年高考数学总复习 第二章第5课时 二次函数与幂函数课时闯关(含解析)

一、选择题1．一次函数y＝(2 m－1) x2m2－3m＋2－3的单一性为() A．增函数B．减函数C．有增有减D．与m的值相关分析：选 A. ∵函数是一次函数，22m－3m＋ 2＝1∴，2m－1≠022m－ 3m＋ 1＝ 0∴≠1，m 21∴m＝2或1，∴ m＝1，m≠21此时 2m－ 1＝ 1>0，∴一次函数为增函数，应选A.2．(2011 ·高考天津卷 ) 对实数a和b，定义运算“ ?”：a?b＝a， a－ b≤1，设函b， a－ b>1.数 f ( x)＝( x2－2) ?( x－1)，x∈R.若函数 y＝ f ( x)－ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是()A． ( － 1,1]∪(2，＋∞)B．( － 2，－ 1]∪(1,2]C． ( －∞，－ 2] ∪ (1,2]D．[ － 2，－ 1]分析：选 B.依题意可得x2－2，－1≤ x≤2，f ( x)＝作出其表示图如下图．x－1， x<－1或 x>2，由数形联合知，实数 c 需有1<c≤2或－2<c≤－1，应选 B.3．(2010 ·高考安徽卷) 设abc>0，二次函数 f ( x)＝ ax2＋bx＋ c 的图象可能是()b 分析：选 D. 由 A，C，D 知，f (0) ＝c<0. ∵abc>0，∴ab<0，∴ 对称轴x＝－2a>0，知 A，bC错误， D切合要求．由 B 知f (0) ＝c>0，∴ab>0，∴x＝－2a<0， B 错误．4．已知函数y＝ x2＋ ax－1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数 a 的值为()10A．2B．－3C．－ 2D．4a 2a2分析：选 C. 因y＝ ( x＋2) －1－4，a当 0≤－≤3即－ 6≤a≤0时，2a2y min＝－2，即－1－4＝－2，∴ a＝－2.a当－2≥3即 a≤－6时，y min＝9＋3a－1＝－2，10∴ a＝－3(舍)．5．假如函数 f ( x)＝ x2＋ bx＋ c 对随意的实数 x，都有 f (1＋ x)＝ f (－ x)，那么() A．f ( － 2)< f (0)< f (2)B．f (0)< f ( － 2)< f (2)C．f (2)< f (0)< f ( － 2)D．f (0)< f (2)< f ( － 2)1分析：选 D.由f (1 ＋x) ＝f ( －x)知f(x)的图象对于x＝2对称，又抛物线张口向上，结合图象 ( 图略 ) 可知f (0)< f (2)< f ( － 2) ．二、填空题6．设函数y＝f ( x) 是最小正周期为 2 的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如下图的线段 AB，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.分析：当x∈[0,1]时，设 f ( x)＝ kx ＋b，把 A(0,2)、 B(1,1)两点的坐标分别代入得：b＝2，k＋ b＝1k＝－1∴∴ f ( x)＝－ x＋2.b＝2.∵ f ( x)是偶函数，∴当x∈[－1,0]时，－ x∈[0,1]，∴f (－x)＝－(－ x)＋2＝x＋2＝ f ( x)，即 x∈[－1,0]时， f ( x)＝ x＋2.∵ f ( x)的周期为2，∴将f ( x) 在x∈ [ －1,0] 上的图象向右平移 2 个单位，即得f ( x) 在[1,2]上的图象，此时 f ( x)＝( x－2)＋2＝ x.答案： x7．(2012 ·鞍山质检 ) 已知函数f ( x) ＝x2－ 6x＋5，x∈ [1 ，a] ，而且函数f ( x) 的最大值为f() ，则实数a的取值范围是 ________．a分析：∵ f ( x)的对称轴为 x＝3，要使 f ( x)在[1， a]上 f ( x)＝ f ( a)，由图象对称性知maxa≥5.答案： [5 ，＋∞)8．方程x2－mx＋1＝ 0 的两根为α、β，且α＞ 0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．α＋β＝，11m分析：∵α·β＝1，∴ m＝β＋β，∵β∈(1,2)且函数 m＝β＋β在(1,2)上是增15函数，∴ 1＋ 1＜m＜ 2＋2，即m∈(2 ，2) ．5答案： (2 ，2)三、解答题9．已知二次函数 f ( x ) 的图象过 A ( － 1,0) 、 B (3,0) 、C (1 ，－ 8) ．(1) 求 f ( x ) 的分析式；(2) 画出 f ( x ) 的图象，并由图象给出该函数的值域；(3) 求不 等式 f ( x ) ≥0的解集．解： (1) 令 f ( x ) ＝ a ( x ＋ 1)( x － 3)( a ≠0) ，图象经过 (1 ，－ 8) ，得 a (1 ＋ 1)(1 － 3) ＝－ 8，解得 a ＝ 2.∴ f ( x ) ＝ 2( x ＋ 1)( x － 3) ＝ 2( x － 1) 2－8.(2) 图象为：值域： { y | y ≥－ 8} ． (3) 由图象可知解集为：{ x | x ≤－ 1 或 x ≥3} ．10．已知 g ( x ) ＝－ x 2－ 3， f ( x ) 是二次函数，当 x ∈ [ － 1,2] 时， f ( x ) 的最小值为 1，且 f ( x ) ＋ g ( x ) 为奇函数，求函数 f ( x ) 的表达式．解：设 f ( x ) ＝ ax 2＋bx ＋ c ( a ≠0) ，则 f ( x ) ＋g ( x ) ＝ ( a － 1) x 2＋ bx ＋ c － 3.又 f ( x ) ＋ g ( x ) 为奇函数，∴ a ＝ 1，c ＝ 3，2b∴ f ( x ) ＝ x ＋ bx ＋3，对称轴为 x ＝－ 2.b当－ 2≥2时， f ( x ) 在 [ － 1,2] 上为减函数，∴ f ( x ) 的最小值为 f (2) ＝4＋ 2b ＋3＝ 1，∴ b ＝－ 3. 又 b ≤－ 4，∴此时无解．b当－ 1<－ 2<2 时， f ( x ) 的最小值为b b 2f ( － 2) ＝ 3－ 4 ＝ 1，∴ b ＝±2 2. ∵－ 4<b <2，∴ b ＝－ 2 2 ，此时 f ( x ) ＝ x 2－ 2 2x ＋ 3.b当－ 2≤－ 1 时， f ( x ) 在 [ － 1,2] 上为增函数，∴ f ( x ) 的最小值为 f ( － 1) ＝ 4－ b ＝1，∴ b ＝ 3. 又知足 b ≥2，∴ f ( x ) ＝ x 2＋ 3x ＋ 3.综上所述， f ( x ) ＝ x 2 － 2 2x ＋ 3 或 f ( x ) ＝ x 2＋ 3x ＋3.11． ( 研究选做 ) 设二次函数 f ( x ) ＝ ax 2＋bx ＋ c 在区间 [ － 2， 2] 上的最大值、最小值分别是 、 ，会合 ＝{ | f ( x ) ＝ x } ．M mAx(1) 若 A ＝ {1,2} ，且 f (0) ＝ 2，求 M 和 m 的值；(2) 若 A ＝ { 2} ，且 a ≥1，记 g ( a ) ＝ M ＋ m ，求 g ( a ) 的最小值． 解： ( 1) 由 f (0) ＝2，可知 c ＝ 2.又 A ＝{1,2} ，故 1、 2 是方程 ax 2＋ ( b － 1) x ＋ c ＝ 0 的两实根，1－b1＋ 2＝ a ，∴解得 a＝1， b＝－2，c1×2＝a，∴f ( x)＝ x2－2x＋2＝( x－1)2＋1， x∈[－2,2]．当 x＝1时， f ( x)min＝f (1)＝1，即 m＝1；当 x＝－2时， f ( x)max＝ f (－2)＝10，即 M＝10.(2) 由题意知，方程ax2＋( b－1) x＋ c＝0有两相等实根x1＝ x2＝2，2＋ 2＝1－b＝－，a ，b14a∴即c c＝4a，4＝a，∴f ( x)＝ ax2＋(1－4a) x＋4a， x∈[－2,2]，4 － 11x＝其对称轴方程为2a ＝2－2a.1 3又 a≥1，故2－2a∈[2，2)，4a－ 18a－ 1∴ M＝ f (－2)＝16a－2， m＝ f (2a) ＝4a，1∴g( a)＝ M＋ m＝16a－4a.又 g( a)在区间[1，＋∞)上单一递加，63∴当 a＝1时， g( a)min＝4.。

2021年高考数学第二章第5课时二次函数与幂函数知能演练轻松闯关新人教A版1．(xx·广东省惠州市调研考试)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(1，2)，则log4f(2)的值为( )A．14B．－14C．2 D．－2解析：选A．设f(x)＝xα，由其图象过点(12，22)得(12)α＝22＝(12)12⇒α＝1 2，故log4f(2)＝log4212＝14.2．(xx·湖北黄冈中学质检)幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )A．－1＜m＜0＜n＜1 B．－1＜n＜0＜mC．－1＜m＜0＜n D．－1＜n＜0＜m＜1答案：D3．(xx·高考浙江卷)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋C．若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0解析：选A．因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－b2a＝2，所以4a＋b＝0.4．(xx·广东江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是( )A．0＜α＜1 B．α＜1C．α＞0 D．α＜0解析：选B．当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x 的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象．由图象可知α＜1时满足题意．5．(xx·广东中山一模)若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B ．∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞4－3a －a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a 4－3a ＝1，解得a ＝1. 6．二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图象过点(0，1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.答案：f (x )＝12(x －2)2－17．(xx·山东师大附中高三期中)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件．解析：函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要8．已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是________．解析：∵0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7，∴0.71.3＜1.30.7， ∴m ＞0.答案：(0，＋∞)9．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论． 当－2＜a ＜1时，函数在[－2，a ]上单调递减．则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2＜a ＜1－1，a ≥1.10．是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．解：f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a ＜－1时，f (x )在[－1，1]上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1＋3a ＝－2f （1）＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a －a 2＝－2f （1）＝1－a ＝2⇒a ＝－1；当0＜a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a －a 2＝－2f （－1）＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；当a ＞1时，f (x )在[－1，1]上为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1＋3a ＝2f （1）＝1－a ＝－2⇒a 不存在． 综上可得，a ＝－1.∴存在实数a ＝－1满足题设条件．[能力提升]1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A ．13B ．12C ．34D ．1 解析：选D ．当x ＜0时，－x ＞0， f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0＜a ＜3)，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A ．f (x 1)＝f (x 2) B ．f (x 1)＜f (x 2) C ．f (x 1)＞f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：选B ．函数的对称轴为x ＝－1，设x 0＝x 1＋x 22，由0＜a ＜3得到－1＜1－a 2＜12.又x 1＜x 2，用单调性和离对称轴的远近作判断．3．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．解析：由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)， 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1. 答案：－1或34．(xx·江苏扬州中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1ax －1，x ＞1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由已知∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则需x ≤1时，f (x )不单调即可，即对称轴a2＜1，解得a ＜2.答案：(－∞，2)5. (xx·辽宁五校第二次联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R)的增区间；(2)写出函数f (x )(x ∈R)的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1，2])，求函数g (x )的最小值． 解：(1)f (x )在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x （x ＞0）x 2＋2x （x ≤0）.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a （a ≤0）－a 2－2a ＋1（0＜a ≤1）2－4a （a ＞1）.6．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0－（x ＋1）2，x ＜0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．38705 9731 霱21461 53D5 叕t23609 5C39 尹826819 68C3 棃*V Y34325 8615 蘕#37535 929F 銟23331 5B23 嬣。

第二章第4课时 二次函数与幂函数 课时闯关（含答案解析）一、选择题1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B.注意到函数y ＝x 2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y ＝x 12＝x 的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y ＝x －1＝1x，结合选项知，其图象应与④对应．综上所述，选B. 2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C.若a ＞0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a ＞0，b ＞0，从而－b 2a＜0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故错误，因此选C. 3．(2012·太原质检)已知f (x )＝x 12，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f (b )＜f (a ) C ．f (a )＜f (b )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f ()a ＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＜f (b ) 解析：选C.因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数， 又0＜a ＜b ＜1b ＜1a，故选C. 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C.当a ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1， 即2－a ＜23，∴a ＞－3，∴－3＜a ＜0.当a ≥0时，a ＜1，∴0≤a ＜1.故－3＜a ＜1.5．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)解析：选D.由f (1＋x )＝f (－x ) 知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)<f (2)<f (－2)．二、填空题6．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(－2，－18)，则满足f (x )＝27的x 的值是________． 解析：设幂函数为y ＝x α，图象经过点(－2，－18)，则－18＝(－2)α，∴α＝－3，∵x －3＝27，∴x ＝13. 答案：137．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析：m ＝0时，函数在给定区间上是增函数；m ≠0时，函数是二次函数，由题知m >0，∴对称轴为x ＝－12m≤－2， ∴0<m ≤14.综上0≤m ≤14. 答案：[0，14] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．解析：由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )m in ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.答案：－1或3三、解答题9．已知函数f (x )＝x m －2x ，且f (4)＝72. (1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)因为f (4)＝72， 所以4m －24＝72. 所以m ＝1.(2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，又f (－x )＝－x －2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)设x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1x 2，因为x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0,1＋2x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．10．已知二次函数f (x )的图象过A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)．(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象，并由图象给出该函数的值域；(3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)令f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)，图象经过(1，－8)，得a (1＋1)(1－3)＝－8，解得a ＝2.∴f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2(x －1)2－8.(2)图象为：值域：{y |y ≥－8}． (3)由图象可知解集为：{x |x ≤－1或x ≥3}．11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]， ∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．。

二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × ) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于( ) A ．－12B.12 C ．±12D.22答案 B解析 设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－∞，40]∪[160，＋∞)解析 依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y ＝f (x )为二次函数，若y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，且y ＝f (x )的图象经过原点，则函数解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x解析 因为y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4， 所以可设f (x )＝a (x －2)2－4(a >0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a －4＝0，a ＝1， 所以f (x )＝(x －2)2－4＝x 2－4x .题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n <0. 综上可知，－1<n <0<m <1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1， 解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2. 教师备选1．若幂函数f (x )＝()12255a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )A ．1B ．6C ．2D ．－1 答案 D解析 因为函数f (x )＝()12255a a a x---是幂函数，所以a 2－5a －5＝1，解得a ＝－1或a ＝6. 当a ＝－1时，f (x )＝12x 在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减，所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167 D ．[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ，所以b <a <c .(2)已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p ，q 均为奇数，且p q>0 B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q <0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q >0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q<0 答案 D解析 因为函数y ＝p q x 的图象关于y 轴对称，于是函数y ＝p qx 为偶函数，即p 为偶数， 又函数y ＝p qx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有p q<0， 又因为p ，q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确． 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a－2a －1－－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 教师备选若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )满足条件f (－x )＝f (x )，定义域为R ，值域为(－∞，4]，则函数解析式f (x )＝________. 答案 －2x 2＋4解析 f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a ) ＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (－x )＝f (x )， ∴2a ＋ab ＝0， ∴f (x )＝bx 2＋2a 2.∵f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]， ∴b <0，且2a 2＝4，∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4.思维升华 求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2 (1)已知f (x )为二次函数，且f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，则f (x )等于( ) A ．x 2－2x ＋1 B ．x 2＋2x ＋1 C ．2x 2－2x ＋1 D ．2x 2＋2x －1答案 B解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解 f (x )＝x 2－tx －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究 本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解 f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ，当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1．(多选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A ．当x >3时，y <0B ．4a ＋2b ＋c ＝0C ．－1≤a ≤－23D ．3a ＋b >0答案 AC解析 依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故A 正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0，∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故C 正确，D 错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤1，－1a＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4]C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案 B解析 二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .2．(2022·延吉检测)若函数y ＝()222433m m m m x +--+为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( ) A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案 C解析 由于函数y ＝()222433mm m m x +--+为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．3．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为( ) A ．－2或1 B ．－2 C ．1 D ．1或2答案 A解析 因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是( )A ．b 2<4ac B ．2a －b ＝1 C ．a －b ＋c ＝0 D ．5a <b答案 D解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( ) A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点 答案 ABC解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，a <1，故A 正确； 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，故B 正确；因为f (x )的对称轴为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确； 当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确． 6．(多选)已知幂函数f (x )＝()2231m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能 答案 BC解析 因为f (x )＝()2231m m m m x +---为幂函数，所以m 2－m －1＝1， 解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )， 所以f (x )＝x 3为奇函数． 因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0， 所以f (a )<f (－b )． 因为y ＝f (x )为增函数， 所以a <－b ，所以a ＋b <0.7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案 0解析 因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________． 答案 [2,4]解析 解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2， 解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2， 由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]． 若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调， 则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]， 此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4， 故g (t )∈[0,4]． 所以g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解 (1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a x ＋12＋b x ＋1＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2； 当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6； 当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·福州模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝2－4m <0，f3＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b等于( )A ．0B ．1C.12D ．2答案 A解析 由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a，y ＝x b， 得a ＝132log 3，b ＝231log 3， ∴a －1b＝132log 3－2311log 3＝0.13．(多选)关于x 的方程(x 2－2x )2－2(2x －x 2)＋k ＝0，下列命题正确的有( ) A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 答案 AB解析 设t ＝x 2－2x ，方程化为关于t 的二次方程t 2＋2t ＋k ＝0.(*)当k >1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k ＝1时，可得t ＝－1，则x 2－2x ＝－1，原方程有两个相等的实根x ＝1； 当k <1时，方程(*)有两个实根t 1，t 2(t 1<t 2)， 由t 1＋t 2＝－2可知，t 1<－1，t 2>－1. 因为t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x 2－2x ＝t 1无实根，x 2－2x ＝t 2有两个不同的实根． 综上可知，A ，B 项正确，C ，D 项错误．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0()m ∈R 的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 答案 7解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0， 解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14，且m ≤－2或m ≥1， 所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________． 答案 [－16，＋∞)解析 因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b ) ＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝f 3＝0，f1＝f －1＝0，代入得⎩⎪⎨⎪⎧9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9 ＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]? 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0， 则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根， 得b ＝1，从而a ＝－12，所以f (x )＝－12x 2＋x .(2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则有2n ≤12，即n ≤14.又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1， 则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，f m ＝2m ，f n ＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。

第4节 幂函数与二次函数课标要求1.掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间． 2．了解幂函数的概念．3．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12 的图象，了解它们的变化情况.知识衍化体验知识梳理1．幂函数一般地，形如_________的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．五个常用幂函数的图象与性质R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} (1)一般式：f (x )＝_________． (2)顶点式：f (x )＝_________． (3)零点式：f (x )＝_________． 4．二次函数的图象与性质RR[1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． 2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当a ＞0且△＜0时恒有f (x )＞0，当a ＜0且△＜0时恒有f (x )＜0．基础自测疑误辨析1．判断下列结论的正误(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2) 当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3) 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) 教材衍化2．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数的解析式为____________．3．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[－1，2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是__________． 考题体验 4．若a ＝2－32，b ＝⎝⎛⎭⎫253，c ＝⎝⎛⎭⎫123，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c5．若存在非零的实数a ，使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立，则函数f (x )可能是( )A ．f (x )＝x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x 2－1C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝2x ＋16．已知幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上是增函数，则m 的值为________．考点聚焦突破考点一 幂函数的图象和性质【例1】(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)已知幂函数f (x )满足f (8)＝4，则f (12)__________f (－13) (填＞，＝或＜)．规律方法 1．幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． 3．若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.【训练1】（1）已知点(a ，12)在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图像上，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数（2）已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}．若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝__________．考点二 求二次函数的解析式【例2】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式．规律方法 求二次函数的解析式一般用待定系数法，其关键是根据已知条件确定二次函数解析式，，方法如下：【训练2】已知二次函数f (x)的图像经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f (2－x)＝f (2＋x)，则f (x)＝__________．考点三二次函数的图象及应用【例3】(1)已知abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(2)设函数f (x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f (m)＜0，则()A．f (m＋1)≥0B．f (m＋1)≤0C．f (m＋1)＞0D．f (m＋1)＜0规律方法1．研究二次函数图像应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个是顶点，另两个是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”指的是对称轴这条线；“一开口”指的是抛物线的开口方向．2．求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图像特征，分析不等式成立的条件．【训练3】(2019·襄阳五中期中)已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d.若f(x)＝2019－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d考点四二次函数的性质角度1 二次函数的单调性与最值【例4－1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．角度2 二次函数的恒成立问题【例4－2】设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于任意x∈[1，3]，f(x)＜－m2＋5恒成立，求实数m的取值范围．规律方法1．对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含a≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a＝0和a≠0两种情况讨论．2．二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．3．由不等式恒成立求参数的取值范围，一般的有两种思路：一是分离参数法；二是不分离参数．至于哪一种关键是看参数能否分离．两种思路的依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a ≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min．4．要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．【训练4】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，x∈R)．(1) 若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下，f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．[思维升华]1．幂函数y＝xα的性质和图像，由于α的取值不同而比较复杂，一般可从三个方面考查：（1）α的正负：α＞0时图像经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α＜0时图像不过(0，0)点，经过(1，1)点，在第一象限的部分“下降”；（2）曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时曲线下凹，0＜α＜1时曲线上凸，α＜0时曲线下凸；（3）函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再根据函数定义域和奇偶性的定义判断其奇偶性．2．求二次函数的解析式就是确定函数式f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值，应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值．3．二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图像和性质，可直观地解决与不等式有关的问题．4．二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图像以及所给定区间与对称轴的关系确定．[易错防范]1．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．对于函数f (x)＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．第4节 幂函数与二次函数知识衍化体验 知识梳理 1．y ＝x α2．奇，偶，奇，非奇非偶，奇 3．(1)ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)a (x －h )2＋k (a ≠0)． (3)a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 基础自测1． (1)× (2)√ (3)× (4)×2． f (x )＝x 123．k ≤－8或k ≥16. 4． C ． 5． A ． 6． 1． 考点聚焦突破 【例1】 (1) C (2)＞(1)因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，所以f (x )＝x 12.故选C ．(2)设f (x )＝x α(α为常数)，又f (8)＝4，所以4＝8α，所以α＝23.于是f (x )＝x 23 ，显然该函数是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数．所以f (－13)＝f (13)<f (12).【训练1】 (1) A (2)－1【例2】解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，所以所求二次函数的 式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【训练2】 x 2－4x ＋3． 【例3】（1）D （2）C (1) A 项，因为a <0，－b2a<0，所以b <0，又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 项错误；B 项，因为a <0，－b2a >0，所以b >0，又因为abc >0，所以c ＜0，而f (0)＝c >0，故B 项错误；C 项，因为a >0，－b2a<0，所以b >0，又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，。

§2.5幂函数、函数与方程考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.二次函数与幂函数1.二次函数的图象与性质2.幂函数的概念B13题5分填空题解答题★★★2.函数的零点与方程的根1.求函数零点2.由函数零点求参数B13题5分填空题解答题★★★分析解读二次函数的图象与性质和函数零点问题是江苏高考的热点内容,试题一般难度较大,综合性较强.五年高考考点一二次函数与幂函数1.(2016课标全国Ⅲ理改编,6,5分)已知a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系是(用<连接).答案b<a<c2.(2015四川改编,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为.答案183.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,-+的最小值为.答案-24.(2013辽宁理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=.答案-165.(2013江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.答案-1,教师用书专用(6—7)6.(2014浙江改编,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是(填序号).答案④7.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析(1)证明:由f(x)=+b-,得f(x)图象的对称轴为直线x=-.由|a|≥2,得≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.考点二函数的零点与方程的根1.(2017山东理改编,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是.答案(0,1]∪[3,+∞)2.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+∞)3.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案4.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1 ②∪[2,+∞)5.(2015天津改编,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是.答案6.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)7.(2014江苏,13,5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.答案8.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)9.(2013安徽理改编,10,5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是.答案 3教师用书专用(10—11)10.(2017课标全国Ⅲ理改编,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=.答案11.(2013安徽理,20,13分)设函数f n(x)=-1+x+++…+(x∈R,n∈N*).证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0;(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<.证明(1)对每个n∈N*,当x>0时, f 'n(x)=1++…+>0,故f n(x)在(0,+∞)内单调递增.由于f1(1)=0,当n≥2时, f n(1)=++…+>0,故f n(1)≥0.又f n=-1++≤-+=-+·=-·<0,所以存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0.(2)当x>0时, f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,x n+1<x n.故{x n}为单调递减数列.从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.对任意p∈N*,由于f n(x n)=-1+x n++…+=0,①f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…+++…+=0,②①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,得x n-x n+p=+≤≤<=-<.因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一二次函数与幂函数1.(2018江苏常熟高三期中调研)已知幂函数y=(m∈N*)在(0,+∞)上是增函数,则实数m的值是. 答案 12.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log2f(8)=.答案3.(2018江苏海安中学阶段测试)若幂函数f(x)=xα的图象经过点,则其单调减区间为.答案(0,+∞)4.(苏教必1,三,3,2,变式)设α∈,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为.答案1,35.(2016江苏淮阴中学期中)下列幂函数:①y=;②y=x-2;③y=;④y=,其中既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是.(填相应函数的序号)答案③考点二函数的零点与方程的根6.(2018江苏金陵中学高三月考)记函数y=ln x+2x-6的零点为x0,若k满足k≤x0且k为整数,则k的最大值为.答案 27.(2018江苏姜堰中学高三期中)函数f(x)=log2(3x-1)的零点为.答案8.(2018江苏东台安丰高级中学月考)若函数f(x)=在其定义域上恰有两个零点,则正实数a的值为.答案 e9.(2018江苏扬州中学月考)方程xlg(x+2)=1有个不同的实数根.答案 210.(2018江苏天一中学调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-k有三个零点,则k的取值范围是.答案11.(苏教必1,三,4,2,变式)函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点个数为.答案 212.(苏教必1,三,4,8,变式)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是.答案13.(2017江苏苏州期中,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点,则实数m的取值范围是.答案14.(2016江苏泰州中学质检,10)关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值范围是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2017江苏苏州学情调研,11)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k(x+1)有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是.答案2.(2017南京、盐城第二次模拟考试,12)若函数f(x)=x2-mcos x+m2+3m-8有唯一零点,则满足条件的实数m组成的集合为.答案{2}3.(2017江苏苏北四市期末,14)已知函数f(x)=若函数f(x)的图象与直线y=x有三个不同的公共点,则实数a的取值范围为.答案{a|-20<a<-16}4.(2016江苏淮阴中学期中,10)已知关于x的一元二次方程x2-2ax+a+2=0的两个实数根是α,β,且有1<α<2<β<3,则实数a的取值范围是.答案二、解答题(共15分)5.(2017江苏泰州二中期初,20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,图象的对称轴为x=-,当a<-2时,->1,函数f(x)在[-1,1]上递减,则g(a)=f(1)=+a+2;当-2≤a≤2时,-1≤-≤1,g(a)=f=1;当a>2时,-<-1,函数f(x)在[-1,1]上递增,则g(a)=f(-1)=-a+2.综上可得,g(a)=(2)设s,t是方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,故≤s≤(-1≤t≤1),当0≤t≤1时,≤st≤.易知-≤≤0,-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4;当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0,-3≤<0,所以-3≤b<0,故b的取值范围是[-3,9-4].C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 判断函数零点个数的常用方法1.(2016江苏扬州中学月考)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在x∈[0,9]上解的个数是.答案9方法2 利用函数零点求参数的值或取值范围2.(2018江苏无锡高三期中)关于x的方程2|x+a|=e x有3个不同的实数解,则实数a的取值范围为.答案(1-ln 2,+∞)3.(2016上海闸北区调研)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.答案(0,1)D组2016—2018年模拟·突破题组(2016江苏南京调研,14)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),若h(x)有3个零点,则实数a的取值范围是.答案。

第05节二次函数与幂函数【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念．掌握幂函数2,y x y x==31,y x y x-==，121,y y xx==的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.2013•浙江文7；2014•浙江文15；理15；2015•浙江文20；理18；2016•浙江理18；2017•浙江5.1.与二次函数相关的单调性、最值问题；2.幂函数的图象与性质的应用.备考重点：1.“三个二次”的结合问题；2.幂函数图象和性质.【知识清单】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇对点练习【2017山东济南诊断】已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B.1C.32D.2【答案】32【解析】由幂函数的定义知1k =.又12()22f =，所以12()22α=，解得12a =，从而32k α+=. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性 函数的图象关于x ＝－b2a对称 对点练习【2017浙江湖州、衢州、丽水4月联考】已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈若存在实数[]1,2a ∈，对任意[]1,2x ∈，都有()1f x ≤，则75b c +的最大值是__________． 【答案】-6【解析】因为[]1,2x ∈，所以21ax bx c ++≤等价于21bx ca x--≤，题意为存在[]1,2a ∈，使得不等式21bx c a x --≤成立，所以211bx cx--≥，即210x bx c ++-≤对[]1,2x ∈成立，所以110{4210b c b c ++-≤++-≤，即0{23b c b c +≤+≤-，所以()()753226b c b c b c +=+++≤-，即75b c +的最大值为－6．【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，二次函数图象和性质的应用、最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.【重点难点突破】考点1 二次函数的解析式【1-1】【2017湖北武汉模拟】若函数()()(2)f x x a bx a ＝＋＋ (常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式()f x ＝________. 【答案】224x －＋【解析】由()f x 是偶函数知()f x 图象关于y 轴对称，∴2b ＝－，∴()2222f x x a ＝－＋，又()f x 的值域为(－∞，4]，∴224a =，故()224f x x ＝－＋.【1-2】已知：抛物线与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过点为（1，-29），则函数解析式为______． 【答案】2142y x x =-- 【解析】设二次函数解析式为()()12y a x x x x =--，因为二次函数图象交x 轴于（-2，0），（4，0）两点，且过点（1，-29），设()()24y a x x =+-，∴()()9 12142a -=+-， ∴12a =．∴ 所求函数解析式为：()()1242y x x =+-, 2142y x x =--． 【领悟技法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【触类旁通】【变式一】已知二次函数()f x 的图象经过点()4,3，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x R ∈，都有()2)2(f x f x －＝＋，求f (x )的解析式． 【答案】()243f x x x ＝－＋【解析】∵()2)2(f x f x －＝＋对x R ∈恒成立，∴()f x 的对称轴为2x ＝. 又∵()f x 图象被x 轴截得的线段长为2，∴()0f x =的两根为1和3. 设()f x 的解析式为()()()30(1)f x a x x a ≠＝－－． 又∵()f x 的图象过点()4,3，∴331a a ＝，＝.∴所求()f x 的解析式为()f x ＝(x-1)(x-3)，即()243f x x x ＝－＋. 【变式二】已知二次函数f (x )同时满足以下条件： (1)()1)1(f x f x ＋＝－； (2)()f x 的最大值为15；(3)()f x ＝0的两根的立方和等于17. 求()f x 的解析式．【答案】()26129f x x x ＝－＋＋【解析】依条件，设()()2()1150f x a x a <＝－＋，即()2215f x ax ax a ＝－＋＋.令()f x ＝0，即22150ax ax a =－＋＋，则1212152,1x x x x a+==+. 而33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+333121590232(1)2x x a a=+=-⨯⨯+=-．即90217a-=，则6a ＝－.故()26129f x x x ＝－＋＋. 考点2 二次函数的图象和性质【2-1】设二次函数()22f x ax ax c ＝－＋在区间[]0,1上单调递减，且()()0f m f ≤，则实数m 的取值范围是 （ ）( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]【答案】 D【解析】 二次函数()22f x ax ax c ＝－＋在区间[]0,1上单调递减，则0a ≠，()(1)20f x a x '<＝－，所以0a >，即函数图象的开口向上，对称轴是直线1x ＝．所以f(0)＝f(2)，则当()()0f m f ≤时，有02m ≤≤．【2-2】【2017浙江，5】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b无关，选B ．【2-3】已知函数()2f x x x c ＝＋＋，若()()000f f p ＞，＜，则必有( )A ．1()0f p ＋＞B ．1()0f p ＋<C ．1()0f p ＋=D ．()1f p ＋的符号不能确定【答案】A【解析】函数()2f x x x c ＝＋＋的对称轴为12x =-，又因为()()000f f p ＞，＜，故10p －＜＜，10p ＋＞，所以1()0f p ＋＞.【领悟技法】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 【触类旁通】【变式一】【2017湖南岳阳县第一中学模拟】若，函数与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为( )A. （0,4]B. （0,8）C. （2,5）D.【答案】B 【解析】当时，显然不成立当 时，若=≥0，即 时结论显然成立；若=＜0，时只要 即可，即则 ,选B【变式二】若关于x 的不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a <-B. 2a >-C. 6a >-D. 6a <- 【答案】A【解析】试题分析：不等式2420x x a --->在区间()1,4内有解等价于()2max42a x x <--，令()242g x x x =--， ()1,4x ∈，所以()()42g x g ≤=-，所以2a <-. 考点3 二次函数的综合应用【3-1】【2017湖南衡阳三次联考】《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数()222f x x x =-+，在21,23m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上取三个不同的点()(),a f a ， ()(),b f b ，()(),c f c ，均存在()()(),,f a f b f c 为三边长的三角形，则实数m 的取值范围为（ ）A. []0,1 B. ⎡⎢⎣⎭ C. ⎛ ⎝⎦D. ⎣ 【答案】A【解析】由题意可知，∵()222f x x x =-+，∴0x =或2， 22201m m m ∴-+≤∴≤≤，，故选A.【3-2】【2017湖北九江模拟】已知()2(2)24f x x a x ＝＋－＋，如果对()31[]0x f x ∈－，，＞恒成立，则实数a 的取值范围为________. 【答案】1(,4)2-【解析】因为()2(2)24f x x a x ＝＋－＋，对称轴()2x a ＝－－，对()31[]0x f x ∈－，，＞恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩解得a ∈∅或14a ≤＜或12a -<＜1，所以a 的取值范围为1(,4)2-. 【3-3】已知函数()22f x x x =-，()2g x ax =+（0a >），对任意的[]11,2x ∈-，存在[]01,2x ∈-，使()()10g x f x =，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[)3,+∞D ．(]0,3【答案】A【解析】[,]12x ∈-时，函数()22f x x x =-的值域为[,]13A =-，[,]12x ∈-时，()()20g x ax a =+>的值域为[,]222B a a =-+，由题意B A ⊆，则有21223a a -≥-⎧⎨+≤⎩，又0a >，故解得102a <≤．故选A ．【领悟技法】二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ，n )和对称轴方程x ＝m ，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值． 【触类旁通】【变式一】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围. 【答案】(－∞，1). 【解析】(1)由题意知12(1)10ba f ab ⎧-=-⎪⎨⎪-=-+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩ 所以()221f x x x ＝＋＋，由()21()f x x ＝＋知，函数()f x 的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，221x x x k >＋＋＋在区间[－3，－1]上恒成立，即21k x x <＋＋在区间[－3，－1]上恒成立，令()21g x x x ＝＋＋，x ∈[－3，－1]，()g x 在区间[－3，－1]上是减函数，则()()11min g x g ＝－＝，所以1k <，故k 的取值范围是(－∞，1).【变式二】【2017上海南洋模范中学质检】定义在R 上的函数()f x ，当(]1,1x ∈- 时， ()2f x x x =- ，且对任意的x 满足()()2f x af x -=（常数0a >），则函数f (x )在区间(]5,7上的最小值是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】当(]()(]1,3,21,1x x ∈-∈-，；当(]()(]5,7,23,5x x ∈-∈，考点4 二次函数根的分布【4-1】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 . 【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【4-2】已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =.当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点.当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合.因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点.当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立.因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-.所以此时10a -≤< 综上可得，10a -≤≤.【4-3】若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是 . 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ,这样可以解得m 的范围5(2,)2. 【领悟技法】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 【触类旁通】【变式一】【2017贵州遵义第四中学模拟】已知关于x 的方程()2110x a x a b +++++=的两个根分别为,,αβ其中()0,1,α∈()1,β∈+∞，则11b a -+的取值范围是（ ） A. ()2,0- B. ()0,2 C. ()1,0- D. ()0,1 【答案】A【解析】设()()211f x x a x a b =+++++函数，则问题转化为函数()f x 的零点在()()0,1,1,+∞内，由二次函数()()211f x x a x a b =+++++的根的分布得出不等式组()()10230{{0010f a b f a b <++<⇒>++>，在平面直角坐标系aOb 中画出不等式组230{10a b a b ++<++>表示的平面区域如图，则问题转化为求动点(),P a b 与定点()1,1M -连线的斜率11MP b k a -=+的取值范围问题，因为0MB k =，所以20MP k -<<，应填答案A.【变式二】【2017上海市普陀区高三二模】设0a <，若不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤-【解析】因为不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立，所以不等式()22cos 1cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x ∈R 恒成立，令cos t x =，即()2210t a t a ---≤对于任意的[]1,1t ∈-恒成立，因为0a <，所以1122a -<-，则()2110a a ---≤，即220a a +-≥，解得2a ≤-或1a ≥（舍）；故答案为2a ≤-. 考点5 幂函数的图象与性质【5-1】图中曲线是幂函数ny x ＝在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12【答案】B【解析】当n 大于0时，幂函数为单调递增函数，当n 小于0时，幂函数为单调递减函数，并且在x ＝1的右侧幂指数n 自下而上依次增大，故选B.【5-2】【2017·郑州外国语学校期中】已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y x α＝的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( ) A.1，3 B.－1，1 C.－1，3D.－1，1，3【答案】A【解析】因为函数y x α＝为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又1y x －＝的值域为{}0|y y ≠，函数y x ＝，3y x ＝的值域都为R .所以符合要求的α的值为1，3.【5-3】已知幂函数()21*()()f x x m m m N ∈－＝＋，经过点(22)，试确定m 的值，并求满足条件()2()1f a f a >－－的实数a 的取值范围．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】∵幂函数()f x 经过点2)212()2m m －＝＋，即12122()m m －2＝＋.∴22m m =＋.解得1m ＝或2m ＝－.又∵*m N ∈，∴1m ＝.∴()12f x x ＝，则函数的定义域为[0)∞，＋，并且在定义域上为增函数．由()2()1f a f a >－－，得201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪->-⎩，解得312a ≤<.∴a 的取值范围为31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【领悟技法】1．幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【触类旁通】【变式一】已知函数f (x )＝22++-k k x(k ∈Z )满足()()23f f <．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为[－4，178]？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()2f x x ＝ ；（2）存在2q ＝．【解析】(1)∵()()23f f <，∴()f x 在第一象限是增函数．故220k k >－＋＋，解得12k <<－．又∵k Z ∈，∴0k ＝或1k ＝．∴()2f x x ＝．(2)假设存在0q >满足题设，由(1)知()2()2111,2[]g x qx q x x ∈＝－＋－＋，－．∵()21g ＝－，∴两个最值点只能在端点((1))1g －，－和顶点22141(,)24q q q q -+处取得． 而222414141-g(-1)=-(2-3q)=0444q q q q q q ++(-)≥，∴2max 4117g(x)=48q q +=， ()1()234min g x g q ＝－＝－＝－，解得2q ＝∴存在2q ＝满足题意．【变式二】【2017上海南洋模范中学检测】函数()()12223f x x x -=--+的单调递增区间是______________． 【答案】[)1,1- ．【解析】由2230x x --+>，解得31x -<<，令()223g x x x =--+，则外函数为()12y g x -⎡⎤=⎣⎦为减函数，求函数()()12223f x x x -=--+的单调递增区间，即求()223g x x x =--+的减区间，函数()g x 在[)1,1-上为减函数，则原函数的增区间为[)1,1-，故答案为[)1,1-.易错试题常警惕易错典例1：若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________． 易错分析：忽视0m =．正确解析：0m =时，函数在给定区间上是增函数；0m ≠时，函数是二次函数，对称轴为122x m=-≤-， 由题意知0m >，∴10<m 4≤，综上10m 4≤≤． 温馨提示：首先是函数类型的确定，其次对于二次函数来说，单调性与开口及对称轴有关系． 易错典例2：设()0,1x ∈时，函数py x ＝的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．易错分析：考虑幂函数y ＝x α的图象时比较片面没有考虑到α>0尤其是易丢α＝0时的情况． 正确解析：(1)当0p >时，根据题意1p <，∴01p <<． (2)0p ＝时，函数为0)1(y x ≠＝，符合题意．(3)0p <时，在(0)∞，＋上过(1,1)点，函数为减函数，符合题意． 综上所述，p 的取值范围(1)∞－，．温馨提示：幂函数()y x R αα∈＝当指数α在不同范围内时其图象也会随着变化，注意分类讨论思想的运用．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第09讲二次函数与幂函数（精练）【A 组在基础中考查功底】．．．．【答案】C【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性判断即可【详解】设()f x x α=，因为)8,4，内单调递减，故0,综上所述，实数k 的取值范围是4k ≤-或2k ≥-.故选：C.8．设()f x 是定义在[]1,2a +上偶函数，则()22f x ax bx =+-在区间[]0,2上是（）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减函数D ．与a ，b 有关，不能确定【答案】B【分析】根据偶函数的特点解出,a b ，然后根据二次函数的图像和性质进行判断即可.【详解】()f x 是定义在[]1,2a +上偶函数，∴定义域关于原点对称，即120a ++=，∴3a =-，则()22232f x ax bx x bx =+-=-+-，由()()f x f x -=，即223232x bx x bx ---=-+-，解得0b =，∴2()32f x x =--，函数图像抛物线开口向下，对称轴为0x =，则函数在区间[]0,2上是减函数．故选：B ．9．幂函数()()222af x a a x =--在R 上单调递增，则函数()1(1)x ag x b b +=+>的图象过定点（）A ．（1，1）B ．（1，2）C ．（-3，1）D ．（-3，2）【答案】D【分析】由函数()f x 为幂函数且在R 上单调递增，可得3a =，再由指数函数过定点(0,1)，即可得函数()g x 所过的定点.【详解】解：因为()()222af x a a x =--为幂函数且在R 上单调递增，所以22210a a a ⎧--=⎨>⎩，解得3a =，所以()311(1)x ax g x bb b ++=+=+>，又因为指数函数x y a =恒过定点(0,1)，所以()31(1)x g x b b +=+>恒过定点(3,2)-.故选：D.二、填空题10．若函数()()213x m x f x =-++在区间()3,5内存在最小值，则m 的取值范围是___________．【答案】()5,9【分析】根据二次函数的性质确定在开区间()3,5内存在最小值的情况列不等式，即可得m【B组在综合中考查能力】．．．．【答案】Ay四、解答题15．已知幂函数()()22433m mf x m m x-=-+是偶函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()212f x f x -<-，求x 的取值范围．【答案】(1)()4f x x=(2)()1,1-【分析】（1）根据幂函数的定义求得m 的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x 的取值范围．【详解】（1）已知幂函数()()22433m m f x m m x -=-+，则2331m m -+=，解得1m =或2m =，所以()3f x x =或()4f x x =，又函数()f x 为偶函数，所以()4f x x =；（2）由于幂函数()4f x x =在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，【C 组在创新中考查思维】设(),A a b ，()(,,B m n C -则22221,1a b m n +=+=，故(),m a n b A B AC --⋅=uu u r uuu r 当2b n =时，2AB AC ⎛= ⋅⎝uu u r uuu r因为当(2,4]x ∈时，2111()(3)0,222f x x ⎡⎤=--+∈⎢⎥⎣⎦，令2113(3)228x --+=，解得172x =，252x =（舍去），因为当),x a ⎡∈+∞⎣时，3()8f x ≤成立，所以72a ≥.于难题.求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题主要是利用方法④求出两函数值域后再根据题意解答的.故答案为②④．满足等式，下列五个关系式：＝与＝的图象设，作直线当02t <<时，22222,2()32,0x tx t t x g x x tx t x t ⎧+-≤≤=⎨-+≤<⎩，0t -<，因此222y x tx t =+-在[],2t 是单调递增，不合题意；综上，t 的范围是(,2][6,)-∞-+∞ ．故答案为：(,2][6,)-∞-+∞ ．∴函数()y g x =在区间[]1,2上单调递减，∴()()max 11g x g t ==+，即()21g x t =+，由()()12f x g x =，得14t +=，∴3t =；（3）当[]1,2x ∈时，()()220x h x h x λ+≥等价于()()22222220x x x x x λ---+-≥即()()242121x x λ-≥--，∵2210x ->，∴()221x λ≥-+，令()()221x k x =-+，[]1,2x ∈，下面求()k x 的最大值：∵[]1,2x ∈，∴()[]22117,5x -+∈--，∴()k x 的最大值为-5，故λ的取值范围是[)5,-+∞.【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题，常常利用分离参数法转化分离参数，构造新函数，然后求出新函数的最值，从而得参数范围．。

§2.4幂函数与二次函数考情考向分析以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为填空题，中档难度．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x y＝x2y＝x312y x y＝x－1图象性质定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域R R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，写出f (x )≥0恒成立的条件． 提示 a >0且Δ≤0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( × )(2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ ) (3)函数122yx 是幂函数．( × )(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (5)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( × ) 题组二 教材改编2．[P89练习T3]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________.答案 32解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．[P40练习T3]已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－3]解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3. 题组三 易错自纠 4．幂函数21023a a f x x －＋＝(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a ＝________. 答案 5解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，2(5)2a f x x －－＝(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6， 又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5.5．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减， ∴y min ＝2－6＋3＝－1.6．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，∴f (m －1)>0.题型一 幂函数的图象和性质1．已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 答案 1解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．2．若四个幂函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c，y ＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 a >b >c >d解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d .3．若1133(1)(32)a a －－＋－，则实数a 的取值X 围是____________．答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 解析 不等式1133(1)(32)a a －－＋－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.4．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表，则不等式f (|x |)≤2的解集是________.x 112 f (x )122答案 [－4,4]解析 由题意知，22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f (|x |)＝12x ，由12x ≤2，得|x |≤4，故－4≤x ≤4.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 题型二 求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－2x ＋3 解析 由f (0)＝3，得c ＝3， 又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x . 思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)， 又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线xf (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (xf (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象例2设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值X 围是________． 答案 [0,2]解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)， 则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.命题点2 二次函数的单调性例3函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值X 围是________． 答案 [－3,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值X 围为[－3,0]． 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3.命题点3 二次函数的最值例4已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，某某数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a <12即a >－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ，综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值X 围为____________． 答案 (－∞，－1)解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1. (2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________． 答案 2解析 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2. 思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值X 围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路的关键都是求函数的最值或值域． 跟踪训练2(1)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为________． 答案 92解析 易知函数y ＝(3－a )(a ＋6)的两个零点是3，－6，图象的对称轴为a ＝－32∈[－6,3]，y ＝(3－a )(a ＋6)的最大值为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋32·⎝⎛⎭⎪⎫－32＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫922，则(3－a )(6＋a )的最大值为92.(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值X 围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意得a >2x －2x2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．例设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.24m my x－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为________．答案 2解析 ∵24m m y x －＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点， ∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，∴m ＝2. 2．若幂函数2268(44)m m f x m m x －＋＝－＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为________．答案 1解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0， 解得m ＝1.3．(2019·某某省某某中学月考)若函数f (x )＝x 2－2ax －1在(－∞，5]上单调递减，则实数a 的取值X 围是________．答案 [5，＋∞)解析 由题意可得－－2a2≥5，解得a ≥5.4．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为________________． 答案 {x |x >4或x <0}解析 函数f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数，则b －2a ＝0，故f (x )＝ax 2－4a ＝a (x －2)(x ＋2)，因为函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.根据二次函数的性质可知，不等式f (2－x )>0的解集为{x |2－x >2或2－x <－2}＝{x |x <0或x >4}．5．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________.解析 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－2)解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2.7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝12x ，h (x )＝x －2，当0<x <1时，f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象如图所示，可知h (x )>g (x )>f (x )．8．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40 解析 设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49(a ≠0)， 方程a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2－49a＝7， 所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 9．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值X 围是______．解析 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.10．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22<m <0. 11．已知函数22k k f x x －＋＋＝(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f (2)<f (3)，∴－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知 g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q，4q 2＋14q 处取得． 而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q≥0， ∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178， g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2.∴存在q ＝2满足题意． 12．(2018·某某省如皋中学考试)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，且满足f (1－x )＝f (1＋x )．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝x f (x )，m >0，求函数g (x )在[0，m ]上的最大值．解 (1)因为图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，所以c ＝1，因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以b ＝－2，所以f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)因为f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，所以g (x )＝x |x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ，x ≥1，x －x 2，x <1.作出函数g (x )的图象如图所示．当0<m ≤12时，g (x )max ＝g (m )＝m －m 2； 当12<m ≤1＋22时，g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14； 当m >1＋22时，g (x )max ＝g (m )＝m 2－m ， 综上，g (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ m －m 2，0<m ≤12，14，12<m ≤1＋22，m 2－m ，m >1＋22.y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是________．(填序号)答案 ①④解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a＝－1,2a －b ＝0，②错误； 结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立， 即m <－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，x ∈(1,2)，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数． ∴4<y <5，∴－5<－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x <－4， ∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f (x )<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值X 围是__________． 答案 [－2,0]解析 当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m 2≤0，即m ≤0； 当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m 2≤1，即m ≥－2. 综上，实数m 的取值X 围是[－2,0]．16．是否存在实数a ∈[－2,1]，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2，当－2≤a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1； 当0<a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在；综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.。

第五节二次函数与幂函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象排列特点：第一象限内，在直线x ＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”.图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，一定交于坐标原点．三点注意：(1)当α＜0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y ＝x －1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；(2)当0＜α＜1时，函数图象倾向x 轴，类似于y ＝x 12的图象；(3)当α>1时，函数图象倾向y 轴，类似于y ＝x 3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大.①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 对于形如f (x )＝x nm (其中m ∈N *，n ∈Z ，m 与n 互质)的幂函数：(1)当n 为偶数时，f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称； (2)当m ，n 都为奇数时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m 为偶数时，x >0(或x ≥0)，f (x )是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．2．二次函数(1)二次函数解析式的3种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点．(2)二次函数的图象和性质关于二次函数的几个常用结论(1)关于函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)，x ∈[p ，q ]的最值问题若h ∈[p ，q ]，则x ＝h 时有最小值k ，最大值是f (p )与f (q )中较大者；若h ∉[p ，q ]，则f (p )，f (q )中较小者为最小值，较大者为最大值．(2)根的分布问题设函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若对区间[a ，b ]有f (a )≥0，f (b )≤0，则曲线必与x 轴相交(至少有一个交点，且交点必在[a ，b ]上)．设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两根，根的分布对照y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象，知其等价不等式组的关系是：①若x 1＜x 2＜m ，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，f (m )>0，－b 2a ＜m ；②若m ＜x 1＜x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )>0，－b 2a >m ；③若x 1＜m ＜x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )＜0；④若x 1，x 2∈(m 1，m 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m 1)>0，f (m 2)>0，m 1＜－b2a ＜m 2；⑤若x 1，x 2有且仅有一个在(m 1，m 2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m 1)f (m 2)＜0. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数．( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)不可能是偶函数．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )(5)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、选填题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2解析：选C 设f (x )＝x α，∵图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，∴f (4)＝4α＝12，解得α＝－12， ∴f (2)＝2-12＝22.故选C. 2．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c解析：选B 根据幂函数的性质及图象知选B.3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C ∵函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a ＜0，解得a >120. 4．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值为________．解析：∵f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2. 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴m ＝2. 答案：25．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫m 8，＋∞，所以m8≤2，即m ≤16. 答案：(－∞，16]1．已知幂函数f (x )的图象经过点(9,3)，则f (2)－f (1)＝( ) A ．3 B ．1－ 2 C.2－1D ．1解析：选C 设幂函数f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即α＝12，所以f (x )＝x 12＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1，故选C.2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52解析：选B 因为函数y ＝(m 2＋m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3＜0，解得m ＝1. 3.幂函数y ＝x2-2-3m m (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3＜0，即－1＜m ＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．4．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.5．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [名师微点](1)幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[口诀记忆]幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；图象恒过点(1，1)，单调牢记一象限；正幂递增负幂减，奇偶性质定左边.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．[解] 法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值y max＝8，即4a(－2a－1)－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.[解题技法]求二次函数解析式的策略[过关训练]1．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为____________．解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.答案：f(x)＝x22．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.解析：设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a ＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.答案：x2＋2x＋13．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.考法(一) 二次函数的单调性问题[例1] (1)已知函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0](2)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x )C ．f (b x )>f (c x )D ．与x 有关，不确定[解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．(2)由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b ＝2，又f (0)＝3，∴c ＝3，则b x＝2x ，c x ＝3x .易知f (x )在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f (3x )≥f (2x )；若x ＜0，则3x ＜2x ＜1，∴f (3x )>f (2x )．∴f (3x )≥f (2x )，即f (b x )≤f (c x )．故选A.[答案] (1)D (2)A考法(二) 二次函数的最值问题[例2] 若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[1,2]上有最大值4，则a 的值为________． [解析] f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .①当a ＝0时，函数f (x )在区间[1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；②当a >0时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a ＜0时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，最大值为f (1)＝3a ＋1＝4，解得a ＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a 的值为38.[答案] 38考法(三) 二次函数中的恒成立问题[例3]已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________．[解析]f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m＜－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．[答案](－∞，－1)[规律探求]1．[口诀第1、2、3句]若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，2)解析：选A 二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2.当k ＜0时，2k ＜0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．2．[口诀第1、2句]已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 设x ＜0，则－x >0.有f (－x )＝(－x －1)2＝(x ＋1)2，又∵f (－x )＝f (x )， ∴当x ＜0时，f (x )＝(x ＋1)2，∴该函数在⎣⎡⎦⎤－2，－12上的最大值为1，最小值为0， 依题意，n ≤f (x )≤m 恒成立，则n ≤0，m ≥1，即m －n ≥1，故m －n 的最小值为1.3．[口诀第4、5句]设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.。