【新】2019-2020学年度九年级数学上册第二十一章21-2解一元二次方程21-2-1配方法备课资料教案新版新人教版

第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法学习目标1.掌握用因式分解法求一元二次方程的解.2.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题.学习过程一、设计问题,创设情境1.我们已经学过了几种求一元二次方程的解的方法?2.分解因式有几种方法?二、信息交流,揭示规律根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x秒物体离地高度(单位:米)为10x-4.9x2,你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01 s)10x-4.9x2=0①x(10-4.9x)=0x=0,10-4.9x=0,②x1=0,x2≈2.04归纳:如果a·b=0,那么或.可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开方降次,而是先使方程化为两个等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.三、运用规律,解决问题1.小试牛刀:x2-4=0.2.解方程(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x-=x2-2x+.3.因式分解法解方程的步骤:(1)方程右边化为.(2)将方程左边分解成两个的乘积.(3)至少因式为零,得到两个一元一次方程.(4)两个就是原方程的解.四、变式训练,深化提高1.直接回答出下列各方程的根分别是多少.(1)x(x-2)=0;(2)(y+2)(y-3)=0;(3)(3x+2)(2x-1)=0;(4)x2=x.2.下面的解法正确吗?如果不正确,错在哪里?解方程(x-5)(x+2)=18解:原方程化为(x-5)(x+2)=3×6由x-5=3,得x=8;由x+2=6,得x=4.∴原方程的解为x1=8或x2=4.3.比一比,看谁算得又快又准确:(课本第14页练习题第1题)(1)x2+x=0;(2)x2-2x=0;(3)3x2-6x=-3;(4)4x2-121=0;(5)3x(2x+1)=4x+2;(6)(x-4)2=( 5-2x)2.4.试一试:把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.五、反思小结,观点提炼本节课你学会了哪些新知识?1.数学思想:2.用因式分解法求“ab=0型”方程的步骤是什么?3.做题中还有什么收获?参考答案 一、设计问题,创设情境1.直接开平方法,配方法,公式法.2.(1)提取公因式法:am+bm+cm=m (a+b+c );(2)公式法:a 2-b 2=(a+b )(a-b ),a 2+2ab+b 2=(a+b )2;( )“x 2+(a+b )x+ab ”型:x 2+(a+b )x+ab=(x+a )·(x+b ).二、信息交流,揭示规律 a=0 b=0 因式分解 一次式的乘积三、运用规律,解决问题1.解:(x+2)(x-2)=0,x+2=0或x-2=0,∴x 1=-2,x 2=2.2.(1)x 1=2,x 2=-1.(2)x 1=- 2;x 2= 2.3.(1)0 (2)因式 (3)一个 (4)一元一次方程的解四、变式训练,深化提高1.(1)x 1=0,x 2=2;(2)y 1=-2,y 2=3;(3)x 1=-2 ,x 2= 2;(4)x 1=0,x 2=1.2.(x-5)(x+2)=18整理为x 2-3x-28=0,(x-7)(x+4)=0,x 1=7,x 2=-43.(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=2;(3)x1=x2=1;(4)x1=-2,x2=2;(5)x1=-2,x2=2;(6)x1=1,x2=3.(4)(6)两题也可以用直接开方法.4.解:设小圆形场地的半径为r.根据题意,得(r+5)2π=2×r2π,(r+5)2=2r2,∴r1=5+52,r2=5-52<0(舍).∴小圆形场地的半径为(5+52)m.。

程21.2.3因式分解法教案2 （全国通用版）01 教学目标1．会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程．2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．02 预习反馈1．因式分解：x 2－x ＝x(x －1)．方程x 2－x ＝0变形为x(x －1)＝0，所以x ＝0或x －1＝0，所以原方程的解为x 1＝0，x 2＝1．2．因式分解：(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝(x ＋1)(x －3)．解一元二次方程(x ＋1)(x －1)＝2(x ＋1)，移项得(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，左边因式分解得(x ＋1)(x －3)＝0，所以x ＋1＝0或x －3＝0，所以原方程的解为x 1＝－1，x 2＝3．03 新课讲授类型1 用因式分解法解一元二次方程例1 (教材P14例3)解下列方程：(1)x (x －2)＋x －2＝0；(2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34. 【解答】 (1)因式分解，得(x －2)(x ＋1)＝0.于是得x －2＝0，或x ＋1＝0.x 1＝2，x 2＝－1.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0.因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0.于是得2x ＋1＝0，或2x －1＝0，x 1＝－12，x 2＝12.程21.2.3因式分解法教案2 （全国通用版）【方法归纳】 利用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边进行因式分解；③令每个因式为0，得到两个一元一次方程；④解一元一次方程，得到方程的解．【跟踪训练1】 用因式分解法解下列方程：(1)(2＋x)2－9＝0； (2)3x(x －2)＝2(x －2)．解：(1)(x ＋5)(x －1)＝0，x 1＝－5，x 2＝1.(2)原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)＝0，即(3x －2)(x －2)＝0，解得x 1＝23，x 2＝2.类型2 用合适的方法解一元二次方程例2 (教材补充例题)选择合适的方法解一元二次方程：(1)4(x －5)2＝16；(2)3x 2＋2x －3＝0；(3)x 2＋2x ＋3(x ＋2)＝0.【思路点拨】 根据方程的不同特点选取最简便的方法．(1)可以用直接开平方法；(2)可以用公式法；(3)可以用因式分解法．【解答】 (1)(x －5)2＝4，∴x －5＝±2，∴x 1＝7，x 2＝3.(2)∵b 2－4ac ＝22－4×3×(－3)＝4＋36＝40，程21.2.3因式分解法教案2 （全国通用版）∴x ＝－2±402×3，∴x 1＝－1＋103，x 2＝－1－103. (3)原式可化为(x ＋2)(x ＋3)＝0，∴x ＋2＝0或x ＋3＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－ 3.【方法归纳】 解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，其中直接开平方法和因式分解法较为简便，但是不适用于所有方程，配方法和公式法可适用于所有方程，所以先考虑直接开平方法和因式分解法，再考虑配方法和公式法．【跟踪训练2】 用合适的方法解下列方程：(1)5x 2－4x －1＝0；(2)x 2＋2x －3＝0.解：(1)x 1＝1，x 2＝－15.(2)x 1＝1，x 2＝－3.04 巩固训练1．方程x(x －1)＝x 的根是(D )A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x 1＝－2，x 2＝0D ．x 1＝2，x 2＝02．一元二次方程(x －2)2＝x －2的解是x 1＝2，x 2＝3．3．(21.2.3习题)用适当的方法解下列方程：(1)2(x ＋1)2＝4.5；解：(x ＋1)2＝2.25.x ＋1＝±1.5.∴x 1＝0.5，x 2＝－2.5.(2)x 2＋4x －1＝0；程21.2.3因式分解法教案2 （全国通用版）解：(x ＋2)2＝5.x ＋2＝± 5.∴x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5. (3)3x 2＝5x ； 解：3x 2－5x ＝0.x (3x －5)＝0.x ＝0或3x －5＝0.∴x 1＝0，x 2＝533.(4)4x 2＋3x －2＝0.解：a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.∴x ＝－3±412×4＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418.05 课堂小结1．用因式分解法解一元二次方程的步骤．2．选择合适的方法解一元二次方程．【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】程21.2.3因式分解法教案2 （全国通用版）。

一元二次方程应用利用一元二次方程可以：一、一元二次方程主要是解决实际问题：主要解决：1、传播、分支问题；握手、写信，循环比赛问题；2、平均变化率问题；3、数字问题；4、利润问题；5、图形的面积问题；5、利润问题；6、方案设计问题等。

二、解分式方程（成平方关系、成倒数关系）三、对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解：一、相互问题（传播、循环）例：（传染问题）有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？练习：1.有两人患了红眼病，经过两轮传染后共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。

列得方程：解得：x=2.某人患了流感,经过两轮传染后共64人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人?（2）如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?3.某电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮传播后就会有144台电脑被感染，设每轮传染中平均一台电脑传染x台电脑，则依题意可列方程为______________-4.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( ) A．1331 B．1210 C．1100 D．1000问题2：（分蘖问题）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？练习：为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定利用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=______．解：类型二：“握手”、“比赛”、“赠礼物”1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。

21.2.5解一元二次方程-换元法学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共15小题）1．已知方程x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.52．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或23．已知x、y都是实数，且（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，那么x2+y2的值是（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或34．已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=2，x2=6 D．x1=﹣2，x2=﹣65．如果（x+2y）2+3（x+2y）﹣4=0，那么x+2y的值为（）A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或36．已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3 B．﹣3或1 C．1 D．﹣1或37．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）=0，则x2+y2的值为（）A．1 B．2 C．2或﹣1 D．2或﹣28．若实数x、y满足（x+y﹣3）（x+y）+2=0，则x+y的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或﹣2 D．1或29．已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4 B．x1=﹣1，x2=﹣4 C．x1=﹣1，x2=4 D．x1=1，x2=410．设（x2+y2）（x2+y2+2）﹣15=0，则x2+y2的值为（）A．﹣5或3 B．﹣3或5 C．3 D．511．（m2+n2）（m2+n2﹣2）﹣8=0，则m2+n2=（）A．4 B．2 C．4或﹣2 D．4或212．用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣113．若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8=0，那么x2+2x的值为（）A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣414．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或315．若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1二．填空题（共5小题）16．若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．17．设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且（x2+y2）（x2+y2﹣1）=20，则这个直角三角形的斜边长为．18．已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，则x2+y2的值是．19．若（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，则x2+y2﹣5= ．20．如果（m+n）（m+n+5）=6，则m+n= ．三．解答题（共4小题）21．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．22．（3x﹣2）2﹣5（3x﹣2）+4=0．23．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）=45，求x2+y2的值．24．阅读下面的材料，解答后面的问题材料：“解方程x4﹣3x2+2=0”解：设x2=y，原方程变为y2﹣3y+2=0，（y﹣1）（y﹣2）=0，得y=1或y=2当y=1时，即x2=1，解得x=±1；当y=2时，即x2=2，解得x=±综上所述，原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=．x4=﹣问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法（2）采用类似的方法解方程：（x2﹣2x）2﹣x2+2x﹣6=0．2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习：21.2.5解一元二次方程-换元法参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=﹣4，所以x1=﹣1，x2=﹣3.5．故选：A．2．解：设y=a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8=0，即（y﹣4）（y+2）=0，可得y﹣4=0或y+2=0，解得：y1=4，y2=﹣2，∴a2﹣b2=4或﹣2．故选：C．3．解：（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3=0，（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣3=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣1）=0，x2+y2﹣1=0，x2+y2=1，故选：B．4．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．5．解：设x+2y=a，则原方程变形为a2+3a﹣4=0，解得a=﹣4或a=1．故选C．6．解：由y=x2+3x，则（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式，得，（y+3）（y﹣1）=0，解得，y1=﹣3，y2=1，当x2+3x=﹣3时，经△=32﹣3×4=﹣3＜0检验，可知x不是实数当x2+3x=1时，经检验，符合题意．故选：C．7．解：设t=x2+y2，则t≥0，原方程变形为（t+2）（t﹣2）=0，解得：t=2或t=﹣2（舍去）．故选：B．8．解：t=x+y，则由原方程，得t（t﹣3）+2=0，整理，得（t﹣1）（t﹣2）=0．解得t=1或t=2，所以x+y的值为1或2．故选：D．9．解：设t=x+1，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为at2+at+c=0，因为方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，所以t1=2，t2=﹣3，当t=2时，x+1=2，解得x=1；当t=﹣3时，x+1=﹣3，解得x=﹣4，所以方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是x1=1，x2=﹣4．故选：A．10．解：设t=x2+y2，则原方程可化为t2+2t﹣15=0，∴t=x2+y2=3或t=x2+y2=﹣5，又∵t≥0，∴x2+y2=3．故选：C．11．解：设m2+n2=t（t≥0），由原方程，得t（t﹣2）﹣8=0，整理，得（t﹣4）（t+2）=0，解得t=4或t=﹣2（舍去），所以m2+n2=4．故选：A．12．解：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．13．解：设x2+2x=y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8=0，解得：y=4或﹣2，当y=4时，x2+2x=4，此时方程有解，当y=﹣2时，x2+2x=﹣2，此时方程无解，舍去，所以x2+2x=4．故选：B．14．解：设y=x2+x+1=y，则（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，可化为：y2+2y﹣3=0，分解因式得：（y+3）（y﹣1）=0，解得：y1=﹣3，y2=1，当x2+x+1=﹣3时，经△=12﹣4×1×4＜0检验，可知x不是实数，当x2+x+1=1时，经检验，符合题意．故选：A．15．解：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．二．填空题（共5小题）16．解：设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．17．解：设x2+y2=t，则原方程可化为：t（t﹣1）=20，∴t2﹣t﹣20=0，即（t+4）（t﹣5）=0，∴t1=5，t2=﹣4（舍去），∴x2+y2=5，∴这个直角三角形的斜边长为，故答案为：．18．解：（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12，（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣12=0，（x2+y2+3）（x2+y2﹣4）=0，x2+y2+3=0，x2+y2﹣4=0，x2+y2=﹣3，x2+y2=4，∵不论x、y为何值，x2+y2不能为负数，∴x2+y2=4，故答案为：4．19．解：设x2+y2+3=t∵（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8=0，∴t2﹣6t+8=0∴t=2或t=4当t=2时，x2+y2+3=2∴x2+y2=﹣1故t=2舍去当t=4时，x2+y2+3=4∴x2+y2=1∴原式=1﹣5=﹣4故答案为：﹣420．解：设m+n为x则（m+n）（m+n+5）=6变形为x（x+5）=6 移项去括号得x2+5x﹣6=0因式分解得（x+6）（x﹣1）=0解得x=1或﹣6即m+n=1或﹣6．三．解答题（共4小题）21．解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．22．解：设（3x﹣2）=y，原方程等价于y2﹣5y+4=0因式分解，得（y﹣4）（y﹣1）=0，于是，得y﹣4=0或y﹣1=0，解得y=4或y=1，3x﹣2=4，3x﹣2=1，解得x1=2，x2=1．23．解：设x2+y2=a，则a（a﹣12）=45，a2﹣12a﹣45=0，（a﹣15）（a+3）=0，a1=15，a2=﹣3，∵x2+y2=a≥0，∴x2+y2=15．24．解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．故答案是：C；（2）设x2﹣2x=y，原方程化为y2﹣y﹣6=0，整理，得（y﹣3）（y+2）=0，得y=3或y=﹣2当y=3时，即x2﹣2x=3，解得x=﹣1或x=3；当y=﹣2时，即x2﹣2x=2，解得x=1±综上所述，原方程的解为x1=﹣1，x2=3，x3=1+．x4=1﹣．。

第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法学习目标：1.经历求根公式的推导过程.2.会用公式法解一元二次方程.3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.重点：运用公式法解一元二次方程. 难点：一元二次方程求根公式的推导.一、知识链接如何用配方法解方程2x 2+4x -1=0?二、要点探究探究点1：求根公式的推导合作探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？问题1 用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0).解：移项，得ax 2+bx =－c ，二次项系数化为1，得x 2+ x =c a配方，得x 2+ x +( )2=( )2c a即(x +2b a)2=2244b aca ①问题2 对于方程①接下来能直接开平方解吗？要点归纳：∵a ≠0，∴4a 2>0.要注意式子b 2－4ac 的值有大于0、小于0和等于0三种情况. 探究点2：一元二次方程根的判别式22= b 2－4ac.练一练 按要求完成下列表格.4403x21103x x 10的值x 2+x =1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定例2 不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 3x 2+4x －3=0； (2) 4x 2=12x －9； (3) 7y =5(y 2+1).方法总结：现将方程变形为一般形式ax 2+bx +c =0，再根据根的判别式求解即可.例3 若关于x 的一元二次方程x 2+8x +q =0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是( ) A. q ≤4 B. q ≥4C. q <16D. q >16【变式题】二次项系数含字母若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A. k >－1 B. k >－1且k ≠0C. k <1D. k <1且k ≠0方法总结：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据根的判别式求字母的取值范围.【变式题】删除限制条件“二次”若关于x 的方程kx 2－2x －1=0有实数根，则k 的取值范围是( ) A. k ≥－1 B.k ≥－1且k ≠0C.k <1D.k <1且k ≠0探究点3：用公式法解方程由上可知，当≥0时，方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的实数根可写为242bb acxa的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.p11例2)用公式法解下列方程：(1) x 2－4x －7=0； (2) 2x 2－+1=0；(2) 5x 2－3x =x +1； (4) x 2+17=8x .要点归纳：公式法解方程的步骤： 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a ，b ，c 写出各项系数；3.计算：b 2－4ac 的值；4.判断：若b 2－4ac ≥0，则利用求根公式求出；若b 2－4ac <0，则方程没有实数根.1.不解方程，判断下列方程的根的情况．(1) 2x 2+3x －4=0； (2) x 2－x +14=0； (3) x 2－x +1=0.2.解方程：x 2+7x –18 = 0.3.解方程：(x －2) (1－3x ) = 6.4.解方程：2x 2－ + 3 = 0.5.（1）关于x的一元二次方程220x x m有两个实根，则m的取值范围是；（2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围.6.不解方程，判别关于x的方程22x kx k的根的情况.220能力提升：在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长.参考答案自主学习一、知识链接解：方程整理得212.2x x 配方，得23+12x .直接开平方，得6+12x ，∴12661122x x ，.课堂探究 二、要点探究探究点1：求根公式的推导问题1 b a b a 2b a 2ba问题2 不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况.探究点2：一元二次方程根的判别式两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根练一练 从上往下，从左到右依次为0，13，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不相等的实解析：原方程变形为x 2+x －1=0.∵b 2－4ac =1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.例2 解：（1）3x 2+4x －3=0，a =3，b =4，c =－3，∴b 2－4ac =42－4×3×(－3)=52＞0.∴方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为：4x 2－12x +9=0，∴b 2－4ac =(－12)2－4×4×9=0.∴方程有两个相等的实数根． （3）方程化为：5y 2－7y +5=0，∴b 2－4ac =(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根．例3 C 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即82－4q >0.解得q ＜16，故选C.【变式题】B 解析：方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0，即(－2)2+4k >0.又二次项系数不为0，可得k >－1且k ≠0，故选B.【变式题】A 思路分析：分k =0或k ≠0两种情况进行分类讨论. 探究点3：用公式法解方程例4 解：(1)a =1，b =－4，c =－7，b 2－4ac =(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)44211.221bb ac xa即12211211x x ，.(2)a =2，b =22，c =1，b 2－4ac =(22)2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即212422022222bb ac x x a. (3)方程化为5x 2－4x －1=0，a =5，b =－4，c =－1，b 2－4ac =(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不相等的实数根24(4)3646.22510bb ac xa 即12115x x ，. (4)方程化为x 2－8x +17=0，a =1，b =－8，c =17，b 2－4ac =(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根. 当堂检测1.解：(1)a =2，b =3，c =－4，b 2－4ac =32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不相等的实数根.(2)a =1，b =－1，c =14，b 2－4ac =(－1)2－4×1×14=0.方程有两个相等的实数根.(3)a =1，b =－1，c =1，b 2－4ac =(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根.2.解：这里a =1，b =7，c =－18，b 2－4ac =72－4×1×(－18)=121＞0.∴247121711.2212bb ac xa1292x x ，.3. 解：去括号，得x －2－3x 2+ 6x = 6，化为一般式为3x 2－7x + 8 = 0，这里a =3，b =－7，c =8，b 2－4ac =(－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根. 4.这里a =2，b =33，c =3，b 2－4ac =(33)2－4×2×3=3＞0. ∴24333.24bb acxa12332x x ，. 5.(1)m ≤1(2)解：化为一般式(m －1)x 2－2mx +m －2=0．Δ＝4m 2−4(m −1)(m −2)≥0，且m －1≠0，解得23m且m ≠1. 6.解：222222241844kk k k k ，∵20k ，∴240k ，∴0.∴方程有两个实数根.能力提升解：关于x 的方程x 2+(b +2)x +6－b =0有两个相等的实数根，所以Δ=b 2－4ac =(b －2)2－4(6－b )=b 2+8b －20=0.所以b =－10或b =2.将b =－10代入原方程得x 2－8x +16=0，x 1=x 2=4；将b =2代入原方程得x 2+4x +4=0，x 1=x 2=－2（舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13.第2章圆2.1 圆的对称性【知识与技能】1.通过观察实验操作,使学生理解圆的定义.2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.3.圆既是轴对称图形又是中心对称图形.4.点与圆的位置关系.【过程与方法】通过举出生活中常见圆的例子,经历观察画图的过程多角度体会和认识圆.【情感态度】结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.【教学重点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.【教学难点】圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.一、情境导入，初步认识圆是生活中常见的图形,许多物体都给我们以圆的形象.1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形.2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆,体验画圆的过程,想想圆是怎样形成的.【教学说明】学生很容易找出生活中关于圆的例子,通过画圆,有利于学生从直观形象认识上升到抽象理性认识.二、思考探究，获取新知1.圆的定义问题如教材P43图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？【教学说明】由于学生通过操作已经得出圆的定义，教师加以规范，有利于加深印象.如右图:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的圆形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”，读作“圆O”.注意:圆指的是圆周,不是圆面.【教学说明】使学生能准确地理解并掌握圆的定义.2.点与圆的位置关系一般地,设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d,则有（1）点P在⊙O内d＜r（2）点P在⊙O上d=r（3）点P在⊙O外d＞r3.与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(如:线段AB、AC)直径：经过圆心的弦(如AB)叫做直径.注:直径是特殊的弦,但弦不一定是直径.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.如图,以A、B为端点的弧记作,AB,读作:弧AB.注:①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.②大于半圆的弧,用三个点表示,如图中的ABC,叫做优弧.小于半圆的弧,用两个点表示,如图中的AC,叫做劣弧.等圆:能够重合的两个圆叫做等圆.注:半径相等的两个圆是等圆,反过来,同圆或等圆的半径相等.等弧:在等圆或同圆中,能够互相重合的弧叫等弧.注:①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.②等弧只存在于同圆或等圆中.【教学说明】结合图形,使学生准确地掌握与圆有关的概念,为后面的学习打下基础.4.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.（2）圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.【教学说明】上述两个结论是通过教材P44探究1、2而得出来的，教师应引导学生仔细体会，必要时可通过画图或折叠圆心纸片演示.思考车轮为什么做成圆形的?如果车轮不是圆的(如椭圆或正方形等),坐车人会是什么感觉?【分析】把车轮做成圆形,车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径,当车轮在平面滚动时,车轮中心与平面的距离保持不变.因此,车辆在平路上行驶时,坐车的人会感到非常平稳.如果车轮不是圆的,车辆在行驶时,坐车人会感觉到上下颠簸,不舒服.三、运用新知，深化理解1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心，2cm长为半径作圆，则点C（）A.在⊙A内B.在⊙A上C.在⊙A外D.可能在⊙A上也可能在⊙A外2.（1）以点A为圆心，可以画____个圆.(2)以已知线段AB的长为半径,可以画____个圆.(3)以A为圆心，AB长为半径,可以画___个圆.3.如图，半圆的直径AB=________.第3题图第4题图4.如图，图中共有____条弦.【教学说明】学生自主完成,加深对新学知识的理解和检测对圆的有关概念的掌握情况,对学生的疑惑教师及时指导,并进行强化.【答案】1.C 2.(1)无数(2)无数(3)1 3.22 4.2四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点,让学生大胆发言,进行知识提炼和知识归纳,对于某些概念性的知识,要结合图形加以区别和理解.1.布置作业:从教材“习题2.1”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生感受生活中圆的应用开始,到通过学生动手画圆,培养学生动手、动脑习惯,在操作过程中观察圆的特点,加深对所学知识的认识,并运用所学知识解决实际问题,体验应用知识的成就感,激发他们学习的兴趣.二次函数与一元二次方程的关系1.抛物线2283y x x =--与x 轴有______个交点，因为其判别式24b ac -=_____0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为_______．2.二次函数269y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为________．3.关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数25y mx mx m =++-与x 轴必然相交于 ______点，此时m =__________．4. 函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个5.关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（ ） Ａ．116m <-Ｂ．116m -≥且0m ≠ Ｃ．116m =- Ｄ．116m >-且0m ≠ 6.函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=的根的情况是（ ）Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个异号的实数根 Ｃ．有两个相等的实数根Ｄ．没有实数根7. 若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c8.已知抛物线21()3y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是h 和k 的值．9.已知函数22y x mx m =-+-． （1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点；（2）若函数y 有最小值54-，求函数表达式．10.已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC的面积为此二次函数的函数表达式．11.已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x 轴交于1(0)A x ，，212(0)()B x x x <，两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=的两根，且221210x x +=．（1）求A ，B 两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C 坐标；（3）在抛物线上是否存在着点P，使△PAB面积等于四边形ACMB面积的2倍，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．。