指数不等式与对数不等式 2019高考绝密资料

2019年高考真题《不等式》1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，．（1）解不等式()10f x >；（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4x >或1x <-；（2）40a -≤≤【解析】（1）不等式等价于34610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨->⎩解得4x >或1x <-．（2）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域．46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[2,)+∞．()442(4)(42)2g x x a x x a x a =-++≥--+=+，当且仅当4x a -与42x +异号时取等号，所以()g x 的值域为[2,)a ++∞，由题[2,)+∞⊆[2,)a ++∞，所以22a +≤，解得40a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()2f x ax =-，不等式()4f x ≤的解集为{}|26x x -≤≤． （1）求实数a 的值；（2）设()()(3)g x f x f x =++，若存在x ∈R ，使()2g x tx -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(,1][,)2t ∈-∞-+∞．【解析】（1）由42ax -≤得－4≤2ax -≤4，即－2≤ax ≤6，当a >0时，26x a a -≤≤，所以2266a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a ＝1；当a <0时，62x a a ≤≤-，所以6226a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解．所以实数a 的值为1．（2）由已知()()(3)g x f x f x =++＝|x ＋1|＋|x －2|＝()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式g （x ）－tx ≤2转化成g （x ）≤tx ＋2，由题意知函数()g x 的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ， 又因为k AM ＝－1，12BM k =， 所以t ≤－1或12t ≥， 即t ∈（－∞，－1]∪[12，＋∞）． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数()|1|f x x =+． （1）若+2>2f x x （），求实数x 的取值范围；（2）设=+>1g x f x f ax a （）（）（）（），若g x （）的最小值为12，求a 的值． 【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）2a =． 【解析】（1）()22f x x +>，即1>22x x+-⇔101>22x x x +≥⎧⎨+-⎩或10122x x x+<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>， ∴实数x 的取值范围是13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （2）∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，，，， 易知函数()g x 在1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递减，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． ∴1112a -=，解得2a =． 【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数21f x x a g x x =+=-（），（）．（1）若2f x g x +（）（）的最小值为1，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式1f x g x +<（）（）的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4．（2）312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）当1b =时，()()1|||1||1||1|2222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4．（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3ax a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力． 9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对12x x ∀∈∃∈R R ，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|01x x ≤≤；（2）1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．【解析】（1）不等式等价于132x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11222x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩， 解得x φ∈或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式2f x x ≤+（）的解集为{}|01x x ≤≤．（2）由311()212132x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，知，当12x =时，min 13()()22f x f ==， 323121g x x m x m ≥---=-（）（）（），当且仅当(32)(31)0x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数()f x x a =-．（1）当2a =-时，解不等式()1621f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[0,2]，求证：()(2)2f x f x ++≥． 【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ≥（2）见解析 【解析】（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥， 当2x ≤-时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-， 当122x -<≤时，原等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥； 不等式的解集为17{|3x x ≤-或5}x ≥．（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]02，，所以1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，从而()1f x x =-． 于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证112x x -++≥，因为111x x x -++=-1112x x x ++≥-++= 所以112x x -++≥，证毕．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数()2f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；（2）当x y ∈R ，时，2()()2()f y f x f y -+≤≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）3{|}2x x >；（2）[]31--，【解析】（1）当a =1时，31()121232x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，，，， 可得()2f x <-的解集为3{|}2x x >； （2）当x y ∈R ，时，[][]ma min 2()()2()()()2()()2x f y f x f y f x f y f x f x -+≤≤+⇔-≤⇔-≤，因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤． 所以21a +≤，所以31a -≤≤-． 所以a 的取值范围是[–3，–1]．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用． 12．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数2f x x =-（）．（1）求不等式1f x x x <++（）的解集；（2）若函数()2log 32f x f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦（）（）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．【解析】（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++， 当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >； 当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解． 综上可得所求不等式的解集为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．（2）要使函数()()2log 32y f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦的定义域为R ， 只需()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可．又()12212232g x x x a x x a a =++--≥+-+-=-，当且仅当[]12x ∈-，时取等号． 所以只需320a ->，即32a <． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数()211f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）{}11x x x ≤-≥或；（2）914．【解析】（1）由题意，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩．解得1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或； （2）由（1）可知，当12x =时，()f x 取得最小值32， 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时，即369,,141414a b c ===时等号成立． 所以222a b c ++的最小值为914．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型．14．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知000a b c >>>，，设函数f x x b x c a x =-+++∈R （），．（1）若1a b c ===，求不等式5f x <（）的解集； （2）若函数f x （）的最小值为1，证明：14918a b c a b b c c a++≥+++++（）． 【答案】（1）(2,2)-；（2）详见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即|1||1|4x x -++<， 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-， 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<， 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<，∴解集为(2,2)-；（2）()f x x b x c a =-+++x c x b a ≥+--+（）（）b c a =++，∵000a b c >>>，，，∴min ()1f x a b c =++=， ∴149a b b c c a ++=+++149a b b c c a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭a b c ++（） 11492a b b c c a ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭a b b c a c +++++（）22212⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦222⎡⎤++⎣⎦212≥1818a b c ==++（）． 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()21f x x x =-+，且a b c ∈R ，，． （1）若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值；（2）若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+．【答案】（1）73；（2）见解析 【解析】（1）由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=， 即()()()f a f b f c ==的最小值为73； （2）因为1x a -<，所以()()()()22•11f x f a x a x a x a x a x a -=---=-+-<+-()()()()212112121x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+，故结论成立．【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >．（1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．【答案】（1）不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）3a =【解析】（1）当3a =时，()51f x x ≥+可化为231x -≥，由此可得1x ≤或2x ≥，故不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-， 此不等式化等价于2250a x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+≤⎩或()2250a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+≤⎩， 解得27a x a x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或23a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3ax x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-，此不等式化等价于525x x a x ≤-≤-，即为不等式组5225x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩，解得37a x a x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3a x x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为{|1}x x ≤-是不等式()0f x ≤的解集，所以1x =-是方程()0f x =的根，把1x =-代入250x a x -+=得37a a ==-或，因为0a >，所以3a =．【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小．17．【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x ，y 满足x +y =1．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211(1)(19x y --≥）． 【答案】（1）1[16，）．（2）见解析． 【解析】（1）∵1x y +=，且0x >，0y >， ∴0152522212x x y x y x x <<⎧⎪++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩， 01011112121222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩（）， 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1[16，）． （2）解法1：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y+-+---=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x y y x =++59≥=． 当且仅当12x y ==时，等号成立． 解法2：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222221111(1)(1)x y x y x y----=⋅ 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xy xy+++=21xy =+2219()2x y ≥+=+，当且仅当12x y ==时，等号成立． 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题．对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法．而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式．。

不等式选讲1．不等式|－4|＋|－3|≤a 有实数解的充要条件是________．解析 a ≥|－4|＋|－3|有解⇔a ≥(|－4|＋|－3|)min ＝1.答案 a ≥12．设，y ，∈R ，2＋2y ＋＋8＝0则(－1)2＋(y ＋2)2＋(－3)2的最小值为________．解析(－1)2＋(y ＋2)2＋(－3)2](22＋22＋12)≥[2(－1)＋2(y ＋2)＋(－3)]2＝(2＋2y ＋－1)2＝81.答案 93．已知函数f ()＝|2－a |＋a .若不等式f ()≤6的解集为{|－2≤≤3}，则实数a 的值为________． 解析 ∵不等式f ()≤6的解集为{|－2≤≤3}，即－2，3是方程f ()＝6的两个根，即|6－a |＋a ＝6，|a ＋4|＋a ＝6，∴|6－a |＝6－a ，|a ＋4|＝6－a ，即|6－a |＝|a ＋4|，解得a ＝1.答案 14．若不等式|＋1x|>|a －2|＋1对于一切非零实数均成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵|＋1x|≥2， ∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3.答案 (1，3)5．若不等式|＋1|＋|－3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．解析 ∵|＋1|＋|－3|≥|(＋1)－(－3)|＝4，∴不等式|＋1|＋|－3|≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤4.即－3≤m ≤5.答案 [－3，5]6．设f ()＝1a2－b ＋c ，不等式f ()<0的解集是(－1，3)，若f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围是________． 解析 ∵1a2－b ＋c <0的解集是(－1，3)， ∴1a >0且－1，3 是1a 2－b ＋c ＝0的两根，则函数f ()＝1a 2－b ＋c 图象的对称轴方程为＝ab 2＝1， 且f ()在[1，＋∞)上是增函数，又∵7＋|t |≥7>1，1＋t 2≥1，则由f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，得7＋|t |>1＋t 2，即|t |2－|t |－6<0，亦即(|t |＋2)(|t |－3)<0，∴|t |<3，即－3<t <3.答案 (－3，3)8．设函数f ()＝|－a |＋1，a ∈R .(1)当a ＝4时，解不等式f ()<1＋|2＋1|； (2)若f ()≤2的解集为[0,2]，1m ＋1n＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥3＋2 2.(2)依题可知|－a |≤1⇒a －1≤≤a ＋1，所以a ＝1，即1m ＋1n ＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝3＋2n m ＋m n≥3＋2 2 当且仅当m ＝1＋2，n ＝1＋22时取等号． 9．设函数f ()＝|2－a |＋|2＋1|(a >0)，g ()＝＋2.(1)当a ＝1时，求不等式f ()≤g ()的解集；(2)若f ()≥g ()恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，|2－1|＋|2＋1|≤＋2⎩⎨⎧ x ≤－12－4x ≤x ＋2⇒无解， ⎩⎨⎧ －12<x <122≤x ＋2⇒0≤<12， ⎩⎨⎧ x ≥124x ≤x ＋2⇒12≤≤23综上，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0≤x ≤23. (2)|2－a |＋|2＋1|≥＋2，转化为|2－a |＋|2＋1|－－2≥0.令h ()＝|2－a |＋|2＋1|－－2，因为a >0，所以h ()＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ＋a －3，x ≤－12－x ＋a －1，－12<x <a 23x －a －1，x ≥a 2， 在a >0下易得h ()min ＝a 2－1， 令a 2－1≥0，得a ≥2. 10．已知函数f ()＝|－a |. (1)若f ()≤m 的解集为{|－1≤≤5}，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且0≤t ≤2时，解关于的不等式f ()＋t ≥f (＋2)．解 (1)∵|－a |≤m ，∴－m ＋a ≤≤m ＋a .∵－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5，∴a ＝2，m ＝3.(2)f ()＋t ≥f (＋2)可化为|－2|＋t ≥||.当∈(－∞，0)时，2－＋t ≥－,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴∈(－∞，0)；当∈[0,2)时，2－＋t ≥，≤1＋t 2，0≤≤1＋t 2， ∵1≤1＋t 2≤2，∴0≤≤1＋t 2； 当∈[2，＋∞)时，－2＋t ≥，t ≥2，当0≤t <2时，无解，当t ＝2时，∈[2，＋∞)． ∴当0≤t <2时原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，t 2＋1； 当t ＝2时∈[2，＋∞)．11．设函数f ()＝|2＋1|－|－2|.(1)求不等式f ()>2的解集；(2)∀∈R ，使f ()≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．(2)易得f ()min ＝－52，若∀∈R 都有f ()≥t 2－112t 恒成立， 则只需f ()min ＝－52≥t 2－11t 2， 解得12≤t ≤5. 12．已知函数f ()＝|－4|＋|＋5|.(1)试求使等式f ()＝|2＋1|成立的的取值范围；(2)若关于的不等式f ()<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解 (1)f ()＝|－4|＋|＋5|＝⎩⎨⎧－2x －1，x ≤－5，9，－5<x <4，2x ＋1，x ≥4.又|2＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ≤－12，2x ＋1，x >12，所以若f ()＝|2＋1|，则的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞)．(2)因为f ()＝|－4|＋|＋5|≥|(－4)－(＋5)|＝9，∴f ()min ＝9.所以若关于的不等式f ()<a 的解集非空，则a >f ()min ＝9，即a 的取值范围是(9，＋∞)．13．已知函数f ()＝|＋2|－|－1|.(1)试求f ()的值域；(2)设g ()＝ax 2－3x ＋3x(a >0)，若任意s ∈(0，＋∞)，任意t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)函数可化为f ()＝⎩⎨⎧－3，x <－2，2x ＋1，－2≤x ≤1，3，x >1.∴f ()∈[－3，3]．(2)若>0，则g ()＝ax 2－3x ＋3x ＝a ＋3x－3≥23a －3，即当a 2＝3时，g ()min ＝23a －3， 又由(1)知f ()ma ＝3.若∀s ∈(0，＋∞)，∀t ∈(－∞，＋∞)，恒有g (s )≥f (t )成立，则有g ()min ≥f ()ma ，∴23a －3≥3，∴a ≥3，即a 的取值范围是[3，＋∞)．14．设函数f ()＝|2－1|－|＋2|.(1)求不等式f ()≥3的解集；(2)若关于的不等式f ()≥t 2－3t 在[0，1]上无解，求实数t 的取值范围．解 (1)f ()＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥12，－3x －1，－2≤x ＜12，3－x ，x ＜－2， 所以原不等式转化为⎩⎨⎧x ≥12，x －3≥3，或⎩⎨⎧－2≤x ＜12，－3x －1≥3，或⎩⎨⎧x ＜－2，3－x ≥3，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪[6，＋∞)．(2)只要f ()ma ＜t 2－3t ，由(1)知f ()ma ＝－1＜t 2－3t 解得t ＞3＋52或t ＜3－52. 15．设函数f ()＝|＋1a|＋|－a |(a >0)． (1)证明：f ()≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．(1)证明 由a >0，有f ()＝|＋1a |＋|－a |≥|＋1a －(－a )|＝1a＋a ≥2.所以f ()≥2. (2)解 f (3)＝|3＋1a|＋|3－a |. 当a >3时，f (3)＝a ＋1a， 由f (3)<5得3<a <5＋212. 当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a， 由f (3)<5得1＋52＜a ≤3. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 16．已知函数f ()＝|－a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f ()≥4－|－4|的解集；(2)已知关于的不等式|f (2＋a )－2f ()|≤2的解集为{|1≤≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f ()＋|－4|＝⎩⎨⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当≤2时，由f ()≥4－|－4|得－2＋6≥4，解得≤1；当2<<4时，f ()≥4－|－4|无解；当≥4时，由f ()≥4－|－4|得2－6≥4，解得≥5；所以f ()≥4－|－4|的解集为{|≤1或≥5}．(2)记h ()＝f (2＋a )－2f ()，则h ()＝⎩⎨⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h ()|≤2，解得a －12≤≤a ＋12.又已知|h ()|≤2的解集为{|1≤≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.17．已知函数f ()＝|－2|＋|2＋a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，解不等式f ()≥4；(2)若∃0，使f (0)＋|0－2|<3成立，求a 的取值范围．(2)应用绝对值不等式，可得f ()＋|－2|＝2|－2|＋|2＋a |＝|2－4|＋|2＋a |≥|2＋a －(2－4)|＝|a ＋4|.(当且仅当(2－4)(2＋a )≤0时等号成立)因为∃0，使f (0)＋|0－2|<3成立，所以(f ()＋|－2|)min <3，所以|a ＋4|<3，解得－7<a <－1，故实数a 的取值范围为(－7，－1)．18．已知，y ∈R ＋，＋y ＝4.(1)要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求证：2＋2y 2≥323，并指出等号成立的条件． 解 (1)因为，y ∈R ＋，＋y ＝4，所以x 4＋y 4＝1. 由基本不等式，得1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋y 4 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥12＋12 y x ·x y＝1， 当且仅当＝y ＝2时取等号．要使不等式1x ＋1y≥|a ＋2|－|a －1|恒成立， 只需不等式|a ＋2|－|a －1|≤1成立即可．构造函数f (a )＝|a ＋2|－|a －1|，则等价于解不等式f (a )≤1.因为f (a )＝⎩⎨⎧ －3，a ≤－2，2a ＋1，－2<a <1，3，a ≥1，所以解不等式f (a )≤1，得a ≤0.所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)因为，y ∈R ＋，＋y ＝4，所以y ＝4－(0<<4)，于是2＋2y 2＝2＋2(4－)2＝32－16＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋323≥323， 当＝83，y ＝43时等号成立． 19．知函数f ()＝|2－4|＋|＋1|，∈R .(1)解不等式f ()≤9；(2)若方程f ()＝－2＋a 在区间[0,2]上有解，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ()≤9，即|2－4|＋|＋1|≤9，即⎩⎨⎧ x >2，3x －3≤9或⎩⎨⎧ －1≤x ≤2，5－x ≤9或⎩⎨⎧x <－1，－3x ＋3≤9，解得2<≤4或－1≤≤2或－2≤<－1.∴不等式的解集为[－2,4]．(2)当∈[0,2]时，f ()＝5－.由题意知，f ()＝－2＋a ，即a ＝2－＋5，∈[0,2]，故方程f ()＝－2＋a 在区间[0,2]上有解，即函数y ＝a 和函数y ＝2－＋5的图象在区间[0,2]上有交点， ∵当∈[0,2]时，y ＝2－＋5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7， ∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤194，7. 20．f ()＝|2＋a |－|－2|.(1)当a ＝－2时，求不等式f ()≤4的解集；(2)若关于的不等式f ()≥3a 2－3|2－|恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时，由f ()≤4，得2|－1|－|－2|≤4，当≤1时，由2(1－)－(2－)≤4，得－4≤≤1；当1<<2时，由2(－1)－(2－)≤4，得1<<2；当≥2时，由2(－1)－(－2)≤4，得2≤≤4.综上所述，f ()≤4的解集为[－4,4]．(2)由不等式f ()≥3a 2－3|2－|，得|2＋a |－|－2|＋3|－2|≥3a 2，即为|2＋a |＋|4－2|≥3a 2，即关于的不等式|2＋a |＋|2－4|≥3a 2恒成立，而|2＋a |＋|2－4|≥|(2＋a )－(2－4)|＝|a ＋4|，当且仅当(2＋a )(2－4)≤0时等号成立，所以|a ＋4|≥3a 2，解得a ＋4≥3a 2或a ＋4≤－3a 2，解得－1≤a ≤43或a ∈∅. 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43. 21．函数f ()＝|2＋1|.(1)求不等式f ()≤8－|－3|的解集；(2)若正数m ，n 满足m ＋3n ＝mn ，求证：f (m )＋f (－3n )≥24.(1)解 此不等式等价于⎩⎨⎧ x <－12，－2x －13－x 8或⎩⎨⎧ －12≤x ≤3，2x ＋13－x 8或⎩⎨⎧x >3，2x ＋1＋x －3≤8， 即不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，103. (2)证明 ∵m >0，n >0，m ＋3n ＝mn ，∴m ＋3n ＝13(m ·3n )≤13×m ＋3n 24，即m ＋3n ≥12， 当且仅当⎩⎨⎧ m ＝3n ，m ＋3n ＝mn ，即⎩⎨⎧ m ＝6，n ＝2时取等号， ∴f (m )＋f (－3n )＝|2m ＋1|＋|－6n ＋1|≥|2m ＋6n |，当且仅当(2m ＋1)(－6n ＋1)≤0，即n ≥16时取等号， 又|2m ＋6n |≥24，当且仅当m ＝6，n ＝2时，取等号， ∴f (m )＋f (－3n )≥24.22．函数f ()＝|3－1|－|2＋1|＋a .(1)求不等式f ()>a 的解集；(2)若恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，求a 的取值范围． 解 (1)由f ()>a ，得|3－1|>|2＋1|，不等式两边同时平方，得92－6＋1>42＋4＋1，即52>10，解得<0或>2.所以不等式f ()>a 的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)设g ()＝|3－1|－|2＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤－12，－5x ，－12<x <13，x －2，x ≥13，作出函数g ()的图象，如图所示，因为g (0)＝g (2)＝0，g (3)<g (4)＝2<g (－1)＝3，又恰好存在4个不同的整数n ，使得f (n )<0，所以⎩⎨⎧ f 3<0，f 40，即⎩⎨⎧1＋a <0，2＋a ≥0， 故a 的取值范围为[)－2，－1.23．函数f ()＝2＋|－2|.(1)解不等式f ()>2||；(2)若f ()≥a 2＋2b 2＋3c 2(a >0，b >0，c >0)对任意∈R 恒成立，求证：ab ·c <7232. (1)解 由f ()>2||，得2＋|－2|>2||， 即⎩⎨⎧ x ≥2，x 2＋x －2>2x 或⎩⎨⎧ 0<x <2，x 2＋2－x >2x 或⎩⎨⎧x ≤0，x 2＋2－x >－2x ， 解得>2或0<<1或≤0，即>2或<1.所以不等式f ()>2||的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)证明 当≥2时，f ()＝2＋－2≥22＋2－2＝4； 当<2时，f ()＝2－＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥74， 所以f ()的最小值为74. 因为f ()≥a 2＋2b 2＋3c 2对任意∈R 恒成立，所以a 2＋2b 2＋3c 2≤74. 又a 2＋2b 2＋3c 2＝a 2＋c 2＋2(b 2＋c 2)≥2ac ＋4bc ≥42abc 2，且等号不能同时成立，所以42abc 2<74，即ab ·c <7232. 24.数f ()＝|＋a |－|－1－a |.(1)当a ＝1时，解不等式f ()≥12； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f ()≥b 的解集不为空集，求实数b 的取值范围．(2)∵不等式f ()≥b 的解集不为空集，∴b ≤f ()ma ，∵a ∈[0,1]，∴f ()＝|＋a |－|－1－a |≤|＋a －＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ，∴f ()ma ＝a ＋1－a .对任意a ∈[0,1]，不等式f ()≥b 的解集不为空集， ∴b ≤[a ＋1－a ]min ，令g (a )＝a ＋1－a ，∴g 2(a )＝1＋2a ·1－a ＝1＋2a 1－a ＝1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14. ∴当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，g (a )单调递增，当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，g (a )单调递减，当且仅当a ＝0或a ＝1时，g (a )min ＝1， ∴b 的取值范围为(－∞，1]．。

指数不等式、对数不等式考试试题及答案例5-3-7 解不等式：解(1)原不等式可化为x2-2x-1＜2(指数函数的单调性)x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0所以原不等式的解为-1＜x＜3。

(2)原不等式可化为注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。

例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。

解[法一] 原不等式同解于所以原不等式的解为x＞3。

[法二] 原不等式同解于log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1)所以原不等式的解为x＞3。

注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。

解原不等式可化为22x-6×2x-16＜0令2x=t(t＞0)，则得t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。

注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。

解原不等式可化为解得t＜-2或0＜t＜1，即注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。

这时也常常用到换元法。

例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式解原不等式可化为令log a x=t，则得当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0t＜-1，或t＞3当a＞1时，则有4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。

例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。

解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。

分析由题设条件容易联想到f(x)是指数型函数，又a2=f(1)·f(1)=f(2)，故原不等式同解于f(x2+x-4)＞f(2)。

2019年考试大纲解读10 不等式、推理与证明（十三）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4．基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（十八）推理与证明1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. （2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.这部分内容与2018考纲相比没有什么变化，主要以客观题的形式出现，命题方向如下:不等式的命题方向为：（1）选择题、填空题中以简单的线性规划、不等式的性质为主，有时也与其他知识相交汇，试题难度中等；（2）解答题中通常以其他知识为主，结合不等式的相关知识或有关不等式问题的证明等，试题难度中等偏上.推理与证明的命题方向为：（1）选择题或填空题中常将有关归纳方法的应用与其他知识相交汇，有时以数学文化为背景，试题难度中等；（2）解答题中通常以其他知识为主，通过推理与证明来解决相关问题，注意反证法的应用，试题难度中等或中等偏上.考向一 解不等式样题1 （2018新课标全国Ⅲ理科）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，，，,即，又，，即，故选B.考向二 一元二次不等式的解法ð样题2 （2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合，则A=RA．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B．样题3 若不等式的解集为,则不等式的解集为A．或B．C ．D．或【答案】B考向三目标函数的最值问题样题4（2018新课标I理科）若x，y满足约束条件，则32=+的最大值为z x y_____________．【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+可得，画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2z的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由，解得()2,0B ，此时，故答案为6.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.样题5 已知,x y 满足，则的取值范围是A ．121,812⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．121,732⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]65,73 D ．[]65,81【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数表示点()3,4P -- 与可行域内点的距离的平方，点P 到直线4x y +=的距离：，点P 到坐标原点的距离加上半径：，则目标函数的取值范围是121,812⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选A ．考向四利用线性规划解决实际问题样题6某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为A．14000元B．16000元C．16000元D．20000元【答案】A【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：学-科网设该公司一天内安排生产产品吨、产品吨，所获利润为元，依据题意得目标函数为，约束条件为,欲求目标函数的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点，，，，作直线，当移动该直线过点时，取得最大值，则也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故.所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.选A．考向五 推理样题7 （2017新课标全国Ⅱ理科）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D考向六 数学归纳法样题8 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n =0有一根为S n －1(n ∈N *)． （1）求a 1，a 2；（2）猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．【解析】（1）当n =1时，方程x 2－a 1x －a 1=0有一根为S 1－1=a 1－1， ∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1=0，解得a 1=12.当n =2时，方程x 2－a 2x －a 2=0有一根为S 2－1=a 1+a 2－1=a 2－12，∴⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2=0，解得a 2=16.下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n =1时，结论成立．②假设n =k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k =kk ＋1，当n =k +1时，S k +1=12－S k=12－k k ＋1=k ＋1k ＋2=1(1)1k k +++. 即当n =k +1时结论成立．由①②知S n =nn ＋1对任意的正整数n 都成立．。

不等式1．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b【答案】D2．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)【解析】∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.【答案】D3．设函数f ()＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f ()>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) 【解析】由题意得，f (1)＝3，所以f ()>f (1)＝3，即f ()>3， 如果<0，则＋6>3，可得－3<<0； 如果≥0，则2－4＋6>3，可得>3或0≤<1. 综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 故选A ． 【答案】A4．若关于的不等式a －b >0的解集是(－∞，－2)，则关于的不等式ax 2＋bxx －1>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)【解析】关于的不等式a －b >0的解集是(－∞，－2)，∴a <0，b a ＝－2，∴b ＝－2a ，∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2axx －1.∵a <0，∴x 2－2xx －1<0，解得<0或1<<2.故选B ．【答案】B 5．若对任意>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15【解析】因为对任意>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1ma ， 而对∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当＝1x 时等号成立，∴a ≥15.【答案】A6．若关于，y 的不等式组⎩⎨⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A ．12或14B ．12或18C ．1或12D ．1或14【解析】由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得＝0或1，当＝0时，表示区域的面积为12；当＝1时，表示区域的面积为14，故选A ．【答案】A7．设变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数＝2＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17【解析】解法一(图解法)：已知约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25＋z5过点B (3,0)时，取得最小值2×3＋5×0＝6.解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域的顶点分别为A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入＝2＋5y ，得＝10,6,17，故的最小值为6.【答案】B8．在关于的不等式2－(a ＋1)＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－2,4) C ．[－3,5] D ．[－2,4]【解析】关于的不等式2－(a ＋1)＋a <0可化为(－1)(－a )<0.当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为1<<a ；当a <1时，不等式的解集为a <<1.要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2,4]，故选D ． 【答案】D9．若实数，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则＝2y2x ＋1的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，4 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，4C ．[2,4]D ．(2,4]【解析】作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB )所示，其中A (1,2)，B (0,2)． ＝2y 2x ＋1＝y x ＋12＝y －0x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则的几何意义是可行域内的点P (，y )与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0所连直线的斜率． 可知MA ＝2－01－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝43，MB ＝2－00－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4，结合图形可得43≤<4.故＝2y 2x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，4. 【答案】B10．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 2B ．8 2C ．5D ．9【答案】D11．已知实数，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且＝＋y 的最大值为6，则(＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3C ． 5D ． 3【解析】如图，作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k对应的平面区域，由＝＋y ，得y ＝－＋，平移直线y ＝－，由图可知当直线y ＝－＋经过点A 时，直线y ＝－＋在y 轴上的截距最大，此时最大，为6，即＋y ＝6.由⎩⎨⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0得A (3,3)，∵直线y ＝过点A ，∴＝3.(＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点(，y )与D (－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(＋5)2＋y 2]min 等于D (－5,0)到直线＋2y ＝0的距离的平方．则(＋5)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|－5|12＋222＝5.故选A ．【答案】A12．若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1【解析】∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a >0，∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29a －1b －1＝29aba ＋b1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C ． 【答案】C13．若>0，y >0，则“＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．＝y B ．＝2yC ．＝2且y ＝1D ．＝y 或y ＝1【解析】∵>0，y >0，∴＋2y ≥22xy ，当且仅当＝2y 时取等号．故“＝2，且y ＝1”是“＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 【答案】C14．已知实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2y的最大值是( )A.132B.116C ．32D ．64【解析】解法一 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝－2y ，由图知，当u ＝－2y 经过点A (1,3)时取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2y 取得最大值，即ma ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.解法二 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易知＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2y的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A ，B ，C 的坐标分别代入＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2y，即可求得最大值．联立得⎩⎨⎧x ＝1，x －y ＋2＝0，解得A (1,3)，代入可得＝32；联立得⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋2y ＋2＝0，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，代入可得＝116；联立得⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，x ＋2y ＋2＝0，解得C (－2,0)，代入可得＝4.通过比较可知，在点A (1,3)处，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2y取得最大值32，故选C.【答案】C15．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A.15万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元【解析】设生产甲产品吨，乙产品y 吨，获利润万元，由题意可知，⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12x ＋2y ≤8x ≥0，y ≥0，＝3＋4y ，画出可行域如图中阴影部分所示，直线＝3＋4y 过点M 时，＝3＋4y 取得最大值，由⎩⎨⎧ 3x ＋2y ＝12x ＋2y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝2y ＝3，∴M (2,3)，故＝3＋4y 的最大值为18，故选D. 【答案】D16．已知函数f ()＝＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12B.32 C ．1 D ．2【解析】由题意可得a >0，①当>0时，f ()＝＋ax＋2≥2a ＋2，当且仅当＝a 时取等号；②当<0时，f ()＝＋a x ＋2≤－2a ＋2，当且仅当＝－a 时取等号．所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＝02a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C.【答案】C17．不等式组⎩⎨⎧x －y ≥1x ＋2y ≤2的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(，y )∈D ，－2y ≥2； p 2：∃(，y )∈D ，－2y ≥3；p 3：∀(，y )∈D ，－2y ≥23；p 4：∃(，y )∈D ，－2y ≤－2.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3【解析】不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由⎩⎨⎧x －y ＝1x ＋2y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43y ＝13，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.由图可知，当直线＝－2y 过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13处时，取得最小值，且min ＝43－2×13＝23，所以真命题是p 2，p 3，故选A.【答案】A18．已知实数，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k ，且＝＋y 的最大值为6，则(＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5 D. 3【解析】作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≥0x －y ≤00≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由＝＋y ，得y ＝－＋，平移直线y ＝－，由图形可知当直线y ＝－＋经过点A 时，直线y ＝－＋的纵截距最大，此时最大，最大值为6，即＋y ＝6.由⎩⎨⎧x ＋y ＝6x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝过点A ，∴＝3.(＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D (－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线＋2y ＝0的距离最小，可得(＋5)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|52＝5.故选A.【答案】A19．对于任意实数，不等式(a －2)2－2(a －2)－4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2) D ．(－2,2]【解析】当a ＝2时，原不等式为－4<0，恒成立；当a ≠2时，函数y ＝(a －2)2－2(a －2)－4是二次函数，若不等式恒成立，则a －2<0且Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上a 的取值范围为(－2,2]．故选D. 【答案】D20．若变量，y 满足条件⎩⎨⎧x －y －1≤0x ＋y －6≤0x －1≥0，则y 的取值范围是( )A ．[0,5] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5，354C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，354 D ．[0,9]【解析】依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，y 的最小值为0(当＝1，y ＝0时取得)；y ≤(6－)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(6－x )22＝9，即y ≤9，当＝3，y ＝3时取等号，即y 的最大值为9，故选D.【答案】D21．已知函数f ()＝3＋a 2＋b ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3<c ≤6C ．6<c ≤9D ．c >9【答案】C22．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3>b 3 B.1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<a【解析】∵0<a <b <1，∴0<b －a <1－a ，∴lg(b －a )<0<a ，故选D.【答案】D23．不等式2－3||＋2>0的解集是________________．【解析】原不等式可转化为||2－3||＋2>0，解得||<1或||>2，所以∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)．【答案】(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋∞)24．已知函数f ()＝sin π(0<<1)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则4a ＋1b的最小值为________．【解析】画出函数图象，由于f (a )＝f (b )，故a 和b 关于直线＝12对称，∴a ＋b ＝1， ∴4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝5＋4b a ＋a b ≥5＋4＝9.等号成立的条件为当且仅当a ＝2b .故4a ＋1b的最小值为9. 【答案】925．已知集合，则M ∩N ＝________.【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52 26．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为________千元．【解析】设生产甲产品件，生产乙产品y 件，利润为千元，则⎩⎨⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，＝2＋y ，作出⎩⎨⎧ x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2＋y ＝0，平移该直线，当直线＝2＋y经过直线2＋3y ＝480与直线6＋y ＝960的交点(150,60)(满足∈N ，y ∈N )时，取得最大值，为360.【答案】36027．若正数，y 满足2＋3y －1＝0，则＋y 的最小值是________．【解析】对于2＋3y －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当＝22时，等号成立)，故＋y 的最小值是223. 【答案】223。

专题06 指数函数与对数函数【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ； 由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确．故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．【命题意图】1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．5．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．6．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 7．知道对数函数是一类重要的函数模型．8．了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数0,1()a a >≠且． 【命题规律】指数函数与对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：比较幂、对数式的大小，解指数、对数方程或不等式． 【答题模板】 1．比较幂的大小①对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； ②对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； ③对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 3．比较对数式的大小①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． 4．解对数不等式①形如log log a a x b >的不等式，借助log a y x =的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分1a >与01a <<两种情况讨论；②形如log a x b >的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助=log a y x 的单调性求解． 【方法总结】1．不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论．2．指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象与性质指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c <d <1<a <b ．①在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松；反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0，1)点．3．对数函数的图象和性质一般地，对数函数=log (0,1)a y x a a >≠且的图象与性质如下表所示：在直线1x =的右侧，当1a >时，底数越大，图象越靠近x 轴；当01a <<时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”． 4．对数函数与指数函数的关系指数函数xy a =(0a >且1a ≠）与对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）互为反函数，其图象关于直线y x =对称．5．与对数函数相关的复合函数问题，即定义域、值域的求解，单调性的判断和应用，与二次函数的复合问题等，解题方法同指数函数类似．研究其他相关函数的单调性、奇偶性一般根据定义求解，此外，需特别注意对数函数的定义域及底数的取值． 6．换底公式的变形及推广： （1）log log 01,0()且m na a nb b a a b m=>≠>； （2）(1log 01;01log )且且a b b a a b b a=>≠>≠； （3）log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=(其中a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 7．对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>且，那么：（1）log ()log log a a a M N =M +N ⋅； （2）log log log -aa a M=M N N； （3）log log ()na a M =n M n ∈R ．1．【内蒙古2019届高三高考一模】已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】B【分析】根据41ln33<<，利用指数函数对数函数的单调性即可得出结果． 【解析】∵41ln33<<，∴33ln36b =+>，43336a <<<，3464()3327c <=<， ∴c a b <<．故选B ．2．【甘、青、宁2019届高三5月联考】若31log 2m =，0.17n -=，4log 25p =，则m ，n ，p 的大小关系为 A ．m p n >> B ．p n m >> C ．p m n >>D ．n p m >>【答案】B【分析】分别出,,m n p 的取值范围，由此比较出三者的大小． 【解析】31log (1,0)2∈-，0.17(0,1)-∈，42log 25log 5(2,3)=∈，故p n m >>．故选B ． 3．【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系．【解析】因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1，∴c a b <<．故选A ．4．【吉林省长春市普通高中2019届高三质量检测三】若252log a =，30.4b =，ln3c =，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】B【解析】因为322log (,0),0.4(0,1),ln3(1,)5a b c =∈-∞=∈=∈+∞，所以a b c <<，故选B ． 5．【重庆市2019年普通高等学校招生全国统一考试11月调研】设，，，则 ， ，的大小关系为 A ． B ． C ．D ．【答案】B【分析】不难发现 ， ， ，从而可得 ． 【解析】，，， ，故选B ．6．【重庆市第一中学校2019届高三下学期第三次月考】若0.22.1a =，0.40.6b =；lg 0.6c =，则实数a ，b ，c 的大小关系为A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别确定a ，b ，c 的范围，即可得出结果. 【解析】因为0.202.1 2.11a =>=，0.4000.60.61b <=<=，lg 0.6lg10c =<=， 所以c b a >>．故选A ．【名师点睛】本题主要考查对数与指数比较大小的问题，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型．7．【陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测二】已知 ， ， 分别是方程 ， ， 的实数解，则 A ． B ． C ．D ．【答案】B【分析】将函数 ， ， ， 画在同一坐标系中，可知图象的交点就是方程的根． 【解析】根据题干要求得到，在同一坐标系中画出函数 ， ， ， 四个函数图象，如下图：方程的根就是两个图象的交点，根据图象可得到： ．故选B ． 8．【陕西省渭南市2019届高三二模】设0.20.321(),log 3,22a b c -===，则A ．b c a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【分析】由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可．【解析】由题意可得：0.21()(0,1)2a =∈，2log 31b =>，0.30.312()(0,1)2c -==∈，指数函数1()2x y =单调递减，故0.20.311()()22>，综上可得b a c >>．故选C ．【名师点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9．【黑龙江省大庆市2019届高三第二次模拟】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】首先利用对数的运算性质，将 ， 化成同底的对数，再根据其单调性求得 ， 的大小，之后再利用中介值1，得到 ， ， 的大小，从而求得结果．【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ，故选C ． 【名师点睛】本题考查的是有关对数值与指数幂的大小比较的问题，涉及到的知识点有对数式的运算性质，利用对数函数的单调性比较对数值的大小，利用中介值比较对数值与指数幂的大小，属于简单题目．10．【重庆市西南大学附属中学校2019届高三第九次月考】已知0.42a =，0.29b =，3c =，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【分析】利用指数函数和幂函数的单调性即可判断出a ，b ，c 的大小关系． 【解析】0.42a =，0.20.493b ==，330.75433c ===，幂函数0.4()f x x =在(0,)+∞上单调递增，则0.40.423a b =<=，指数函数()3xg x =在(0,)+∞上单调递增，则0.40.7533b c =<=， 可得a b c <<，故选A ．11．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】设3log 6a =，5log 10b =，61log 2=+c ，则A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】D【分析】根据对数运算将,a b 变形为31log 2+和51log 2+，根据真数相同的对数的大小关系可比较出三个数之间的大小．【解析】333log 6log (32)1log 2a ==⨯=+；555log 10log (52)1log 2b ==⨯=+， 又356log 2log 2log 2>>，c b a ∴<<，故选D ．【名师点睛】本题考查利用对数函数的图象比较大小的问题，关键是能利用对数运算将三个数转化为统一的形式．12．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三)数学试题】设0.321log 0.6,log 0.62m n ==，则 A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+【答案】A【解析】0.30.3log 0.6log 10,m =>= 2211log 0.6log 10,22n =<= 0mn <， 0.60.611log 0.3log 4m n +=+ 0.60.6log 1.2log 0.61=<=，即1m n mn +<，故m n mn +>． 又()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+．故m n m n mn ->+>，故选A ．【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题．13．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞- C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A【解析】函数22()log (34)f x x x =--，则2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，故函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，由2log y x =是单调递增函数，可知函数()f x 的单调减区间即234y x x =--的单调减区间，当3(,)2x ∈-∞时，函数234y x x =--单调递减，结合()f x 的定义域，可得函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为(,1)-∞-．故选A ．【名师点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下，去找单调区间．。

不等式选讲11 1 23 (a ＋b ) ( a b) (a 2＋b 2)1．若 f (x )＝log x ，R ＝f ，S ＝f，T ＝f，a ，b 为正实数，则 R ，S ，T 的大小关系为( )A ．T ≥R ≥SB ．R ≥T ≥SC ．S ≥T ≥RD ．T ≥S ≥R2 2 1 242 2 解析 ∵a ，b 为正实数，∴≤＝ ， ＝ ≤≤＝ a ＋b2 abab a ＋b a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 22 a 2b 21，ab1∵f (x )＝log x 在(0，＋∞)上为增函数，321R ＝f (a ＋b )，S ＝f ( a b )，2T ＝f(a2＋b 2)，∴T ≥R ≥S .答案 A2．已知函数 f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|.(1)试求使等式 f (x )＝|2x ＋1|成立的 x 的取值范围；(2)若关于 x 的不等式 f (x )<a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．－2x －1，x ≤ －5，解(1)f (x )＝|x －4|＋|x －5|＝{2x ＋1，x ≥ 4.)9，－5 < x < 4，1－2x －1，x ≤ － ，2又|2x ＋1|＝{，)1 2x ＋1，x >2所以若 f (x )＝|2x ＋1|，则 x 的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞)． (2)因为 f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|≥|(x －4)－(x ＋5)|＝9，所以若关于 x 的不等式 f (x )<a 的解集非空，则 a >f (x )min ＝9，即 a 的取值范围是(9，＋∞)． 3．已知函数 f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)试求 f (x )的值域；ax 2－3x ＋3(2)设 g (x )＝ (a >0)，若任意 s ∈(0，＋∞)，任意 t ∈(－∞，＋∞)，恒有 g (s )≥f (t )x成立，试求实数a的取值范围．解(1)函数可化为1－3，x< －2，f(x)＝{3，x> 1. )2x＋1，－2 ≤x≤1，∴f(x)∈[－3，3]．ax2－3x＋3 3(2)若x>0，则g(x)＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g(x)min＝2 －3，3a3ax x又由(1)知f(x)max＝3.若∀s∈(0，＋∞)，∀t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，则有g(x)min≥f(x)max，∴2 3a－3≥3，∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．4．设不等式|x－2|>1的解集与关于x的不等式x2－ax＋b>0的解集相同．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)＝a x－3＋b5－x的最大值，以及取得最大值时x的值．5．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)>2的解集；综上所述，不等式f(x)>2的解集为{x|x>1或x<－5}．5 11(2)易得f(x)min＝－，若∀x∈R都有f(x)≥t2－t恒成立，2 25 11t 则只需f(x)min＝－≥t2－，2 21 解得≤t≤5.27．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是()A．a＜－1或a＞3 B．a＜0或a＞3C．－1＜a＜3 D．－1≤a≤32解析 |x －1|＋|x －3|的几何意义是数轴上与 x 对应的点到 1、3对应的两点距离之和，故它 的最小值为 2，∵原不等式解集为∅，∴a 2－2a －1＜2. 即 a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3. 故选 C. 答案 C18．设 f (x )＝ x 2－bx ＋c ，不等式 f (x )<0的解集是(－1，3)，若 f (7＋|t |)>f (1＋ t 2)，则实a 数 t 的取值范围是________．1解析 ∵ x 2－bx ＋c <0的解集是(－1，3)，a 1 1 1∴ >0且－1，3 是 x 2－bx ＋c ＝0的两根，则函数 f (x )＝ x 2－bx ＋c 图象的对称轴方程为 x ＝a a a ab＝1， 2且 f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 又∵7＋|t |≥7>1，1＋t 2≥1， 则由 f (7＋|t |)>f (1＋t 2)， 得 7＋|t |>1＋t 2， 即|t |2－|t |－6<0， 亦即(|t |＋2)(|t |－3)<0， ∴|t |<3，即－3<t <3. 答案 (－3，3)9．已知函数 f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|.(1)试求使等式 f (x )＝|2x ＋1|成立的 x 的取值范围；(2)若关于 x 的不等式 f (x )<a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围．－2x －1，x ≤ －5，解(1)f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|＝{2x ＋1，x ≥ 4.)9，－5 < x < 4，1－2x －1，x ≤ － ，2又|2x ＋1|＝{，)1 2x ＋1，x >2所以若 f (x )＝|2x ＋1|，则 x 的取值范围是(－∞，－5]∪[4，＋∞) ． (2)因为 f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|≥|(x －4)－(x ＋5)|＝9， ∴f (x )min ＝9.所以若关于x的不等式f(x)<a的解集非空，则a>f(x)min＝9，即a的取值范围是(9，＋∞)．310．已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.(1)试求f(x)的值域；ax2－3x＋3(2)设g(x)＝(a>0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)x成立，试求实数a的取值范围．解(1)函数可化为－3，x< －2，f(x)＝{3，x> 1. )2x＋1，－2 ≤x≤1，∴f(x)∈[－3，3]．ax2－3x＋3 3(2)若x>0，则g(x)＝＝ax＋－3≥23a－3，即当ax2＝3时，g(x)min＝2 3a－3，x x又由(1)知f(x)max＝3.若∀s∈(0，＋∞)，∀t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，则有g(x)min≥f(x)max，∴2 3a－3≥3，∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．11．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．112．设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0)．a(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．1 1 1(1)证明由a>0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.a a a41(2)解 f (3)＝|3＋ |＋|3－a |.a 1当 a >3时，f (3)＝a ＋ ，a 5＋ 21由 f (3)<5得 3<a < .21当 0<a ≤3 时，f (3)＝6－a ＋ ，a1＋ 5由 f (3)<5得 ＜a ≤3.21＋ 5 5＋ 21综上，a 的取值范围是(2 ). ， 213．已知函数 f (x )＝|x －a |，其中 a >1.(1)当 a ＝2时，求不等式 f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于 x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2 的解集为{x |1≤x ≤2}，求 a 的值．－2x ＋6，x ≤ 2，解(1)当 a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝{2x －6，x ≥ 4.)2，2 < x < 4，当 x ≤2 时，由 f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4， 解得 x ≤1； 当 2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当 x ≥4 时，由 f (x )≥4－|x －4|得 2x －6≥4，解得 x ≥5； 所以 f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1 或 x ≥5}． (2)记 h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，－2a ，x ≤ 0，则 h (x )＝{2a ，x ≥ a .)4x －2a ，0 < x < a ，由|h (x )|≤2， a －1 a ＋1 解得 ≤x ≤ . 2 2a －1＝1，2又已知|h (x )|≤2 的解集为{x |1≤x ≤2}，所以{＝2，)于是 a ＝3. a ＋1214．已知函数 f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且 f (x ＋3)≥0 的解集为[－1，1]． (1)求 k 的值；1 1 1(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1.ka2kb3kc求证：a＋2b＋3c≥9.(1)解：∵f(x)＝k－|x－3|，5∴f(x＋3)≥0等价于|x|≤k，由|x|≤k有解，得k≥0，且解集为[－k，k]．∵f(x＋3)≥0的解集为[－1，1]．因此k＝1.1 1 1( 2)证明：由(1)知＋＋＝1，∵a，b，c为正实数．a2b3c1 1 1 a2b a3c2b3c a2b ∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＝3＋＋＋≥3＋2 ＋＋3c)(a)(＋2b)·＋＋a)(＋a2b2b3c3c2b aa3c2b3c2 ·＋2 ·＝9.3c a3c2b当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.15．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．(2)原不等式等价于|x－4|－|x－2|≥|x＋a|，②当1≤x≤2时，②式化为4－x－(2－x)≥|x＋a|，解之得－2－a≤x≤2－a.由条件，[1，2]是f(x)≤|x－4|的解集的子集，∴－2－a≤1且2≤2－a，则－3≤a≤0.故满足条件的实数a的取值范围是[－3，0]．16．已知正实数a，b满足：a2＋b2＝2 ab.1 1(1)求＋的最小值m；a b1(2)设函数f(x)＝|x－t|＋|x＋t|(t≠0)，对于(1)中求得的实数m是否存在实数x，使得f(x)m＝成立，说明理由．2解：(1)∵2ab＝a2＋b2≥2ab，6∴ab≥ab(a>0，b>0)，则ab≤1，1 1 2又＋≥≥2，a b ab当且仅当a＝b时取等号，1 1∴＋的最小值m＝2.a b1(2)函数f(x)＝|x－t|＋|x＋t|≥1 1 1|(x＋t)－（x－t）||＋t||t|＝＝|t|＋≥2，tm 对于(1)中的m＝2，＝1<2.2∴满足条件的实数x不存在．7。

专题29 常见不等式的解法【热点聚焦与扩展】高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等);一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算.相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大.本专题以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。

（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式:()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可-—关键点：图象与x 轴的交点 2、高次不等式(1）可考虑采用“数轴穿根法",分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图象,()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分 ()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分(2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式 3、分式不等式(1)将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式（2)分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠ （3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()0f x g x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积）,进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式 (1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种:一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论(常用）；二是通过平方(3）若不等式满足以下特点,可直接利用公式进行变形求解： ① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同 ② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法:(1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析,例如：a b a c b c >⇒+>+，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上c ）,将相同的变换视为一个函数，即设()f x x c =+，则()(),a c f a b c f b +=+=,因为()f x x c =+为增函数,所以可得：()()a b f a f b >⇔>，即a b a c b c >⇒+>+成立,再例如：0,0,c ac bca b c ac bc >>⎧>⇒⎨<<⎩，可设函数()f x cx =，可知0c >时，()f x 为增函数，0c <时，()f x 为减函数，即()()()()0,0,c f a f b a b c f a f b >>⎧⎪>⇒⎨<<⎪⎩由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。

2019年考试大纲解读10 不等式、推理与证明（十三）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4．基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（十八）推理与证明1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. （2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 3．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.这部分内容与2018考纲相比没有什么变化，主要以客观题的形式出现，命题方向如下:不等式的命题方向为：（1）选择题、填空题中以简单的线性规划、不等式的性质为主，有时也与其他知识相交汇，试题难度中等；（2）解答题中通常以其他知识为主，结合不等式的相关知识或有关不等式问题的证明等，试题难度中等偏上.推理与证明的命题方向为：（1）选择题或填空题中常将有关归纳方法的应用与其他知识相交汇，有时以数学文化为背景，试题难度中等；（2）解答题中通常以其他知识为主，通过推理与证明来解决相关问题，注意反证法的应用，试题难度中等或中等偏上.考向一 解不等式样题1 （2018新课标全国Ⅲ理科）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，，，,即，又，，即，故选B.考向二 一元二次不等式的解法ð样题2 （2018新课标全国Ⅰ理科）已知集合，则A=RA．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故选B．样题3 若不等式的解集为,则不等式的解集为A．或B．C ．D．或【答案】B考向三目标函数的最值问题样题4（2018新课标I理科）若x，y满足约束条件，则32=+的最大值为z x y_____________．【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+可得，画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2z的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由，解得()2,0B ，此时，故答案为6.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.样题5 已知,x y 满足，则的取值范围是A ．121,812⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．121,732⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]65,73 D ．[]65,81【答案】A【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数表示点()3,4P -- 与可行域内点的距离的平方，点P 到直线4x y +=的距离：，点P 到坐标原点的距离加上半径：，则目标函数的取值范围是121,812⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选A ．考向四利用线性规划解决实际问题样题6某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为A．14000元B．16000元C．16000元D．20000元【答案】A【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：学-科网设该公司一天内安排生产产品吨、产品吨，所获利润为元，依据题意得目标函数为，约束条件为,欲求目标函数的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点，，，，作直线，当移动该直线过点时，取得最大值，则也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故.所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.选A．考向五 推理样题7 （2017新课标全国Ⅱ理科）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D考向六 数学归纳法样题8 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n =0有一根为S n －1(n ∈N *)． （1）求a 1，a 2；（2）猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．【解析】（1）当n =1时，方程x 2－a 1x －a 1=0有一根为S 1－1=a 1－1， ∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1=0，解得a 1=12.当n =2时，方程x 2－a 2x －a 2=0有一根为S 2－1=a 1+a 2－1=a 2－12，∴⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2=0，解得a 2=16.下面用数学归纳法证明这个结论． ①当n =1时，结论成立．②假设n =k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k =kk ＋1，当n =k +1时，S k +1=12－S k=12－k k ＋1=k ＋1k ＋2=1(1)1k k +++. 即当n =k +1时结论成立．由①②知S n =nn ＋1对任意的正整数n 都成立．。