最新 公开课课件 2016春八年级数学下册 第2章 一元二次方程 2.3 利润与增长率问题(第1课时)课件

例1、把下列方程化为一元二次方程的一般形
式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项.
(1)
(2)
例2、已知一元二次方程 2x2+bx+c=0的两个根分 别为x1=2.5和x2=-3，求这个方程.
解：将x1=2.5和x2=-3带入方程 2x2+bx+c=0得 2×（2.5）2+2.5b+c=0 2×（-3）2+（-3）b+c=0
一个纯粹的 数学家如同音乐家一样可 以自由的创造一个井然有序的美丽世界。
——伯兰特·罗素《西方哲学史》
在复杂中寻找简单，在无限中寻找有 限，这是对数学的目的与本质的精确描述。 ——雅格布·施瓦茨《随想》
2.1 一元二次方程
小区在每两幢楼之间，开辟面积为150平方米 的一块长方形绿地，并且长比宽多5米，则绿地 的长x2+x-15=0
判断下列方程是否为一元二次方程:
①
② ③
④
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写 出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
方程
一般形式
二次 一次项 常数 项 系数 项 系数
3
1
4
0
-5
3 -2 - 1
关于x的方程(3-m)x2+6=0是一 元二次方程的条件是什么？
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次 的整式方程叫做一元二次方程。
注意：
一定要把方程化解为 (3)上述方程的书写格式有什么特征? 一元二次方一程般的形一式般，形才式能：确定！
a≠0)
其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次 项系数和常数项. ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项
能使一元二次方程两边相等的未知数 的值叫一元二次方程的解(或根)

巩固提升
2.用配方法解下列方程 : (1).x2 - 2x -1= 0 (2).x2 - 2x +4 = 0 (3).x2 - 2x +1= 0 思考 : 对于形如x2 + px + q = 0这样的方程在什么 条件下才有实数解?
解一元二次方程的另两种方法： 一、开平方法；
( … )2＝非负常数 如(2x–1)2＝5 二、配方法；如x2–4x–7=0
构造一个一元二次方程，使它的两根分 别为－2和5。，二次项系数为3 .
2. 用因式分解法解下列方程.
(1) 4x2 - 9＝0 (2) x2 +6x +9＝25
(1) 4x2＝9 (2) （x +3)2＝25
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
用配方法解下列方程:
(1) x2－6x＝－8 (2) x2－2x－199＝0 (3) x2+3x+2＝0 (4) –x2&: x2 = 4 3x -11
巩固提升
1.已知多项式x2 - 8x +10, 当x取何值时,多项式x2 - 8x +10的值 有最小值?求出这个最小值.
你能直接用开平方法解下列方程吗? x2 + 6x = 16 x2－10x = 4
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右 边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种 解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方诀窍：
(1)x2＋8x＋42 =(x＋ 4 )2
(2)x2－3x＋

3 2

2
=(x－23
)2
(3)x2－12x＋62 =(x－6 )2

(1）学校D和小华姑妈家F相距多少千米? （2）已知小华的速度是教师的2倍， 小华在由B到C的途中与教师相遇于E 分处析，： •那（么1相）遇因时为教依师题行意走可了知多△少AB千C米是?等腰直角三角形，△DFC也 是（等结腰果直精角确三到角0.1形千，米A）C可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求 DF的长．（2）要求教师行使的距离就是求DE的长度，DF已求，
回味无穷
列方程解应用题的一般步骤是:
1.审:审清题意:已知什么,求什么?
2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;
3.列:列代数式,找出相等关系列方程;
4.解:解所列的方程;
5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;
6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.
列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2
• 思考:如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，
BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以
1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点
C以2cm/s，的速度移动，如果P、Q分别从A、
B同时出发，那么几秒后五边形APPQCD的面B
积为64cm2？
A
Q
海报长27dm，宽21dm，正中央是一个与 整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周 的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设 计四周边衬的宽度（精确到0.1dm）？
喜讯
中雁学校在 2009年的中考中 再创佳绩，有20 名学生考上乐清 中学
学生家长贺
分析：封面的长宽之比为 27：21＝9：7 ，中央矩形的长宽之比也应200是9年7，月
中考时间，小华家位于A处，他到考场的路径如图，他需沿正南 方向行20千米里，再向正东方向行20千米才到达考场，学校D位 于AC的中点，小华姑妈家（F）位于BC上且恰好处于D的正南方 向，早上7时，小华父亲带小华从A出发，经B到C匀速行使，同时 在校教师发现小华有重要物品落在学校，从D出发，沿南偏西方向 匀速直线航行，欲将该物品送给小华．

x2 3x 4
想想以前学习过的知识，有没有能够解决 这一问题的方法呢?
做一做
请选择： 若A·B=0，则（ D ）
（A）A=0
（B）B=0
（C）A=0且B=0 （D）A=0或B=0
你能用上面的结论解方程(2x+上述结论： 若A·B=0,则 A=0或B=0.
我们可以得到： (2x+3)(2x-3)=0
方程左边因式分解得:
( x 2)[( x 2) 2x] 0
x 2 x 2 0
x 2 0或 x 2 0
x1 2
x2
-2
体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1、一元二次方程的解法。 2、因式分解法解一元二次方程。
探究2
想一想以前学过几种 因式分解的方法?
请利用因式分解解下列方程：
（1）y2－3y＝0；
解: y（y-3）=0 ∴ y=0或y-3=0 ∴ y1=0,y2=3
提取公因式法
探究2
(2) 4x2=9 解：移项，得 4x2-9=0
（2x+3）（2x-3）=0 ∴x1=-1.5,x2=1.5
公式法
公式
ax2 , bx, c分别叫做二次项，一次项，常数项
a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
情境导入
还记得下面这一问题吗?
把面积为4㎡的一张纸分割成如图的正 方形和长方形两部分，求正方形的边长。
设正方形的边长为x。
我们列出的一元二次方程为 x2 3x 4
探究1 我们怎么获得这个一元二次方程的解呢?
例3 x2 2 2x 2
解: 移项，得 x2 －2 2x+2=0,
即 x2 －2 2 x+( 2 )2=0.

3.若一元二次方程 ax2 bx c 0 的一根为1，
1 . 且满足 b a 2 2 a 3 ，则c=_____
2
(m 2) 4
2
知识聚焦
一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2 bx c 0a 0根的判式是:
b 4ac
2
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0a 0
根的情况 定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
16k 2 8k 1 16k 2 8 8k 9
(1).当△>0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 >0 , 即 k (2).当△ = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即
k 9 8
9 8 9
8
(3).当△ <0 ，方程有没有实数根, 8k+根 两相等实根 无实根
例：解方程：x2=3x 解：移项，得x2-3x=0
将方程左边分解因式，得x(x-3)=0 ∴x=0 或x-3=0 ∴x1=0 x2=-3 这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
特点：在一元二次方程的一边是0， 而另一 边易于分解成两个一次因式时，就可以用因 式 分解法来解。
x m 2x 2m 1 0
2
有两个不相等的实根。
无论m取任何实数都有：m 2 4 0 即：△>0 所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。 说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△ ，如果不能直接判断△情况，就利用配方法把△配成含 用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的 情况，从而证明出方程根的情况.

有两个相等根，求m的值。2.已知一元二次方程（m－1)x2+6x+1=0
有实数根，求m的取值范围。x2+(2m+1)x+m2-4=0。求根公式 : X=。X=
第十三页，共十三页。
2.2一元二次方程的解法(jiě (4) fǎ)
第一页，共十三页。
解方程：
4x24x－ 150
第二页，共十三页。
用 配 方 法 解 下 列 方 程 : ax2+bx+c=0 (a≠ 0)
《教与学》P41，第15题。
第三页，共十三页。
例例44.用.不公解式方(g程ōng，shì)法判解别(方pànb程ié)方：程根的情况。
(1)2x2－5x+3=0; x b b2 4ac
(2) x2－x+1=0;
2a
(3)3x 2 + 1 = －4x; 3x2 +4x +1= 0
(4 ) 3 x 2＝ x － 1
4
2
3 x2－x+ 1＝0
4
2
3x2－4x+2＝0
第六页，共十三页。
用公式(gōngshì)法解一元二次方程的一般步骤：
第九页，共十三页。
解 方 程 :2 x (x -2 )= (x -2 )2
第十页，共十三页。
巩固 提升 (gǒnggù)
1.已知一元二次方程 x2x+24+x(+2m(2+m1)+x1+)m=02-4=0 有两个(liǎnɡ ɡè)相等根，求m的值。 2.已知一元二次方程（m－1)x2+6x+1=0 无有实数(shìshù)根，求m的取值范围。

2013 年份
x2 12x 20 0 x23x4 6700(1x)29200
观察上面所列方程,说出这些方程与 一元一次方程的相同与不同之处.
相同之处：(1)两边都是整式;(2)只含有一个未知数
不同之处： 一元一次方程未知数的最高次数
是1次，而上述方程未知数的最高次数是2次.
两边都是整式,只含有一个未知数,
3.在写一元二次方程一般式时，通常按未知数次数从高到低排列， 即先写二次项，再写一次项，最后是常数项。写系数时，要带上 前面的符号。
4、一般情况下，二次项系数应化为正数。
填空：
方程
一般式
二次项系数 一次项系数 常数项
X2-4x-3=0 X2-4x-3=0 1
-4
-3
0.5x2=√5
0.5x2-√5 =0
故事
从前有一天，一个“笨人”拿着竹竿进屋，横拿
竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２
尺，一位“智者”教他沿着门的两个对角斜着拿竿，
这个“笨人”一试，不多不少刚好进去了．你知道竹 竿有多长吗？
解：设竹竿的长
为x尺,则门的宽 度为(x－4)尺,长 为 (x－2)尺,依题 意得方程：
2尺 x
数学化 x－2
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2次,这样的方程叫做 一元二次方程.
①方程两边都是整式
一元二次方程
②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2次
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 3:04:15 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/152021/10/152021/10/1510/15/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/152021/10/15October 15, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/152021/10/152021/10/152021/10/15

课 时
常数项是一次项系数一半的平方
学
练
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/302021/7/30Friday, July 30, 2021
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/302021/7/302021/7/307/30/2021 9:39:42 AM
x2-2x+__1_=(____x_-__1_)2 x2-4x+__4_=(___x_-__2__)2 x2-6x+__9_=(____x_-_3__)2 x2-10x+_2_5_=(__x__-_5___)2
倍 在用配方法解二次项系数是1的一元二次方程时，添
速 上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？
2
2
时 学
∴ (x3)2 1
练
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边,方程的 左边边只有一次项和二次项;
配方:方程两边都加上一次项系数 一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
课堂练习
倍 速
1、用配方法解下列方程：
课
时
学 练
例题2： 用配方法解下列一元二次方程
（1） x2+6x=1 （2）x2=6-5x (3)-x2+4x-3=0
倍 速 课 时 学 练
例题2
(1)y2 6y 4 0 (2)x2 65x
倍 速 课 时 学 练
用配方法解下列方程
1x225x4
2x28x40

（5x+4)(5x-4）=0
∴ 5x+4=0或5x-4=0
∴x1=-0.8， x2=0.8
典例精讲
例2 解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10； 解： 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，
得 x(3x－17)=0,
∴x=0 或3x－17=0，
得x1
0, x2
17 .
例3 x2 2 2x 2
解: 移项，得 x2 －2 2x+2=0,
即 x2 －2 2 x+( 2 )2=0.
∴(x－ 2 )2=0, ∴x1=x2= 2 .
达标测评
1、构造一个一元二次方程,要求: ①常数项不为0；②有一个根为-3.
x 4x 3 0
2、关于x的一元二次方程 x2 bx c 0
x2 3x 4
想想以前学习过的知识，有没有能够解决 这一问题的方法呢?
做一做
请选择： 若A·B=0，则（ D ）
（A）A=0
（B）B=0
（C）A=0且B=0 （D）A=0或B=0
你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗?
探究1 根据上述结论： 若A·B=0,则 A=0或B=0.
我们可以得到： (2x+3)(2x-3)=0
方程左边因式分解得:
( x 2)[( x 2) 2x] 0
x 2 x 2 0
x 2 0或 x 2 0
x1 2
x2
-2
体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1、一元二次方程的解法。 2、因式分解法解一元二次方程。
2x 3 0 2x 3 0
x1
3 2
x2
3 2

（1） x2 3x 2 0. 答：a=1, b=3, c= -2. （2） 2x2 5x 3 0.答：a=-2, b=-5, c= 3.
（3） 3x2 5x 2. 3x2 5x 2 0.
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4） 2x 13x 2 3. 6x2 4x 3x 2 3,
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项，常数项，
a,b分别称为二次项系数,一次项系数.
ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数 常数项
注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知
• [2] 5x2 125x
• [3] y2 6 y 0
• [4] x2 14x 49
• [5] 16 x 2 (5x 1)2
我们先来看看例题。 解下列方程： x2 36
x2 学科网 0.25 2x2 32 2x2 50 0 (x 1)2 49 (x 1)2 1
x2 2 5x 5 0
例1、用因式分解法解下列一元二次方程 (1)(x－5)(3x－2)＝10 (2)(3x－4)2=(4x－3)2 (3)27x2－18x＝－3
试一试
1、填空：
（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-1 ；
（2）x2－25=0的根是 X1=5, x2=-5 。
试一试
2、用因式分解法解下列一元二次方程
2.若一个数的平方等于这个数本身,你能求 出这个数吗(要求列出一元二次方程求解)?
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个