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第六课时参数方程与普通方程互化一、教学目标：知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法过程与方法:选取适当的参数化普通方程为参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点:教学重点：参数方程与普通方程的互化教学难点：参数方程与普通方程的等价性三、教学方法:启发、诱导发现教学。
四、教学过程：(一）、复习引入：（1)、圆的参数方程；（2）、椭圆的参数方程;（3）、直线的参数方程；（4）、双曲线的参数方程。
(二）、新课探究：1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数（2）三角法：利用三角恒等式消去参数（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去.化参数方程为普通方程为0F:在消参过程中注意变量x、y取)xy,(值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定)(t f和)(t g值域得x、y 的取值范围。
2、探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法，体会互化过程,归纳方法.(1）圆222r y x=+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）（3)椭圆12222=+by a x 参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数） (4）双曲线12222=-by a x 参数方程⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x （θ为参数)（5)抛物线Px y 22=参数方程⎩⎨⎧==Pt y Ptx 222（t 为参数)（6)过定点),(0y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数)3、理解参数方程与普通方程的区别于联系及互化要求。
一、知识梳理：（阅读教材:选修４—４第２１页至３9页）１、曲线的参数方程的概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩１,并且对于t 的每一个允许值,由方程组１所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程１就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. ２．参数方程和普通方程的互化（１）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程. （２）如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
３．圆的参数方程设圆O （O 为坐标原点）的半径为r ，点M 从初始位置0M 出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设(,)M x y ，则cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数。
这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程，其中θ的几何意义是0OM 转过的角度。
圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。
４．椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b+=>>其参数方程为cos ()sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，其中参数ϕ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是22221(0),y x a b a b +=>>其参数方程为cos (),sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数其中参数ϕ仍为离心角，通常规定参数ϕ的范围为ϕ∈[0，２π）。
一参数方程(教案)、知识梳理：(阅读教材：选修4-4第21页至39页)1. 曲线的参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x f(°①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x,y)都y g(t)在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程•2. 参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数得到普通方程•(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在y g(t)参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致•注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3. 圆的参数方程设圆0(0为坐标原点)的半径为r,点M从初始位置M o出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设M(x,y)，贝V X rc°S (为参数)。
y rsi n这就是圆心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。
圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2,x a r cos它的参数方程为：(为参数)。
y b r sin4•椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2 ）o注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 圆的方程导学案 文一、知识梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*）将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422FE D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：①圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（A x 2+B y 2+Cxy+Dx +Ey +F =0）a.x 2、y 2项系数相等且不为零.b.没有xy 项.②当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.③据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. 二、题型探究[题型探究一]圆的标准方程1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔ ｜a ｜＜131.答案：D 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交 解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a =（－1，2）.答案：（－1，2）5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0.答案：x 2+y 2－x －2y －2=0[题型探究二]圆的方程的应用：【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0.当a ≠1时，方程化为（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2.所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC|.∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O .由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|，∴922++y x =|y +3|.化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”. 三、方法提升：1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题. 四、反思感悟1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握. 五、课时作业：1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =0解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上. 答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2. 答案：24.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2. 再由d －r =2－1=1，知最小距离为1. 答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32. 由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）. ∴所求的直线方程为y =－x +1.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.解：原方程为（x +1）2+（y －3）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为x =－1+2cos θ， y =3+2sin θ22sin （θ+4π），当θ=4π5，即x =－1－2，y =3－2时，x +y 的最小值为3－1－22.（θ为参数，0≤θ<2π），则x +y =3－1+2（sin θ+cos θ）=3－+1。
课题学案 3 极坐标系的概念学习目标认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置;认识到学习极坐标系的必要性，从而引出极坐标系与极坐标的概念；学习重点理解极坐标的意义学习难点能够在极坐标系中用极坐标确定点位置学习过程新课导入情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
(1)他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？问题2：如何刻画这些点的位置？合作探究1、如右图，在平面内取一个O，叫做；自极点O引一条射线Ox，叫做；再选定一个，一个（通常取）及其（通常取方向），这样就建立了一个。
|OM叫做点M的，记2、设M是平面内一点，极点O与M的距离|为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的，记为。
有序数对叫做点M的，记作。
特别强调：由极径的意义可知ρ≥0;当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（ρ，θ）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径ρ=0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=ρ。
M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或新课内容 三、例题讲解例1、 如右图，在极坐标系中，写出点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 的极坐标；例2 、教材 P10例2例3、已知Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
①P 是点Q 关于极点O 的对称点；②P 是点Q 关于直线2πθ=的对称点；③P 是点Q 关于极轴的对称点。
当堂训练1．已知5,3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列所给出的能表示该点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．55,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2、在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )A 、),(θρB 、),(θρ-C 、),(πθρ+D 、),(θπρ-3、设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ）A.(23，π43)B. (32，π45)C. (3，π45)D. (3，π43)。
4.3 圆的一般方程（一）一、复习：（1）圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为： 。
（２）圆心在原点，半径为r 的圆的标准方程为： 。
二、自主学习：自学97P 回答：1。
圆的一般方程为_______________________.①当_____________时，表示一个圆.圆心为____________，半径为____________. ②当_____________时，表示一个点___________.③当_____________时，不表示任何图形.2。
二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的条件是①___________ _. ②_________________. ③_________________.圆的方程都表示是关于,x y 的__________________________.三、典型例题：自学98P 例1、例2补充例题3：求过原点及(1,1)A 且在x 轴上截得的线段长为3的圆的方程.四、学生练习：99P 练习A 、B （1）五、小节：六、作业：1.对于方程222230x y x y +--+=，以下说法正确的是( ).A.表示以(2,2)为圆心的圆.B.表示以(1,1)--为圆心的圆.C.表示以(1,1)为圆心的圆.D.以上说法都不正确 2.方程)(222R a a y x ∈=+表示的图形是( ).A.表示点(0,0).B.表示圆.C.当0a =时，表示点(0,0)；当0a ≠时表示圆.D.不表示任何图形.3.若方程220x y x y m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是( ). A.12m <. B.0m <. C.12m >. D.12m ≤. 4。
过点(8,1),(5,12),(17,4)P Q R --三点的圆的圆心坐标是().A.(5,1)B.(4,1)-C.(5,1)-D.(5,1)--5。
第四讲 与圆有关的比例线段教学目标知识与技能：证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
过程与方法：先猜后证，猜想的获得应用了“从特殊到一般”的思想方法。
情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
教学难点相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
课 时 3课时一．基础知识回顾1、如图15-44，点P 为弦AB 上一点，连结OP ，过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP = 4，PB = 2，则PC 的长是（ ）．A ．2B ．2C ．22D ．3答案:C .2、如图15-45，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PC=3，PB=1， 则⊙O 的半径为（ ）． A ．25 B ．3 C ．4 D ．29 答案:C.3、如图15-46，PA 与圆切于点A ，割线PBC 交圆于点B 、C ，若PA=6，PB=4，AB 的度数为60︒，则BC= ，∠PCA= ︒，∠PAB= ︒． 答案:5,30,30.4、如图15-47，两个同心圆间的圆环的面积为16π，过小圆上任一点P 作大圆的弦AB ，则PA ·PB= ． 答案:16.二．典型例题讲解例1．如图15-48，已知⊙O 的半径为9cm ，OP=7cm ，弦AB 过P 点，且PA=2PB ，求AB ． 分析：这个图形比较容易联想到相交弦定理的基本图形，因此可以将线段OP 向两边延长．解：作过P 点的直径CD ，则PC=9－7=2cm ，PD=9＋7=16cm ． O P · CBA图15-44 A B P C · 图15-45 O B C AP 图15-46 B图15-47P A P· B A O C D图15-48根据相交弦定理得：PA ·PB=PC ·PD ．∵PA=2PB ， ∴2PB 2=2×16． 解得：PB= 4cm ．∴AB=PA ＋PB=8＋4=12cm ．评析：若设本题中⊙O 的半径为R ，则PC=R －OP ，PD=R ＋OP ，那么PA ·PB=PC ·PD=（R －OP ）（R ＋OP ），即PA ·PB=R 2－OP 2.事实上，若⊙O 的半径为R ，如图所示，定点P 到圆心的距离为d ，过点P 的直线与⊙相交于A 、B 两点，则PA ·PB 是一个定值，这个定值为∣R 2-d 2∣.例2．如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF ·EC . （1） 求证：∠P=∠EDF ； （2） 求证：CE ·EB=EF ·EP ；（3） 若CE : BE=3 : 2，DE=6，EF= 4，求PA 的长. 分析：由CD∥AP 得∠C=∠ P ，因此要证明∠P=∠EDF ，只要证明∠EDF=∠C ，问题进一步可以转化为证明ΔDEF ∽ΔCED ．证明：（1）∵DE 2=EF ·EC ，∴DE : CE=EF : ED ．∵∠DEF 是公共角，∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ．∵CD ∥AP ， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ．（2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF ·EP=DE ·EA ．∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE ·EA=CE ·EB ． ∴CE ·EB=EF ·EP ．（3）解：∵DE 2=EF ·EC ，DE=6，EF= 4， ∴EC=9． ∵CE : BE=3 : 2， ∴BE=6．∵CE ·EB=EF ·EP ，∴9×6=4×EP ．解得：EP=227． ∴PB=PE －BE=215， PC=PE ＋EC=245． 由切割线定理得：PA 2=PB ·PC ， ∴PA 2=215×245． ∴PA=3215． 评析：本题中DE 2=EF ·EC 这一条件是解决问题的突破口.当要证明成比例的线段在同一直线上时，往往寻找过渡乘积式来解决问题.应用相交弦定理、切割线定理及推论的证明题的解决方法较多，常见的有：（1）找B A PO O P B A · PE O D CBA F 图15-49过渡乘积式证明等积式成立；（2）为三角形相似提供对应边成比例的条件；（3）利用等积式来证明有关线段相等.例3．已知：⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，AC 切⊙O 2于点A ，交⊙O 1于点C .直线EF 过点B ，交⊙O 1于点E ，交⊙O 2于点F ．（1）设直线EF 交线段AC 于点D （如图15-50（1））． ①若ED=12，BD=25，BF=11，求DA 和DC 的长； ②求证：AD ·DE=CD ·DF ． （2）当直线EF 绕点B 旋转交线段AC 的延长线于点D 时（如图15-50（2）），试问AD ·DE=CD ·DF 是否仍然成立？证明你的结论．分析：根据条件DA 与⊙O 2相切，因此可以先通过切割线定理求出线段DA 的长，再根据相交弦定理求出线段DC 的长．解：（1）①在⊙O 2中，DA 切⊙O 2于A ，DBF 交⊙O 2于B 、F ．∴DA 2=DB ·DF=25×（25＋11）， ∴AD=30．在⊙O 1中，弦AC 、BD 交于D ， ∴DE ·DB=AD ·CD ． ∴12×25=30×CD ． 解得CD=10． （2）证明：方法一：连结AB 、AF 、EC ．∵DA 和⊙O 2切于点A ， ∴∠DAB=∠F ．∵∠E=∠DAB ， ∴∠E=∠F ． ∴EC ∥AF ． ∴DE ∶DF=DC ∶DA ． ∴AD ·DE=DF ·DC ．方法二：根据圆的切割线定理和相交弦定理得：AD 2=DB ·DF ，AD ·DC=DB ·DE ． ∴AD ∶DB=DF ∶AD ，AD ∶DB=DE ∶DC ． ∴DF ∶AD=DE ∶DC ． ∴AD ·DE=DF ·DC ． （2）仍然成立.证明：方法一：连结AB 、AF 、EC ．∵ACEB 是⊙O 1的内接四边形， ∴∠DEC=∠CAB ． ∵DA 是⊙O 2的切线， ∴∠CAB=∠F ．∴CE ∥AF ， ∴DC ∶DA=DE ∶DF ． 即： AD ·DE=DF ·DC ．方法二：根据圆的切割线定理及其推论得：DA 2=DB ·DF ，DC ·DA=DE ·DB ， ∴AD ∶DB=DF ∶AD ，AD ∶DB=DE ∶DC ．∴DF ∶AD=DE ∶DC ． ∴AD ·DE=DF ·DC ．评析：这是一道关于相交两圆的问题，既可以通过连结两圆的公共弦，得到角的等量关系， 利用平行线的性质解题，也可以将圆的相交弦定理和切割线定理有机的结合在一起，通过等比代换证明.第（2）题的图形位置虽然发生了变化，但是使原结论成立的条件没有变化，因此结论仍然成立．D · O 2 O 1 FE C B A · 图15-50（1） · O 2A B F DEC· O 1 图15-50（2）三．精选试题演练1、⊙O 中，弦AB 平分弦CD 于点E ，若CD=16，AE ∶BE=3∶1，则AB= ． 答案:3332；. 2、AB 是⊙O 的直径，OA=2.5，C 是圆上一点，CD ⊥AB ，垂足为D ，且CD=2， 则AC= ．答案: 5或25.3、如图15-51，PAB 是⊙O 的割线，AB=4，AP=5，⊙O 的半径为6，则PO= ． 答案: 9.4、如图15-52，AEB 、ADC 是⊙O 的割线，AT 切⊙OY 于T ，若AD=4，DE=2，AE=3，AT=6，则DC= ，BC= ． 答案: 5，6.5、半径为5的⊙O 内有一点A ，OA=2，过点A 的弦CD 被A 分成两部分，则A C·CD= ． 答案: 21. 6、如图15-53，PC 切⊙O 于C ，割线PAB 过圆心O ，∠ACP=30°，⊙O的半径为4，则∠P= °，PC= ． 答案: 30，43.7、如图15-54，过⊙O 的直径BA 延长线上一点P 作PM 切⊙O 于M ，PM=OM ，则PA ∶PB= ． 答案:（12-）∶（12+）.8、如图15-55，⊙O 的弦CD 与直径AB 垂直，垂足为P ，过B 点的直线交⊙O 于M ，交CD 的延长线于F ，AM 交PD 于E ，且PC=6，PE=4，求EF ．提示：证ΔEFM ∽ΔEAP ，可得E F·EP=EM·EA，利用EM·EA=EC·ED 得EF=5；9、如图15-56，已知PC 切⊙O 于C ，M 为PC 中点，割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，连结BM 交⊙O 于D ，求证：∠MPD=∠PBM ．提示：证ΔMPD ∽ΔMBP ；A BP O图15-51O 图15-52 D A T B EC ·O A B P图15-53 · CM O A BP图15-54O AB P 图15-55C · FE D MO ABPC ·MD10、如图15-57，PC 是ΔABC 外接圆的切线，C 是切点，PBD 是割线，PE ∥AB ，与AC 、BC 分别交于E 、F ，求证：P E·PF=PB·PD． 提示：证ΔPCF ∽ΔPEC ；11、如图15-58，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过O 的割线，PA=10，PB=5，∠BAC 的平分线BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求（1）⊙O 的半径；（2）sin ∠BAP 的值；（3）AD·AE 的值．答案:（1）7.5；（2）55；（3）连结CE ，证ΔADB ∽ΔACE ，A D·AE=90；12、已知，如图15-59，⊙O 1和⊙O 2内切于点T ，⊙O 2的弦CD 切⊙O 1于点E ，连结TC 、TD 分别交⊙O 1于点A 、B ，TE 的延长线交⊙O 2与F ，连结AB 、FD ． 求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠CTF=∠DTF ；（3）DF 2－EF 2= CE ·DE ．提示：（1）过T 作两圆的公切线MN .∵MN 是两圆的公切线，∴∠MTC=∠ABT ，∠MTC=∠CDT ． ∴∠ABT=∠CDT ，∴AB ∥CD（2）连结BE ．∵CD 切⊙O 1于E ， ∴∠DEB=∠DTE ． ∵AB ∥CD ， ∴∠DEB=∠ABE ．∵∠ABE=∠ATE ，∴∠ATE=∠DTE ． 即：∠CTF=∠DTF ．图15-57 A BPC E DF A 图15-58 B P C E D O · E O 2O 1 · · T C A BF D图15-59（3）∵TF 、CD 是⊙O 2的两条相交弦，∴CE ·DE=EF ·TE=EF ·（TF －EF ）=EF ·TF －EF 2． ∵∠FDE=∠CTF=∠DTF ，∠F 是公共角，∴ΔFDE ∽ΔFTD ． ∴EF ∶DF=DF ∶TF ． ∴DF 2=EF ·TF ．∴CE ·DE=DF 2－EF 2． 即DF 2－EF 2= CE ·DE ．13、已知：如图15-60，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，O 1在⊙O 2上，⊙O 2的弦BC 切⊙O 1于B ，延长BO 1、CA 交于点P ，PB 与⊙O 1交于点D ． （1）求证：AC 是⊙O 1的切线； （2）连结AD 、O 1C .求证：AD ∥O 1C ；（3）如果PD=1，⊙O 1的半径为2，求BC 的长．提示：（1）连结O 1A ，证∠O 1AC=90°；（2）连结AB ，利用弦切角证明∠PDA=∠ABD=∠ACO 1； （3）利用切割线定理和切线长定理及AD 与O 1C 的平行关系可求得BC=25．四．教学反思1、和圆有关的比例线段指的是相交弦定理及推论、切割线定理及推论.它们的基本图形、条件及结论如下：条件：弦AB 和CD 交于⊙O 内一点P 条件：CD 是弦，AB 是直径，CD ⊥AB 于P结论：PA ·PB = PC ·PD 结论：PC 2= PA ·PB条件：PT 切⊙O 于T ，PA 是割线， 条件：PA 、PC 是⊙O 的两条割线，分别交交⊙O 于A 、B ⊙O 于B 、D 结论：PT 2= PA ·PB 结论：PA ·PB = PC ·PD2、相交弦定理、切割线定理及它们的推论和前面的切线长定理一样，揭示了和圆有关的一 些线段间的数量关系，这些定理的证明及应用又常常和相似三角形联系在一起，因此在解题 中要善于观察图形，对复杂的图形进行分解，找出基本图形和结论，从而准确地解决问题. 另外在和圆有关的比例线段的计算问题中，要注意方程的思想的运用.3、若⊙O 的半径为R ，如图所示，定点P 到圆心的距离为d ，过点P 的直线与⊙相交于A 、·O 2O 1 图15-60A P D BP· O CA BDP A· BDC O T · B A O P · P BA O D CB 两点，则PA ·PB 是一个定值，这个定值为∣R 2-d 2∣.4、在与圆和圆的位置关系相关的一些问题中，常常需要探求线段相等或倍分或成比例、角 相等或倍分，其实质与探求一个圆中的对应问题基本类似，只不过在两个圆中，需要仔细观 察图形，注意某些线段或角是两个圆的公共元素，解决问题时又常常通过这些公共元素将其 他元素联系在一起.另外要注意分类讨论这一思想方法的应用.B A PO OP B A。
第二课时 圆的参数方程及应用一、教学目标：知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程：（一）、圆的参数方程探求1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。
)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。
说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。
（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
3、若如图取<PAX=θ，AP 的斜率为K ，如何建立圆的参数方程，同学们讨论交流，自我解决。
结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。
半径，并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(235cos 22αα+=-=⎩⎨⎧y x4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。
（二）、应用举例例1、已知两条曲线的参数方程05cos 4cos125sin 3sin 45:(:(45x x t y y t t c c θθθ==+==+⎨⎨为参数）和为参数）（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。
学生练习，教师准对问题讲评。
（三）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）例2、1、已知点P （x ，y ）是圆0124622=+--+y x y x 上动点，求（1）22y x +的最值，（2）x+y 的最值，（3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。
解：圆0124622=+--+y x y x 即1)2()3(22=-+-y x ，用参数方程表示为θθsin 2cos 3{+=+=y x由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ），（1）)sin(13214cos 6sin 414)sin 2()cos 3(2222ϕθθθθθ++=++=+++=+y x (其中tan ϕ =23) ∴22y x +的最大值为。
