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专题04 古典概型一、选择题1．【北京东城二中高二下期末】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取次，每次抽取张，则抽到的张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）．A. B. C. D.【答案】C故选．2．【吉林省长春市十一高中等九校教育联盟2017-2018学年高二下学期期初考试】有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则2人在不同层离开的概率是( )A B C D【答案】A【解析】由题意总的基本事件为两个人各有6种不同的下法，故共有36种结果，而两人在同一层下，共有6A.3．【河南师范大学附属中学2017-2018学年高二4月月考】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A B C D【答案】D【解析】数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p故选：D．点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．4．【华南师范大学附属中学2017-2018学年度第一学期期中考试】如图是某公司年销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间内的概率为（）A .B .C .D .【答案】B5．【湖北省黄冈市2017-2018学年高二上学期期末考】某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为、，则双曲线的离心率的概率是（）A .B .C .D .【答案】A【解析】由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果满足条件的事件是e =∴b ＞a，符合b ＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；当b=2时，有a=5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为．故选A6．【湖南省张家界市2017-2018年高二年级期末联考】现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率：先由计算机随机产生0到9之间取整数的随机数，指定1,2,3,4,5表示命中，6,7,8,9,0表示不命中，再以三个随机数为一组，代表三次射箭的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：807 966 191 925 271 932 812 458 569 683489 257 394 027 552 488 730 113 537 741根据以上数据，估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为A. 0.20B. 0.25C. 0.30D. 0.50【答案】D7．【湖北省孝感市八校2017-2018学年高二上学期期末考试】将一颗骰子连续抛掷2次，则向上的点数之和为6的概率为（）ABCD【答案】B【解析】将一颗骰子连续抛掷2次，则共有6636⨯=种基本事件，其中向上的点数之和为6有15,24,33,42,51+++++这5B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A . 13B .12 C . 23 D . 34【答案】A9．【湖北省宜昌市第一中学2017-2018学年高二上学期期末考试】掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数多于反面的次数的概率为ABCD【答案】B【解析】掷一枚均匀的硬币4次，基本事件总数4n 2=，出现正面的次数多于反面的次数的事件有：4次正面或三次正面1次反面，包含的基本事件个数为：3415C +=.故选B .10．【湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2017-2018学年高二上学期期末联考】有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm )，从中任取三根，能搭成三角形的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意，从5根木棒中任取3根，有10种情况，其中能构撘成三角形的有3、5、7，3、7、9，5、7、9，共3种情况，故答案为：A。
11．【四川省遂宁市2017-2018学年高二上学期期末考试】“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是A . BC .D .【答案】D12．【内蒙古赤峰市宁城县2017-2018学年高二上学期期末考试】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷56粒，则这批米内夹谷约为A. 1365石B. 336石C. 168石D. 134石【答案】B【解析】根据题意得到：故答案为：B。
填空题13．【2018年春人教A版高中数学必修三同步测试】已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_____.【答案】0.75【解析】由题意知,点睛：古典概型中,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求，注意在确定基本事件时可以看成是有序的，如与不同，有时也可以看成是无序的，如与相同；(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本亊件的个数时，可利用排列或组合的知识.本题是利用方法（1）将基本事件一一列举后求概率的. 14．【安徽省淮北市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】一枚骰子先后投掷两次，两次向上点数之和为5的倍数的概率：__________．【解析】投掷两颗骰子所出现的不同结果数是6636⨯=，事件“投掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5的倍数”，所包含的基本事件有()()()()()()()1,4,4,1,2,3,3,2,5,56,44,6，，，共7种，“投掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5的倍数”的概率为15．【人教A版高中数学必修三第三章】在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是_____.答案：点睛：求古典概型概率的关键是求试验所有的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，求基本事件个数的方法有列举法、列表法和树形图法，解题时要根据具体需要选择合适的求解方法。
16．【广西省宾阳县宾阳中学2017-2018学年高二9月月考】将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by=0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为____________．【解析】解：∵直线ax-by=0与圆（x-2）2+y2=2相交，∴圆心到直线的距离|2a|/a2+b2＜2即a＜b∵设一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中a＜b的有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共5+4+3+2+1=15个∴直线ax-by=0与圆（x-2）2+y2=2相交的概率为P=15/36=5/12解答题17．【湖南省张家界市2017-2018年全市联考高二数学】一个盒子中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从盒子中不放回随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取一个球，该球的编号为，求的概率．【答案】（1）（2）试题解析：（1）从袋中随机抽取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和 3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个． 因此所求事件的概率p ＝（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记 下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个． 又满足条件的事件为(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个，满足条件的事件的概率为，所以条件的事件的概率为.18．【湖北省孝感一中、应城一中等五校2017-2018学年高二上学期期末联考】已知向量()2,1m =-，(),n x y =.（1）若,x y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足2m n ⋅=的概率； （2）若,x y 在连续区间[]1,6上取值，求满足2m n ⋅>的概率.【答案】【解析】试题分析：（1）本小题考査的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件满足2m n ⋅=的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解；（2）本小题考査的知识点是几何概型的意义，关键是要画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积.（2）若,x y 在连续区间[]1,6上取值，则其全部基本事件的区域为(){,|16,16}x y x y Ω=≤≤≤≤， 满足2m n ⋅>的基本事件的区域为 (){,|16,16A x y x y =≤≤≤≤且22}x y ->， 如图，所求的概率即为梯形ABCD 的面积，2a b ⋅>的概率为19．【广西钦州市2017-2018学年高二上学期期末考试】减轻雾霾的“雾炮”机的工作原理与建筑工地上常用高压水枪除尘的原理差不多，某公司为测试他们生产的“雾炮”的降尘作用，经过100次测试得到了某“雾炮”降尘率的频数分布表：（1）估计降尘率在10%以下的概率；（2）若降尘率达到18%以上，则认定雾炮除尘有效，请根据以上数估计该雾炮的除尘有效的概率. 【答案】(1)0.25；(2)0.50.试题解析：（1）降尘率在10%以下的概率约为（2）因为除尘率达到18%以上的分为18%到20%，和20%到35%两类.又因为第4组为[)15,20，且频数为25，故大于或等于18小于20 所以除尘率达到18%以上的频率为0.100.200.150.050.50+++=， 以频率估计概率，该雾炮除尘有效的概率为0.50.20．【广西钦州市2017-2018学年高二上学期期末考试】某海关对同时从,,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行随机抽样检测，已知从,,A B C 三个地区抽取的商品件数分别是50,150,100.检测人员再用分层抽样的方法从海关抽样的这些商品中随机抽取6件样品进行检测. （1）求这6件样品中，来自,,A B C 各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往另一机构进行进一步检测，求这2件样品来自相同地区的概率. 【答案】(1)1,3,2;(2) 这2【解析】试题分析：（1 ,,A B C 三个地）根据列举法得到在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，以及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得结果.试题解析：（1所以， ,,A B C 三个地区抽到的商品数量分别是（2）记来自,,A B C 三个地区的6件样品分别为A ； 123,,B B B ； 1C ， 2C ；则从6件样品中抽取2件商品构成的所有基本事件为()()()123,,,,,A B A B A B ，()()12,,,A C A C ，()()()()12131112,,,,,,,B B B B B C B C ，()()()()23212231,,,,,,,B B B C B C B C ， ()()3212,,,B C C C ，共15个.记“2件样品来自相同地区”为事件D ，这些基本事件共有4个，2【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先()11,A B ， ()12,AB …. ()1,n A B ，再()21,A B ， ()22,A B ….. ()2,n A B 依次()31,A B ()32,A B …. ()3,n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.21．【四川省广安市2017-2018学年高二上学期期末考试】分别抛掷两颗骰子各一次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(),x y 在圆2215x y +=内部的概率.【答案】试题解析：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件. (1)记“两数之和为5“为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件： ()1,4， ()2,3， ()3,2， ()4,1，∴两数之和为5(2)基本事件总数为36，点(),x y 在圆2215x y +=的内部记为事件C ，则C 包含8个事件C 中所含基本事件： ()1,1， ()1,2， ()1,3， ()2,1， ()2,2， ()2,3， ()3,1， ()3,2，所以 ∴点(),x y 在圆2215x y +=内部的概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.22．【北京市通州区2018届高三上学期期末考试】某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对5个企业（共10个企业）进行综合评估，得分情况如茎叶图所示.（Ⅰ）根据茎叶图，求乙地对企业评估得分的平均值和方差；（Ⅱ）规定得分在85分以上为优秀企业. 若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.(n x x ++-【答案】（Ⅰ）88，48.4.（Ⅱ）从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个，有()96,97， ()96,94， ()96,88， ()93,97， ()93,94， ()93,88， ()89,97， ()89,94， ()89,88， ()86,97， ()86,94， ()86,88共12组， 设“得分的差的绝对值不超过5分”为事件A ，则事件A 包含有()96,97， ()96,94， ()93,97， ()93,94， ()93,88， ()89,94， ()89,88， ()86,88共8组.所以得分的差的绝对值不超过5。
