巧用一元二次方程根的定义解题

一元二次方程的根是指方程ax^2+bx+c=0中的解x。

对于一元二次方程，它可以有两个根、一个根或者没有实根。

在解题中，我们可以利用方程的根来解决各种问题。

以下是一些应用一元二次方程根的例子：
求解方程：通过求解一元二次方程的根，我们可以得到方程的解。

例如，对于方程x^2+2x-3=0，通过使用求根公式，我们可以计算出方程的两个根为x=1和x=-3。

求解实际问题：在解决实际问题时，我们可以将问题转化为一元二次方程，并使用方程的根来解决问题。

例如，一个物体从一定高度落下，求它落到地面的时间。

将问题转化为一元二次方程y=gt^2/2+h，其中y为高度，g为重力加速度，h为落下的高度，t为时间。

将方程化为标准的一元二次方程，然后求解它的根，我们可以得到物体落到地面的时间。

确定二次函数的性质：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，我们可以使用它的根来确定它的性质。

例如，如果二次函数有两个实根，则它的抛物线会与x轴相交，并且函数的顶点在两个根的中点上。

总之，一元二次方程根的定义在解题中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种问题，包括求解方程、求解实际问题和确定二次函数的性质等。

利用根与系数关系解答一元二次方程有关问题的思路要领在学完根与系数关系，做了一些基本练习后，再选做一些稍有一定难度的、有一定综合性和灵活性的题目，对于发展自己的解题能力，提高自己的数学水平是非常有益处的。

做这类题目时，先应立足于独立思考，再把自己的解答与同伴交流，或交于老师批阅；当再思不得其解时，可请教教师或同学，彻底弄清其中的道理，明晰思维受阻原因，领会思路、方法与策略。

下面例说利用根与系数关系解答有关问题的思路要领，希望对同学们学习这块内容有所启发。

题1 当a 取什么数值时，关于未知数x 的方程ax 2＋4x-1=0只有正数根？（02年广州市中考题）做题时要先读题，读懂题，因而首先要学会观察，理解题目的叙述所表达的准确意义。

这里，从形式上看ax 2＋4x-1=0是二次方程，但题目中却只是说“关于未知数x 的方程”，这其中隐含的意义是什么呢？这是审题时必须意识到的。

其实即是要分两种情况来讨论：一是a ＝0的情形，一是a ≠0的情形。

当a ＝0时，41=x ，符合题意；当a ≠0时，ax 2＋4x-1=0是二次方程，这时，要使它只有正数根，有两层含义：①有根存在；②根是正的，即要求根的判别式△≥0，x 1x 2＞0， x 1＋x 2＞0（这里x 1、x 2分别表示此方程的两个根）。

即有42- 4a(-1)≥0，04,01>->-aa ，解得－4≤a ＜0。

综合a ＝0和 a ≠0两种情况，知当－4≤a ≤0时，方程ax 2＋4x-1=0只有正数根。

当然，对于也可以由根的判别式和求根公式进行分析得出结果，有兴趣的同学可自己完成。

这里，值得提醒同学们注意的是在运用韦达定理（即根与系数间的关系）解题时，常要与根的判别式联系起来考虑。

题2 已知：关于x 的方程x 2-2mx+3m=0的两个实数根是x 1,x 2，且（x 1-x 2）2=16。

如果关于x 的另一个方程x 2-2mx+6m －9=0的两个实数根都在x 1和x 2之间，求m 的值。

一元二次方程求根公式和常见解
法
一、一元二次方程的概述
1、定义：等号两边都是等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2且最高次项的系数不为0，这样的整式方程叫做一元二次方程.
2、求根公式：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac \ge 0)$。

3、一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0(a\not=0)$.其中$ax^2$是二次项，$a$ 是二次项系数；$bx$ 是一次项，
$b$ 是一次项系数；$c$ 是常数项.
4、一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
5、一元二次方程的常见解法：
（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解法（5）利用根与系数的关系
二、一元二次方程的例题
例：如果方程$(m-\sqrt{2})x^{m^2}+3mx-1=0$ 是关于$x$ 的一元二次方程，那么 $m$ 的值是____.
答案：$-\sqrt{2}$解析：由一元二次方程的定义知
$m^2=2$，即 $m=\pm\sqrt{2}$，又 $\because m-
\sqrt{2}\not=0，\therefore m \not=\sqrt{2}，\therefore m=-\sqrt{2}$.。

一、一元二次方程及其解法解题技巧类型一巧用一元二次方程的定义解题【例1】若关于x的方程是一元二次方程，则=_______．【解析】一元二次方程的定义中包含三要素：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数为2；(3)整式方程．依题意，得，解得；【答案】【小结】有关一元二次方程的概念，要把握住未知数的最高次数为2，且二次项的系数不为0，还要是整式方程.类型二巧用一元二次方程的根的意义解题【例2】关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是________．【解析】把0代入一元二次方程即可得到关于的一元二次方程，从而求得．但二次项的系数，即，所以．【答案】【小结】将已知的一元二次方程的根代入该方程中即可求出字母系数的值，但要注意二次项系数不为零这一隐含条件．【例3】已知是方程的两根，且，则的值等于（）A．－5 B．5 C．－9 D．9【解析】由于m、n是方程的根，将m、n代入该方程可得m2－2m-1=0，n2－2n－1 =0，即m2－2m=1，n2－2n=1．变形，得7m2－14m=7，3n2－6n=3，因此(7+a)(3－7)=8，所以a=－9．【答案】C【小结】从方程的根入手，将其根代入方程，进而构造出一个新的方程．在解本题的过程中，还应用了整体的思想，同时要注意把握条件与结论之间的关系，即括号中的7m2－14m、3n2－6n与已知方程之间的关系．从而使问题得到快速求解．类型三巧构一元二次方程的根【例4】已知一元二次方程（为常数）满足，则该方程的一根必为________．【解析】结合一元二次方程根的定义，当时，满足方程左、右两边都相等，由此判断方程的一根必为x =．【答案】x =【小结】估算一元二次方程的根时，应结合根的意义，通过观察，比较得出．类型四 判断一元二次方程根的范围【例5】根据下列表格中的对应值，判断方程（为常数）的一的范围是（A ．B ．C ．D ．【解析】由表格中的数据发现：当x =6.18时，代数式的值为－0.01；当x =6.19时，代数式的值为0.02，要从表格中判断=0的解，可发现未知数x 的值应处于6.18到6.19之间．【答案】C【小结】解决本题的关键在于理解根的意义，使方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解．类型五 与一元二次方程的根有关的开放题【例6】已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：____________．【解析】答案不唯一，可先写出二次项，再写出一次项，最后写能使该方程有一根为1的常数项．【答案】答案不唯一，如：即等．二、实际问题与一元二次方程解题技巧近几年有关一元二次方程的应用题在中考中经常出现，此类题大多以现实生活中的热点新闻、热点事件为背景，形式多变．主要是考查分析问题、解决问题能力．1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）检验；（6）答． 2．一元二次方程的应用类型一增长率、减少率问题【例1】长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？【分析】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据第一次下调后为，第二次下调后为列方程求解即可；（2）从购房和物业费两方面，比较方案①、方案②即可．【解】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得．解得=10％，（不合题意舍去）．所以平均每次下调的百分率为10％．（2）方案①的房款是：4050×100×0.98=396900（元）；方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2=401400（元）．∵396900＜401400，∴选方案①更优惠．【小结】增长（降低）率是列方程解实际问题最常见的题型之一，对于平均增长率问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等．弄清基数、增长（减少）后的量及增长（减少）次数，平均增长率公式为(为基数，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量)．同时解出未知数的值是否符合题意一定要考虑清楚．类型二病毒倍数传播问题【例2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【分析】设一台每轮感染给x台电脑，则第一轮后有（1+x）台，经过第二轮感染后，共有．【解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意，得．解得x=8或－10（负值不合题意，舍去）．∵＞700，∴若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【小结】“传播与裂变”问题在现实生活中是广泛存在的，常见的类型包括细胞分裂、信息传播、传染扩散、单循环赛等，是近年中考的热点与亮点，尤其是病毒传播速度成几何级数增长，随着传播轮数的增加，数量是十分惊人的，一定要画好分析图，尤其是要弄清每轮传播的源头与传播后的总和．解这类问题的关键是理解题意，设出适当的未知数列方程求解．类型三几何图形问题【例3】在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．【分析】设小路宽度为m，则花园的长为，花园的宽为，根据面积可得方程．【解】（1）不符合．设小路宽度均为m，根据题意得：，解这个方程得：但不符合题意，应舍去，∴．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应均为2 m．【小结】几何图形问题一般是只给出一个几何图形（常见的有三角形、特殊四边形），要求在其四周设计边衬或对其进行分割、裁剪，设计一个新的图形或图案．在有关几何图形的面积表示中，通常有三种处理办法：直接表示、间接表示与变换表示．解决有关面积问题时，要注意将不规则图形分割成或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再利用规则图形的面积公式列出方程求解，进而对方程的根进行取舍．类型四市场经济与其它问题【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．（1）填表（不需要化简）（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？【分析】（1）由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为(80－x)，销售量为(200+10x)件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800－200－(200+10x)；（2）销售额－成本=利润，由“获利9000元”建立方程进行求解．【解】（1）80－x，200+10x，800－200－(200+10x)；（2）根据题意，得80×200+(80－x)(200+10x)+40[800－200－(200+10x)] －50×800=9000．整理，得x2－20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，当x=10时，80－x=70＞50．答：第二个月的单价应是70元．【小结】市场经济问题（纳税、利息、分期付款、销售利润），匀变速运动、古诗词等问题都是值得关注，解答这问题时，不论背景如何变化，一定要抓住“关键词语”寻找等量关系，并注意根据实际意义对所列一元二次方程进行合理的取舍．【例5】百货大搂服装柜台在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？【分析】每件的利润是40－x元，因每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．则件数为件，抓住总利润列出方程进行求解．【解】设每件童装应降价x元，则，解得．因为要尽快减少库存，所以x=20．答：每件童装应降价20元．【小结】本题主要的数量关系是：销售利润=每件利润×件数，理解商品的销售的件数及商品价格的关系是解答本题的关键．三、二次函数及其图象解题技巧类型一抛物线的平移问题抛物线的平移问题，可以首先研究其顶点的平移问题，因此，一般要将其解析式转化为顶点式．【例1】把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y ＝x2－2x－3，则b、c的值为（）A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2【分析】y＝x2－2x－3＝ (x2－2x+1)－4＝(x－1)2－4，这个函数图象的顶点坐标为（1，－4），故原抛物线的顶点坐标为（－1，－1）．验证：（－1，－1）（1，－4）．∴y＝x2+bx+c可化为y＝(x+1)2－1．即y＝x2+2x．∴b＝2，c＝0．【答案】B类型二抛物线的旋转和轴对称变换将抛物线绕顶点旋转180°，开口方向发生改变，顶点的坐标不变；抛物线的轴对称变换问题，也是从顶点的轴对称变换开始切入．【例2】将抛物线y＝2x2-12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y＝－2x2－12x+16 B．y＝－2x2+12x－16C．y＝－2x2+12x－19 D．y＝－2x2+12x－20【分析】将y＝2x2－12x+16化为顶点式，得y＝2(x－3)2－2．∴该抛物线的顶点坐标为（3，－2），将该抛物线绕顶点旋转180°后，顶点仍然是（3，－2），解析式中二次项的系数变为－2，所以所得抛物线的解析式为y＝－2(x－3)2－2，即y＝－2x2+12x－20．【答案】D类型三抛物线的对称性（重点）【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b+c的值是（）A．0 B．－1 C．1 D．2【分析】∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，又经过点P（3，0），∴利用抛物线的对称性可知该抛物线还要经过点（-1，0），因此a－b+c＝0．【答案】A类型四函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的增减性二次函数的增减性通常要结合其图象研究，明确开口方向及对称轴的位置，是研究的前提条件．【例4】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2【分析】从表中可以发现x＝1和x＝3时，y的值都是1．说明函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，0），这时函数值最小，故该抛物线的开口向上，又因为1＜x1＜2，3＜x2＜4，所以点A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别位于对称轴的左右两侧，且点A（x1，y1）比点B（x2，y2）到对称轴的距离近．因此y1＜y2.【答案】B类型五根据条件确定最大值和最小值【例5】当－2≤x≤3时，二次函数y＝x2－2x+3的最大值为______，最小值为______．【分析】y＝x2－2x+3＝(x－1)2+2，该函数图象的顶点为（1，2），画出满足条件－2≤x≤3的图象．如图所示．当x＝1时，y有最小值，其最小值为2；当x＝－2时，y有最大值，其最大值为11．【答案】11；2类型六利用“配方法”求特殊函数的最大（小）值【例6】（1）求函数y＝x+(x＞0)的最小值；（2）已知矩形的面积为a，一条边的长为x．当x为何值时，矩形的周长y最小，这个最小值是多少？【分析】可设法将x+“配方”．【解】（1）y＝x+(x＞0)＝＝+2．当＝，即x＝1时，y有最小值，最小值为2．（2）y＝2(x+)(x＞0)＝＝当＝，即x＝时，y有最小值，其最小值为4．∴当x＝时，矩形的周长y最小，最小值为4．四、二次函数与一元二次方程关系解题技巧类型一抛物线的交点式（重点）一般地，若二次函数的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则其解析式可设为“交点式”即y＝a(x－x1) (x－x2)．【例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，与y轴交于点C(0，－4)．其中x1，x2是方程x2－4x－12＝0的两根，且x1＜x2，求抛物线的解析式．【分析】已知抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），故可设其解析式为y＝a(x－x1) (x－x2)．【解】∵方程x2－4x－12＝0的解为：＝－2，x2＝6，故可设已知的抛物线的解析式为：y＝a(x+2) (x－6)．由x＝0时，y＝－4，得－4＝a×2×（－6），∴a＝∴该抛物线的解析式为：y＝(x+2) (x－6)，即y＝x2－x－4．【名师点睛】虽然本题也可以利用给出的“一般式”来确定抛物线的解析式，但是没有设成“交点式”简单．【例 2】如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，如果O B＝OC＝OA，那么b的值是（）A．2 B．－1 C． D．－【分析】设OB＝OC＝OA＝c，则A、B两点的坐标分别为A（－2c，0），B（c，0）．故可设抛物线的解析式为y＝a(x+2c) (x－c)，即y＝ax2+acx－2ac2．又∵OC＝c，∴点C的坐标为（0，c），代入解析式，得－2ac2＝c．ac＝－（∵c≠0）．∴b＝ac＝－．【答案】D类型二根据图象观察方程的解通过二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象，不仅可以观察一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况，还可以发现与之相关的一些方程的解的情况．【例3】如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为（1，8），则一元二次方程ax2+bx+c－8＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实根B．有两个异号实根C．有两个相等实根D．没有实根【分析】二次函数y＝ax2+bx+c的最大值是8，因此ax2+bx+c≤8，只有当x＝1时等号成立，因此方程ax2+bx+c＝8．即ax2+bx+c-8＝0有两个相等实根，即x1＝x2＝1．【答案】C【方法归纳】观察本题的图象，研究一元二次方程ax2+bx+c＝k的解的情况，可以发现：①当k＜8时，方程有两个不相等的实根；②当k＝8时，方程有两个相等的实根；③当k＞8时，方程没有实根．类型三根据图象观察不等式的解集利用二次函数的图象，还可以观察一些不等式的解集．【例4】抛物线y＝－x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．【分析】通过观察图象可以发现抛物线的对称轴为直线x＝－1，与x轴的右交点的坐标为（1，0），利用对称性可以推断出抛物线与x轴的左交点的坐标为（－3，0）．要使y＞0，则－3＜x＜1．【答案】－3＜x＜1【例5】已知函数y1＝x2与函数y2＝－x+3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）A．－＜x＜2 B．x＞2或x＜－C．－2＜x＜D．x＜－2或x＞【点石成金】本题中y1＞y2时，取两边；y1＜y2时，取中间．【分析】观察图象可以发现，位于点A、B之间的部分，有y1＜y2成立，而此时，x的取值范围有选项A、选项C两种选择，进一步观察图象又可以发现A到y轴的距离大于B到y轴的距离，所以答案只能是－2＜x＜；此外本题也可以通过解方程组求出A、B两点的坐标，然后再判断．【答案】C【名师点睛】此题若改成y1＞y2，则x的取值范围是x＜－2或x＞【例6】如图，抛物线y2＝x2+1与双曲线y1＝的交点A的横坐标是1，则不等式+x2+1＜0的解集是（）A．x＞1 B．x＜－1 C．0＜x＜1 D．－1＜x＜0【分析】先把+x2+1＜0化为＜－x2－1，再讨论函数y1＝的图象与y3＝－x2－1的图象之间的关系；作抛物线y2＝x2+1关于原点成中心对称的抛物线y3＝－x2－1．可以发现抛物线y3＝－x2－1与双曲线y1＝的交点的横坐标为－1．观察图象可发现当－1＜x＜0时，y1＜y3，即＜－x2－1，+x2+1＜0．【答案】D类型四根据图象确定代数式的取值范围根据二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象可以发现一些含有a，b，c的代数式的取值范围．【例7】已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的个数有（）①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0．A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】①∵图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号．∴b＜0．图象与y轴的交点在x轴的下方，故c＜0，∴abc＞0．正确②抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0．正确③令x＝－2，则y＝(－2)2a+(－2)b+c＝4a－2b+c.又∵－＝1，∴b＝－2a．∴y＝4a－2b+c＝8a+c．又∵x＝－2时，y＞0．∴8a+c＞0．正确④利用抛物线的对称性可知x＝3和x＝－1时y的值相等，且都有y＜0；而x＝3时，y＝9a+3b+c．∴9a+3b+c＜0．正确综上所述正确结论的个数为4．【答案】D【方法归纳】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)，【例8】如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点A在（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc0；（2）a的取值范围是.【分析】（1）因为图象开口向下，所以a＜0．对称轴在y轴右边，所以b＞0．与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0，综合可得abc＜0．（2）以D（1，3）为顶点，经过点（－1，0）的抛物线的“张口”最小，设这条抛物线为y＝a1(x－1)2+3，令x＝－1，y＝0，得a1＝－；以F为顶点经过点（－2，0）的抛物线的“张口”最大，设这条抛物线为y＝a2(x－3)2+2，令x＝－2，y＝0，得a2＝－，∴a的取值范围是－≤a≤－．【答案】（1）＜；（2）－≤a≤－。

一元二次方程的根定义稿子一嘿，朋友！今天咱们来聊聊一元二次方程的根定义。

你知道吗？这一元二次方程的根，就像是一个神秘的密码，能解开方程的秘密。

简单来说呢，一元二次方程的根，就是能让这个方程成立的那些数。

比如说，对于方程ax² + bx + c = 0 ，如果把某个数代入 x 后，等式两边相等了，那这个数就是方程的根。

想象一下，方程就像一个大锁，根就是能打开这把锁的钥匙。

有时候，这把锁可能有两个不同的钥匙，也就是两个不同的根；有时候，这两个钥匙居然是一样的，那就是两个相同的根；还有的时候，这锁居然没有能打开它的钥匙，那就说明这个方程没有实数根。

比如说x² 4x + 3 = 0 ，通过求解，我们能得到 x = 1 或者 x = 3 ，这 1 和 3 就是这个方程的根啦。

怎么样，是不是有点感觉了？这一元二次方程的根，是不是还挺有趣的？稿子二亲，咱们来唠唠一元二次方程的根定义哈！这一元二次方程的根啊，其实就像是方程的宝贝。

你看哈，一个一元二次方程，比如说ax² + bx + c = 0 ，那根就是能让这个等式稳稳当当成立的 x 的值。

有时候，你会发现找到这个根就像找宝藏一样，得费点心思。

但一旦找到了，那感觉，超有成就感！比如说，x² 5x + 6 = 0 ，经过咱们一番捣鼓，发现 x = 2 或者 x = 3 时，方程完美成立，那 2 和 3 就是它的根。

而且哦，根的情况还不一样呢。

有的方程有两个清清楚楚的根，有的就只有一个根，还有的干脆就没有实数根。

就像生活中的各种惊喜和意外一样，一元二次方程的根也充满了未知和奇妙。

你要是能熟练掌握怎么找根，那在数学的世界里，可就像有了超级武器，能解决好多难题哟！不知道我这么说，你有没有更明白一元二次方程的根定义呀？。

正确使用“求根公式法”解一元二次方程的五个步骤资中县球溪中心校 教师：杨长英一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，方程有两个实数根：x 1,2b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根。

在运用该公式时，有的学生会出现盲目套公式现象。

正确使用 “求根公式法”解一元二次方程的 应注意以下五个步骤 。

第一步：注意化方程为一般形式 ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)例1 把下列方程化为一般式（1）3x 2＝5x －4.（2）6x 2+3x ＝(1+2x )(2+x ).（3） x (x －＝0.解：（1）3x 2＝5x －4.移项：3x 2—5x +4. =0即为一般式解：（2）6x 2+3x ＝(1+2x )(2+x ).多项式乘以多项式：6x 2+3x ＝2+x+4x+2x 2整理得： 24220x x --=化简为一般式：2210x x --=解： （3） x (x －＝0.乘法分配律：230x -+=即为一般式 第二步：注意a 、b 、c 的确定应包括各自的符号。

例如： 上面第（1）题结果：3x 2—5x +4. =0中3,5,4a b c ==-=上面第（2）题结果：2210x x --=中1,1,1a b c ==-=-上面第（3）题结果：230x -+=中1,3a b c ==-=第三步：注意方程有实数根的前提条件是判别式 b 2－4ac ≥0上面第（1）题结果：=b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×4＝-23＜0上面第（2）题结果：=b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×（-1）＝5＞0上面第（3）题结果：=b 2－4ac ＝(－2－4×1×3＝12－12=0 。

第四步：由判别式 的值决定，灵活选用解题方法和技巧。

比如：上面第（1）题结果： ＝-23＜0，则方程无解，就不用代入求根公式了。

一元二次实数根的解法
一元二次实数根的解法是数学中一个重要的知识点。

在求解一元二次方程时，我们通常会使用公式法或者因式分解法来找到方程的根。

下面我们将详细介绍这两种方法。

首先，让我们了解一下公式法。

在一元二次方程中，如果我们能够找到一个公式，通过这个公式可以直接求出方程的根，那么我们就称这个公式为方程的解。

在一元二次方程中，公式法是最常用的方法之一。

要使用公式法求解一元二次方程，我们需要先确定方程的系数，然后使用公式计算出方程的根。

接下来，让我们了解一下因式分解法。

因式分解法是一种通过将方程的右边分解成两个因式，然后将它们分别加到左边，最终将方程化为两个一元一次方程的形式，从而找到方程的根的方法。

在使用因式分解法时，我们需要先找到方程的两个因式，然后将它们分别加到左边，最终得到两个一元一次方程。

总之，一元二次实数根的解法是数学中一个重要的知识点。

在使用公式法或因式分解法求解一元二次方程时，我们需要先了解方程的系数和右边，然后使用相应的方法计算出方程的根。

通过掌握这两种方法，我们可以更好地解决一元二次方程的问题。

一元二次方程求根方法一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是学生们常常遇到的问题之一。

在解一元二次方程时，我们可以运用不同的方法来求根，本文将介绍几种常见的求根方法，并通过具体例子进行说明。

首先，我们来讨论一元二次方程的标准形式：ax² + bx + c = 0。

其中，a、b、c 为已知实数，且a ≠ 0。

求解一元二次方程的根，可以运用以下几种方法。

一、因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以利用因式分解法来求解。

例如，考虑方程x² - 5x + 6 = 0。

我们可以将方程进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0。

由此可知，方程的两个根分别为x = 2和x = 3。

二、配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以运用配方法来求解。

例如，考虑方程x² - 6x + 8 = 0。

我们可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式，即(x - 3)² - 1 = 0。

进一步化简，得到(x - 3)² = 1。

通过开平方运算，我们可以得到方程的两个根分别为x = 2和x = 4。

三、求根公式求根公式是解一元二次方程的常用方法之一。

对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其根可以通过求根公式x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)来得到。

例如，考虑方程x² - 4x - 5 = 0。

我们可以根据求根公式计算出方程的两个根分别为x = 5和x = -1。

四、图像法图像法是一种直观且易于理解的求解一元二次方程的方法。

我们可以通过绘制一元二次方程的图像，来观察方程的根。

例如，考虑方程x² - 2x - 3 = 0。

我们可以绘制出该方程的图像，发现方程的两个根分别为x = 3和x = -1。

五、因子法当一元二次方程的系数为整数时，我们可以通过因子法来求解。

例如，考虑方程x² - 7x + 10 = 0。

一元二次方程的根的定义一元二次方程，听起来是不是有点儿学术？别怕，今天我们就来轻松聊聊这个看似复杂却其实很有趣的东西。

想象一下，你在一条河边，河水潺潺，阳光明媚，突然想起一元二次方程。

哎呀，心里可能会想：“这和我有啥关系？”关系可大了！这就像是在解开一个大谜团，谜底就是方程的根。

啥是根呢？其实就是方程的解。

你问我为什么用“根”这个词？因为它是“生根发芽”的开始，解决了这个问题，接下来就能开花结果。

一元二次方程的形式就像个简单的公式，咱们可以用ax² + bx + c = 0 来表示。

这里的 a、b、c 就是一些数字，别担心，不用一口气把它们记住。

你可以想象成你家菜园里的种子，a 就是那颗最大的种子，b 是小的，c 就是那些杂草，最后的结果就是你想要的丰收。

方程的根，简单来说，就是使整个方程变成零的那个神奇数字。

想象一下，你把这颗种子放进土里，恰好浇水、晒太阳，它就会在合适的条件下发芽。

可惜，生活中有时候不如意，根有时可能是实数，有时却是虚数，这就像有些种子不长，咱们也只能无奈摇头。

说到根，这里有个特别的地方。

它可以是两个、一个，甚至是没有。

这就像是你和朋友一起去吃饭，有时大家都能点到心仪的菜，有时却发现只剩下最后一份。

这时候，方程的判别式就派上用场了。

判别式D = b² 4ac，它像是个神奇的水晶球，能告诉你这个方程的根的情况。

如果 D 大于零，恭喜你，双响炮，两根；如果 D 等于零，那就来一根，虽然少了点热闹；如果D 小于零，那就只能遗憾地说，再见了，根儿不来了。

想想看，这个根的故事，充满了起伏和曲折。

就像我们生活中的大大小小的烦恼，有时候一时之间难以解决，就像那些看似复杂的方程。

可一旦找到根的所在，哎，那种轻松就像放下了一块大石头。

解决一元二次方程的时候，咱们可以用求根公式，x = (b± √D) / (2a)，听起来有点绕，不过其实不复杂。

就像你跟朋友们一起在街边摊吃串，大家都知道该点什么，轻松就搞定了。

构造一元二次方程解题的六种方法类型一、利用根的定义构造：若已知等式具有相同的结构，则可把某两个变元看做是关于某一个字母的一元二次方程的两根.1．已知 p ²－2p－5=0 ，1/q ²－2/q－5=0，其中p，q为实数，且pq≠1，求p2＋1/q ²的值。

解：易知q≠0 ，故由 pq≠1 可得p≠1/q ，又1/q ²－2/q－5=0 即（1/q）2 －2（1/q）－5=0 与 p ²－2p－5=0 形式相同，从而可知 p，1/q为方程 x2－2x－5=0的两根，∴ p ＋1/q =2, p ·1/q =－5,∴ p2＋1/q ²=（p＋1/q）2－2p·1/q = 4－2×（－5）= 4＋10 = 14 。

方法点拨：上题中因为有 p≠1/q这个条件，因而可以逆用一元二次方程根的定义构造一元二次方程 x²－2x－5=0，从而利用韦达定理得解。

(1) 当b=c时，易得a=b=c，显然2c=a+b(2) 当b≠c时，则可把b-c、a-b、c-a当做是有两个相等实数根的一元二次方程(b-c)x²+(a-b)x+c-a=0的系数.又∵(b-c)+(a-b)+(c-a)=0, ∴x1=x2=1,由根与系数的关系得x1·x 2=(c-a)/(b-c)=1，即2c=a+b.7. 已知n²(p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，求证：1/m+1/m=2/p．证明，由已知n²(p－m) ²＝4mp(m－n)(n－p)，得n²(p－m) ²－4mp(m－n)(n－p)＝0．∴方程p(m－n)x²＋n(p－m)x＋m(n－p)＝0(m≠n)有两个相等的实数根．∵p(m－n)＋n(p－m)＋m(n－p)＝0，∴方程的两个实数根为x1＝x2＝1．根据根与系数的关系，得1×1=m(n-p)/p(m-n)化简得mn＋np＝2mp，∴1/m+1/m=2/p（m≠n）当m＝n时，由已知可得p＝m，此时亦有1/m+1/m=2/p成立，。