屏．大学 物理．】９９５，１４（９）：１９
５同风利．在地心参照系中对地球赤道上幕体信东的计算． 大学物理．１９９４，１３（１）：２６
９黄永念．关于。用鼍次逼近法求■落体目曩’一文的讨论 力学与宴殴．１９９９，２１（２）：７４
７于风军，丰建ｊ击．用辅助变量ｊ击确定幕体问置．力学与宴 践．１９９９，２１（３）：６９
力
学
与
实
践
２００１年第２３卷
空气阻力影响北半球自由落体的偏离
一理论力学教学札记之一
搂智美 （绍兴文理学院物理系，浙江绍兴３１２０００）
摘要空气阻力将影响北半球自由落件的偏离．本文介 绍了当空气阻力与自由落体速度的一次方成正比时， 北半球自由落伴运动方程的精确解及落体南偏和东偏 表达式的求法．
关薯词空气阻力，地球自转，运动方程
＋
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（１）当ｋ－÷０．即忽略空气阻力．对式（９）取 七一＋ｏ的极限，所得结果与文献【２】的式（１２）一致ｆ
文献旨意描吼即只考虑空气阻力’式‘９冲
落时间ｔ＝何，代入式（１０ａ），式（１０ｂ），可得 另外。若忽略空气阻力，从式（ｆＯｅ）中可解得下
与文献【２】相同的结论．
参考文献
ｌ周衙伯．理论力学拄程．北京ｔ＾民教育出版挂．１９８５．
４０
２周木平．刘孜杰北半球自由落体南信的一种精确解怯． 大学物理，１９９４，１３（６）：１
３项红专．自由蒜体偏＾的组皴近似解法．大学物理，１９９５， １４（０）：１８
万方数据
空气阻力影响北半球自由落体的偏离--理论力学教学札记之
一
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
楼智美， LOU Zhimei 绍兴文理学院物理系,
力学与实践 MECHANICS IN ENGINEERING 2001，23(2) 5次
参考文献(7条) 1.周衍伯 理论力学教程 1985 2.周永平.刘孜杰 北半球自由落体南偏的一种精确解法 1994(06) 3.项红专 自由落体偏离的级数近似解法 1995(09) 4.尹新国 北半球自由落体东偏和南偏的一种近似解 1995(09) 5.阎凤利 在地心参照系中对地球赤道上落体偏东的计算 1994(01)
2.期刊论文 朱戎 空气阻力和地球自转对抛射体影响的系统研究 -山西师范大学学报(自然科学版)2002,16(3)
本文主要计算了当空气阻力与抛射体的速度的一次方成正比时,抛射体在地球自转和空气阻力两种影响下,北半球抛射体运动方程的精确解.
3.期刊论文 楼智美 北半球向南平抛物体的运动方程及其偏离表达式 -西南师范大学学报(自然科学版)2002,27(2)
ｍｊ＝一ｍ９＋２＂ｗ０ Ａ 一ｍ托
Ｊ
积分一次可得
通解为
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一
１
０
十
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ｓｉｎ＾ｃｏｓ ２ｗｔ
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ＣＯＳ＾ＣＯＳ２ｗｔ
根据拉格朗日常数变易法，与非齐次方程组（２） 相对应的特解为
『圣１
Ｉ口ｌ＝．４１（ｆ，ｅ“
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在现行的理论力学教材中【ｌＪ．空气阻力和地球 自转对自由落体的影响总是分别考虑的．已有不少作 者运用不同的方法讨论了只考虑地球自转时落件的偏 向问题１２￣”而事实上自由落体在下落过程中还受到 空气阻力的影响．本文介绍了同时考虑两种影响．井 投空气阻力与落体速度的一次方成正比时．从牛顿动 力学方程求出北半球自由落体运动方程的精确解厦落 体南偏和东偏表达式的方法．
8.期刊论文 张建平.李阳 地球自转和空气阴力影响下抛体运动规律的研究 -乐山师范学院学报2007,22(12)
本文利用MATLAB数学工具,研究了在地球自转和空气阻力影响下,北半球向任意方向的抛体运动规律,得到了比其他文献[1-9]更好的解析解,并对结果 进行了分析和讨论.
9.期刊论文 王举村 向西发射卫星到底多消耗多少能量? -物理教师2005,26(9)
6.期刊论文 姜广智.张燕林 对抛体运动射程规律的再讨论 -河南教育学院学报(自然科学版)2004,13(3)
利用微分方程导出不同条件下抛体运动的射程表达式和最大射程.
7.期刊论文 陈小波.李强.CHEN Xiao-bo.LI Qiang 关于抛体运动的分析 -四川文理学院学报2009,19(5)
空气阻力和地球自转对抛体的运动皆会产生影响.分析了只考虑空气阻力和只考虑地球自转因素下的抛体运动;并用Matlab工具绘图比较在不同参数 影响下的射程变化趋势;推导了在地球自转和空气阻力共同影响下的抛体运动运动学方程.
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Ａ３－（ｋ２—４ｗ２）ｇｃｏｓＡ／（“２＋驴）２ Ｊ
故自由落体的运动方程为
＝斧“匕 Ｚ ＋
ｒ． ． ．Ｌ ￡ Ⅳ一 ＾
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丝堑！塑ｉ。一 （轧２＋％２）２’
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１＋
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（ｋ２一如２）９ ＣＯＳ＾ （“２＋ｋ２）２
—ｓｉｎ＾ＣＯＳ２ｗｔ
Ｓｉｌｌ ２ｗｔ
在式（９）中．对ｅ～舭，ｃｏｓ２ｕ￡，ｓｉｎ ２ｕｆ进行 太勒级盐展开得
ｚ＝壶ｕ２删ｎ２∥一嘉ｕ２ｋｇｓｉｎ ２时（１０ａ）
”＝；ｕ。ｃｏｓ舻一去山ｃｏｓ∥一 ；ｋｕｇｃ＊＾护＋嘉ｕ＾２９ｃｏｓ舢５（１０ｂ）
：一＾＝一２１。ｔ２＋１６ｋｇｔ３一ｌｋ２９ｔ４＋
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式（１０ｃ）中，ｚ＝０，自由落体着地。给定知、ｈ值 并忽略ｕ２项可解得ｔ．由于空气阻力的影响，使落体 下落时问增大．将ｔ值代入式（１０ａ）、（１０ｂ），就得蒂 体南偏和东偏的表达式．
ｉｎ２ｗｔ“｝ｅ¨ Ａｓ（ｔ）０７ Ｊｔｃ０８Ａｃｏｓ２ｃｏｔｅ｝【Ｌａ５，）
