4.7 指数不等式与对数不等式

高中数学备课教案指数与对数函数的方程与不等式高中数学备课教案指数与对数函数的方程与不等式一、引言指数与对数函数是高中数学中重要的内容之一，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。

本教案将重点介绍指数与对数函数的方程与不等式的求解方法和应用。

二、指数函数的方程与不等式1. 指数方程的求解指数方程是形如 a^x = b 的方程，其中 a 和 b 是常数，a 为底数，b 为指数函数的值。

求解指数方程的一般步骤如下：步骤1：将指数方程转化为等价的对数方程。

对于 a^x = b，可写成loga(b) = x。

步骤2：求解对数方程，即求 loga(b) 的值。

2. 指数不等式的求解指数不等式是形如 a^x ＞ b 或 a^x ＜ b 的不等式，其中 a 和 b 是常数。

求解指数不等式的一般步骤如下：步骤1：将指数不等式转化为对数不等式。

对于 a^x ＞ b，可写成loga(b) ＜ x。

步骤2：求解对数不等式，即求 loga(b) 的值范围。

三、对数函数的方程与不等式1. 对数方程的求解对数方程是形如 loga(x) = b 的方程，其中 a 和 b 是常数，a 为底数，x 为对数函数的自变量。

求解对数方程的一般步骤如下：步骤1：根据对数的定义，将对数方程转化为指数方程。

对于loga(x) = b，可写成 a^b = x。

步骤2：求解指数方程，即求 a^b 的值。

2. 对数不等式的求解对数不等式是形如 loga(x) ＞ b 或 loga(x) ＜ b 的不等式，其中 a 和b 是常数。

求解对数不等式的一般步骤如下：步骤1：根据对数的定义，将对数不等式转化为指数不等式。

对于loga(x) ＞ b，可写成 a^b ＜ x。

步骤2：求解指数不等式，即求 a^b 的值范围。

四、指数与对数函数方程与不等式的应用举例1. 人口增长模型根据人口增长的特点，可以建立指数函数方程来描述人口的增长情况。

通过求解指数函数方程，可以预测未来的人口数量。

指数不等式与对数不等式的解法主标题：指数不等式与对数不等式的解法副标题：为学生详细的分析指数不等式与对数不等式的解法的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：不等式，指数不等式与对数不等式的解法，知识总结 难度：3 重要程度：5考点剖析：1.利用指数函数的定义域和单调性将指数不等式转化为一元二次不等式； 2.利用对数函数的定义域和单调性将对数不等式转化为一元二次不等式； 3.利用换元法将含指数或对数的不等式进行合理转化. 命题方向：考查指数不等式或对数不等式，往往考查其定义域与单调性，将其合理转化为一元一次不等式或一元二次不等式进行求解.规律总结： 1.⎩⎨⎧<<<>>⇔>10),()(1),()()()(a x g x f a x g x f a a x g x f ,2.⇔>)(log )(log x g x f a a ⎩⎨⎧<<<<>>>10),()(01,0)()(a x g x f a x g x f3.对于02>++C Ba Aax x，令t a x =，可转化为02>++C Bt At 来解（但要注意0>=x a t ），再利用t x a log =求解;4.对于0log )(log 2>++C x B x A a a ,令x t a log =，可转化为02>++C Bt At ，再利用t a x =求解知识点总结：1.指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)()+∞,0 性质(3)过定点()1,0(4)当x >0时，1)(>x f ；当x <0时，1)(0<<x f (5)当x >0时，1)(0<<x f ；当x <0时，1)(>x f (6)在(－∞，＋∞) 上是增函数(7)在(－∞，＋∞) 上是减函数2.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：()+∞,0(2)值域：R(3)过点()0,1，即x=1时，y＝0(4)当x>1时，0)(>xf当0<x<1时，0)(<xf(5)当x>1时，0)(<xf；当0<x<1时，0)(>xf(6)是(0，＋∞)上的增函数函数(7)是(0，＋∞)上的减函数导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

初中数学知识点指数函数与对数函数的方程与不等式初中数学知识点：指数函数与对数函数的方程与不等式指数函数和对数函数是数学中重要的函数类型。

在初中数学中，我们学习了如何解指数函数和对数函数的方程与不等式。

本文将对指数函数和对数函数的基本性质以及解方程和不等式的方法进行详细介绍。

一、指数函数的性质及方程解法指数函数具有以下基本性质：1. 指数函数的定义：指数函数是形如 y=a^x 的函数，其中 a 是底数，x 是指数。

2. 指数函数的图像特点：当底数 a 大于 1 时，函数呈现增长趋势；当底数 a 在 0 和 1 之间时，函数呈现递减趋势。

3. 指数函数的性质：指数函数有唯一性、零点、单调性和奇偶性等性质。

4. 指数函数的方程解法：解指数函数的方程一般可以通过对数函数进行解答。

通过取对数，将指数函数转化为对数函数，再用对数函数的性质解方程。

以解以下方程为例：1. 方程a^x=b，其中 a 和 b 是已知的实数，求解 x。

解法：取对数得到 x = log (b) / log (a)。

2. 方程a^x+b^x=c，其中 a、b 和 c 是已知的实数，求解 x。

解法：将方程转化为对数函数形式 log (a^x+b^x)=log (c)，再利用对数函数的性质解方程。

二、对数函数的性质及方程解法对数函数具有以下基本性质：1. 对数函数的定义：对数函数是形如 y=loga(x)（a>0且a≠1）的函数，其中 a 是底数，x 是真数。

2. 对数函数的图像特点：对数函数的图像呈现递增趋势，且有一个特殊点 (1, 0)。

3. 对数函数的性质：对数函数有唯一性、单调性和奇偶性等性质。

4. 对数函数的方程解法：对数函数的方程解法一般是通过对数函数性质和指数函数的倒数关系进行运算。

以解以下方程为例：1. 方程loga(x)=b，其中 a 和 b 是已知的实数，求解 x。

解法：对数定义得到 x = a^b。

2. 方程loga(x)+loga(y)=c，其中 a 和 c 是已知的实数，求解 x 和 y。

指数不等式、对数不等式的解法指数不等式：转化为代数不等式()()()()()1.(1)()();(01)()()2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>对数不等式：转化为代数不等式 ()0log ()log ()(1)()0;()()()0log ()log ()(01)()0()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >⎧⎪>>⇔>⎨⎪>⎩>⎧⎪><<⇔>⎨⎪<⎩例题 例1.解不等式66522252.0-+---≥x x x x变式 .解关于x 的不等式：222)21(2--+>x x x例2.解不等式154log <x . 例3.如果x=3是不等式：2log (2)log (1)log 3a a a x x x --<++的一个解，解此关于x 的不等式.例4.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x aa a 练习 1.不等式log log 221>x 的解集为……………………………………（ ）（A ）{x|x<2} （B ）{x|0<x<2} （C ）{x|1<x<2} （D ）{x|x>2}2. （05辽宁卷）若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是 （ ）A ．),21(+∞ B ．),1(+∞ C ．)1,21(D ．)21,0(3. (05全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a4. （05山东卷）01a <<，下列不等式一定成立的是（ ） （A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+（C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+5、不等式x x 283)31(2--> 的解集为 ； 6、不等式1)22lg(2<++x x 的解集为 ；作业 1．不等式1log 21<x 的解集为（ ）A ．}41|{>x xB ．}1,41|{≠>x x x 且C ．}4101|{<<>x x x 或 D ．}410|{<<x x 2．不等式)1(1)12(1log log ---->x a x a 成立的充要条件 （ ）A ．1,2>>x aB ．1,1>>x aC ．0,2>>x aD ．0>x3．已知集合=⋂>-=<=N M x x N x M x x 则},0)1(log |{},33|{21322（ ）A ．)23,0(B ．)2,23(C ．)23,1(D ．(0,1)4．若函数)2(log 22a ax x y +-=的值域为R ，则实数a 的取值范围（ ）A ．10<<aB ．10≤≤aC ．10><a a 或D ．10≥≤a a 或5．对于22322)21(,a x ax x R x +-<∈不等式恒成立，则a 的取值范围（ ）A ．(0,1)B ．),43(+∞C ．)43,0(D ．)43,(-∞6．不等式)1(4)1(2log 5log 2++->x x 的解集是____________________.7．不等式1)11(log >-xa的解集为_____________________. 8．解下列不等式 ①2log )532()1(2>-++x xx②0825421≥+⋅-+x x。

指数方程和不等式与对数方程和不等式一、指数方程和不等式与对数方程和不等式指数方程和不等式与对数方程和不等式是对指数函数和对数函数的性质的综合运用．我们将指数方程和对数方程的主要类型和解法列入下面的表格：分析：1、解指数方程和对数方程主要是运用转化的思想将方程化归为己学过的代数方程来解，同时要注意对数方程的同解变形，重视对根的检验．2、对于含有指数函数或对数函数的混合型方程，常用图象法求方程的近似解或确定方程的根的个数．3、在解含有参数的指数方程和对数方程时，必须注意对字母的取值范围的讨论．将上述表格中的等号“＝”改为不等号“＜”或“＞”即得到指数不等式和对数不等式，它们的解法在本质上与方程的解法是相同的，同时也要对字母的取值范围进行讨论．但不同的地方在于要对底数a的取值范围进行讨论，因为a的取值范围不同时要影响指数函数和对数函数的单调性．要注意方程与不等式的本质联系与区别．例1 解下列方程：(1)lg2x·lg3x=lg2·lg3；(2)；(3)；(4)log(x+1)(2x2-2x+1)=2分析：(1)根据方程的结构，可以从方程中分离出变量lgx，利用换元的方法求解；(2)去分母后可采用换元的方法；(3)再对方程变形后采用两边取对数的方法求解；(4)利用对数定义将方程转化为代数方程求解．解：(1)原方程可化为(lg2+lgx)(lg3+lgx)＝lg2·lg3，即lg2x+lg6·lgx＝0．解得lgx＝0或lgx＝-lg6. ∴x＝1或.经检验，x＝1和都是方程的根．(2)方程可化为3x+1-3-x+2＝0，即3·32x+2·3x-1＝0．设y＝3x，则3y2+2y-1＝0，解得y1=-1，.当y＝-1时，3x＝-1＜0，无意义，故舍去；当时，, ∴x=-1。

(3)原方程即，即, ＝3．两边取以3为底数的对数，得到(log3x)2=1, ∴log3x=±1, 解得x＝3或.经检验，x＝3和都是原方程的根．(4)根据对数的定义得到(x+1)2＝2x2-2x+1，即x2-4x＝0．解得x＝0或x＝4．当x＝0时，x+1＝1，故舍去．∴原方程的根为x＝4．总结：(1)解对数方程时，必须注意对根的检验；(2)换元的方法是解方程的一种常用方法；(3)在解指数方程和对数方程时，要注意应用指数和对数的有关性质和法则对方程进行变形．当幂指数上含有未知数时，往往两边取对数求解．例2 解方程：lgx+lg(4-x)＝lg(2x+a)解：原方程等价于：, ∴.设y1＝a, y2＝-x2+2x，x∈(0,4). 作出两个函数的图象，如图所示．分以下三种情况讨论：(1) a>1或a≤-8 时，方程无解；(2) 0<a<1时，方程有两解；(3) -8<a≤0, 方程有一解。

高中数学中的指数对数不等式在高中数学中，指数和对数是重要的概念，而指数对数不等式则是指数和对数的应用之一。

本文将对高中数学中的指数对数不等式进行探讨和解析。

一、指数不等式指数不等式是指在指数运算中，不等号相连的不等式。

考虑以下两种情况：1. 指数大于1的情况当指数大于1时，指数函数随着底数的增大而增大。

因此，不等式中底数的大小关系会影响不等式的解。

对于形如a^x>b^x的不等式，其中a、b为正实数，且a>b。

我们可以将该不等式转化成x>logb(a)的形式。

因为指数函数和对数函数互为反函数，所以a^x>b^x等价于x>logb(a)。

举例说明，考虑不等式2^x>3^x。

由于2<3，所以log3(2)>1。

因此，该不等式可以转化为x>1。

2. 指数小于1的情况当指数小于1时，指数函数随着底数的增大而减小。

同样地，不等式中底数的大小关系也会对不等式的解产生影响。

对于形如a^x<b^x的不等式，其中a、b为正实数，且0<a<b。

我们可以将该不等式转化成x<logb(a)的形式。

同样地，这是由于指数函数和对数函数互为反函数所导致的。

举例说明，考虑不等式2^x<3^x。

由于2<3，所以log3(2)>1。

因此，该不等式可以转化为x<1。

二、对数不等式对数不等式是以对数形式表达的不等式。

对于形如loga(x)>loga(y)的不等式，其中a为正实数且a≠1，我们可以将该不等式转化为x>y。

同样地，对于形如loga(x)<loga(y)的不等式，我们可以将其转化为x<y。

举例说明，考虑不等式log2(x)>log2(y)。

根据对数的定义，该不等式可以转化为x>y。

三、指数对数不等式的综合应用除了单独研究指数和对数不等式，我们还可以将二者结合进行综合运用。

以下是一个例子：考虑不等式2^x<10log2(x)。

指数不等式、对数不等式的解法·例题例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0所以原不等式的解为-1＜x＜3。

(2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。

例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。

解[法一] 原不等式同解于所以原不等式的解为x＞3。

[法二] 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x＞3。

注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。

解原不等式可化为22x-6×2x-16＜0令2x=t(t＞0)，则得t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。

解原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。

这时也常常用到换元法。

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t＜-1，或t＞3当a＞1时，则有4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。

例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。

解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。