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高考数学总复习 2-2 函数的单调性与最值但因为测试 新人教B 版1.(文)(2011·大连模拟)下列函数在(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 0.5(1－x ) B ．y ＝x 0.5 C ．y ＝0.51－xD ．y ＝12(1－x 2)[答案] D[解析] ∵u ＝1－x 在(0,1)上为减函数，且u >0，∴y ＝log 0.5(1－x )为增函数，y ＝0.51－x为增函数；又0.5>0，∴幂函数y ＝x 0.5在(0,1)上为增函数；二次函数y ＝12(1－x 2)开口向下，对称轴x ＝0，故在(0,1)上为减函数．(理)(2011·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)”的函数是( )A ．f (x )＝－x ＋1B ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝ln(－x )[答案] C[解析] f (x )＝－x ＋1为减函数，f (x )＝x 2－1在(－∞，1)上为减函数；f (x )＝2x 为增函数，f (x )＝ln(－x )为减函数，由条件知f (x )在(－∞，0)上为增函数，故排除A 、B 、D 选C.2．(2011·湖北理，2)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞)B ．(0，12)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪[12，＋∞)[答案] A[解析] ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)， P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，12)，∴∁U P ＝[12，＋∞)．3．(文)(2011·上海文，15)下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13[答案] A[解析] y ＝x －1是奇函数，y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，y ＝x 13 是奇函数．(理)(2011·课标全国文，3)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |[答案] B[解析] A 项中y ＝x 3是奇函数而不是偶函数，C 项中y ＝－x 2＋1是偶函数，但在(0，＋∞)单调递减，D 项中y ＝2－|x |是偶函数但在(0，＋∞)上单调递减．4．(2011·江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a ＝log 13 2，b ＝log 12 13，c ＝⎝⎛⎭⎫120.3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c[答案] B[解析] ∵log 13 2<log 13 1＝0，∴a <0；∵log 12 13>log 12 12＝1，∴b >1；∵⎝⎛⎭⎫120.3<1，∴0<c <1，故选B.5．(文)(2011·北京模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧23x －1 x ≥01x x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[答案] B[解析] f (a )>a 化为⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥023a －1>a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <01a >a ，∴a <－1.(理)(2011·衡水模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)[答案] A[解析] 当2x －1≥0，即x ≥12时，由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加， 则由f (2x －1)<f (13)得2x －1<13，即x <23，故12≤x <23；当2x －1<0，即x <12时，由于函数f (x )是偶函数，故f (2x －1)＝f (1－2x )，此时1－2x >0， 由f (2x －1)<f (13)得1－2x <13，即x >13，故13<x <12.综上可知x 的取值范围是(13，23)．[点评] (1)由于f (x )为偶函数，∴f (2x －1)<f (13)⇔f (|2x －1|)<f (13)．(2)可借助图形分析 作出示意图可知：f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔－13<2x －1<13， 即13<x <23.故选A. 6．(2011·青岛模拟)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2 D ．4[答案] C[解析] f (x )在[1,2]上是单调函数，由题意知，a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，∴a 2＋a －6＝0，∵a >0，∴a ＝2.7．(文)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－14，0][解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述－14≤a ≤0.(理)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] (0,1][解析] 由f (x )＝－x 2＋2ax 得函数对称轴为x ＝a ， 又在区间[1,2]上是减函数，所以a ≤1， 又g (x )＝ax ＋1在[1,2]上减函数，所以a >0， 综上a 的取值范围为(0,1]．8．(文)f (x )＝x ln x 的单调递减区间是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫0，1e [解析] f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )<0得x <1e ，∴0<x <1e，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减． (理)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． [答案] a ≤－4[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立， ∵g (x )的对称轴x ＝－12，x ∈(0,1)，∴g (1)≤0，即a ≤－4.9．(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________． [答案] (－12，＋∞)[解析] ∵2x ＋1>0，∴x >－12.所求单调增区间为(－12，＋∞)．10．(文)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． [解析] (1)证明：设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2 x 1－x 2x 1＋2 x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解：设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a .∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.[点评] 第(2)问中，由f (x )单调递减知x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)>0恒成立，从而(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，由于a >0，x 1>1，x 2>1，故只有当0<a ≤1时才满足．(理)已知函数f (x )对任意的a 、b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. [解析] (1)证明：任取x 1、x 2∈R 且x 1<x 2， ∴x 2－x 1>0. ∴f (x 2－x 1)>1. ∴f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)－1>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数． (2)解：f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.∴f (3m 2－m －2)<3化为f (3m 2－m －2)<f (2)． 又由(1)的结论知f (x )是R 上的增函数， ∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <43.11.(文)(2011·平顶山一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3) D ．f (3)<f (1)<f (－2)[答案] A[解析] 由题意f (x )在[0，＋∞)上为减函数， ∴f (3)<f (2)<f (1)，又f (x )为偶函数，∴f (－2)＝f (2)，故选A.(理)(2011·山东聊城一中期末)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13 [答案] B[解析] ∵f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )＝3x －1为增函数，故当x <1时，f (x )为减函数，且f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12，∵13<12<23，∴f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫12>f ⎝⎛⎭⎫23，即f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎫13，故选B.12．(2011·西安模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >00，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)[答案] A[解析] 依题意得，g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >10，x ＝1－x 2，x <1，所以g (x )的递减区间为(0,1)．13．(文)(2011·抚顺模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx >1 4－a 2x ＋2 x ≤1 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)[答案] B[解析] 由y ＝a x (x >1)单调增知a >1；由y ＝(4－a 2)x ＋2(x ≤1)单调增知，4－a2>0，∴a <8；又f (x )在R 上单调增，∴a ≥(4－a2)＋2，∴a ≥4，综上知，4≤a <8.[点评] 可用筛选法求解，a ＝2时，有f (1)＝4＝f (2)，排除A 、D.a ＝4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4xx >1 2x ＋2 x ≤1 ，在R 上单调递增，排除C ，故选B.(理)(2011·北京学普教育中心)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[1，32)C ．[1,2)D ．[32，2)[答案] B[解析] 因为f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.据题意，⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1k －1≥0，解得1≤k <32，选B.14．(2011·天津四校联考)已知函数f (x )＝x 2＋ax －1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数a 的值为________．[答案] －2[解析] 当－a2≤0，即a ≥0时，函数f (x )在[0,3]上为增函数，此时，f (x )min ＝f (0)＝－1，不符合题意，舍去； 当－a2≥3，即a ≤－6时，函数f (x )在[0,3]上为减函数，此时，f (x )min ＝f (3)＝－2，可得a ＝－103，这与a ≤－6矛盾；当0<－a 2<3，即－6<a <0时，f (x )min ＝f (－a2)＝－2，可解得a ＝－2，符合题意．15．(文)(2010·北京市东城区)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围．[解析] (1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数， 所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}．(理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x x >0－f x x <0.(1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0， 即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)， 所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 x ＋1 2x >03 x ＋1 2x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3， 所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知： －k ＋66≤－1或－k ＋66≥1， 得k ≤－12或k ≥0.(3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c . 又因为mn <0，m ＋n >0， 可知m ，n 异号． 若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 若m <0，则n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.*16.已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，a ∈R. (1)若a ＝1，求f (x )的极小值；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为3. [解析] (1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增．∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)假设存在实数a ，使f (x )＝ax －ln x ，x ∈[0，e ]有最小值3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，①当a ≤0时，f (x )在(0，e ]上单调递增，f (x )min ＝f (e )＝ae －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f (x )最小值不为3；②当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e 时，f (x )在(0，e ]上单调递减，f (x )min ＝f (e )＝ae －1＝3，a ＝4e (舍去)，所以，此时f (x )最小值不为3.综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e ]时，f (x )有最小值为3.1．(2011·上海理，16)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝ln 1|x |B ．y ＝x 3C ．y ＝2|x |D ．y ＝cos x[答案] A[解析] 排除法：B 、C 在(0，＋∞)上单调递增，D 在(0，＋∞)上不单调，故选A. 2．函数f (x )＝x －3x ＋a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(3，＋∞) [答案] D[解析] f (x )在(－a ＋2，＋∞)上是增函数，由条件知－a ＋2<－1，且－a －1<0，∴a >3. 3．若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－2,2] C ．{2} D ．[2，＋∞) [答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <x <2a 时，f (x )单调减，∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2， ∴a ＝2.[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．4．(2010·海南华侨中学期末)函数f (x )＝ln(x ＋1)－mx 在区间(0,1)上恒为增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(－∞，12]D ．(－∞，12)[答案] C[解析] ∵f (x )＝ln(x ＋1)－mx 在区间(0,1)上恒为增函数， ∴f (x )＝ln(x ＋1)－mx 在区间[0,1]上恒为增函数， ∴f ′(x )＝1x ＋1－m ≥0在[0,1]上恒成立，∴m ≤(1x ＋1)min ＝12.5．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (13)＝0，则适合不等式f (log 127 x )>0的x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，13)C ．(0，＋∞)D ．(0，13)∪(3，＋∞)[答案] D[解析] ∵定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则由f (log 127 x )>0，得|log 127 x |>13，即log 127 x >13或log 127x <－13.选D.6．(2010·南充市)已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a[答案] D[解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称， ∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减． 由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<f (2)<f (2)， 即a <b <c .7．(2011·四川一模)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12[答案] C[解析] 由⊕的定义知1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， －2≤x ≤1x 2 1<x ≤2，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 －2≤x ≤1x 3－2 1<x ≤2，显然f (x )在[－2,2]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝23－2＝6.。
