重庆市沙坪坝区南开中学高三上学期9月月考数学试卷(理科)有答案

重庆南开中学高2015级高三9月月考数学试题（理科）【试卷综析】注重基础知识，基本技能的考查，符合新课程标准和命题的意图及宗旨。

解答题中，梯度明显，考查的都是集合与函数中的基本概念和基本方法，在关注学生基本能力的考查的同时，仍然紧扣双基。

总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点，对教师的教和学生的学检测到位，同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励. 第1卷（选择题共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．已知集合}6,5,4,3,2,1{=U ，集合A={2,3}，集合B={3,5}，则)(B C A U ⋂=( )A. {2,3,5}B. {1,4,6) c.{}2 D.{5)【知识点】交、并、补集的混合运算.A1【答案解析】C 解析：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，∴CUB={1，2，4，6}，∴A∩（∁UB ）={2},所以C 正确.【思路点拨】集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，故CUB={1，2，4，6}，由此能求出A∩（∁UB ）．【题文】2．在复平面内，复数i iZ +=1 (其中i 是虚数单位）对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义.L4【答案解析】A 解析：解：∵复数 ===，∴复数对应的点的坐标是（ ，）∴复数 在复平面内对应的点位于第一象限， 故选A ．【思路点拨】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限【题文】3．函数2)1lg()(22++--=x x x x f 的定义域为( )A.),1()2,(+∞⋃--∞B. (-2,1)C.),2()1,(+∞⋃--∞D. (1,2) 【知识点】函数的定义域及其求法.B1【答案解析】D 解析：解：由题意得：，解得：1＜x ＜2， 故选：D ．【思路点拨】根据导数的性质，二次根式的性质得不等式，解出即可．【题文】4．函数6113)(-+-=x x f x 的零点所在区间是( )A.(O,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【知识点】函数零点的判定定理B9【答案解析】B 解析：解：∵f （0）=1﹣1﹣6＜0，f （1）=﹣＜0，f （2）=9﹣6﹣+1=4﹣＞0，∴函数f （x ）的零点在区间（1，2）能， 故选：B ．【思路点拨】分别求出f （0），f （1），f （2）的值，得出f （1）＜0，f （2）＞0，从而得出答案B【题文】5．若函数)10(log ≠>=a a x y a 且的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是( )【知识点】函数的图象.B1【答案解析】 B 解析：解:由题意可知图象过（3，1）， 故有1=loga3，解得a=3，选项A ，y=a ﹣x=3﹣x=（）x 单调递减，故错误； 选项B ，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C ，y=（﹣x ）3=﹣x3，其图象应与B 关于x 轴对称，故错误； 选项D ，y=loga （﹣x ）=log3（﹣x ），当x=﹣3时，y=1， 但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误． 故选：B ．【思路点拨】由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可 【题文】6．下列叙述正确的是( )A ．命题：R x ∈∃，使02sin 3<++x x 的否定为：R x ∈∀，均有02sin 3<++x x ．B ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则02≠xC ．己知N n ∈，则幂函数73-=n x y 为偶函数，且在),0(+∞∈x 上单调递减的充分必要条件为n = 1D ．函数x mx y -+=3log 2图像关于点(1，0)中心对称的充分必要条件为m = ±1【知识点】命题的真假判断与应用. A2【答案解析】C 解析：解：解：A ：命题：∃x ∈R ，使x3+sinx+2＜0的否定为：∀x ∈R ，均有x3+sinx+2≥0，故A 错误；B ：命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠0，故B 错误；C ：因为幂函数y=x3n ﹣7在x ∈（0，+∞）上单调递减，所以3n ﹣7＜0，解得n ＜，又n ∈N ，所以，n=0，1或2；又y=x3n ﹣7为偶函数，所以，n=1，即幂函数y=x3n ﹣7为偶函数，且在x ∈（0，+∞）上单调递减的充分必要条件为n=1，C 正确；D ：令y=f （x ）=log2，由其图象关于点（1，0）中心，得f （x ）+f （2﹣x ）=0，即log2+log2=log2=0，=1，整理得：m2+2m ﹣3=0，解得m=1或m=﹣3，当m=﹣3时，=﹣1＜0，y=log2不存在，故m=﹣3舍去，故m=1．所以，函数y=log2图象关于点（1，0）中心对称的充分必要条件为m=1，D 错误；故选：C ．【思路点拨】A ：写出命题：∃x ∈R ，使x3+sinx+2＜0的否定，判断即可； B ：写出命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题，判断即可； C ：依题意，可求得n=1，从而可判断其正误；D ：令y=f （x ）=log2，由其图象关于点（1，0）中心，得f （x ）+f （2﹣x ）=0，解得m=1，从而可判断其正误．【题文】7．函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=-0,0,)(22x x e x x e x f xx ，若)1(2)()(f a f a f ≤+-，则实数a 取值范围是( )A ．),1[]1,(+∞⋃--∞B ．[-1,0]C ．[0,1] D.[-1,1] 【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：函数f （x ）=，当a=0时，f （﹣a ）+f （a ）≤2f（1）即为2f （0）≤2f（1），即1≤e+1成立；当a ＞0时，﹣a ＜0，f （﹣a ）+f （a ）≤2f（1）即为2ea+2a≤2（e+1）， 令y=g （x ）=2ex+x ，y′=2ex+1＞0，则y=2ex+x 在R 上递增． 由g （a ）≤g（1）可得a≤1①当a ＜0时，﹣a ＞0，f （﹣a ）+f （a ）≤2f（1）即为2e ﹣a ﹣2a≤2（e+1）， 由y=g （x ）=2ex+x 在R 上递增，又g （﹣a ）≤g（1），即有﹣a≤1，即a≥﹣1② 由①②得实数a 取值范围是[﹣1，1] 故选D【思路点拨】讨论a=0，a ＞0，a ＜0，化简不等式，构造函数y=g （x ）=2ex+x ，运用导数判断单调性，再由单调性解不等式，最后求并集【题文】8．用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A .若}2,1{=A ，2{|23|}B x x x a =+-=，且|A-B|=1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C(S)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4【知识点】子集与交集、并集运算的转换A1【答案解析】A 解析：解：解：由|x2+2x ﹣3|=a 得：x2+2x ﹣3±a=0，a≥0；对于x2+2x ﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a ）＞0，∴方程x2+2x ﹣3±a=0至少有两个实数根，即集合B 至少含2个元素；∵|A ﹣B|=1，∴B 含3个元素；∴方程x2+2x ﹣3+a=0有二重根，∴△=4﹣4（﹣3+a ）=0，∴a=4； ∴S={4}，∴C （S ）=1． 故选A ．【思路点拨】先根据已知条件可判断出B 含3个元素，所以方程|x2+2x ﹣3|=a 有三个实根，进一步判断出方程x2+2x ﹣3+a=0有两个二重根，所以根据△=0即可求得a 的值，从而求出集合S ，这样便可判断出集合S 所含元素的个数【题文】9．己知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足：①)()2(x f x f =-；②)2()2(-=+x f x f ；③当]3,1[2,1∈xx时，2121)()(xxxfxf--，则f(2014)、f(2015)、 f(2016)满足( )A. f(2014)> f(2015)> f(2016)B. f(2016)> f(2015)> f(2014)C. f(2016)= f(2014)> f(2015)D. f(2016)= f(2014)< f(2015)【知识点】抽象函数及其应用B1【答案解析】C 解析：解：解：因为f（2﹣x）=f（x），所以该函数的对称轴为x=，由f（x+2）=f（x﹣2），令t=x﹣2，代入原式得f（t+4）=f（t），所以该函数周期为4，因为当x1，x2∈[1，3]时，＞0，所以该函数在[1，3]上是减函数．则f（2014）=f（4×503+2）=f（2），f（2015）=f（4×503+3）=f（3），f（2016）=f（4×504）=f（0）=f（2﹣0）=f（2）．所以f（2014）=f（2016）=f（2）＞f（3）=f（2015），故选：C．【思路点拨】①给出了函数的对称轴；②给出了周期；③确定了单调性，据此可以将给的函数值进行转化，最终变成[1，3]内的函数值再进行比较【题文】10．设函数f(x)对于所有的正实数x均有f(3x)=3f(x)，且)31(|2|1)(≤≤--=xxxf，则使得f(x)= f(2014)的最小的正实数x的值为( )A． 173 B．416 C．556 D． 589【知识点】抽象函数及其应用B1【答案解析】B 解析：解：解：因为f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），所以f（x）=3f（），所以f（2014）=3f（）=32f（）=…=，当n=6时，，所以f（2014）==37﹣2014=173，同理f（x）=3nf（）==，（n∈N*）当时，x=3n+1﹣173，n=6时，找的第一个符合前面条件的x=556；当时，x=3n+173，当n=5时找到最小的x=416符合前面条件．综上，当x=416时满足题意．故选B【思路点拨】实际上，此题类似于“周期函数”，只是这个“周期”是每次三倍增大变化的，要求其解析式，只需将x化归到[1，3]上即可．而与f（2014）相等的也不止一个，为此我们只需找到相应的那个区间即可求出来第II卷（非选择题，共100分）二. 填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．【题文】11．21324241279log6log-⎪⎭⎫⎝⎛+--= ．【知识点】对数的运算性质B7【答案解析】-6 解析：解：=（log26﹣log23）﹣9+2=1﹣9+2=﹣6．故答案为：﹣6．【思路点拨】利用对数和指数的性质和运算法则求解【题文】12．定义在R上的函数)(xf满足,2)1(),,(2)()()(=∈++=+fRyxxyyfxfyxf，则)3(-f=__ __．【知识点】抽象函数及其应用B1【答案解析】 6解析：解：由题意可知：f（1）=f（0+1）=f（0）+f（1）+2×0×1=f（0）+f（1），∴f（0）=0．f（0）=f（﹣1+1）=f（﹣1）+f（1）+2×（﹣1）×1=f（﹣1）+f（1）﹣2，∴f（﹣1）=0．f（﹣1）=f（﹣2+1）=f（﹣2）+f（1）+2×（﹣2）×1=f（﹣2）+f（1）﹣4，∴f（﹣2）=2．f（﹣2）=f（﹣3+1）=f（﹣3）+f（1）+2×（﹣3）×1=f（﹣3）+f（1）﹣6，∴f（﹣3）=6．故答案为：6．【思路点拨】本题是抽象函数及其应用类问题．在解答时，首先要分析条件当中的特殊函数值，然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化，例如结合表达式的特点1=0+1等，进而问题即可获得解答．【题文】13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--=)2()2()20()1(1)(2x x f x x x f ，若关于x 的方程)0()(>=k kx x f 有且只有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是__ __．【知识点】函数的零点与方程根的关系B9【答案解析】（，） 解析：解：令g （x ）=kx （k ＞0）， 则方程f （x ）=kx （k ＞0）有且只有四个不相等的实数根可转化为 函数f （x）与g （x ）有且只有四个交点；作出函数f （x ）= 的图象如下图，当与第二半圆相切时，有3个交点，此时，k==，当与第三半圆相切时，有5个交点，此时，k==，则实数k 的取值范围为（，）．故答案为：（，）．【思路点拨】令g （x ）=kx （k ＞0），将方程的解的个数化为函数交点的个数，作出函数f（x）=的图象，从图象中得到实数k的取值范围考生注意：14、15、1.6为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．【题文】14.如图，AB是半圆O的直径，∠BAC =30°，BC为半圆的切线，且BC= 43，则点O到AC的距离OD= __．【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定N1【答案解析】3 解析：解：过O做AC的垂线，垂足是D，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵OD⊥AC，在△ABC与△ADO中，∴∠ADO=90°，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADO，∴；在△ABC中，∠BAC=30°，∴AC=2BC=8 ，AB==12，∴OA=6=BO，∴OD=．故答案为：3【思路点拨】首先过O作AC的垂线段OD，再利用两个角对应相等得到三角形相似，利用三角形相似的性质得到比例式，根据直角三角形中特殊角的三角函数，求出O到AC的距离【题文】15．已知直线l的参数方程是)(211为参数ttytx⎩⎨⎧-=+=，曲线C的极坐标方程是ρ=2，若直线l与曲线C相交于A，B两点，则|AB|= __．【知识点】参数方程化成普通方程N3【答案解析】解析：解：由直线的参数方程得2x+y﹣3=0．由曲线C的极坐标方程是ρ=2，得x2+y2=4，半径r=2，∴圆心（0，0）到直线的距离d=，∴|AB|=故答案为：【思路点拨】首先，将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，根据圆中的弦长公式进行求解【题文】16．已知集合}9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,614{+∞∈-+=∈=t t t x R x B ，则集合 B A ⋂= __．【知识点】交集及其运算A1【答案解析】{x|﹣2≤x≤5} 解析：解：解：集合A={x ∈R||x+3|+|x ﹣4|≤9}，所以A={x|﹣4≤x≤5}； 集合，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x≥﹣2}所以A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5} 故答案为：{x|﹣2≤x≤5}【思路点拨】求出集合A ，求出集合B ，然后利用集合的运算法则求出A∩B三.解答题：本大题6个小题，共75分。

重庆市高三上学期数学9月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）已知m，n是不同的直线，是不重合的平面，下列命题正确的是（）A . 若，则m平行于平面内的任一条直线B . 若则C . 若则D . 若，则2. （2分） (2018高一上·盘锦期中) 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A . ［-1，0）B . （1，2］C . （1，＋∞）D . （2，＋∞）3. （2分）若对任意实数都有，且，则实数的值等于（）A .B . －1或3C .D . －3或14. （2分） (2018高三上·凌源期末) 已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点且倾斜角为的直线与拋物线交于两点，若，垂足分别为，则的面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2017高二上·汕头月考) 函数的定义域是________．6. （1分）(2018·安徽模拟) 设为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线、之间的距离，记作 .若：，：，则 ________．7. （1分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩∁UB=________ ．8. （1分）已知α是第三象限角，，则sinα=________9. （1分）某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：树干周长（单位：cm）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）株数418x6则x的值为________；若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．则排查的树木恰好为2株的概率为________．10. （1分） (2016高三上·崇明期中) 已知无穷等比数列{an}的前n项和Sn= +a（n∈N*），且a是常数，则此无穷等比数列的各项和为________．（用数值作答）11. （1分）在行列式中，元素a的代数余子式值为________ ．12. （1分） (2017高二上·定州期末) 如图，过椭圆上顶点和右顶点分别作圆的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是________．13. （1分） (2018高二下·揭阳月考) 已知变量满足条件则的最小值是________．14. （1分） (2019高二上·宁波期中) 已知正方体的棱长为1，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于________．15. （1分）已知函数f（x）= ，若函数h（x）=f（x）﹣x﹣a在区间[﹣2，4]内有3个零点，则实数a的取值范围是________．16. （1分）(2018·鞍山模拟) 已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分） (2019高二下·赤峰月考) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，，，，．（1）求证：平面PCA⊥平面PCD；（2）设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角的余弦值．18. （10分） (2018高一上·烟台期中) 已知函数，．（1）当时，取得最大值，求实数m的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值．19. （5分）在△ABC中，cosA=-， cosB=．（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）设BC=5，求△ABC的面积．20. （15分） (2017高二上·莆田月考) 如图所示，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且，（1）求证：点的坐标为；（2）求证：；（3）求面积的最小值.21. （15分） (2018高二上·北京期中) 已知：等差数列{ }的公差d≠0， =1，且a2、a3、a6成等比数列（I）求{ }的通项公式；（II）设数列{ }的前n项和为，求使 >35成立的n的最小值.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、。

2020年9月重庆南开中学2021届高三上学期9月月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A y y ==,111B x x ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,则A B ⋂=（ ）． A ．(]1,1- B ．[)1,1- C ．()0,+∞ D ．[]0,1 2．已知()()1i i 0a a +->（i 为虚数单位）,则实数a 等于（ ）．A ．1B ．1-C ．1±D ．03．命题“0x ∀>,()ln 1x x +<”的否定是（ ）．A ．0x ∀>,均有()ln 1x x +≥B ．0x ∀≤,均有()ln 1x x +≥C ．00x ∃>,使得()00ln 1x x +≥D ．00x ∃≤,使得()00ln 1x x +≥ 4．下列函数中,值域为[)0,+∞且在定义域上为单调递增函数的是（ ）．A ．()2ln 1y x =+B ．34y x =C ．2x x y e e -=+-D ．2121x x y -=+ 5．已知函数()2x f x e x =--,则下列区间中含()f x 零点的是（ ）．A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()f x6．已知()()()ln 1ln 1f x x x =++-,若()()21f a f a -<,则实数a 的取值范围为（ ）．A ．()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,00,3⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象,人们在泉口吼叫或发出其他声音时,声波传入泉洞内的储水池,进而产生“共鸣”等物理声学作用,激起水波,形成涌泉。

声音越大,涌起的泉水越高。

已知听到的声强m 与标准声调0m （0m 约为1210-,单位：2W m）之比的常用对数称作声强的声强级,记作L （贝尔）,即0lg m L m =,取贝尔的10倍作为响度的常用单位,简称为分贝。

南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道 题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过 测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。

甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜ 皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以 而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。

重庆南开中学高2015级高三9月月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，且→→⊥b a ，则=x （ ） A ．21-B ．1-C ．5D ．0【答案】D考点：向量垂直的条件． 2.函数234y x x =--+的定义域为（ ）A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]- 【答案】C 【解析】 试题分析：由1114104310430122<<-⇒⎩⎨⎧<<-->⇒⎩⎨⎧<-+->⇒⎩⎨⎧>+-->+x x x x x x x x x ，故选C ． 考点：函数的定义域．3.已知命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，则下列命题：①p 或q ；②p 且q ；③p ⌝或q ；④p ⌝且q ；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，知p ⌝，q ⌝两个均为假命题，从而p 、q 均是真命题，故知①p 或q ；②p 且q ；③p ⌝或q 均为真命，故选C ． 考点：命题真假的判断．4.函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B考点：函数的零点．5.已知243.03.0,3log ,4log -===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c << 【答案】A 【解析】 试题分析：由于19.013.0,14log 3log 1log 0,01log 4log 24443.03.0>===<=<==<=-c b a ，故知c b a <<，所以选Ａ．考点：比较大小．6. ∆ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若15,10,60===a b A ，则cos =B （ ）A ．6 B ．6- C ．223 D ．223- 【答案】A考点：正弦定理．7.函数)80(1102)(2≤≤+++=x x x x x f 的值域为（ ）A ．]61,81[B ．]10,8[C ．]61,101[ D ．]10,6[ 【答案】D 【解析】试题分析：由于)80(,19)1(19)1()(2≤≤+++=+++=x x x x x x f ，令]9,1[1∈=+t x ，则有2229919t t t y t t y -=-='⇒+=，知y 在[]3,1上是减函数，在[]9,3上是增函数，所以10,6max min ==y y ，故知函数的值域为]10,6[，故选Ｄ．考点：函数的值域．8.已知⎩⎨⎧>+-≤-=02602)(2x x x x xx f ，则关于x 的不等式2(3)(2)-<f x f x 的解集为（ ） A ．)3,3(--B ．)1,3(-C ．),32()32,(+∞+--∞D ．),32()1,3(+∞+-【答案】D考点：１．分段函数；２．解不等式．9.已知21,x x 是关于x 的一元二次方程20++=ax bx c 的两根，若121<<x x ，则 2221212()++x x x x 的取值范围是（ ）A ．(5,)+∞B ．(1,)+∞C ．1(,)2+∞ D ．),41(+∞【答案】C 【解析】考点：１．一元二次不等式的根与系数的关系；２．基本不等式的性质及其变形应用．10.已知函数()3ln (1)=≥f x x x ，若将其图像绕原点逆时针旋转(0,)2πθ∈角后，所得图像仍是某函数的图像，则当角θ取最大值0θ时，0tan θ=（ ） A.3 B.3 C.3 D.3【答案】Ｃ 【解析】考点：１．函数的定义；２．函数的导数．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题纸上）11.已知集合}1)1(log |{21->-=x x A ，}2|{x y y B ==，则=B A C R )(___ __．【答案】),3[]1,0(+∞ 【解析】试题分析：由1)1(log 21->-x 得到31210<<⇒<-<x x ，即Ａ＝（１，３），从而),3[]1,(+∞-∞= A C R ，而Ｂ＝（０，＋∞），所以=B A C R )(),3[]1,0(+∞ ．考点：集合的运算．12.设:21(0)+<>p x m m ，0121:>--x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】(0,2]考点：充分条件和必要条件的应用 13.已知函数123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x ，则55(3)(3)22-++-=f f ___． 【答案】8 【解析】试题分析：由于123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x )41312111(4+++++++-=x x x x ，从而)231211211231(4)25(++++-+--=+-x x x x x f=+-++-+--+---=--)231211211231(4)25(x x x x x f )231211211231(4++++-+-+x x x x所以8)25()25(=--++-x f x f ，从而令3=x ，得8)325()325(=--++-f f ，故答案为：8． 考点：函数值的求法．考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． 14.如图，圆O 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ，则=∠DCB ______． OPDCBA【答案】45考点：与圆有关的比例线段．15.已知直线1:=+ny mx l 与曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ϕϕsin 21cos 21:y x C （ϕ为参数）无公共点，则过点),(n m 的直线与曲线θθρ222sin 9cos 436+=的公共点的个数为 .【答案】2考点：１．圆的参数方程；２．根的存在性及根的个数判断；３．简单曲线的极坐标方程．16.已知函数)0(1)(>-++=a a x x x f ，若不等式6)(≥x f 的解集为(,2][4,)-∞-+∞, 则a 的值为__________． 【答案】3 【解析】试题分析：函数f （x ）=|x+1|+|x-a |表示数轴上的x 对应点到-1和a 对应点的距离之和，由于不等式6)(≥x f 的解集为(,2][4,)-∞-+∞,所以数轴上的-2、4对应点到-1和a 对应点的距离之和正好等于6，故有⎩⎨⎧=-++=--++-64146212a a ，即31452=⇒⎩⎨⎧=-=+a a a ，故答案为：３． 考点：绝对值不等式的解法．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题13分）已知函数)(x f 对任意R x ∈满足0)()(=-+x f x f ，)1()1(+=-x f x f ，若当[0,1)∈x 时，b a x f x +=)(（0>a 且1≠a ），且21)23(=f ．（1）求实数b a ,的值；（2）求函数)()()(2x f x f x g +=的值域． 【答案】（1）1,41-==b a ；（2）]1621,41[-考点：１．函数的奇偶性；２．函数的周期性． 18.（本小题13分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上的点． （1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ；（2）若1,1,2===PA AC AB ，求二面角A PB C --的余弦值．【答案】（1）祥见解析；（2）46． 【解析】考点：１．平面与平面垂直的判定；２．二面角的平面角及其求法． 19.（本小题13分）在数列{}n a 中，122,511-+==-n n n a a a （*,2N n n ∈≥）． （1）求23,a a 的值；（2）是否存在常数λ，使得数列}2{nn a λ+是一个等差数列？若存在，求λ的值及}{n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）132=a ，333=a ；（2）12)1(,1+⋅+=-=nn n a λ．【解析】试题分析：（1）直接把n=２，3，代入a n =2a n -1+2n-1（n ∈N *，n ≥2），再注意a １=５，即可求出数列的前三项；考点：１．数列递推关系式的应用；２．等差关系的确定． 20.（本小题12分）设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过Q 点的直线l 交抛物 线于,A B 两点．（1）若直线l 的斜率为22，求证：0=⋅； （2）设直线,FA FB 的斜率分别为21,k k ，求21k k +的值． 【答案】（1）祥见解析；（2）０． 【解析】试题分析：（1）由点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系求出A ，B 两点的横坐标的和与积，写出向量FB FA ,的坐标，展开数量积后代入根与系数关系得答案； （2）设直线l 的方程为l ：x ＝ky −2p，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，写出根与系数关系，由两点式求出斜率后作和化简，代入根与系数关系即可得到答案． 试题解析：（1）)2(22:p x y l += 与抛物线方程联立得04322=+-p px x 设),(),,(2211y x B y x A083)(423)2)(2(221212121=++-=+--=⋅p x x p x x y y p x p x FB FA ； （2）设直线2:p ky x l -= 与抛物线联立得0222=+-p pky y 0))((22))(()(2222122121212211221121=--⋅-=--+-=-+-=-+-=+p ky p ky pk p kp p ky p ky y y p y ky p ky y p ky y p x y p x y k k ． 考点：１．直线与圆锥曲线的关系；２．抛物线的简单几何性质．21.（本小题12分）已知函数x bx ax x f ln )(2-+=，R b a ∈,．（1）若0<a 且2=-b a ，试讨论()f x 的单调性；（2）若对[2,1]∀∈--b ，总(1,)∃∈x e 使得()0<f x 成立，求实数a 的取值范围． 考点：１．二次函数的性质；２．利用导数研究函数的单调性．22.（本小题12分）已知函数()f x 满足对任意实数,x y 都有()()()1+=++f x y f x f y 成立，且当0>x 时， ()1>-f x ,(1)0=f .（1）求(5)f 的值；（2）判断()f x 在R 上的单调性，并证明；（3）若对于任意给定的正实数ε，总能找到一个正实数σ，使得当0||σ-<x x 时，0|()()|ε-<f x f x ，则称函数()f x 在0=x x 处连续。

重庆市2018届高三数学上学期第一次月考（9月）试题 理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}(){}R x x y y x N R x x y M ∈+==∈-==,3,,,12，则=N M （ ） A ．{}4 B ．{}7 C ．(){}7,4 D ．φ 2.函数()132sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f 图像的一个对称中心可以是（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,3π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,12π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,125π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,6π 3.下列函数为奇函数的是（ ） A ．()13+=x x f B ．()xx x f +-=11lnC ．()xe xf = D ．()x x x f sin =4.已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-的值为（ ） A ．53-B ．512- C. 53 D ．512 5.下列说法正确的是（ ）A ．“()00=f ”是“函数()x f 是奇函数”的充要条件B ．若q p ∧为假命题，则q p ∨为假命题C. 已知角βα,的终边均在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的充分不必要条件 D ．“若21sin ≠α，则6πα≠”是真命题 6.设3log ,2log ,28431===c b a ，则（ ）A ．c b a >>B ．b c a >> C.b a c >> D ．a c b >> 7.若0x 是方程04log 2=-xx 的根，则0x 所在的区间为（ ） A ．()1,0 B ．()2,1 C.()3,2 D ．()4,38.若函数()()()0ln 22122>--+=a x x a ax x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内有极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-e 1, B ．()1,-∞- C.()1,2-- D ．()2,-∞-9.已知函数()()()θθ+++=x x x f 2sin 2cos 3是偶函数，则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上是减函数的一个θ值是（ ） A ．6π B ．3π C.3π- D ．65π- 10.函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0sin πφωφωA x A x f 的部分图像如图所示，若将()x f 图像上所有点的横坐标缩短为原来的21倍（纵坐标不变），在向右平移12π得到()x g 的图像，则()x g 的解析式为（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛+=24sin πx y B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=64sin πx y C.⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin πx y D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin πx y 11.给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}m x =，在此基础上给出下列关于函数(){}x x x f -=21log 的四个命题：① 函数()x f y =的定义域为R ，值域为[)+∞,1；②函数()x f y =在⎪⎭⎫⎝⎛-0,21上是增函数；③函数()x f y =是周期函数，最小正周期为1；④函数()x f y =的图像关于直线()Z k kx ∈=2对称，其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．412.记函数()()R b a bx ax e x f x∈++=,2在点()()()10,<<t t f t P 处的切线为l ，若直线l 在y 轴上的截距恒小于1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()+∞-,1B ．[)+∞-,1 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知角θ的终边经过点()2,x P ，且31cos =θ，则=x ． 14.若1356sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+πα，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πα ． 15.学校艺术节对同一类的D C B A ,,,四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“A 作品获得一等奖”； 乙说：“C 作品获得一等奖”丙说：“D B ,两项作品未获得一等奖” 丁说：“是A 或D 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ． 16.设函数()x f 是定义在()+∞,0上的可导函数，其导函数为()x f '，且满足()()x x f x f x >+'，则不等式()()()022********<---f x f x 的解集为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知二次函数()()R x bx ax x f ∈++=52满足以下要求：①函数()x f 的值域为[)+∞,1；② ()()x f x f --=+-22对R x ∈恒成立. （1）求函数()x f 的解析式； （2）设()()14+-=x x f x M ，求[]2,1∈x 时()x M 的值域.18.已知函数()()πϕπϕ2032sin <<⎪⎭⎫⎝⎛++=x x f ，若()04=⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f π对R x ∈恒成立，且().02f f >⎪⎭⎫⎝⎛π （1）求()x f y =的解析式和单调递增区间；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,12ππx 时，求()x f y =的值域； 19.已知函数()().,ln R b a x xba x f ∈-+= （1）若函数()x f 存在与y 轴垂直的切线，求b 的取值范围； （2）若()x f b ,1-=恰有一个零点，求a 的取值集合；20.如图，直线()00:2>=--t t y tx m 与椭圆1422=+y x 交于B A ,两点，与y 轴交于G 点，C 为弦AB 的中点，直线t x l 2:=分别与直线OC 和直线m 交于E D ,两点.（1）求直线OC 的斜率和直线OE 的斜率之积；（2）分别记ODE ∆和OCG ∆的面积为21,S S ，是否存在正数t ，使得?621S S =若存在，求出t 的取值；若不存在，说明理由.21.已知函数()()ax b cx x x f ln 2+-=，其中R a b c ∈,,，且.0≠a（1）当3,5-==b c 时，求函数()x f 的单调区间；（2）设1=a ，若()x f 存在极大值，且对于c 的一切可能取值，()x f 的极大值均小于0，求b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系中曲线C 的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin :y x （θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，P 点的极坐标⎪⎭⎫⎝⎛2,1π，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，倾斜角为.6π（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求PBPA 11+的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数().1-=x x f（1）求不等式()x x f 23-≥的解集；（2）若函数()()3++=x x f x g 的最小值为m ，正数b a ,满足m b a =+，求证：.422≥+ab b a 试卷答案一、选择题1-5: DDBAD 6-10: BCCAB 11、12：CD 二、填空题 13.22 14. 1312- 15. C 16.()2020,2018 三、解答题17.解：（1） ()a b a b x a bx ax x f 4525222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++= 又()()x f x f --=+-22 ∴对称轴为abx 22-=-= 值域为[)+∞,1 0>∴a 且1452=-ab 4,1==∴b a ，则函数()542++=x x x f （2）()()114142+++=+-=x x x x x f x M[]2,1∈x ∴令1+=x t ，则[]3,2∈t()()22221141114222+-=-+=+-+-=+++∴tt t t t t t t x x x[]3,2∈t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-∴313,322t t∴所求值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡313,3:.18.解：（1） ()⎪⎭⎫⎝⎛++=32sin πϕx x f 由()04=⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f π，可知8π=x 为函数的对称轴，则Z k k k ∈+-=+=++⨯,12,2382ππϕπππϕπ，由()πϕ20<<，可知1211πϕ=或1223πϕ= 又由()02f f >⎪⎭⎫⎝⎛π，可知⎪⎭⎫ ⎝⎛+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3sin 3sin πϕπϕ，则,03sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛+πϕ验证1211πϕ=或1223πϕ=，则1211πϕ=， 所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==42sin 452sin ππx x x f y由ππππk x k 22322+≤≤+得：Z k k x k ∈+≤≤+,858ππππ 递增区间：Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,85,8ππππ（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈45,1242,2,12πππππx x则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22,142sin πx x f所以，值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1 19.解：（1） ()x f 的定义域为()+∞,0()02=+='x xb x f 在上有解 得：0>-=x b所以，b 的取值范围为()0,∞- （2）()21xxx f -='，令()0='x f ，得.1=x 当1>x 时，()()x f x f ,0<'在()+∞,1上单调递减； 当10<<x 时，()()x f x f ,0>'在()1,0上单调递增， 故()[]().11max -==a f x f①当()[]0max =x f ，即1=a 时，因最大值点唯一，故符合题设； ②当()[]0max <x f ，即1<a 时，()0<x f 恒成立，不合题设； ③当()[]0max >x f ，即1>a 时，一方面，()01,1<-=>∃aaae ef e ；另一方面，()022,1<-≤-=<∃--ea a e a e f ea a a（易证：ex e x ≥），于是，()x f 有两零点，不合题设，综上，a 的取值集合为{}.1 20.解：（1） 设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，由点差法可推出：()tx y k t y x x x y y y y x x y y x x oc 410242040433332121212122212221-==⇒=⋅+⇒=--⋅+++⇒=-+- 在联立⎩⎨⎧-==22ttx y t x 可接出()22,2tk E OE t t =⇒ 所以，.81-=⋅OE OC k k（2）假设这样的t 存在，联立2141:2:-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==D y x t y OC tx l ，在（1）问中已解得2t y E =，所以()21221221221+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅==∆t t t t S S ODE；在2:t tx y m -=中令0=x 得2t y G -=；在联立14,14441::2232332+-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-=t t y t t x xt y OC t tx y m 所以14214421252322+=+⋅⋅==∆t t t t t S S OCG；由.22216221=⇒=⇒=t t S S 当22=t 时，点C 坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,62，经检验C 在椭圆内，即直线l 与椭圆相交， 所以存在22=t 满足题意. 21.解：（1） 3,5-==b c 时，()()ax x x x f ln 352--=，故()()()xx x x x x f 312352-+=--=' 当0>a 时，0>x ，由()0>'x f ，得()0,3<'>x f x 得30<<x 因此()x f 的单调递增区间为：()+∞,3，单调递减区间为：()3,0 当0<a 时，0<x ，由()0>'x f 得021<<-x ，由()0<'x f 得21-<x 因此单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21:，单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,:（2）由题()()0222>+-=+-='x xbcx x x b c x x f ，显然082>-=∆b c ，设()0='x f 的两根为21x x <，则当1x x <或2x x >时，()0>'x f ，当21x x x <<时，()0<'x f ，故f 极大()x 只可能是()1211ln x b cx x x f +-=，且210x x <<，知+∈R b c ,，又()01='x f ，故b x cx +=2112，且4821bc c x --=，从而().048ln 8842221<--+----=ebc c b b c c b c x f 令()()1x f c g =，则()04888221822828122222<--=----⋅+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+---='c b c b c c b c cb bc c c b c c c g ，故()c g 在()+∞,8b 单减，从而()()eb b b b gc g 22ln 28+-=<，因此022ln 2≤+-ebb b ，解得.203e b ≤< 22.解：（1） 曲线C 的直角坐标方程[]2,2,2-∈=x x yP 点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛2,1π，化为直角坐标为()1,0P ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==6sin 16cos ππt y t x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ty t x 21123（t 为参数）（2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得：04232=--t t ， 显然有0>∆，则,32,342121=+-=⋅t t t t 342121=⋅=⋅=⋅t t t t PB PA ，(),31324212212121=-+=-=+=+t t t t t t t t PB PA 所以.21311=⋅+=+PB PA PB PA PB PA 23.解：（1） 当1≥x 时，得.34,34231≥∴≥⇒-≥-x x x x 当10<<x 时，得∴≥⇒-≥-.2231x x x 无解 当0≤x 时，得3221-≤⇒+≥-x x x x 所以，不等式的解集为⎩⎨⎧≥34x x 或⎭⎬⎫-≤32x ；（2）()()()4,43131=∴=+--≥++-=m x x x x x g ，即4=+b a又由均值不等式有：b a ab a b b a 2,222≥+≥+ 两式相加得().4,222222=+≥+∴+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a b b a b a a a b b b a。

2021届重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）9月月考数学（理科）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A ∩（∁U B ）等于（ ）A ．{2}B ．{2，3，5}C ．{1，4，6}D ．{5}2．f （）=，则f （2）=（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ．3．函数f （x ）=的定义域为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B ．（﹣2，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D ．（1，2） 4．已知log a ＞log b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．ln （a ﹣b ）＞0B ．C ．3a ﹣b ＜1D ．log a 2＜log b 2 5．已知f （x ）=a x 过（1，3），则以下函数图象正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知实数x ，y 满足，2x +4y =1，则x+2y 的最大值是（ ）A ．﹣2B ．4C ．D ．﹣17．已知命题p ：“已知f （x ）为定义在R 上的偶函数，则f （x+1）的图象关于直线x=﹣1对称”，命题q ：“若﹣1≤a ≤1，则方程ax 2+2x+a=0有实数解”，则（ ）A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 假q 真D ．p 真q 假8．若x ，y 满足且z=2x+y 的最大值为4，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数f （x ）=ln （1﹣x ）﹣ln （1+x ）+a 在x ∈[﹣，]的最大值为M ，最小值为N ，且M+N=1，则a 的值是（ ）A ．1B ．C ．﹣1D ．10．已知函数f （x ）=，若f （﹣a ）+f （a ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，1]∪[1，+∞）B ．[﹣1，0]C ．[0，1]D ．[﹣1，1]11．已知函数f （x ）=，若方程f （x ）+2x ﹣8=0恰有两个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．[﹣4，2]C ．D ． 12．己知集合A=[0，1），B=[1，+∞），函数f （x ）=，若对任意x 0∈A ，都有f （f （x 0））∈B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2）B ．[﹣1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣2，1]二、填空题：本题4小题，每小题5分．13．log 26﹣log 23﹣3+（）= ． 14．函数f （x ）=lg （x 2﹣2x ﹣3）的递增区间是 ．15．已知f （x ）是定义在实数集上的函数，当x ∈（0，1]时，f （x ）=2x ，且对任意x 都有f （x+1）=，则f （log 25）= ．16．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x+2）=f （x ），若f （x ）满足：①x ∈[0，2）时，f （x ）=a ﹣|x ﹣b|，②f （x ）是定义在R 上的周期函数，③存在m 使得f （x+m ）=﹣f （m ﹣x ）则a+b 的值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．函数f （x ）=+a 关于（1，0）对称． （1）求a 得值；（2）解不等式f （x ）＜．18．二次函数f （x ）开口向上，且满足f （x+1）=f （3﹣x ）恒成立．已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形．（1）求f （x ）的解析式；（2）讨论f （x ）在[t ，t+3]的最小值．19．四棱锥P ﹣ABCD 中，PC=AB=1，BC=a ，∠ABC=60°，底面ABCD 为平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别为AD ，PC 的中点．（1）求证：MN ∥平面PAB ；（2）若∠PAB=90°，求二面角B ﹣AP ﹣D 的正弦值．20．已知抛物线E：y2=4x焦点为F，准线为l，P为l上任意点．过P作E的两条切线，切点分别为Q，R．（1）若P在x轴上，求|QR|；（2）求证：以PQ为直径的圆恒过定点．21．已知函数f（x）=x2﹣ax•lnx+ax恰有两个零点x1，x2．（1）求a的范围；（2）求证：x1x2＞e4．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等f（x）+f（x+1）≥5；（2）若|a|＞1且f（ab）＞|a|•f（），证明：|b|＞2．2021届重庆市沙坪坝区南开中学高三（上）9月月考数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分．B）等于（）1．已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A∩（∁UA．{2} B．{2，3，5} C．{1，4，6} D．{5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，故CB={1，2，4，6}，由此能求出UB）．A∩（∁U【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，B={1，2，4，6}，∴CUB）={2}．∴A∩（∁U故选A．2．f（）=，则f（2）=（）A．3 B．1 C．2 D．【考点】函数的值．【分析】由f（2）=f（），能求出结果．【解答】解：∵f（）=，∴f（2）=f（）==3．故选：A．3．函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（1，2）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据导数的性质，二次根式的性质得不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：1＜x＜2，故选：D．4．已知log a ＞log b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．ln （a ﹣b ）＞0B ．C ．3a ﹣b ＜1D ．log a 2＜log b 2 【考点】对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．【分析】直接利用对数函数的单调性判断即可．【解答】解：log a ＞log b ，可得0＜a ＜b ．所以a ﹣b ＜0，∴3a ﹣b ＜1．故选：C ．5．已知f （x ）=a x 过（1，3），则以下函数图象正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据幂函数的性质即可求出．【解答】解：f （x ）=a x 过（1，3），∴3=a ，∴f （x ）=3x ，该函数为增函数，且过点（1，1），故选：B6．已知实数x ，y 满足，2x +4y =1，则x+2y 的最大值是（ ）A ．﹣2B ．4C ．D ．﹣1【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的应用条件直接应用即可．【解答】解：1=2x +4y =2x +22x ≥2，则x+2y ≤﹣2，故选A ．7．已知命题p ：“已知f （x ）为定义在R 上的偶函数，则f （x+1）的图象关于直线x=﹣1对称”，命题q ：“若﹣1≤a ≤1，则方程ax 2+2x+a=0有实数解”，则（ ）A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 假q 真D ．p 真q 假【考点】命题的真假判断与应用．【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．【解答】解：f（x）为定义在R上的偶函数，对称轴为：x=0，则f（x+1）的图象看作y=f（x）的图象向左平移1个单位得到的，函数的图象关于直线x=﹣1对称，命题q为真．命题q：﹣1≤a≤1，则方程ax2+2x+a=0，可得△=4﹣4a2≥0，方程有实数解，所以命题q是真命题，所以p且q为真．故选A．8．若x，y满足且z=2x+y的最大值为4，则k的值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用目标函数的几何意义，求出求出直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），即可求解k值．【解答】解：先作出不等式组对应的平面区域，直线kx﹣y+3=0过定点（0，3），∵z=2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4，由图象知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），同时B也在直线kx﹣y+3=0上，代入直线得2k+3=0，即k=，故选：A．9．若函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+a在x∈[﹣，]的最大值为M，最小值为N，且M+N=1，则a 的值是（）A．1 B．C．﹣1 D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由求出f′（x）=，且x∈[﹣]时，f（x）是减函数，从而M=f（﹣），N=f（），由此能求出a的值．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+a，，∴f′（x）=，﹣1＜x＜1．当x∈[﹣]时，f′（x）＜0，∴x∈[﹣]时，f（x）是减函数，∵在x∈[﹣，]的最大值为M，最小值为N，∴M=f（﹣）=ln（1+）﹣ln（1﹣）+a=ln﹣ln+a=ln3+a，N=f（）=ln（1﹣）﹣ln（1+）+a=ln﹣ln=﹣ln3+a，∵M+N=1，∴M+N=ln3+a﹣ln3+a=2a=1，解得a=．∴a的值是．故选：B．10．已知函数f（x）=，若f（﹣a）+f（a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪[1，+∞） B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，1]【考点】分段函数的应用．【分析】先判断函数为偶函数，再判断在（0，+∞）上为增函数，即可求出a的范围．【解答】解：∵f（x）=，∴f（x）为偶函数，∵f（﹣a）+f（a）≤2f（1），∴2f（a）≤2f（1），∴f（a）≤f（1），∵当x≥0时，函数f（x）为增函数，∴|a|≤1，∴﹣1≤a≤1，故选：D11．已知函数f （x ）=，若方程f （x ）+2x ﹣8=0恰有两个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．[﹣4，2]C ．D ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f （x ）的图象与函数y=﹣2x+8共有两个交点，可能为：两个交点均为y=﹣2x+8与二次函数y=x 2的交点，也可能为：两个交点为y=﹣2x+8与y=2x+3的交点，另一个是y=﹣2x+8与二次函数y=x 2的交点，进而得到答案．【解答】解：y=x 2与y=﹣2x+8共有两个交点（﹣4，16），（2，4），y=2x+3与y=﹣2x+8有一个交点（，），若方程f （x ）+2x ﹣8=0恰有两个不同实根，则函数f （x ）的图象与函数y=﹣2x+8共有两个交点，若两个交点均为y=﹣2x+8与二次函数y=x 2的交点，则a ≥2，若两个交点为y=﹣2x+8与y=2x+3的交点，另一个是y=﹣2x+8与二次函数y=x 2的交点，则﹣4≤a ≤， 综相所述，a ∈， 故选：A ．12．己知集合A=[0，1），B=[1，+∞），函数f （x ）=，若对任意x 0∈A ，都有f （f （x 0））∈B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2）B ．[﹣1，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣2，1]【考点】分段函数的应用．【分析】求得函数y=2x ﹣x 2，x ∈[0，1）的导数和单调性，可得最大值及值域，再由二次函数的值域求法，注意对称轴和区间的关系，求得有f （f （x 0））的值域，再由集合的包含关系，解不等式可得a 的范围．【解答】解：当x 0∈A ，即x 0∈[0，1），f （x 0）=2x0﹣x 02，由函数y=2x ﹣x 2，x ∈[0，1），导数y ′=2x ln2﹣2x ，即有y ″=2x ln 22﹣2，由0＜x ＜1，可得y ″＜0，即函数y ′=2x ln2﹣2x 在（0，1）递减，且x=0时，20ln2=ln2＞0；x=1时，2ln2﹣2＜0，由零点存在定理可得，y ′=2x ln2﹣2x 只有一个零点，设为m ∈（0，1）．则函数y=2x ﹣x 2在x ∈[0，m ）递增，在（m ，1）递减．又x=m 取得最大值t ，又x=0时，y=1；x=1时，y=1．则函数y=2x ﹣x 2的值域为[1，t]．当x ≥1时，f （x ）=2x 2﹣x+a=2（x ﹣）2+a ﹣，由f （x 0）的值域为[1，t]，可得f[f （x 0）]的值域为[1+a ，2t 2﹣t+a]．再由f（f（x））∈B，可得1+a≥1，解得a≥0．故选：C．二、填空题：本题4小题，每小题5分．13．log26﹣log23﹣3+（）= ．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数函数的性质、运算法则求解．【解答】解：log26﹣log23﹣3+（）=﹣=1﹣=．故答案为：．14．函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的递增区间是（3，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，确定内、外函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：令t=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则函数在（1，+∞）上单调递增当x2﹣2x﹣3＞0时，可得x＞3或x＜﹣1∵f（t）=lgt在（0，+∞）上单调增∴函数f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的递增区间是（3，+∞）故答案为：（3，+∞）15．已知f（x）是定义在实数集上的函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2x，且对任意x都有f（x+1）=，则f（log25）= ．【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】根据当x∈（0，1]时，f（x）=2x，先求f（log25﹣2）的值，进而根据f（x+1）=迭代可得答案．【解答】解：∵log25∈（2，3），∴log25﹣2∈（0，1），又∵当x∈（0，1]时，f（x）=2x，∴f（log25﹣2）=，又∵对任意x都有f（x+1）=，5﹣1）===﹣∴f（log25﹣2）===，f（log2故答案为：．16．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x+2）=f（x），若f（x）满足：①x∈[0，2）时，f（x）=a﹣|x﹣b|，②f（x）是定义在R上的周期函数，③存在m使得f（x+m）=﹣f（m﹣x）则a+b的值为．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系，判断函数的对称性，利用对称性建立方程进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x+2）=f（x），∴当x≥0时，f（x+2）=f（x）=f（﹣x），即此时函数关于x=1∵x∈[0，2）时，f（x）=a﹣|x﹣b|，∴对称轴x=b，则b=1，则f（x）=a﹣|x﹣1|，若存在m使得f（x+m）=﹣f（m﹣x），则f（x+m）=﹣f（m﹣x）=﹣f（x﹣m），即f（x+2m）=﹣f（x），则f（x+4m）=﹣f（x+2m）=f（x），∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期是2，则4m=2，则m=，则f（x+）=﹣f（﹣x），则f（0）=﹣f（1），则a﹣1=﹣（a﹣0）=﹣a，则a=，则a+b=+1=，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．函数f（x）=+a关于（1，0）对称．（1）求a得值；（2）解不等式f（x）＜．【考点】其他不等式的解法；函数的图象．【分析】（1）利用函数f（x）=+a关于（1，0）对称，得到f（0）+f（2）=0，解得a．（2）将解析式代入，解分式型不等式．【解答】解：（1）因为函数f（x）=+a关于（1，0）对称，所以f（0）+f（2）=0，解得a=；（2）不等式f（x）＜为，化简得，即，所以2x＞3或2x＜2，解3或x＜1．得x＞log218．二次函数f（x）开口向上，且满足f（x+1）=f（3﹣x）恒成立．已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形．（1）求f（x）的解析式；（2）讨论f（x）在[t，t+3]的最小值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）f（x）的对称轴为x=2，从而得出f（x）的零点和顶点坐标，利用待定系数法求出解析式；（2）讨论对称轴和区间[t，t+3]的位置关系，得出f（x）的单调性，根据单调性计算最小值．【解答】解：（1）∵f（x+1）=f（3﹣x），∴f（x）的对称轴为x==2，∵f（x）的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形，且f（x）开口向上，∴f（x）的两个零点为1，3，顶点坐标为（2，﹣），设f（x）=a（x﹣1）（x﹣3），则f（2）=﹣，即﹣a=﹣，∴a=．∴f（x）=（x﹣1）（x﹣3）．（2）若2≤t，则f（x）在[t，t+3]上是增函数，（x）=f（t）=（t﹣1）（t﹣3），∴fmin若t＜2＜t+3，即﹣1＜t＜2时，f（x）在[t，t+3]上先减后增，∴f（x）=f（2）=﹣，min若2≥t+3，即t≤﹣1时，f（x）在[t，t+3]上是减函数，（x）=f（t+3）=t（t+2）．∴fmin（x）=．综上，fmin19．四棱锥P﹣ABCD中，PC=AB=1，BC=a，∠ABC=60°，底面ABCD为平行四边形，PC⊥平面ABCD，点M，N 分别为AD，PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）若∠PAB=90°，求二面角B﹣AP﹣D的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PB为中点Q，连结NQ，QA，推导出四边形AMNQ为平行四边形，从而MN∥AQ，由此能证明MN∥平面PAB．（2）以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣AP﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）取PB为中点Q，连结NQ，QA，∵点M，N分别为AD，PC的中点，∴QN是中位线，∴QN∥BC，又∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∥QN，∵M是AD中点，∴QN=BC=AD=AM，∴四边形AMNQ为平行四边形，∴MN∥AQ，又MN⊄平面PAB，AQ⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB．解：（2）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AB，又∵PA⊥AB，∴AB⊥面PAC，AB⊥AC，∴a=2，CD⊥AC，以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，，0），B（﹣1，，0），P（0，0，1），=（0，﹣，1），=（﹣1，0，0），=（1，﹣，0），设面ABP的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，），设面APD的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（），∴cos＜＞==，∴二面角B﹣AP﹣D的正弦值为=．20．已知抛物线E：y2=4x焦点为F，准线为l，P为l上任意点．过P作E的两条切线，切点分别为Q，R．（1）若P在x轴上，求|QR|；（2）求证：以PQ为直径的圆恒过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由P（﹣1，0），设直线PQ方程，代入抛物线方程，由△=0，求得直线的斜率，代入方程求得切点分别为Q，R坐标，即可求得求|QR|；（2）由对称性可知：该点必在x轴上，设M（m，0），设Q（，y0），P（﹣1，t），则切线为yy=2x+，求得t=y﹣，根据•=0，即可求得m的值．【解答】解：（1）由已知可知：抛物线y2=4x焦点为F（1，0），∴P（﹣1，0），设PQ：y=k（x+1），∴，整理得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，①由△=0，即（2k2﹣4）2﹣4•k2•k2=0，解得：k=±1，代入①求得x=1，y=±2，∴切点分别为Q和R坐标为（1，±2），∴|QR|=4；（2）证明：由对称性可知：该点必在x 轴上，设M （m ，0），设Q （，y 0），P （﹣1，t ），则切线为yy 0=2x+，∴t=y 0﹣，由题意可知： •=0，即（m ﹣）（m+1）+y 0•（y 0﹣）=0，整理得：（m 2+m ﹣2）+（1﹣m ）=0∴m=1，∴恒过点M （1，0）．21．已知函数f （x ）=x 2﹣ax •lnx+ax 恰有两个零点x 1，x 2．（1）求a 的范围；（2）求证：x 1x 2＞e 4．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）要使得f （x ）=x （x ﹣alnx+a ）有两个零点，即g （x ）=x ﹣alnx+a 有两个零点，即求g （x ）的最小值要小于0即可．（2）要求证x 1x 2＞e 4 即求证lnx 1x 2＞4；令，lnx 1x 2=+2=；所以，原不等式即证：【解答】解：（1）f （x ）=x （x ﹣alnx+a ），函数的定义域为（0，+∞）设g （x ）=x ﹣alnx+a ，所以g （x ）有两个零点，g'（x ）=，a ≤0时，g （x ）单调递增，显然不成立；a ＞0时，令g'（x ）=0，则导函数零点为x=a ；所以f （x ）在（0，a ）上单调递减，（a ，+∞）上单调递增， 故g （x ）最小值为g （a ）=a ﹣alna+a ，要使得g （x ）有两个零点，则g （a ）＜0，解得：e 2＜a所以a 的取值范围为：（e 2，+∞）证明：（2）因为①； x 2﹣alnx 2+a=0 ②；①+②：； ①﹣②：；令，lnx1x2=+2=所以，原不等式即证：即证：设h（t）=lnt﹣2，有h'（t）=所以h（t）单调递增，所以h（t）＞h（1）=0，所以不等式得证．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l将于点A、B，若点M的坐标为（1，4），求|MA|+|MB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，能求出圆C的直角坐标方程．（2）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，化简整理，再由韦达定理和t的几何意义能求出|MA|+|MB|的值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=4sinθ，∴ρ2=4ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0．即x2+（y﹣2）2=4．（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，整理，得t2﹣3t+1=0，△=18﹣4=14＞0，设t1，t2为方程的两个实根，则t1+t2=3，t1t2=1，∴t1，t2均为正数，又直线l过M（1，4），由t的几何意义得：|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等f（x）+f（x+1）≥5；（2）若|a|＞1且f（ab）＞|a|•f（），证明：|b|＞2．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（），代入不等式，问题转化为|ab﹣2|＞|b﹣2a|，平方证明即可．【解答】（1）解：原不等式等价于|x﹣2|+|x﹣1|≥5，当x＞2时，不等式可化为：（x﹣2）+（x﹣1）≥5，解得：x≥4，当1≤x≤2时，不等式可化为（2﹣x）+（x﹣1）≥5，1≥5，无解，x＜1时，不等式可化为：（2﹣x）+（1﹣x）≥5，解得：x≤﹣1，综上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤﹣1}；（2）证明：⇔|ab﹣2|＞|a||﹣2|⇔|ab﹣2|＞|b﹣2a|⇔（ab﹣2）2＞（b﹣2a）2⇔a2b2+4﹣b2﹣4a2＞0⇔（a2﹣1）（b2﹣4）＞0，∵|a|＞1，∴a2﹣1＞0，∴b2﹣4＞0，∴|b|＞2，证毕．。

考试说明；本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚;(2)选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚;(3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀，第1卷（选择题共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有 一项是符合题目要求的．1．已知集合}6,5,4,3,2,1{=U ，集合A ={2,3}，集合B ={3,5}，则)(B C A U ⋂=()A.{2,3,5}B.{1,4,6)c.{2)D.{5)2．在复平面内，复数ii Z +=1(其中i 是虚数单位）对应的点位于() A.第一象限B.第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数2)1lg()(22++--=x x x x f 的定义域为()A.),1()2,(+∞⋃--∞B.(-2,1)C.),2()1,(+∞⋃--∞D.(1,2)4．函数6113)(-+-=x x f x 的零点所在区间是()A.(O,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5．若函数)10(log ≠>=a a x y a 且的图象如右图所示，则下列函数图象正确的是()6．下列叙述正确的是()A ．命题：R x ∈∃，使02sin 3<++x x 的否定为：R x ∈∀，均有02sin 3<++x x ．B ．命题：若12=x ，则1=x 或1-=x 的逆否命题为：若1≠x 或1-≠x ，则02≠xC ．己知N n ∈，则幂函数73-=n x y 为偶函数，且在),0(+∞∈x 上单调递减的充分必要条件为 n =1D ．函数x m x y -+=3log 2图像关于点(1，0)中心对称的充分必要条件为m =±17．函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=-0,0,)(22x x e x x e x f x x ，若)1(2)()(f a f a f ≤+-，则实数a 取值范围是()A ．),1[]1,(+∞⋃--∞B ．[-1,0]C ．[0,1]D.[-1,1]8．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A . 若}2,1{=A ，a x x x B =-+=|32|{2，且|A-B|=1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C (S )等于()A ．1B ．2C ．3D ．49．己知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足：①)()2(x f x f =-；②)2()2(-=+x f x f ； ③当]3,1[2,1∈x x 时，2121)()(x x x f x f --，则f (2014)、f (2015)、f (2016)满足() A.f (2014)>f (2015)>f (2016)B.f (2016)>f (2015)>f (2014)C.f (2016)=f (2014)>f (2015)D.f (2016)=f (2014)<f (2015)10．设函数f (x )对于所有的正实数x 均有f (3x )=3f (x )，且)31(|2|1)(≤≤--=x x x f ， 则使得f (x )=f (2014)的最小的正实数x 的值为()A ．173B ．416C ．556D ．589第II 卷（非选择题，共100分）二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题 卡相应位置上．11．21324241279log 6log -⎪⎭⎫ ⎝⎛+--= ．12．定义在R 上的函数)(x f 满足,2)1(),,(2)()()(=∈++=+f R y x xy y f x f y x f ，则)3(-f =__ __． 13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--=)2()2()20()1(1)(2x x f x x x f ，若关于x 的方程)0()(>=k kx x f 有且只有 四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是__ __．考生注意：14、15、1.6为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14.如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC =30°，BC 为半圆的切线，且BC =43，则点O 到AC 的距离OD = __．15．已知直线l 的参数方程是)(211为参数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=，曲线C 的极坐标方程是ρ=2，若直线l与曲线C 相交于A ，B 两点，则|AB |= __．16．已知集合}9|4||3|{≤-++∈=x x R x A ，)},0(,614{+∞∈-+=∈=t tt x R x B ，则集合 B A ⋂= __．三.解答题：本大题6个小题，共75分。

重庆市南开中学2015届高三9月月考理科数学试卷（解析版）一、选择题1）A【答案】D【解析】考点：向量垂直的条件．2）A【答案】C【解析】选C．考点：函数的定义域．3）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】C．考点：命题真假的判断．4）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】试题分析：由于在区间内恒成立，所以函数区是增函数，再函数考点：函数的零点．5）A【答案】A【解析】试题分析：由于故知考点：比较大小．6（）A【答案】A【解析】考点：正弦定理．7）A【答案】D【解析】考点：函数的值域．8．（）AC【答案】D【解析】意到，所以分类讨论：或或考点：１．分段函数；２．解不等式．9的取值范围是（）A【答案】C【解析】试题分析：∵x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，且x1≠x2．∴△=b2-4ac＞0．∴b2＞4ac．∴x1+x2＝∵x1＜1＜x2，∴（x2-1）（1-x1）＞0，化为-x1x2+x1+x2-1＞0．∴（x1+x2）2+x12x22的取值范围是(+∞)．故选C．考点：１．一元二次不等式的根与系数的关系；２．基本不等式的性质及其变形应用．10）【答案】Ｃ【解析】试题分析：由题意可得：）与原点连线与函数解得x=e故选：Ｃ考点：１．函数的定义；２．函数的导数．二、填空题11___ __．【解析】，从而考点：集合的运算．12．设:21(0)+<>p x m m ，0121:>--x x q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】(0,2] 【解析】试题分析：∵m ＞0，∴不等式|2x+1|＜m 等价为-m ＜2x+1＜m ，解得21m+-＜x ＜21-m ， 即p ：21m +-＜x ＜21-m ． 由0121>--x x ，即（x-1）（2x-1）＞0，解得x ＞1或x ＜21． 即q ：x ＞1或x ＜21． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴21-m ≤21或21m+-≥1， 解得m ≤2，∵m ＞0，∴0＜m ≤2，即实数m 的取值范围为（0，2]． 故答案为：（0，2]．考点：充分条件和必要条件的应用 13．已知函数123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x ，则55(3)(3)22-++--=f f ___． 【答案】8 【解析】 试题分析：由于123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x )41312111(4+++++++-=x x x x ，从而故答案为：8．考点：函数值的求法．14．如图，直于,5则．【解析】连接BD，由等腰直角△DOB可得：DB由图可知：∠DCB为锐角，∴∠DCB=45°．故答案为45°．考点：与圆有关的比例线段．15．已知直线1:=+ny mxl 与曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ϕϕsin 21cos 21:y x C （ϕ为参数）无公共点，则过点),(n m 的直线与曲线θθρ222sin 9cos 436+=的公共点的个数为 .【答案】2 【解析】试题分析：∵直线l ：mx+ny=1与曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ϕϕsin 21cos 21:y x C （ϕ为参数）即x 2+y 2=41无公共点，∴直线l ：mx+ny=1与圆x 2+y 2=41相离， ∴圆心（O ，O ）到直线l 的距离d 大于半径21， 即21122>+n m ，∴m 2+n 2＜4． 又曲线θθρ222sin 9cos 436+=的普通方程为：4x 2+9y 2=36，即14922=+y x ， 由图知，过点（m ，n ）的直线与曲线θθρ222sin 9cos 436+=的公共点的个数为2个．故答案为：2．考点：１．圆的参数方程；２．根的存在性及根的个数判断；３．简单曲线的极坐标方程．16．已知函数)0(1)(>-++=a a x x x f ，若不等式6)(≥x f 的解集为__________．【答案】3【解析】距离之和，由于不等式所以数轴上的-2、4对考点：绝对值不等式的解法．三、解答题17．（1（2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由f（x）+f（-x）=0可知函数为奇函数，由f（x-1）=f（x+1），可得函数为周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行求值．（2）利用指数函数的单调性及二次函数的图象，求g（x）的值域．试题解析：（12，（1）求证：平面⊥PAC 平面PBC ；（2）若1,1,2===PA AC AB ，求二面角A PB C --的余弦值． 【答案】（1）祥见解析；（2）46． 【解析】 试题分析：（1）要证平面PAC ⊥平面PBC ，只要证明平面PBC 经过平面PAC 的一条垂线BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC ⊥平面PAC ；（2）因为平面PAB 和平面ABC 垂直，只要在平面ABC 内过C 作两面的郊县AB 的垂线，然后过垂足再作PB 的垂线，连结C 和后一个垂足即可得到二面角C-PB-A 的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C-PB-A 的余弦值．也可建立空间直角坐标系，用向量知识来求解． 试题解析：（1）⊥PA 面ABC BC PA ⊥⇒ 又AC BC ⊥ ⊥∴BC 面PAC ∴面⊥PBC 面PAC ；（2）法一：过C 作AB CD ⊥于D ，PA CE ⊥于E ，连结DE ．显然⊥CD 面PAB ，由三垂线定理可得DE PB ⊥，CED ∠∴即为所求角．5,2,23,3====PB PC CD BC ，56=∴CE 46cos ==∠∴CE DE CED ． 法二：以C 为原点，CA CB ,所在的直线分别为y x ,轴，直线AP 所在方向为z 轴。

2008—2009学年度重庆南开中学高三数学（理科）2009级9月月考试 题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项正确）1．已知集合{}0lg 2==x x M ，{}112222x N x x -+=<<∈Z ，，则MN = （ ）A ．{}11-，B ．{}1-C ．{}0D ．{}10-， 2．等差数列{}n a 中,公差为d ,,721581=++a a a 则=+d a 35 （ ）A ．24B ．22C ．20D ．8- 3．sin315cos1352sin570-+的值是（ ）A ．1B ．－1C ．3D ．－34．在△ABC 中，“sin 2A =是“30A =”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．要得到函数x y sin 2-=的图像，只需将函数x y cos 2=的图像 （ ）A ．右移2π个单位 B ．左移π个单位 C ．右移π个单位 D ．左移2π个单位 6．设函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图像过点)0,1(，则)13(-=x f y 的图像必过点（ ）A ．（3，1）B ．)31,1(C ．)1,31(D ．（0，1）7． 设函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，又()f x 在[2,)+∞是减函数，且()(0)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ）8．有一条信息, 若1人得知后用1小时将其传给2人, 这2人又用1小时分别传给未知此信息的另外2人, 如此继续下去, 要传遍100万人口的城市, 所需的时间大约是 （ ） A ．10天 B ． 2天 C ．1天 D ． 半天 9．设()ax x x f +=2，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a 的取值范围为（ ）A ．0＜a ＜4B ．0a =C ． 04a <≤D ．04a ≤<10．若)(x f 是定义在R 上的函数，对任意的实数x ，都有4)()4(+≤+x f x f 和)2007(4)3(,2)()2(f f x f x f ，且=+≥+的值是（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．2009二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．给定两个向量)2()2(),1,(),2,1(x -+==与若平行，则x 的值等于 12．已知=-+==+n n n a n a a a 则),12(,011 ． 13．如果4x π≤,那么函数2()cos sin f x x x =+的最小值是 ． 14．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗m ，则m 的值为 . 15．已知()21(123()4(123f x x xg x x x =-+==-=、、），、、），则满足)]([)]([x f g x g f <的x 的值为 ．16．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意,a b R ∈满足下列关系式：()()(),(2)2f a b af b bf a f ⋅=+=，(2)()n n f a n N n +=∈，(2)()2n n n f b n N +=∈，考察下列结论：①(0)(1)f f = ②()f x 为偶函数 ③数列{}n a 为等比数列 ④数列{}n b 为等差数列，其中正确的结论是：____________17．函数2()(sin 2cos 2cos sin )sin (,0,0,)2f x A x x A x R A πωϕωϕϕωϕ=+⋅-∈>>< 的图像在y 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P )2,31(，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q )0,65(. （1）求函数)(x f 的表达式； （2）求函数)(x f 在区间]423,421[上的对称轴的方程．18．设当1≤x 时，函数1422x x y +=-+的值域为D ，且当x D ∈时，恒有2()54f x x kx x =++≤，求实数k 的取值范围．19．在ABC ∆中，c b a ,,为角C B A ,,所对的三边，已知22()a b c bc --=， （1）求角A（2）若BC =B 等于x ，周长为y ，求()y f x =的最大值．20．（13分）沙坪坝重百商场节日期间为了促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换成现金）；满200元就送60元奖励券；……（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元但不足200元也只能得30元奖励券，以此类推．） （1）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在沙重百最多能购回多少元钱的货物？ （2）在一般情况下，顾客有a 元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的%70出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠？21．已知函数122()log 1axf x x -=-（a 是常数且2a <）. （1）求()f x 的定义域；（2）若()f x 在区间（2，4）上是增函数，求a 的取值范围.22．已知定义在R 上的函数)(x f ，满足条件：①2)()(=-+x f x f ，②对非零实数x ，都有312)1()(2++=+xx x f x f ． （1）求函数)(x f 的解析式； （2）设函数)0(2)()(2≥-=x x x f x g ，直线x n y -=2分别与函数)(x g y =，)(1x g y -=交于n A 、n B 两点，（其中*∈N n ）；设||n n n B A a =，n S 为数列}{n a 的前n 项和，求证：当2≥n 时，)32(2322nS S S S n n +++> ．参考答案1—5BABBD 6—10CBCDC11．12 12．2(1)n a n =- 13．12- 14．1 15．2 16．①③④17．解：（1）由题意化简可知，()sin(2)f x A x ωϕ=+5122,22463T A T T πωπ==-⇒=⇒== 将点P )2,31(代入)sin(2ϕπ+=x y 得：1)3sin(=+ϕπ所以)(62Z k k ∈+=ππϕ，即函数的表达式为)()6sin(2)(R x x x f ∈+=ππ（2）由)(26Z k k x ∈+=+ππππ，解得：31+=k x令42331421≤+≤k ，解得：12651259≤≤k 由于,Z k ∈所以5=k所以函数)(x f 在区间]423,421[上的对称轴的方程为316=x 18．解：令t =2x，由x ≤1，则t ∈（0，2]，则原函数y =t 2-2t +2=（t -1）2+1∈[1，2]，即D=[1，2]， 由题意：f （x ）=x 2+kx +5≤4x ，法1：则x 2+（k -4）x +5≤0当x ∈D 时恒成立21(4)502(4)250k k +-+≤⎧∴⎨+-+≤⎩ 212k k ≤-⎧⎪∴⎨≤-⎪⎩∴ k ≤-2。