九年级数学上册第二章一元二次方程2用配方法求解一元二次方程—邑方几何素材北师大版教案

第2课时 用配方法解复杂的一元二次方程知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二 次方程1．解：6x 2－x －1＝0 ――→两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0 ――→移项第二步x 2－16x ＝16 ――→配方第三步(x －19)2＝16＋19 ――→两边开方第四步x －19＝±518――→移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－106. 上述步骤中，发生第一次错误是在( )A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步2．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(x －1)2＝23D ．(3x －1)2＝13．方程2x 2＋3＝7x ，经配方后得(x －74)2＝________．4．将2x 2－12x －12＝0变形为(x －m)2＝n 的形式，则m ＋n ＝________． 5．当x ＝________时，代数式3x 2＋2x ＋5的值是6. 6．用配方法解下列方程： (1)3x 2＋4x －4＝0；(2)2x 2＋1＝4x.7．如果一个一元二次方程的二次项是2x 2，经过配方整理得(x ＋12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是( )A ．x ，－34B ．2x ，－12C ．2x ，－32D ．x ，－328．2016·贵阳期末已知等腰三角形两边a ，b 满足a 2＋b 2－4a －10b ＋29＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．9B ．10C ．12D ．9或129．把方程3x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝________，k ＝________． 10．已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，且满足a 2＋2b 2－2ab －2bc ＋c 2＝0，则该三角形是________三角形．11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何值，该方程都是一元二次方程．12．已知代数式A＝2m2＋3m＋7，代数式B＝m2＋5m＋5，试比较代数式A与B的大小．13．已知x＝4满足方程x2－32mx＝m2，试求出所有满足该方程的x和m的值．14．教材习题2.4第3题变式题如图2－2－2所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．(1)经过几秒钟，△PBQ的面积为8 cm2?(2)经过几秒钟，P，Q两点间的距离为53 cm?图2－2－215．请你参考黑板中老师的讲解，完成下列解答：图2－2－3(1)通过上面例题的讲解可知，当x＝________时，代数式x2＋2x＋3有最小值，且最小值是________．(2)对于代数式x4－2x2＋5，先用配方法说明不论x为何实数，这个代数式的值总是正数；再求出当x为何实数时，这个代数式的值最小，最小值是多少．(3)设一个边长为a(a＞3)的正方形的面积为S1，另一个矩形的面积为S2.若矩形的一边长比该正方形的边长小3，另一边长为4，试比较S1和S2的大小，并说明理由．详解1．C [解析] 开始错误的步骤是第三步：(x －19)2＝16＋19，等号左边括号内19应为112，等号右边的19应为1144.故选C.2．C 3.25164.185．－1或13 [解析] 解方程3x 2＋2x ＋5＝6即可．6．解：(1)方程的各项都除以3， 得x 2＋43x －43＝0.移项，得x 2＋43x ＝43.配方，得x 2＋43x ＋(23)2＝43＋(23)2，即(x ＋23)2＝169.直接开平方，得x ＋23＝±43，∴x 1＝23，x 2＝－2.(2)移项，得2x 2－4x ＝－1，方程的各项都除以2，得x 2－2x ＝－12，配方，得x 2－2x ＋1＝1－12，即(x －1)2＝12，直接开平方，得x －1＝±22，∴x 1＝2＋22，x 2＝2－22.7．C [解析] 将(x ＋12)2＝1展开，得x 2＋x ＋14＝1.化为一般形式，得x 2＋x －34＝0.方程x 2＋x －34＝0两边同乘2，得2x 2＋2x －32＝0.故选C.8．C [解析] ∵a 2＋b 2－4a －10b ＋29＝0， ∴(a 2－4a ＋4)＋(b 2－10b ＋25)＝0， ∴(a －2)2＋(b －5)2＝0， ∴a ＝2，b ＝5，∴当腰为5时，等腰三角形的周长为5＋5＋2＝12； 当腰为2时，2＋2＜5，构不成三角形． 故选C. 9.23 79 10．等边11．证明：因为a 2－8a ＋20＝a 2－8a ＋16＋4＝(a －4)2＋4≥4，所以不论a 为何值，a 2－8a ＋20的值都不可能等于0，由一元二次方程的定义可知，关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0必为一元二次方程．12．解：∵A －B ＝2m 2＋3m ＋7－(m 2＋5m ＋5)＝m 2－2m ＋2＝(m －1)2＋1>0，∴A >B .13．解：把x ＝4代入已知方程，得16－6m ＝m 2， 整理，得m 2＋6m ＝16，配方，得()m ＋32＝25， 解得m 1＝－8，m 2＝2.当m ＝－8时，方程为x 2＋12x ＝64，解得x ＝4或x ＝－16； 当m ＝2时，方程为x 2－3x ＝4，解得x ＝4或x ＝－1.14．解：(1)设经过x s ，△PBQ 的面积为8 cm 2. 由题意，得12(6－x )×2x ＝8，解得x 1＝2，x 2＝4.所以经过2 s 或4 s ，△PBQ 的面积为8 cm 2. (2)设经过y s ，P ，Q 两点间的距离为53 cm. 由题意得AP ＝y cm ，BQ ＝2y cm ，BP ＝(6－y )cm. 由勾股定理得(6－y )2＋(2y )2＝(53)2， 解得y 1＝3.4，y 2＝－1(不合题意，舍去)． 所以经过3.4 s ，P ，Q 两点间的距离为53 cm. 15．解：(1)∵x 2＋2x ＋3＝x 2＋2x ＋1＋2＝(x ＋1)2＋2， ∴当x ＝－1时，代数式x 2＋2x ＋3有最小值，且最小值是2. 故答案为：－1，2. (2)x 4－2x 2＋5 ＝x 4－2x 2＋1＋4 ＝(x 2－1)2＋4， ∵(x 2－1)2≥0， ∴(x 2－1)2＋4＞0，∴代数式x 4－2x 2＋5的值一定是正数．当x ＝±1时，这个代数式的值最小，最小值是4.(3)S 1＞S 2.理由如下：由题意，得S 1＝a 2，S 2＝4(a －3)＝4a －12， 则S 1－S 2＝a 2－(4a －12)＝a 2－4a ＋12＝(a －2)2＋8. ∵(a －2)2＞0，∴(a －2)2＋8＞0， ∴S 1－S 2＞0，∴S 1＞S 2.。

九年级数学上册第二章一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程配方法及其应用素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二章一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程配方法及其应用素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学上册第二章一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程配方法及其应用素材（新版）北师大版的全部内容。

配方法及其应用配方法是一元二次方程解法中非常重要的一种方法，其实质是一种恒等变形,它通过加上并且减去相同的项，把算式的某些项配成完全n 次方的形式，通常是指配成完全平方式．配方法的在中学数学中的应用非常广泛，主要有以下几个方面．一、用配方法解方程例1 解方程：2x 2－3x+1=0．分析:用配方法解一元二次方程的一般步骤是:1．将二次项的系数化为1；2．移项，使含未知数的项在左边，常数项在右边；3．配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方；4．将方程化为(x+m ）2=n 的形式；5．用直接开平方法进行求解（n<0无解）．解:方程两边都除以2,得.02123—2=+x x 移项，得.21—23—2=x x配方,得222)43(21—)43(23—+=+x x ，161)43—(2=x ， 即4143—=x 或.41—43—=x所以x 1=1，.212=x二、用配方法分解因式例2 把x 2+4x —1分解因式．分析：在原式中加上4的同时又减去4．解：原式=x 2+4x+4—4-1=x 2+4x+4-5=（x+2）2—2)5(=).5—2)(52(+++x x三、用配方法求代数式的值例3 已知实数a ，b 满足条件：0454—422=+++b a b a ,求—ab 的平方根． 分析:一个方程含有两个未知数,看似无法求出a ，b ．但仔细观察发现，等式左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0，利用非负数的性质可求出a ，b 的值． 解：∵0454—422=+++b a b a ， ∴0)144()41—(22=++++b b a a ， 即0)12()21—(22=++b a ， ∴.21—,21==b a ∴±.21)21(21——±=×±=—ab 四、用配方法求代数式的最大（小）值例4 代数式2x 2-3x —1有最大值或最小值吗？求出此值．分析：代数式2x 2—3x —1的值随x 的变化而变化，但有某一个值可能是其最小（大）的，如果我们将其变形为一个常数和一个完全平方式的和，便可求出其最小（大）值．解:2x 2-3x-1=2（x 2—23x ）-1=2(x —43)2+.81 ∴当43=x 时，2)43—(x 有最小值0, ∴当43=x 时，2x 2-3x —1有最小值为81． 五、用配方比较两个代数式的大小例5 对于任意史实数x,试比较两个代数式3x 3—2x 2—4x+1与3x 3+4x+10的值的大小． 分析：比较两个代数式的大小，可以作差比较，本题两个代数式相减后,可以得到一个二次三项式，将此二次三项式配方后,即可判断差的正负，从而可以判断两个代数式的值的大小．解：（3x 2—2x 2—4x+1）—（3x 3+4x+10）=-2x 2—8x —9=—2（x+2）2—1〈0，所以对于任意实数x ，恒有3x 3-2x 2-4x+1〈3x 3+4x+10．六、用配方法证明等式和不等式例6 已知方程中（a 2+b 2）x 2-2b(a+c ）x+b 2+c 2=0中字母a ，b ，c 都是实数． 求证：.x a b b c == 分析：一个方程含有四个未知数,看似无法求出a,b,c ，x ．但仔细观察发现，方程左边可以分成两组分别配方，正好得到两个完全平方式的和为0,利用非负数的性质可求出a ，b ，c ，x 之间的关系．证明：原方程坐标拆成两个二次三项式为：（a 2x 2—2abx+b 2)+(b 2x 2—2bcx+c 2)=0，∴(ax—b)2+(bx —c ）2=0．∵a，b ，c ，x 都是实数,∴(ax—b ）2≥0,（bx-c ）2≥0．∴ax—b=0,bx —c=0． ∴.x a bb c ==。

2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【学习目标】1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习重点】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习难点】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．一、情景导入生成问题1．如果一个数的平方等于4，则这个数是±2．2．已知x2＝9，则x＝±3．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋12x＋36＝(x＋6)2；x2－6x＋9＝(x－3)2.二、自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法先阅读教材P36“议一议”的内容．然后完成下列问题：1．一元二次方程x2＝5的解是x1＝5，x2＝－5．2．一元二次方程2x2＋3＝5的解是x1＝1，x2＝－1．3．一元二次方程x2＋2x＋1＝5，左边配方后得(x＋1)2＝5，此方程两边开平方，得x＋1＝±5，方程的两个根为x1＝－1＋5，x2＝－1－5．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程x2－2x－3＝0为例) 1．移项：将常数项移到右边，得：x2－2x＝3；2．配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x2－2x＋12＝3＋12，再将左边化为完全平方形式，得：(x－1)2＝4；3．开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x－1＝±2(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；4．化为一元一次方程：将原方程化为两个一元一次方程，得：x－1＝2或x－1＝－2；5．解一元一次方程，写出原方程的解：x1＝__3__，x2＝－1．归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程解答下列各题：1．填上适当的数，使等式成立．(1)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(2)x2－10x＋25＝(x－5)2.2．用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解：①移项，得x2＋2x＝1；②配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2；③开平方，得x＋1＝±2，即x＋1＝2或x＋1＝－2；④所以x1＝－1＋2；x2＝－1－2．典例讲解：解方程：x2＋8x－9＝0.解：可以把常数项移到方程的右边，得：x2＋8x＝9.两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，得：即x2＋8x＋42＝9＋42，即(x＋4)2＝25.两边开平方，得：x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.对应练习：1．解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1; (4)x2＋2x＋2＝8x＋4.2．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝23．方程(x－2)2＝9的解是(A)A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1C．x1＝11，x2＝－7 D．x1＝－11，x2＝7三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________2．存在困惑：_____________________________________第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【学习目标】1．理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣． 【学习重点】 用配方法解一般一元二次方程． 【学习难点】 用配方法解一元二次方程的一般步骤． 一、情景导入 生成问题1．用配方法解一元二次方程x 2－3x ＝5，应把方程两边同时( B ) A ．加上32 B ．加上94 C ．减去32 D ．减去942．解方程(x －3)2＝8，得方程的根是( D )A ．x ＝3＋2 2B ．x ＝3－2 2C ．x ＝－3±2 2D ．x ＝3±2 23．方程x 2－3x －4＝0的两个根是x 1＝4，x 2＝－1．二、自学互研 生成能力知识模块一 探索用配方法解一般一元二次方程的方法先阅读教材P 38例2，然后完成下面的填空：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程2x 2－6x ＋1＝0为例)①系数化1：把二次项系数化为1，得x 2－3x ＋12＝0；②移项：将常数项移到右边，得x 2－3x＝－12；③配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x 2－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12＋94．再将左边化为完全平方形式，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝74；；④开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x －32＝±72(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；⑤解一次方程：得x ＝32±72，∴x 1＝32＋72，x 2＝32－72．用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？师生共同归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x ＋h)2＝k 的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程．知识模块二 应用配方法解一般一元二次方程解答下列各题：1．用配方法解方程3x 2－9x －32＝0，先把方程化为x 2＋bx ＋c ＝0的形式，则下列变形正确的是( D )A ．x 2－9x －32＝0B ．x 2－3x －32＝0C ．x 2－9x －12＝0D ．x 2－3x －12＝02．方程2x 2－4x －6＝0的两个根是x 1＝3，x 2＝－1．典例讲解：1．解方程3x 2－6x ＋4＝0.解：移项，得3x 2－6x ＝－4；二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43；配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12；(x －1)2＝－13.因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根．2．做一做：一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t －5t 2＝10；方程两边都除以－5，得t 2－3t ＝－2；配方，得t 2－3t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322；⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＝14；t －32＝±12；t ＝2，t 2＝1；答：当t ＝2s 或t ＝1s 时，小球达到10米的高度． 对应练习：1．解下列方程：(1)3x 2－9x ＋2＝0； (2)2x 2＋6＝7x ； (3)4x 2－8x －3＝0.2．方程3x 2－1＝2x 的两个根是x 1＝－13，x 2＝1．3．方程2x 2－4x ＋8＝0的解是无实数解．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索用配方法解一般一元二次方程的方法知识模块二 应用配方法解一般一元二次方程四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________。

如何学好配方法配方法是数学中一种很重要的思想方法，它的主要用途是用来求一元二次方程的解．那么怎样用配方法解一元二次方程?先让我们来看一个例子吧．例 用配方法解方程4x 2－12x －1=0．分析:我们知道形如（x+a)2=b （b≥0）的方程可以用直接开平方法求解．如果方程4x 2－12x －1=0能化成这种形式，不也就可以用直接开平方法求解了吗？通过观察,发现式子(x+a ）2=b 中等号左边为二次项系数为1的一个多项式的完全平方形式，右边为常数项,于是考虑先把方程4x 2－12x －1=0的二次项系数化为1，再把常数项移到方程的右边，然后把方程左边配成完全平方形式，再用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法．解：二次项系数化为1，得04132=--x x ．移项，得4132=-x x ．配方，得222)23(41)23(3+=+-x x ，即410)23(2=-x ．两边开平方,得21023±=-x ，即21023=-x ，21023-=-x ．解得210231+=x ,210232-=x ． 由此可见，配方法是以完全平方公式为理论依据,以开平方法为目标的一个变形过程．其一般步骤为：（1）二次项系数不为1,先把二次项系数化为1即在方程两边同除以二次项的系数;（2）移项:使方程左边只含二次项与一次项，右边为常数项；(3）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为（x+a)2=b 的形式;(4）当b≥0时，再用开平方法解变形得到的这个方程．用配方法求一元二次方程的解时，常出现“①对于二次项系数不为1的方程，没有把二次项系数化为1,就直接进行配方；②配方时,没有在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．"这两个方面的错误．错解1：移项,得4x 2－12x=1．配方,得4x 2－12x+2)212(-=1+2)212(-，即37)6(2=-x ．两边开平方，得x －6=37±．解得3761+=x ，3762-=x ．剖析：用配方法解一元二次方程时，若二次项系数不为1，应先把它化为1，再进行配方．错解1未做好这一准备工作就急于配方而致错．错解2：二次项系数化为1，得04132=--x x ．移项，得x 2－3x=41．配方,得x 2－3x+23=41+23，即47)23(2=-x ，解得27327321-=+=x x ，． 剖析：用配方法解方程的关键是配方，而配方的核心待原方程的左边化为“x 2+bx”的形式后，在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，使方程的左边变为完全平方式．错解2只在方程的两边加上一次项系数一半，而没有把一半平方． 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

12.2 用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程 课 题 第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程 课 型新授课 教学目标 1．会用开平方法解形如 (x+m)2＝n(n>0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法：配方法．教学重点 利用配方法解一元二次方程教学难点 把一元二次方程通过配方转化为(x 十m)2＝n(n ≥0)的形式．教学方法 讲练结合法教学后记教 学 内 容 及 过 程学习活动 一、复习：1、解下列方程：（1）x 2=5 （2）2x 2+3 =5 （3）x 2+2x+1=5（4）(x+6)2+ 72 =1022、什么是完全平方式？利用公式计算： （1）(x+6)2=36 （2）(x －12 )2 =4 注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。

3、解方程：（梯子滑动问题） x 2+12x －15=0 二、解：x 2十12x 一15＝0, 1、引入：像上面第（3）题,我们解方程会有困难,是否将方程转化为第（1）题的方程的形式呢？ 2、解方程的基本思路（配方法） 如：x 2+12x －15=0 转化为 (x+6)2=51 两边开平方,得 x+6=±51∴x 1=51 ―6 x 2=―51 ―6(不合实际)3、配方：填上适当的数,使下列等式成立： （1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―4x+ =(x ― )2 （3）x 2+8x+ =(x+ )2 学生积极思考,认真做题。

这种方法叫直接开平方法： (x 十m) 2＝n(n ≥0)．因此,解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边是一个常数,当n ≥0 时,两边开平方便可求出它的根。

从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。

4、讲解例题：例1：解方程：x2+8x―9=0分析：先把它变成(x+m)2=n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解。