精选人教B版高中数学必修一学案：3.1.1 实数指数幂及其运算

实数指数幂及其运算．整数指数()一个数的次幂等于个的连乘积，即叫做的次幂，叫做幂的底数，叫做幂的指数．并规定＝.()正整指数幂在中，是正整数时，叫做正整指数幂．正整指数幂具有以下运算法则：①·＝＋；②()＝；③＝－(≠，＞)；④()＝.其中，∈＋.()整数指数幂在上述法则③中，限制了＞，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①＝(≠)；②－＝(≠，∈＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①·＝＋；②()＝；③()＝.其中，∈.同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．的零次幂没有意义，的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于”．【例】化简：()－·(－)÷().解：原式＝＝(－·－)·(－·－)＝－－.．根式如果存在实数，使得＝(∈，＞，∈＋)，则叫做的次方根．求的次方根，叫做把开次方，称作开方运算．当有意义时，式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数．正数的正次方根叫做的次算术根．次方根具有以下性质：()在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；()在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；()零的任何次方根都是零．根式有两个重要性质：()()＝(＞，∈＋)，当为奇数时，∈，当为偶数时，≥(＜时无意义)；()＝(\\(，为奇数，，为偶数.))析规律关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生．负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同．负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为负无意义，零取方根仍为零．【例－】已知＝－－，则实数的取值范围是．解析：∵＝＋，∴＋＝－－＝－(＋)．∴＋≤，即≤－.答案：(－∞，－]【例－】化简下列各式：()；().解：()原式＝(－)＋－＋(－)＝－＋(－)＋(－)＝－.()原式＝＝(＋)＋(－)＝.辨误区根式运算应注意的问题利用的性质求值运算时，要注意的奇偶性．特别地，当为偶数时，要注意的正负．．分数指数幂()分数指数幂的意义正分数指数幂可定义为：①＝(＞)；②＝()＝.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：.提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数．感悟：.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；．与表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；．通常规定分数指数幂的底数＞，但要注意在像＝中的，则需要≤.()有理指数幂的运算法则：①αβ＝α＋β；②(α)β＝αβ；()()α＝αα(其中＞，＞，α，β∈)．析规律有理指数幂的运算．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：()同底数幂相乘，底数不变，指数相加；()幂的幂，底数不变，指数相乘；()积的幂等于幂的积．．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：＝－(＞，＞)；(＞，＞)．【例－】求值：()；()；()；().解：().().().().点技巧有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质，而不要将幂转化为根式的运算，像，这样反而不易求解．【例－】求下列各式的值：。

3．1.1实数指数幂及其运算(一)学习目标 1.理解正整指数幂的含义，掌握正整指数幂的运算法则.2.了解根式与方根的概念.3.掌握根式的性质，并能进行简单的根式运算．知识点一整数指数思考1n个相同因数a相乘的结果怎么表示？这个结果叫什么？思考2零指数幂和负整指数幂是如何规定的？梳理整数指数幂的概念及性质(1)有关幂的概念a n＝a·a·…·a，a n叫做a的________，a叫做幂的________，n叫做幂的________，n∈N＋，n个并规定a1＝a.(2)零指数幂与负整指数幂规定：a0＝____(a≠0)，a－n＝______(a≠0，n∈N＋)．(3)整数指数幂的运算法则a m·a n＝______.(a m)n＝______.a ma n＝______(m＞n，a≠0)．(ab)m＝______.知识点二n次方根、n次根式思考若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？梳理根式的概念(1)a的n次方根定义如果存在实数x，使得______，那么x叫做a的n次方根，其中a∈R，n>1，且n∈N＋.(2)a的n次方根的表示(3)根式当n a有意义的时候，______叫做根式，这里n叫做______，a叫做被开方数．知识点三根式的性质思考我们已经知道若x2＝3，则x＝±3，那么(3)2等于什么？32呢？(－3)2呢？梳理一般地，有(1)n0＝____(n∈N＋，且n>1)．(2)(na)n＝____(n∈N＋，且n>1)．(3)na n＝a(n为大于1的奇数)．(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧(a≥0)(a<0)(n为大于1的偶数)．类型一根式的意义例1求使等式(a－3)(a2－9)＝(3－a)a＋3成立的实数a的取值范围．反思与感悟对于n a，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要n a有意义，n a必不为负．跟踪训练1若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范围．类型二 利用根式的性质化简或求值 例2 化简： (1)4(3－π)4； (2)(a －b )2(a >b )；(3)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3.反思与感悟 n 为奇数时，⎝⎛⎭⎫n a n ＝n a n ＝a ，a 为任意实数； n 为偶数时，a ≥0，⎝⎛⎭⎫n a n 才有意义，且⎝⎛⎭⎫n a n ＝a ；而a 为任意实数n a n 均有意义，且na n ＝|a |. 跟踪训练2 求下列各式的值： (1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4.类型三 有限制条件的根式的化简例3 设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 引申探究例3中，若将“－3<x <3”变为“x ≤－3”，则结果又是什么？反思与感悟 n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． 跟踪训练3 已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x 2－4x ＋4)3＝________.1．已知x 5＝6，则x 等于( ) A. 6 B.56 C ．－56 D ．±562．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.3m C.6m D.5－m 3．(42)4运算的结果是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不确定 4.3－8的值是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－8 5．化简(1－2x )2(2x >1)的结果是( ) A ．1－2x B ．0 C ．2x －1D ．(1－2x )21．如果x n ＝a ，n 为奇数时，x ＝n a ，n 为偶数时，x ＝±na (a >0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.2．掌握两个公式：(1)(na )n＝a ；(2)n 为奇数，n a n ＝a ，n 为偶数，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， a ≥0，－a ， a <0.答案精析问题导学 知识点一思考1 a n ，叫幂．思考2 规定：a 0＝1 (a ≠0)，00无意义；a －n ＝1a n (a ≠0，n ∈N ＋)．梳理(1)n 次幂 底数 指数 (2)1 1an (3)a m ＋na mn a m －n a mb m 知识点二思考 这样的x 有2个，它们都称为3的平方根，记作±3. 梳理(1)x n ＝a (3)na 根指数 知识点二思考 把x ＝3代入方程x 2＝3，有(3)2＝3； 32＝9，9代表9的两个平方根中正的那一个，即3. (－3)2＝9＝3.梳理 (1)0 (2)a (4)a －a 题型探究 例1 解 (a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]． 跟踪训练1 解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，∴a －1≥0，∴a ≥1.例2 解 (1)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3.(2)(a －b )2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1. 跟踪训练2 解 (1)7(－2)7＝－2.(2)4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.例3 解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3， ∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.引申探究 解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.∵x ≤－3，∴x －1<0，x ＋3≤0， ∴原式＝－(x －1)＋(x ＋3)＝4. 跟踪训练3 1 当堂训练1．B 2.C 3.A 4.B 5.C。

3.1.1 实数指数幂及其运算1．整数指数(1)一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即n n n a a a a a =⋅⋅⋅⋅个叫做a 的n 次幂，a叫做幂的底数，n 叫做幂的指数．并规定a 1＝a .(2)正整指数幂在a n 中，n 是正整数时，a n 叫做正整指数幂． 正整指数幂具有以下运算法则：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn；③a m an ＝a m －n (a ≠0，m ＞n )；④(ab )m ＝a m b m .其中m ，n ∈N＋.(3)整数指数幂在上述法则③中，限制了m ＞n ，如果取消这种限制，那么正整指数幂就推广到了整数指数幂．规定：①a 0＝1(a ≠0)；②a －n ＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．这样，上面的四条法则可以归纳为三条：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(ab )n ＝a n b n；③(a m )n ＝a mn .其中m ，n ∈Z .同时，将指数的范围由正整数扩大为整数．0的零次幂没有意义，0的负整数次幂也没有意义，因此对于整数指数幂，要求“底数不等于0”．【例1】化简：(a 2b 3)－2·(a 5b －2)0÷(a 4b 3)2.解：原式＝223246423286()()1=()()a b a b a b a b----⋅⋅⋅ ＝(a －4·a －8)·(b －6·b －6)＝a －12b －12. 2．根式如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根．求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算．当n a 有意义时，式子na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．n 次方根具有以下性质：(1)在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；(2)在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根不存在；(3)零的任何次方根都是零．根式有两个重要性质：(1)(na )n ＝a (n ＞1，n ∈N ＋)，当n 为奇数时，a ∈R ，当n 为偶数时，a ≥0(a ＜0时无意义)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.析规律 关于根式的知识总结正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为负无意义，零取方根仍为零．【例2－1】＝－a －1，则实数a 的取值范围是__________．解析：＝|a＋1|，∴|a＋1|＝－a－1＝－(a＋1)．∴a＋1≤0，即a≤－1. 答案：(－∞，－1]【例2－2】化简下列各式：；.解：(1)原式＝(－2)＋2|＋2)＝－2＋(2＋2)＝－2.(2)＝(1＋(1)＝辨误区根式运算应注意的问题利用na n的性质求值运算时，要注意n的奇偶性．特别地，当n为偶数时，要注意a的正负．3．分数指数幂(1)分数指数幂的意义正分数指数幂可定义为：①1na＝n a(a＞0)；②mna＝(n a)m＝n a m⎝⎛⎭⎫a＞0，n，m∈N＋，且mn为既约分数.负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相同，可定义为：1=mnmnaa-⎝⎛⎭⎫a＞0，n，m∈N＋，且mn为既约分数.提示：所谓既约分数，就是约分后化成最简形式的分数．感悟：1.规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数；2．mna与n a m表示相同的意义，所以分数指数幂与根式可以相互转化；3．通常规定分数指数幂的底数a＞0，但要注意在像14()a-＝4－a中的a，则需要a≤0.(2)有理指数幂的运算法则：①aαaβ＝aα＋β；②(aα)β＝aαβ；(3)(ab)α＝aαbα(其中a＞0，b＞0，α，β∈Q)．析规律有理指数幂的运算1．有理指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；(2)幂的幂，底数不变，指数相乘；(3)积的幂等于幂的积．2．乘法公式仍适用于有理指数幂的运算，例如：11112222()()a b a b+⋅-＝a－b(a＞0，b＞0)；111122222()2a b a b a b±=+±(a＞0，b＞0)．【例3－1】求值：(1)438-；(2)3481；(3)323-⎛⎫⎪⎝⎭；(4)2327125-⎛⎫⎪⎝⎭.解：(1)44433433318=(2)=2=2=16⎛⎫⨯--- ⎪-⎝⎭.(2)33344344481=(3)=3=3=27⨯.(3)332327==328-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(4)2223323332733325====1255559⎛⎫--⨯-- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.点技巧 有理指数幂运算时把根式转化为幂进行有理指数幂的运算要首先考虑利用幂的运算性质，而不要将幂转化为根式的运算，像238【例3－2】求下列各式的值：(1)1123331222x x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)2解：(1)原式＝11121333314222=14=12x x x x x x ----⋅-⋅--.(2)原式＝125222362132==a a a a a --⋅4．无理指数幂(1)一般地，无理指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数； (2)有理指数幂的运算性质同样适用于无理指数幂，即：①a α·a β＝a α＋β(a ＞0，α，β是无理数)； ②(a α)β＝a αβ(a ＞0，α，β是无理数)；③(ab )α＝a αb α(a ＞0，b ＞0，α是无理数)． 【例4】求值：(1)213328--⋅⋅；(2)12+解：(1)原式＝221333(22(2)--⋅⋅＝2322323222=2=2=8--+-⋅⋅. (2)原式＝12+52＋21＝27.5．指数幂(根式)的化简与计算化简、计算指数幂(根式)时，应注意以下几点：(1)运算顺序：先进行幂的运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算，有括号的先算括号内的．(2)如果指数是小数，那么通常化为分数指数，这样可以随时检验运算的正确性，是常用的化简技巧．比如，(－3)2.1＝2110(3)-＝10(－3)21，由于(－3)21是一个负数，所以(－3)2.1无意义．(3)将其中的根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质进行计算．比如，化简a a ，如果不将根式a化为指数幂，就很难完成化简：1131222==a a a a +⋅.(4)计算或化简的结果尽量最简，如果没有特殊要求，用正分数指数幂或根式来表示均可．析规律 多重根号化为有理指数幂此类问题应熟练应用na m＝m na ⎝⎛⎭⎫a ＞0，m ，n ∈N ＋，且mn 为既约分数.当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算法则化简．【例5－1】求下列各式的值：(1)121203170.027279--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； (2)11223412220.00154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)分析：结合指数幂的运算性质，应首先将小数化为分数，根式转化为指数幂的形式，负指数幂转化为正指数幂，再根据指数幂的运算性质求解．解：(1)原式＝11232227125105(1)1=491=4510007933---⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)原式＝112314111161=1=49100061015⎛⎫⎛⎫+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3)原式＝11111111111113312636333236223123(32)=23332=2322-+++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2×3＝6.【例5－2】化简下列各式： (1)1373412a a a ；(2)131234()x y -；.解：(1)1137537334123412==a a a a a ++.(2)1133121212493344()==x yx yx y ⨯--⨯-.1125152331123336363442125364()===xy x y x y x yx yx y------⋅⋅⋅⋅⋅.辨误区 化简时注意运算顺序化简时要弄清开方、乘方等的运算顺序，同时注意运算性质及乘法公式的应用．6．知值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点，然后采取“整体代换．．．．”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等以及一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．例如，已知1122=3a a-+，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.显然，从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件1122=3a a-+的联系，进而整体代入求值．将1122=3a a-+两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.再将上式平方，有a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.由于3311332222=()()a a a a----，所以有331111122222211112222()()=a a a a a a a aa a a a--------++⋅--＝a＋a－1＋1＝8.【例6－1】已知2x＋2－x＝5，求下列各式的值：(1)4x＋4－x；(2)8x＋8－x.解：(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2·2x·2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23.(2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110.析规律平方在知值求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab ＋b2)．【例6－2】已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0的值．分析：观察所求式子，将所求式子平方后出现了ab和a＋b的形式．又a，b为方程的两根，所以可利用根与系数的关系求解．解：由根与系数的关系可得=6,=4.a b ab+⎧⎨⎩∵a＞b＞0，>又∵221=105.5。

3．1．1 实数指数幂及其运算1．了解实数指数幂的意义．2．理解有理指数幂的含义．3．掌握幂的运算．1．整数指数幂(1)正整数指数幂的运算法则①a m·a n＝a m＋n；②(a m)n＝a mn；③a ma n＝a m－n(m>n，a≠0)；④(ab)m＝a m b m．(2)零指数幂和负整数指数幂①a0＝1(a≠0)；②a－n＝1a n(a≠0，n∈N＋)．2．分数指数幂(1)n次方根的概念①a的n次方根：如果存在实数x，使得x n＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则x叫做a的n 次方根．求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算．②a的n次方根的分类(n>1，n∈N＋)当n是偶数时，若a>0，则a的偶次方根有两个Ｗ.它们互为相反数，分别表示为na，－naＷ.若a<0，负数的偶次方根在实数范围内不存在.当n是奇数时，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为na．当a＝0 时，a的n次方根为 0，记作0．③正数a的n次算术根正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．(2)根式①当n a 有意义的时候，na 叫做根式，n 叫做根指数． ②根式性质(na )n＝a (n >1 且 n ∈N ＋)；nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数且n >1，n ∈N ＋），|a |（n 为偶数且n >1，n ∈N ＋）. (3)分数指数幂①a 1n ＝na (a >0，n ∈N ＋)；②a mn ＝n a m(a >0，m 、n ∈N ＋，且 m n为既约分数)；③a －mn ＝1a m n(a >0，m 、n ∈N ＋，且 mn为既约分数)．3．有理指数幂的运算法则 设a >0，b >0，α，β∈Q ，则有 (1)a αa β＝aα＋β；(2)(a α)β＝aαβ；(3)(ab )α＝a αb α．[注意] 有理指数幂还可以推广到无理指数幂．1．已知a >0，m ，n 为整数，则下列各式中正确的是( )A ．a m÷a n＝a mnB ．a n ·a m ＝a m ·nC ．(a n )m ＝a m ＋nD ．1÷a n＝a0－n答案：D2．下列等式中一定成立的有( )① 36a 3＝2a ；②3－2＝ 6（－2）2；③－342＝ 4（－3）4×2． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A ．36a 3＝36·a ≠2a ；3－2<0，而6（－2）2>0；－342<0，而4（－3）4×2>0．3．把根式a a 化成分数指数幂是( ) A ．(－a )32 B ．－(－a )32 C ．－a 32 D ．a 32答案：D4．求481×923的值．解：481×923＝(34×913)14＝3×316＝376＝363．根式与分数指数幂的互化(1)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是________(只填序号)． ①－x ＝(－x )12(x ＞0)；②6y 2＝y 13(y ＜0)；③x －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；④x －13＝－3x (x ≠0)． (2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a ＞0，b ＞0)． ①3a ·4a ； ②a a a ； ③(3a )2·ab 3．【解】 (1)对于①，－x ＝－x 12，故①错误；对于②，当y ＜0时，6y 2＞0，y 13＜0，故②错误；对于③，x －34＝14x 3＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)，故③正确；对于④，x －13＝13x，故④错误．综上，填③．(2)①3a ·4a ＝a 13·a 14＝a 712；②原式＝a 12·a 14·a 18＝a 78；③原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 132·a 12·b 32＝a 76b 32．根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数分数指数的分母， 被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．[注意] 如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．1．设a ＞0，则a 2a ·3a 2表示成分数指数幂是( )A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32解析：选C ．a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝a 2a 53＝a 2a 53×12＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76．2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： (1)(a －b )－34(a ＞b )；(2) 5（ab ）2；(3) 3（x －1）5；(4)13a 2；(5)(a －b )37．解：(1)(a －b )－34＝14（a －b ）3；(2) 5（ab ）2＝(ab )25；(3) 3（x －1）5＝(x －1)53；(4)13a 2＝a －23；(5)(a －b )37＝7（a －b ）3．利用指数幂的运算性质化简、求值计算或化简： (1)a 3b 2(2ab －1)3；(2)(0．064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0．75＋|－0．01|12；(3)3a 92·a －3÷3a －7·3a 13(a >0)．【解】 (1)原式＝a 3b 223a 3b －3＝8a 6b －1．(2)原式＝(0．43)－13－1＋(－2)－4＋2－3＋(0．12)12＝(0．4)－1－1＋116＋18＋0．1＝14380．(3)原式＝[a 13×92·a 13×(－32)]÷[a 12×(－73)·a 12×133]＝a 96－36＋76－136＝a 0＝1．利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．计算：(1)(－1．8)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2·3⎝ ⎛⎭⎪⎫3382－10.01＋93；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）30.1－2·（a 3b －3）12(a ＞0，b ＞0)．解：(1)原式＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫27823－10＋932 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫322－10＋27＝29－10＝19． (2)原式＝412·0．12·23·a 32·b －32a 32·b －32＝2×1100×8＝425．条件求值问题已知x 12＋x －12＝3，求2x －1＋x ＋3的值．【解】 因为x 12＋x －12＝3， 所以(x 12＋x －12)2＝9，所以(x 12)2＋2x 12·x －12＋(x －12)2＝9， 所以x ＋2＋x －1＝9， 所以x ＋x －1＝7， 所以原式＝27＋3＝15．1．若将本例条件“x 12＋x －12＝3”改为“x 12－x －12＝1”，如何求值？ 解：将x 12－x －12＝1两边平方， 得x ＋x －1－2＝1，所以x ＋x －1＝3， 则2x ＋x －1＋3＝23＋3＝13．2．在本例条件下，如何求x 2＋x －2的值？解：将x 12＋x －12＝3两边平方可得x ＋x －1＋2＝9，则x ＋x －1＝7，两边再平方，得x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47．条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值：(1)a 2＋a －2；(2)a 12－a －12；(3)a 3＋a －3．解：(1)法一：由a ＋a －1＝5两边平方得：a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即a 2＋a －2＝23．法二：a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23．(2)因为(a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3． 所以|a 12－a －12|＝3，所以a 12－a －12＝±3． (3)a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－aa －1＋a －2) ＝(a ＋a －1)(a 2＋2aa －1＋a －2－3) ＝(a ＋a －1)[(a ＋a －1)2－3] ＝5×(25－3)＝110．1．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．2．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a >0．3．对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算．在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ，若a >0，则3a >0，若a <0，则3a <0；但对根指数为偶数的根式，只有当a ≥0时，对a 才有意义．4．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有负指数幂又有分母的形式．如a 32b 、ab－2都不是最简形式．应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒．在根式运算中，经常会遇到开方和乘方两种运算并存的情况，特别要注意两者的运算顺序是否可换，何时可换．如对ma n，仅当a ≥0时，ma n＝(ma )n恒成立，若a <0，则不一定成立．在进行分数指数幂的运算时，要注意底数是否大于零，否则运算过程容易出现错误．例如：化简(－1)13＝(－1)26＝6（－1）2＝1．这个过程就是错误的，应改为(－1)13＝3－1＝－1．1．5a －2可化为( )A ．a －25 B ．a 52C ．a 25D ．－a 52答案：A2．当(1x－1)0有意义时，x 的取值范围是( )A ．{x |x ≠1}B ．{x |x ≠0}C ．{x |x ≠0，1}D ．以上答案都不对答案：C3．当m <n 时， （m －n ）2＝________． 答案：n －m4．(m 34·n －23)6＝________．(m ，n >0)解析：(m 34·n －23)6＝(m 34)6(n －23)6＝m 92·n －4． 答案：m 92·n －4[A 基础达标]1．下列说法正确的个数是( ) ①49的平方根为7； ②na n＝a (a ≥0)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 5＝a 5b 15； ④6（－3）2＝(－3)13． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A ．49的平方根是±7，①错；②显然正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 5＝a 5b －5，③错；6（－3）2＝313，④错．故选A ．2．化简－x3x的结果是( )A ．－－xB ．xC ．－xD ．－x 解析：选A ．由题意知x ＜0，则－x3x＝－－x3x 2＝－－x ．3．化简(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( ) A ．－32b 2B ．32b 2C ．－32b 73D ．32b 73解析：选A ．原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2．4．将⎝⎛⎭⎪⎫x 13·3x －2－85化成分数指数幂为( )A ．x －13 B ．x 415 C ．x －415D ．x 25解析：选B ．原式＝(x 16·x －23×12)－85＝(x 16－13)－85＝x －16×(－85)＝x 415． 5．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m 等于( ) A ．16 B ．10 C ．2D ．81解析：选A ．因为a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， 所以a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2． 由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0， 解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． 所以m 14＝2，m ＝24＝16．6．[(－5)4]14－150的值是________．解析：[(－5)4]14－150＝(54)14－150＝5－1＝4．答案：47．若a ＞0，则a 34·a －12÷3a 4＝________． 解析：a 34·a －12÷3a 4＝a 14÷a 43＝a 14－43＝a －1312． 答案：a－13128．当2－x 有意义时，化简 x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为________． 解析：由2－x 有意义得x ≤2， 所以x 2－4x ＋4－ x 2－6x ＋9＝|x －2|－|x －3|＝(2－x )－(3－x )＝－1．答案：－19．化简下列各式(式中字母都是正数)：(1)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)；(2)(m 14n －38)8． 解：(1)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a ． (2)(m 14n －38)8＝(m 14)8(n －38)8＝m 2n －3＝m 2n 3． 10.计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2140.5－0．752＋6－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23； (2)823－(0．5)－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫8116－34． 解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2140.5－0．752＋6－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32212－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋136×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233－23 ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋136×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＝32－916＋136×94＝1．(2)823－(0．5)－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫8116－34 ＝(23)23－(2－1)－3＋(3－12)－6×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫324－34 ＝22－23＋33×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＝4－8＋27×827＝4． [B 能力提升]11.设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝( ) A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2 解析：选C.将a 12－a －12＝m 平方得(a 12－a －12)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a＝m 2＋2， 所以a 2＋1a＝m 2＋2. 12．若2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________． 解析：因为2x ＝8y ＋1＝23y ＋3，9y ＝32y ＝3x －9，所以x ＝3y ＋3，①2y ＝x －9，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21，y ＝6， 所以x ＋y ＝27.答案：27 13．化简求值：(1)2×(32×3)6＋(22)43－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫169－12－42×80.25＋(－2 017)0；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值． 解：(1)原式＝2×(213×312)6＋(212×214)43－4×34－214×234＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.(2)由x 12＋x －12＝3得x ＋x －1＝7， x 2＋x －2＝47，又因为x 32＋x －32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －123＝⎝⎛⎭⎪⎫x 12＋x －12(x ＋x －1－1) ＝3×(7－1)＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25. 14．(选做题)(1)已知a ＝3，求11＋a 14＋11－a 14＋21＋a 12＋41＋a的值． (2)化简a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a . 解：(1)11＋a 14＋11－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝2（1＋a 14）（1－a 14）＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a 12＋41＋a＝4（1－a 12）（1＋a 12）＋41＋a ＝41－a ＋41＋a ＝81－a2＝－1.(2)原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13 ＝a 13{（a 13）3－[（8b ）13]3}4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13 ＝a 13（a 13－2b 13）（a 23＋2a 13b 13＋4b 23）4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13 ＝a 13×a 13×a 13＝a .。

3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算 【目标要求】1． 理解根式的概念。

2． 理解分数指数的概念，掌握根式与分数指数幂的关系。

3． 掌握有理数幂的运算性质并注意灵活运用。

4． 掌握用计算器计算有理指数幂的值。

【巩固教材——稳扎马步】 1．下列说法中正确的是( )A.-2是16的四次方根B.正数的 次方根有两个C. 的 次方根就是D.2．下列等式一定成立的是 ( )A ．2331a a ⋅=a B ．2121a a⋅-=0 C ．（a 3）2=a9D.613121a a a =÷3. 431681-⎪⎭⎫⎝⎛的值是 （ ） A.278 B.278- C.23 D.23- 4. 将322-化为分数指数幂的形式为 ( )A ．212-B ．312- C ．212--D.652-【重难突破——重拳出击】5. 下列各式中，正确的是 （ ）A ．100= B ．1)1(1=-- C ．74471aa=-D ．53531aa=-6.设b ≠0,化简式子()()()61531222133ab baba ⋅⋅--的结果是 （ ）A.aB.()1-ab C.1-ab D.1-a7. 化简［32)5(-］43的结果为 ( )A ．5B ．5C ．－5D.－58. 若122-=xa，则xx xx a a a a --++33等于 ( )A ．22－1B ．2－22C ．22+1D.2+19.1212--=--x x x x 成立的充要条件是 （ ） A.12--x x ≥0 B.x ≠1 C .x ＜1 D.x ≥2 10. 式子 经过计算可得到( ) A.B. C. D.11. 化简4425168132c b a a c (a ＞0，c ＜0)的结果为 ( )A.±42abB ．－42abC ．－2abD.2ab12. 设x>1,y>0,yy y y x x x x ---=+则,22等于 （ ）A ．6B ．2或-2C ．2D ．-2【巩固提高——登峰揽月】13. 计算0．02731-－（－71）－2+25643－3－1+（2－1）0=__________．14. 化简321132132)(----÷ab b a bab a =__________．【课外拓展——超越自我】 15. 已知,32121=+-x x 求3212323++++--x x x x 的值．第三章 基本初等函数（Ⅰ）3.1 指数与指数函数13.19 14.6561-ba15. 解：由,9)(22121=+-x x 可得x +x －1=7∵27)(32121=+-xx∴23121212333---++⋅+xx x x x x =27∴2323-+x x =18，故原式=2。

3．1.1 实数指数幂及其运算自主学习学习目标1．了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性． 2．理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．自学导引1．如果存在实数x ，使得________________，则x 叫做a 的n 次方根． 2．式子na 叫做________，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 3．(1)n ∈N *时，(na )n＝________.(2)n 为正奇数时，na n＝________；n 为正偶数时，na n＝________.4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n＝________(a >0，m 、n ∈N *，且m n为既约分数)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n＝________(a >0，m 、n ∈N *，且m n为既约分数)； (3)0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________________． 5．有理数指数幂的运算性质：(1)a r a s＝________(a >0，r 、s ∈Q )；(2)(a r )s＝________(a >0，r 、s ∈Q )；(3)(ab )r＝________(a >0，b >0，r ∈Q )．对点讲练知识点一 根式与分数指数幂的互化例1 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a >0)的化简结果： (1)a 3·3a 2；(2)a a ； (3)3a 32·a －3·a －5－12a －1213.规律方法 此类问题应熟练应用a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．变式迁移 1 将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)13x5x 22； (2)(4b －23)－23(b >0)．知识点二 利用幂的运算性质化简、求值例2 计算(或化简)下列各式：(1)42＋1·23－22·8－23；(2)(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；(3)a －ba 12＋b 12－a ＋b －2a 12·b12a 12－b 12(a >0，b >0)．规律方法 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．利用乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题，是简化运算的常用方法，熟练掌握a ＝(a 12)2 (a >0)，a ＝(a 13)3以及a b －a －b＝(a b 2＋a －b 2)(ab 2－a －b2)等变形．变式迁移2 求值：1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323.知识点三 灵活应用——整体代入法例3 已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，求x 12－y 12x 12＋y 12的值．规律方法 “整体代入”方法在条件求值中非常重要，也是高中数学的一种重要的解题思想、解题方法，它反映了我们“把握全局”的能力．解题过程中不宜求出x 、y 后再代入，而应考虑把x ＋y 及xy 整体代入求值．变式迁移3 已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32＋2x ＋x －1＋3的值．1．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关键． 2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．3．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a >0.(想一想，为什么？)自学导引1．x n ＝a(a ∈R ，n >1，且n ∈N *) 2．根式3．(1)a (2)a |a |4．(1)n a m(2)1a m n(3)0 没有意义5．(1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r对点讲练例1 解 (1)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a 113.(2)a a ＝(a ·a 12)12＝(a 32)12＝a 34.(3)原式＝(a 32·a －32)13·[(a －5)－12·(a －12)13]12＝(a 0)13·(a 52·a －132)12＝(a －4)12＝a －2.变式迁移1 解 (1)原式＝13x x 252＝13x ·x45＝13x 95＝1x 9513＝1x 35＝x －35.(2)原式＝[(b －23)14]－23＝b －23×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝b 19.例2 解 (1)原式＝(22)2＋1·23－22·(23)－23＝222＋2·23－22·2－2＝222＋2＋3－22－2＝23＝8.(2)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(3)原式＝a 12＋b 12a 12－b 12a 12＋b 12－a 12－b 122a 12－b 12＝a 12－b 12－(a 12－b 12)＝0. 变式迁移2 解 原式＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫3213×1＋234×214＋22×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋2＋108－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝110.例3 解 x 12－y 12x 12＋y 12＝x 12－y 122x 12＋y 12x 12－y 12＝x ＋y －xy12x －y. ①∵x ＋y ＝12，xy ＝9， ②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108. ∵x <y ，∴x －y ＝－6 3. ③ 将②、③式代入式①得 x 12－y 12x 12＋y 12＝12－2×912－63＝－33. 变式迁移3 解 ∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x －12)2＝9，即x ＋x －1＋2＝9，∴x ＋x －1＝7，x ＋x －1＋3＝10. ∵x 32＋x －32＝(x 12)3＋(x －12)3 ＝(x 12＋x －12)(x －x 12·x －12＋x －1)＝3×(7－1)＝18.∴x 32＋x －32＋2＝20， ∴x 32＋x －32＋2x ＋x －1＋3＝2010＝2.高∠考≌试!题|库。

3.1 指数与指数函数的教学设计§3.1.1实数指数幂及其运算（第一课时—— 第二课时）一、学习目标1. 理解n 次方根、根式、分数指数幂概念，了解实数指数幂的意义，会对根式、分数指数幂进行互化；2. 掌握分数指数幂的运算性质，熟练运用性质进行化简，求值；3. 通过复习回顾初中所学整数幂运算，用类比的思想来完成实数指数幂的学习；4. 借助计算器或计算机进一步体会“用有理数逼近无理数”的数学思想.二、重点难点1. 重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质；解决方法：利用正整数幂的概念及性质进行类比分析，由简到繁，逐步深入.2. 难点：根式的概念及分数指数幂的概念；解决方法：由具体到一般，注意过程分析.三、教学内容安排本小节内容包括整数指数幂、分数指数幂、根式的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算.1. 整数指数幂的概念及运算性质在初中我们首先研究了正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即个n a a a a ⋅=''正整数指数幂的运算法则有五条：①n m n m a a a +=⋅②n m n m aa a -=÷ （n m a >≠,0） ③mn n m a a =)( ④n n nb a ab ⋅=)( ⑤n nn ba b a =)( )0(≠b 为保证这些法则可以从定义直接推出，我们限定m ，n 都是正整数，且在法则②中限定n m >，为了取消n m >的限制，我们定义了零指数幂和负整数指数幂：1=a )0(≠a nn a a 1=- （0,≠∈+a N n ） 这样一来，原来的5条运算律就可以归纳为3条①③④同时，将指数的概念扩大到了整数. 在这里，应该指出：由于零指数或负整数指数幂要求底数不等于0，因而，对于整数指数幂而言，当然就要求“底数不等于0”2. 根式教材中安排根式这部分内容，是为讲分数指数幂做准备，所以本节教材只讲根式的概念及其性质，先复习平方根、立方根的定义，然后给出n 次方根的定义，同时教材根据n 次方根的意义得出了n 次方根的性质（1）n 次方根的定义如果a x n =，则称x 为a 的n 次方根，n 次方根的定义是平方根、立方根定义的推广，对比平方根、立方根概念，可知：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0，设R a ∈，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根为n a ，如－27的3次方根为3273-=-； ②在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数的偶次方根没有意义，设0≥a ，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根记作n a ±，如16的4次方根为2164±=±，416为16的4次方根中的正根.（2）开方与乘方求a 的n 次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混，如求3的四次方，结果是8134=，而求3的四次方根，结果为43± ，对于根式符号n a ，要注意以下几点；①N n ∈，且1>n ②零的任何次方根都是零 ③n 为奇数或0≥a 时，a a n n =)(④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当0≥a 时有意义，当0<a 时无意义，)0(≥a a n 表示a 在实数范围内的一个非负n 次方根，另一个是a a a n n n =±-)(;.⑤式子nn a 对任意R a ∈都有意义，当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n 如22)2(22-≠=-要加以注意 （3）根式的概念是教学的难点.教课时，可举几个具体实例，然后再给出n 次方根的一般定义.方根的性质，可以结合立方根与平方根的性质来讲述，即n 次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此，教课时可以以平方根与立方根为基础来说明.3. 分数指数幂（1）分数指数幂规定：①正数的正分数指数幂的意义是：n m n ma a =（nm N n m a 且,,,0+∈>为既约分数） ②正数的负分数指数幂的意义是：n m n mn ma a a 11==- （+∈>N n m a ,,0，且nm 为既约分数） ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）关于分数指数幂要注意以下几点：①. nm a 的意义，分数指数幂是根式的一种新的写法，根式与分数指数幂表示相同意义的量，只是形式上不同而已.②. 0的指数幂，0的正分数指数幂是0，0的负分数幂没有意义，负数的负分数指数幂是否有意义，应视n m ,的具体数值而言.③. 指数概念在引入了分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.4. 分数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样： s r s r a a a +=⋅； rs s r a a =)(； r r r b a ab =)(；式中0,0>>b a ，Q s r ∈,，对于这三条性质须记准、记熟，会用、用活.5. 讲述实数指数幂的意义及其运算性质时，让学生进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并结合例1、例2让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程.6. 参考例题与练习（1）用根式的形式表示下列各式（0>a ）51a 43a 53-a 32-a（2）用分数指数幂表示下列各式 ①32x ②43)(b a + )0(>+b a ③32)(n m - ④4)(n m - （n m >） ⑤56q p （0,>q p ） ⑥m m 3（3）计算 ①5.02120)01.0()412(2)532(-⨯+-- ②432981⨯； ③632125.13⨯⨯ ④)()2(2222---÷+-a a a a（4）化简： ①)65)(41(561312112132-----y x y x yx ②212112m m m m +++-- ③33323323134)21(248a ab a ab b ba a ⨯-÷++-（式中0,0>>b a ）（扩展） （5）已知32121=+-a a ，求下列各式的值①1-+a a ②22-+a a ③21212323----a a aa （扩展）（6）已知22=n a+1，求n n n n a a a a --++33的值（其中+∈N n ），（扩展） （7）若212121x a a =+-（0>a ）求x x x xx x 424222----+-的值.四、教学资源建议教材、教参，与教材相关的课件；信息技术手段等.五、教学方法与学习指导策略建议根据学生情况及本节知识特点，建议采用启发式教学与讲授式教学相结合的教学方法.。

高中数学 3.1.1指数及其指数幂运算学案 新人教B 版必修1本节课重点是分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质。

学习难点是根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化主要让学生理解1、n 次方根及n 次根式的概念；掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值。

2、分数指数幂的概念；掌握指数幂的运算性质；掌握根式与分数指数幂的互化；新课中通过对整数指数幂的运算性质进行类比，归纳分数指数幂的运算性质.培养学生观察、类比的能力，渗透“转化”的数学思想，培养学生的应用意识。

主要是通过自主预习由学过的二次方根和三次方根类比推得n 次方根的定义及性质，性质一般会在预习中混淆，所以在新课教授中再予以强调。

新课教授中通过学生合作探究进一步强化n 次方根的定义与性质及指数幂的推广，师生共同探究指数幂性质应用时的限制条件。

通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯。

附本课设计的主要内容：预习案、学案、自我测评3、1、1指数及指数幂运算预习案（第一课时）昌邑一中 丁春梅学习目标 知识与技能：1. 理解n 次方根及n 次根式的概念；掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简，求值。

2. 理解分数指数幂的概念；掌握指数幂的运算性质；掌握根式与分数指数幂的互化； 过程与方法：通过对整数指数幂的运算性质进行类比，归纳分数指数幂的运算性质. 情感态度价值观：培养学生观察、类比的能力，渗透“转化”的数学思想，培养学生的应用意识。

通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； 学习重点分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质 学习难点根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化 学习过程 一、自主学习： 知识链接：1、整数指数幂概念： n aa a a =⋅⋅⋅个 )(*∈N n ； ()00a a =≠；n a -= ()0,a n N *≠∈.2、指数幂由正整数指数幂扩充到整数指数幂的依据为： 。

河南省开封市十七中高一数学《3.1.1 实数指数幂及其运算》教案（必修一）【 预 习 】阅读教材第85～90页，试回答下列问题1、a 的n 次方根的定义2、根式的定义3、分数指数幂的意义4、无理指数幂的意义第二部分 走进课堂【 复 习 】1、初中指数幂的定义2、初中指数幂的运算律问题：当指数n m 、是有理数和实数时，初中那些指数运算律还成立吗？【探索新知】1、a 的n 次方根的定义在初中，的平方根是424)2(2±⇔=±， 的立方根是2732733⇔= 的立方根是644-64-)-4(3⇔=， 的平方根是00002⇔=于是：的四次方根是16216)2(4±⇔=± 的七次方根是128212827⇔= 的五次方根是2433-243)3-(5⇔=于是我们得到a 的n 次方根的定义：①当n 是正奇数时，a 的n 次方根记作n a ，例如：21287=，52435-=- ②当n 是正偶数时，a x n=是非负数，a 的n 次方根记作)0(≥a a n 例如：23529=，67296= 新课 标 第 一 网 其中，)0(≥a a n 是a 的非负n 次方根。

特别地，（1）00=n ，（2） 负数没有偶次方根。

再如：16的四次方根为：2164±=±，009=，37296±=±2、根式的定义 式子n a 叫做根式，例如：327-，34，n 0，3，327-，57等都是根式。

①当n 是正奇数时，n a 是a 的n 次方根 例如：327-是27-的三次方根，57是7的五次方根。

②当n 是正偶数时，a x n =是非负数，)0(≥a a n 是a 的n 次非负方根，一个正数a 正的方根n a 叫做正数a n 次算术根。

例如：2164=是16的四次算数根，5是5的二次算数根（算术平方根）37是7的三次算数根 显然有公式：a a n n =)(（1,>∈*n N n ）当n 是正偶数时，R a ∈当n 是正偶数时，0≥a 例如：2)2(33=，27)27(55-=- 问题：a a n n =吗？ 例子：计算2)3(-，442，33)3(-，552于是可以得到结论：再计算：33)8(-，2)10(-，2)3(π-，)()(2b a b a <-练习：当0>a 时，求下列各式的值（1）510a （2）312a （3）728a3、分数指数幂的意义上面的练习说明： ①当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。