Fourier变换练习题(全,有答案)

1-21．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：[]()j j j j 01e e()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τωωωωτωωω-----+∞⎡⎤=====⎢⎥-∞-⎣⎦⎰⎰F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰，()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt tf t F F ωωωωωω--+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ （令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰（换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πtF f t ωωω+∞=-=--∞⎰ 所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则()()()()()j j e d e d t t F f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ （令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰（换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证()20012sin πd e αωαωωαω+∞-=>+⎰解：由Fourier 正弦变换公式，有()()s s F f t ω⎡⎤=⎣⎦F ()0sin f t t t ω+∞=⎰d 0sin tt t ω+∞-=⎰e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=+e 21ωω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式，有()120022sin ()()sin 1s s s t f t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===⎡⎤⎣⎦+⎰⎰F d d ππ 由此，当0t α=>时，可得()()2sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞-==>+⎰5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ，试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明： 在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞⎡⎤==+-⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()()()cos sin d j sin cos d ri r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()Re Im F j F ωω⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰， ()a ()()()Im sin cos d ri F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∞⎰()b 1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re cos d rF f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰()()Im sin d rF f t t t ωω+∞⎡⎤=-⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦反之，若已知()()F F ωω-=，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有()()()cos d j sin d r rF f t t t f t t t ωωω+∞+∞=--∞-∞⎰⎰ 亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re sin d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im cos d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦()(){}Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦()F ω=-反之，若已知()()F F ωω-=-，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰， 亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=，求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为连续的偶函数，由公式有()()j π1sin e d cos d 2π0tf t F t ωωωωωωω+∞+∞==-∞⎰⎰ ()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωωωωωω+∞++∞-=+⎰⎰ 但由于当0a >时sin sin sin πd d()d 0002a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===⎰⎰⎰ 当0a <时sin sin()πd d 002a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-⎰⎰当0a =时，sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得 ()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πt t t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=-∞+∞+∞=++--∞-∞⎰⎰⎰j j 00011e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier变换.解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222aa t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解 ：()()()()j 1δδδδe d 222ta a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥=-==-=⎢⎥⎣⎦cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知()()000sin j πδδt ωωωωω⎡⎤=+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦F由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由()()3j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t t f t t --⎛⎫-===-+- ⎪⎝⎭即得()()()()()πjδ33δ13δ1δ34f t ωωωω⎡⎤⎡⎤=---++-+⎣⎦⎣⎦F12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于()π1sin 5sin5cos5322f t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()()()()()πjδ5δ55δ52f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F . 14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ，其中()t ϕ为一实数，则()()()1cos 2t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦F ()()()1sin 2j t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦F 其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为 ()()j j e e d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()j j j j ee d ee d t t tt F t t ϕϕωωω+∞+∞---∞-∞-==⋅⎰⎰()()()()()()j j j j 1e ee d cos e d cos 22t t t t F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解 ：02π,T ω=()1,00,ht t Tf t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他()00111d d 2TTh C f t t ht t TTT ===⎰⎰()()000j j j 02011e d e d e d TTTn t n t n t n ht h C F n f t t t t t TTT Tωωωω---===⋅=⎰⎰⎰00j j 211j e e d j j 2πTn t n t Thht T n n n ωωωω--⎡⎤=⋅+=⎢⎥-⎣⎦⎰()()()()()000j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h hF n h n n nωωωωωωω+∞+∞=-∞=-∞≠≠=+⋅-=+⋅-∑∑。

⎧ 0, −∞ < t < −1 ⎪−1, −1 < t < 0 ⎪ （3） f ( t ) = ⎨ 0 < t <1 ⎪ 1, ⎪ ⎩ 0, 1 < t < +∞
解
（1）函数 f (t ) = ⎨
⎧1 − t 2 , | t |< 1 满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为 | t |> 1 ⎩ 0,
| t |< 1 | t |= 1 。 | t |> 1
习题二
1． 求矩形脉冲函数 f (t ) = ⎨
F (ω ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
⎧ A, 0 ≤ t ≤ τ 的傅氏变换。 其他 ⎩ 0,
+∞ τ − jωt − jω t = f t e dt ( ) ∫ −∞ ∫ 0 Ae dt
⎧sin t , | t |≤ π , （3） f (t ) = ⎨ 证明 ⎩ 0, | t |> π ,
∫
+∞
0
⎧π sin ωπ sin ωt ⎪ sin t , | t |≤ π dω = ⎨ 2 2 1− ω ⎪ | t |> π ⎩ 0,
e dt = 2 ∫ e
0 +∞ −βt
解 （1） F (t ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
−∞
1 2π
+∞ −∞
∫ ∫
−∞
+∞ −∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) e− jωτ dτ e jωt dω =
1 2π
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) (cos ωτ − jsin ωτ ) cos ωtdτ dω

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

再由 Fourier 变换公式得
f (t ) =
1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ ω 2 + 2 jω t F ω e d ω = F ω cos ω t d ω = cos ω t dω ( ) ( ) 2 π ∫ −∞ π∫0 π ∫ 0 ω4 + 4 +∞ ω 2 + 2 π −t ∫ 0 ω 4 + 4 cos ω tdω = 2 e cos t
f (t) =
2 +∞ ⎡ +∞ f (τ ) sin ωτ dτ ⎤ sin ω tdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎦ π ∫0 ⎣
=
2 +∞ ⎡ +∞ − β t sin ω tdω e sin ωτ dτ ⎤ ∫ ∫ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ π
− βτ 2 +∞ ⎡ e ( β sin ωτ − ω cos ω t ) +∞ ⎤ = ∫ ⎢ ⎥ sin ω tdω π 0 ⎣ β 2 + ω2 0 ⎦
=
=
由于 a ( ω ) = a ( −ω ) , b ( ω ) = − b ( −ω ) , 所以
f (t) =
1 +∞ 1 +∞ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω tdω ∫ 2 −∞ 2 −∞
+∞ +∞ 0 0
= ∫ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω t dω 2．求下列函数的 Fourier 积分：
2 2 ⎧ ⎪1 − t , t ≤ 1 1）函数 f ( t ) = ⎨ 解： 解：1 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为 2 0, 1 t > ⎪ ⎩

第一章快速傅里叶变换（FFT ）4.1 填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。

解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。

问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。

解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。

直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。

用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。

(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。

解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。

解：N NL N mF 2log 22==；N N NL aF 2log ==4.2 选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。

若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。

A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。

03
Fourier变换的应用
信号处理
80%
信号的频谱分析
通过Fourier变换，可以将信号分 解成不同频率的成分，从而更好 地理解信号的特性。
100%
信号去噪
在信号处理中，Fourier变换可以 帮助我们识别和去除噪声，提高 信号的清晰度。
80%
信号压缩
通过识别信号中的冗余成分， Fourier变换可以实现信号压缩， 减少存储和传输所需的资源。
卷积的逆Fourier变换
总结词
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。
VS
详细描述
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。这个 过程可以通过将两个函数的Fourier变换 相乘，然后进行逆Fourier变换来实现。 在时域中，两个函数的乘积可以通过卷积 来表示，因此卷积的逆Fourier变换可以 用来计算两个函数的乘积在时域中的表示 。
02
Fourier变换的卷积性质
卷积定理
总结词
卷积定理是Fourier变换中的一个重要性质，它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。
详细描述
卷积定理是Fourier分析中的一个基本定理，它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。这个定理在 信号处理、图像处理、量子力学等领域有广泛的应用。
叠和计算量大。
习题答案与解析
01
进阶习题3解析
02
进阶习题4答案
03
进阶习题4解析
全面分析了Fourier变换在图像处 理中的优缺点和应用时的注意事 项。
Fourier变换在数值分析中主要用 于求解微分方程、积分方程等数 学问题，提高计算效率和精度。

解
（1）函数 f (t ) = ⎨
⎧1 − t 2 , | t |< 1 满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为 | t |> 1 ⎩ 0,
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an
| t |< 1 | t |> 1
证 f (t ) 是偶函数
| t |= 1 。
⎧ 0, −∞ < t < −1 ⎪−1, −1 < t < 0 ⎪ （3） f ( t ) = ⎨ 0 < t <1 ⎪ 1, ⎪ ⎩ 0, 1 < t < +∞
+∞ 1 +∞ jωt a ω e d ω = ( ) ∫0 a (ω ) cos ωtdω 2 ∫−∞
a(ω ) 是 ω 的偶函数。 （注也可由 1 题推证 2 题）
3．在题 2 中，设 f ( t ) = ⎨
⎧1, | t |≤ 1 ，试算出 a(ω ) ，并推证 ⎩0, | t |> 1
⎧π ⎪ 2 , | t |< 1 ⎪ +∞ sin ω cos ωt ⎪π d ω = ⎨ , | t |= 1 ∫0 ω ⎪4 ⎪ 0, | t |> 1 ⎪ ⎩
傅氏变换习题解答 习题一
1．试证：若 f (t ) 满足傅氏积分定理的条件，则有
f (t ) = ∫
其中
+∞
0
a (ω ) cos ωtd ω + ∫ b(ω ) sin ωtd ω
0
+∞
a (ω ) = b(ω ) =
证 f (t ) =
π∫ π∫
1
1
+∞
−∞ +∞
f (τ ) cos ωτ dτ , f (τ ) sin ωτ dτ

0
1
0
2 2 4 4 4 cos
td .
即
2
0 4
2 costd
4
e|t| cos t .
2
13
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例4 已知某函数的傅氏变换为
F ( ) sin ,
求该函数.
解
f
(t)
1
2
sin eitd
1
0
sin
cos
td
1
2
0
sin(1
t )d
25
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4. 综合运用
例7 计算函数f (t) tu(t)et sin 0t的Fourier
变 换.
解 法一 由F [u(t )et ] 1 ,
i
利用位移性质
F [u(t )et sin 0t]
1 F [u(t )etei0t ] 1 F [u(t )etei0t ],
2i
2i
26
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1
1
1
1
2i i( 0 ) 2i i( 0 )
2 0
0 (
i
)2
,
再由微分性质
F
[tu(t )et
sin 0t]
i
d
d
02
0 (
i )2
20 (
[
2 0
（
i ) i）2 ]2
27
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法二
F
[tu(t )et
(C )F [2 (t )] 1
(D)F [sgn(t )] 2
i

．
证：因为 、 在 上可积， ， ，
设 ，
，
由系数公式得
．
当 时，
．
于是由贝塞尔等式得
．
总练习题15
1试求三角多项式
的傅里叶级数展开式．
解：因为 是以 为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，
由系数公式得
，
当 时，
，
，
故在 ， 的傅里叶级数就是其本身．
2设 为 上可积函数， 为 的
傅里叶系数，试证明，当 时，
推论1设 在 上可积，则
, ．
推论2设 在 上可积，则
，
．
定理2设以 为周期的函数 在 上可积，则
，
此称为 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．
二、收敛性定理的证明
定理3 (收敛性定理)设以 为周期的函数 在 上按段光滑，则
，
定理4如果 在 上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则
．
定理5如果 在 按段单调，则
．
由贝塞尔等式得 ，
故 ．
(3)取 ，由§1习题1 (2)得
．
由贝塞尔等式得 ，
故 ．
4证明：若 均为 上可积函数，且他们的傅里叶级数在 上分别一致收敛于 和 ，则
．
其中 为 的傅里叶系数， 为 的傅里叶系数．
证：由题设知 ，
．
于是
而
，
，
所以 ．
5证明若 及其导函数 均在 上可积, ,
，且成立贝塞尔等式，则
由系数公式得
．
当 时，
所以
， 为所求．
2设 是以 为周期的可积函数，证明对任何实数 ，有
，
．
证：因为 ， ， 都是以 为周期的可积函数，所以令 有

习题 16.4 Fourier 变换和Fourier 积分1．求下列定义在),(+∞-∞的函数的Fourier 变换：⑴⎩⎨⎧<<=;,0,0,)(其它δx A x f ⑵ f x a x ()e ||=-， a >0;⑶ f x a x ()e =-2， a >0; ⑷ ⎩⎨⎧<≥=-;0,0,0,e )(2x x x f x ⑸ ⎩⎨⎧>≤=;||,0,||,cos )(0δδωx x x A x f 00≠ω是常数，0ωπδ=。

解 （1）()()i x f f x e dx ωω+∞--∞=⎰%0i x Ae dx δω-=⎰=)1(ωδωi e i A--。

（2）()()i x ff x e dx ωω+∞--∞=⎰%0()()0a i x a i x e dx e dx ωω+∞-+--∞=+⎰⎰ 11a i a i ωω=++-=222ω+a a。

（3）()()i x f f x e dx ωω+∞--∞=⎰%2ax i x e dx ω+∞---∞==⎰2cos ax e xdx ω+∞--∞⎰22t e+∞-=⎰ (利用例15.2.8的结果) 2-==aea42ωπ-。

（4）()()i x ff x e dx ωω+∞--∞=⎰%(2)0i x e dx ω+∞-+==⎰ωi +21。

（5）()()i x ff x e dx ωω+∞--∞=⎰%=0cos i x A xe dx δωδω--⎰ 0cos cos A x xdx δδωω-=⎰（虚部为奇函数，积分为0）00[cos()cos()]2A x x dx δδωωωω-=-++⎰ ＝0000sin()sin()()()A ωωδωωδωωωω⎡⎤-++⎢⎥-+⎣⎦。

2．求f x ax ()e =-（),0[+∞∈x ，a >0）的正弦变换和余弦变换。

解 正弦变换：()()sin f f x xdx ωω+∞=⎰%0sin ax e xdx ω+∞-==⎰22ωω+a ,余弦变换：()()cos f f x xdx ωω+∞=⎰%0cos ax e xdx ω+∞-==⎰22ω+a a。

实验五 快速Fourier 变换(FFT)及应用一、 实验目的1.验证频域采样定理。

2.在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT 的理解，熟悉MATLAB 中的有关函数。

3.应用FFT 对典型信号进行频谱分析。

4. 了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中能够正确应用FFT 。

5. 应用FFT 实现序列的线性卷积。

二、 实验内容1. 验证频域采样定理。

利用MATLAB 产生一个长度为N 的三角波序列)(n x ，并完成以下要求：(1) 计算N=30时的64点DFT ，并图示);()(k X n x 和(2) 对)(k X 在[0,231,,1,0),2()(1 ==k k X k X ；(3) 求出)(1k X 的32点IDFT ，即得到)]([)(11k X IDFT n x =；(4) 绘制出321))((n x 的波形，观察321))((n x 和)(n x 的关系，并加以说明。

解：MATLAB 程序清单如下：M=64; % 指定DFT 点数N=30; % 指定序列长度n=0:N-1;xn=2*[0:N/2,N/2-1:-1:1]/N; % 产生幅度为1的N 点三角波序列Xk=fft(xn,M); % 计算Xk ＝DFT[x(n)];Xk1=Xk(1:2:M); % 对Xk 隔点抽取得到Xk1xn1=ifft(Xk1); % 对Xk1作IDFT 得到xn1n1=0:2*M;xc=xn1(mod(n1,M/2)+1); % 对xn1以M/2为周期进行延拓subplot(2,2,1);stem(n,xn,'.');grid;title([num2str(M/2) '点三角波序列x(n)']);subplot(2,2,2);k=0:M-1;stem(k,abs(Xk),'.');grid;axis([0,M,0,max(Xk)]);title(['三角波序列x(n)的' num2str(M) '点DFT:X(k)']);subplot(2,2,4);k1=0:M/2-1;stem(k1,abs(Xk1),'.');grid;axis([0,M/2,0,max(Xk)]);title(['隔点抽取X(k)得到' num2str(M/2) '点DFT:X_1(k)']);subplot(2,2,3);stem(n1,xc,'.');grid;axis([0,2*M,0,max(xn1)]);title('序列x_1(n)的周期延拓');由程序运行结果可以看出，在频域[0,2)(n x 的长度时，将产生时域混叠，不能由)(1k X 来恢复出原序列)(n x 。

的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.---- Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
4
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
T T fT (t )为T 周期函数，在 , 上满足 2 2 Dirichlet条件： fT (t )连续或仅有有限个第一类间断点； fT (t )仅有有限个极值点 则fT (t )可展开为Fourier级数，且在连续点t处成立： a0 fT (t ) an cos nt bn sin nt 2 n1

18
一般地, 对于周期T
1 T2 j n t cn T fT (t )e dt T 2 1 1 j n t e dt T 1 1 1 1 j n t j n j n e e e Tj n Tj n 1 2 sin n 2 sinc( n ) (n 0,1,2, ) T n T
cos nt
e
int
e 2
int
, sin nt
e
int
e 2i
int
6
级数化为： a0 e int e int e int e int an bn 2 n 1 2 2i a0 a n ibn int a n ibn int e e 2 n 1 2 2
1 从 而f (t ) f ( )cos (t )d d 2 1 可得 f (t ) f ( )cos (t )d d ， 0 这就是f (t )的Fourier积分公式的三角形式。

1-11． 试证：若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有()()()d d 0cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰⎰其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier 积分的复数形式，有()()j j e e d π12t tf t f ωωτω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()()j j d 1cos sin 2a b t t ωωωωω+∞-∞⎡⎤=-+⎣⎦⎰ 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以()()()d d 11cos sin 22f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰ ()()d d 0cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰⎰2．求下列函数的Fourier 积分：1）()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,0;e sin 2,0tt f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3) ()0,11,101,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.解：1）函数()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞+∞⎧====-⎨-∞⎩⎰⎰F122330sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(偶函数)f (t )的Fourier 积分为j 311()()e d ()cos d 02ππ4(sin cos )cos d 0πtf t F F t t ωωωωωωωωωωωω+∞+∞==-∞+∞-=⎰⎰⎰ 2)所给函数为连续函数，其Fourier 变换为()[]j j ω()()e d e sin 2e d 0tt t F f t f t t t t ωωτ---+∞===-∞⎰⎰F2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞-=⋅⋅=-⎰⎰ (12j j )(12j j )01e e 2j 12j j 12j j t t ωωωω+∞-+--++⎡⎤=+⎢⎥-+-++⎣⎦ ()224252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+=⎪-+-+--+⎝⎭（实部为偶函数，虚数为奇函数）f (t )的Fourier 变换为()j 1()e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ ()()224252j 1cos jsin d 2π256t t ωωωωωωω⎡⎤--+∞⎣⎦=⋅--∞-+⎰ ()()()2224242245cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+⎰⎰⎰这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点-1，0，1且f (-t )= - f (t )是奇函数，其Fourier 变换为()[]j ()()e d 2j ()sin d 0tF f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞⎰⎰F12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω-=-⋅=⎰（奇函数）f (t )的Fourier 积分为()()j j ()e d sin d π0π021cos sin d π0tf t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞=+∞-=⎰⎰⎰1=2其中t ≠-1，0，1（在间断点0t 处，右边f (t )应以()()00002f t f t ++-代替）.3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分结果： 1）()e(0),tf t ββ-=>证明：22cos πd e ;02tt βωωβωβ-+∞=+⎰ 2）()e cos tf t t -=，证明：242πcos d e cos ;042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，证明：2πsin ,πsin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩⎰ 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数，其Fourier 变换为()()j e e d 2e cos d 0t t tF f t t t t βωβωω---+∞+∞⎡⎤===⎣⎦-∞⎰⎰F()2222e cos sin 22t t t t t ββωωωββωβω-=+∞=-+==++ 再由Fourier 变换得()()j 22112e d cos d 2ππ0tf t F t t ωβωωωβω+∞+∞==-∞+⎰⎰ 即 22cos πd e 02tt βωωβωβ-+∞=+⎰2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数，其Fourier 变换为()j j ()e d e cos e d t t t F f t t t t ωωω---+∞+∞==-∞-∞⎰⎰j j j e e e e d 2t t t tt ω---+∞+-∞⎰ (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e d e d e d e d 200tt t t t t t t ωωωω-+----+--+++∞+∞⎧⎫=+++⎨⎬-∞-∞⎩⎭⎰⎰⎰⎰ (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e e e e 21j j 1j j 1j j 01j j 0t t t t ωωωωωωωω+--++-+++-⎧⎫+∞+∞=+++⎨⎬+--∞---∞-+-+-⎩⎭2411111221j j 1j j 1j j 1j j 4ωωωωωω⎧⎫-+=+++=⎨⎬+----+-+-+⎩⎭ 再由Fourier 变换公式得()()2j 41112()e d cos d cos d 2ππ0π04tf t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞+∞+===-∞+⎰⎰⎰ 即 242πcos d e cos 042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）给出的函数为奇函数，其Fourier 变换为()()()ππj j ππed sin ed sin cos jsin d ttF f t t t t t t t t ωωωωω+∞---∞--===-⎰⎰⎰()()ππ002j sin sin d j cos 1cos 1d t t t t t t ωωω⎡⎤=-=+--⎣⎦⎰⎰ ()()2sin 1πsin 1πsin sin 2jsin j j 1010111t t ωωωπωπωπωωωωω⎛⎫+---⎛⎫=-=-= ⎪⎪+-+--⎝⎭⎝⎭ ()()()-1j 2112jsin πe d cos jsin d 2π2π1tF F t t ωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤==+⎣⎦-⎰⎰F20sin ,π2sin πsin d π10,πt t t t ωωωω+∞⎧≤⎪=-=⎨->⎪⎩⎰ 故2πsin ,πsin πsin 2d 10,πt t t t ωωωω+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.解：根据Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有()()002sin d sin d πf t t f ωωτττω+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰002sin d sin d πe t t βτωωτω+∞+-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()220sin cos 2sin d π0e t t βτβωωωωωβτω+-∞⎡⎤-+∞=⎢⎥+⎣⎦⎰ 2202sin d .πt ωωωβω+∞=+⎰ 根据Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有()()002cos d cos d πf t t f ωωτττω+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 002cos d cos d πe tt βτωωτω+∞+-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()220sin cos 2cos d π0e t t βτβωωωωωβτω+-∞⎡⎤-+∞=⎢⎥+⎣⎦⎰ 2202cos d .πt ωωωβω+∞=+⎰ 1-21．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：[]()j j j j 01e e()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τωωωωτωωω-----+∞⎡⎤=====⎢⎥-∞-⎣⎦⎰⎰F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰，()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt tf t F F ωωωωωω--+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰—（令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰ （换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πtF f t ωωω+∞=-=--∞⎰ 所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则()()()()()j j e d e d t tF f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ （令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰ （换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰ 所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证()20012sin πd e αωαωωαω+∞-=>+⎰解：由Fourier 正弦变换公式，有()()s s F f t ω⎡⎤=⎣⎦F ()0sin f t t t ω+∞=⎰d 0sin tt t ω+∞-=⎰e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=+e 21ωω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式，有()120022sin ()()sin 1ss s tf t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===⎡⎤⎣⎦+⎰⎰F d d ππ由此，当0t α=>时，可得()()20sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞-==>+⎰5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ，试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明： 在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞⎡⎤==+-⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()()()cos sin d j sin cos d ri r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()Re Im F j F ωω⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰， ()a ()()()Im sin cos d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∞⎰ ()b1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re cos d r F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im sin d r F f t t t ωω+∞⎡⎤=-⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦ 反之，若已知()()F F ωω-=，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有()()()cos d j sin d r rF f t t t f t t t ωωω+∞+∞=--∞-∞⎰⎰亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re sin d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im cos d iF f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦()(){}Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦()F ω=-反之，若已知()()F F ωω-=-，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰， 亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=，求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为连续的偶函数，由公式有()()j π1sin e d cos d 2π0tf t F t ωωωωωωω+∞+∞==-∞⎰⎰()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωωωωωω+∞++∞-=+⎰⎰但由于当0a >时sin sin sin πd d()d 0002a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===⎰⎰⎰ 当0a <时sin sin()πd d 002a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-⎰⎰ 当0a =时，sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得 ()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πtt t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=-∞+∞+∞=++--∞-∞⎰⎰⎰j j 00011e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier 变换.解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222a a t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解 ：—()()()()j 1δδδδe d 222t a a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥=-==-=⎢⎥⎣⎦cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知()()000sin j πδδt ωωωωω⎡⎤=+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦F 由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由()()3j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t tf t t --⎛⎫-===-+- ⎪⎝⎭即得()()()()()πjδ33δ13δ1δ34f t ωωωω⎡⎤⎡⎤=---++-+⎣⎦⎣⎦F12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于()π1sin 5sin532f t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()()()()()πjδ5δ5δ5δ522f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F .14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ，其中()t ϕ为一实数，则 ()()()1cos 2t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦F()()()1sin 2j t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦F其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为 ()()j j ee d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()j j j j ee d ee d t t tt F t t ϕϕωωω+∞+∞---∞-∞-==⋅⎰⎰()()()()()()j j j j 1e eed cose d cos 22t t tt F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解 ：02π,T ω=()1,00,ht t T f t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他()00111d d 2TTh C f t t ht t TTT ===⎰⎰()()000j j j 02011ed e d e d TTTn tn t n t n ht h C F n f t t t t t TTT Tωωωω---===⋅=⎰⎰⎰00j j 211j e e d j j 2πTn t n t Thht T n n n ωωωω--⎡⎤=⋅+=⎢⎥-⎣⎦⎰()()()()()000j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h hF n h n n n ωωωωωωω+∞+∞=-∞=-∞≠≠=+⋅-=+⋅-∑∑1－31．若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数，证明（线性性质）：1212()()()()f t f t F F αβαωβω+=+⎡⎤⎣⎦F -11212()()()()F F f t f t αωβωαβ+=+⎡⎤⎣⎦F分析：根据Fourier 变换的定义很容易证明. 证明：根据Fourier 变换与逆变换的公式分别有1212()()()()tf t f t f t f t t ωαβαβ+∞--∞+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰F j e d12()()tt f t t f t t ωωαβ+∞+∞---∞-∞=+⎰⎰j j ed e d12()()F F αωβω=+-112121()()()()2tF F F F ωαωβωαωβωω+∞-∞+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰Fj e d π1211()()22t tF F ωωαωωβωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰j j e d e d ππ12()()f t f t αβ=+6．若()[()]F f t ω= F ，证明（翻转性质）：()[()]F f t ω-=- F 分析：根据Fourier 变换的定义，再进行变量代换即可证明. 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-⎰F j e d （令t u -=）()()u f u u ω+∞---∞=⎰j e d（换u 为t ）()()tf t t ω+∞---∞=⎰j ed()F ω=-9．设函数()1,10,1t f t t ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，利用对称性质，证明：π ,1sin .0,1t t ωω⎧<⎪⎡⎤=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞=⎰F j e d 11t t ω--=⎰j e d1cos t t ω=⎰d 1sin tt ωω=⎰d由对称性质：()[()]f t F ω= F ，则()[()]2,F t f ω=-F π有()sin [()]2t F t f t ω⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦F F π (),1sin 0,1t f t ωωω⎧<⎪⎡⎤=-=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F π π 12．利用能量积分()()2212f t t F ωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰d d π，求下列积分的值： 1）21cos xx x +∞-∞-⎰d ； 2）42sin x x x +∞-∞⎰d ；3）()2211x x +∞-∞+⎰d ；4）()2221x x x +∞-∞+⎰d .解：1）2222sin 1cos 2xxx x x x +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d（令2xt =）2sin t t t +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰d 21sin 2t t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰F d π 12112ω-=⎰πd π=π 2）()22422sin 1cos sin x x xx x x x+∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d 22sin sin cos x x x x x x x +∞+∞-∞-∞⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d d 21sin 2t t t +∞-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰πd22=πππ-=3）()22221111x t t x +∞+∞-∞-∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭+⎰⎰d d 221121t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰F d π，其中221111tt t t ω+∞--∞⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦⎰F j e d 20cos 21t t t ω+∞=+⎰d 22ωω--==πe πe 从而()2221121x x ωω+∞+∞--∞-∞=+⎰⎰d πe d π2201ωω+∞-=⎰πe d π20122ω-+∞=⋅=-ππe 4）()()2222221111x x x x x x +∞+∞-∞-∞+-=++⎰⎰d d ()2221111x x x x +∞+∞-∞-∞=-++⎰⎰d d arctan 2x+∞-∞=-π2222=+-=ππππ1－41.证明下列各式： 2）()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦；6）()()()()()()121212d dd;d d d f t f t f tf t f t f t tt t⎡⎤==⎣⎦ 10)()()()d t f t u t f ττ-∞=⎰分析：根据卷积的定义证明. 证明： 2) ()()()123f t f t f t ⎡⎤⎣⎦()()()123d f f t f t ττττ+∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰()()()132d f f u f t u du τττ+∞+∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()132d d f f u f t u u τττ+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰()()()123d d f f t u f u uτττ+∞+∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()123d f t u f t u f u u +∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰()()()123f t f t f t ⎡⎤=⎣⎦6）()()()()1212d d d d d f t f t f f t tt τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰()()()()1212ddd d d f f t f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=⋅-=⎣⎦⎰, ()()()()1212d d d d d f t f t f t f t t τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ ()()()()1212d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.10) ()()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞=-⎰()1,0,t u t t τττ⎛⎫⎧<⎪-= ⎪⎨ ⎪>⎪⎩⎝⎭()d t f ττ-∞=⎰. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==，求()()12f t f t .注意：不能随意调换()1f t 和()2f t 的位置.解：由()()1e ,0e 0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩，()()2sin ,0sin 0,0t t f t tu t t >⎧==⎨<⎩， 所以 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰要确定()()210f f t ττ-≠的区间，采用解不等式组的方法.因为()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须满足 00t ττ>⎧⎨->⎩, 即0t ττ>⎧⎨<⎩, 因此 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰()0sin ed t t ατττ--=⎰e sin e d t t αατττ-=⎰（分部积分法）()2e sin cos e 10ttατααττα-⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ ()22e sin cos 1e11tαταατταα-⎡⎤-=+⎢⎥++⎣⎦ 2sin cos e 1tααττα--+=+ 4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F ，证明:()()()()11221*2πF f t t F f ωω⎡⎤⋅=⎣⎦F证明:()()()()121211d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞-∞=⋅-⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰—()()j 121e d d 2πut f t F u u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j 121e e d d 2πst tf t F s s t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()()j 1212e d t f t f t t f t f t ω+∞--∞⎡⎤=⋅⋅=⋅⎣⎦⎰F5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=⋅； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=⋅； 5）()()0j 0e t f t u t t ω=-；解: 1）已知()()1πδj u t ωω⎡⎤=+⎣⎦F ,又 ()()()()()00j j 01sin e e 2jtt f t t u t u t u t ωωω-=⋅=-. 由位移性质有()()()()()0000111πδπδ2j j j f t ωωωωωωωω⎛⎫⎡⎤=-+-+- ⎪⎣⎦ ⎪-+⎝⎭F()()000220πδδ2j ωωωωωωω⎡⎤=--+-⎣⎦-. 2）由Fourier 变换的定义，有()()j 00e sin e sin e d t t tt u t t u t t ββωωω+∞----∞⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎰F ()j 00sin ed tt t βωω+∞-+=⎰()()()j 000220ej sin cos 0j tt t βωβωωωωβωω-+⎡⎤-+-+∞⎣⎦=++()22j ωβωω=++5）利用位移性质及()u t 的Fourier 变换，有()()0j 0e t u t t u t ω-⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦F F ()0j 1e πδj t ωωω-⎛⎫=+⎪⎝⎭再由象函数的位移性质，有()()()()000j j 0001e e πδj t tu t t ωωωωωωω--⎡⎤⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦F 7．已知某信号的相关函数()21e 4a R ττ-=，求它的能量谱密度()S ω，其中0a >.解 由定义知()()j e d S R ωτωττ+∞--∞=⎰2j 1e e d 4a τωττ+∞---∞=⎰ 02j 2j 011e e d e e d 44a a τωττωτττ+∞----∞=+⎰⎰ ()()()2j 2j 001e 1e 42j 42j a a a a ωτωτωω--++∞=+--∞-+2211142j 2j 4aa a a ωωω⎛⎫=+= ⎪-++⎝⎭ 9．求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度. 解: 因为()()e ,0e0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩,()()()()e,e0,t t t f t u t t ατατττττ-+-+⎧>-⎪+=+=⎨<-⎪⎩当0τ>时，()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞，所以()()()()d e ed t t R f t f t t t αταττ+∞+∞-+--∞=+=⎰⎰22011eed ee e 22tt t αταατααταα+∞-----+∞===--⎰当0τ<时，()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞，所以()()()d R f t f t t ττ+∞-∞=+⎰()e ed t t t ατατ+∞-+--=⎰2eed tt ατατ+∞---=⎰21e e2t ατατα--+∞-=-21e e 2ατατα-=1e 2ατα= 因此，()1e2R αττα-=，现在可以求得()f t 的能量谱密度，即 ()()j ed S R ωτωττ+∞--∞=⎰j 1e e d 2ατωττα+∞---∞=⎰()()0j j 01e d e d 2αωταωτττα+∞--+-∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()j j 0111e e 2j j 0αωταωτααωαω--+⎡⎤+∞=+⎢⎥--∞-+⎣⎦1112j j ααωαω⎡⎤=+⎢⎥-+⎣⎦221αω=+ 1－51．求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 分析：求解微分、积分方程的步骤：1）对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程； 2）解代数方程得象函数；3）取Fourier 逆变换得象原函数（方程的解）.解：设()(),x t X ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，得 ()()j 1.X X ωωω+= 即()1.1X j ωω=+其逆变换为()0,0.e ,0tt x t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 4．求解下列积分方程： 1）()()()222210;y a b t b t aτττ+∞-∞=<<+-+⎰d2）()222t t y τττ+∞----∞=⎰e d πe.解：1）利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数()y t 与221t a+的卷积，即()221y t t a+.设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，有()222211y t t a t b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥*+⎢⎥⎣⎦⎣+⎦F F即()222211y t t a t b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎣⎦⎢+⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+F F F 易知：22cos 2tt βωωβωβ+∞-=+⎰πd e ，有 ()222211t tY t t t a t bωωω+∞+∞---∞-∞⋅=++⎰⎰j j e d e d 即()222200cos cos 22t t Y t t t a t bωωω+∞+∞⋅=++⎰⎰d d 所以()()22b b a a a b Y b aωωωω----==πee πe由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-⎡⎤=⎢⎦=⎥++⎣⎰F ，()()-1b a a y t e b ω--⎥=⎡⎤⎢⎣⎦F()-1-b a a b a b b a ω--=⋅-⎡⎤⎢⎥⎣⎦F πe π()()22--a b a b t b a =⎡⎤+⎣⎦π.2）设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，同理可得()22e 2πe t t y t --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦F F利用钟形脉冲函数的Fourier 变换224e eπt A A ωβββ--⎡⎤=⎣⎦F 及由Fourier 变换的定义可求得：222e tβββω-⎡⎤=⎣⎦+F ，从而 ()22e 2πe t t y t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦F F F即()()2222222121Y ωωωωω--==++πe πe()22222ωωω--=-πeπj e从而()()222-1-122y t ωωω--⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πe πj e F F ， 其中，记()22ef t ω-⎡⎤=⎣⎦F ，则()222πet f t -=，上式中第二项可利用微分性质()()()()2222f t f t ωωω-''⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F j j e，则()()2222-12222t f t t ωω--⎡⎤⎛⎫''== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭F πd j e e d 2222t-=πe 因此()2222222t t y t --=⋅-πeπeππ222221t t -⎛⎫=- ⎪⎭e π.5.求下列微分方程的解()x t ：()()()()d ax t b x f t ch t τττ+∞-∞'+-=⎰其中()(),f t h t 为已知函数，,,a b c 均为已知常数.解：设()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦F F F 对方程两边取Fourier 变换，可得()()()()j a X bX F cH ωωωωω+= 即()()(),j cH X a bF ωωωω=+从而()()()()-1.12tcH X a bF x t ωωωωωω+∞-∞⎡⎤==⎣⎦+⎰Fj πe d j 2－11．求下列函数的Laplace 变换，并给出其收敛域，再用查表的方法来验证结果.1)()sin 2tf t =.分析：用Laplace 变换的定义解题.解： j j 22001sin sin d d 222j e e e st s t s t t t t t ⎛⎫⎛⎫+∞+∞--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎰⎰L ()21112Re()0j j 2j 4122s s s s ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦>. 2)()2e t f t -=.解：()()d d Re()e e eett sts tt t s s >-2222012+∞+∞----+⎡⎤===⎣⎦+⎰⎰L . 3)()2f t t =. 解：2220000112e d d(e )2e d e st stst st t t t t s s t tt -+∞+∞+∞--+∞-⎡⎤⎡⎤==-=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰L ∣()022300222d(e )e e d Re()0st st st t t t s sss+∞+∞--+∞-⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∣ >.4)()sin cos f t t t =. 解：[]0sin cos sin cos e d st t t t t t +∞-=⎰L01sin 2e d 2stt t +∞-=⎰22121244s s =⋅=++. 7)()2cos f t t =.解 ：22001cos 2cos cos e d e d 2ststt t t t t +∞+∞--+⎡⎤==⎣⎦⎰⎰L ()()2j 2j 001111cos 2e d e e d 2224s t s t st t t t s s +∞+∞--+-⎡⎤=+=++⎣⎦⎰⎰ ()2211112242j 2j 4s s s s s s ⎡⎤+=++=⎢⎥-++⎣⎦. 2．求下列函数的Laplace 变换：1)()3,021,2 4.0,4t f t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩解： ()()24002d 3d d e e e stststf t f t t t t +∞---⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰L()∣∣24240231134.e e e e st st s ss s s----=-+=-+2)()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解：()()π2π02e d 3e d cos e d stst stf t f t t t t t +∞+∞---⎡⎤==+⎣⎦⎰⎰⎰L ()()()∣∣j j πj -j π22ππ0223e e 31e e d 122j j e e e s t s tt tsst st t s s s s --++∞+∞---⎛⎫+⎛⎫ ⎪=-+=-++ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰()()()()ππj j πππ222222313111e e Re()02j j 1e e e s s s ss s s s s s s -+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+-=--> ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭3) ()()2e 5δt f t t =+解：()()()()220005δe d d 5δe d e et s tst st f t t t t t t +∞+∞+∞---⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L()0115e 5Re()222st t s s s -==+=+>--∣. 4)()()()cos δsin f t t t t u t =⋅-⋅ 解：()()()()()0δcos sin ed δcose d sin e d stst st f t t t u t t t t t t t t+∞+∞+∞---⎡⎤=-=-⎣⎦⎰⎰⎰L()()()∣∣∣j j j 00011cos e e d 12j 2j j j e e ees tj s tttst st t t t s s--++∞+∞+∞---=⎡⎤⎢⎥=--=-+-+⎢⎥⎣⎦⎰ ()222111111Re()2j j j 11s s s s s s ⎛⎫=---=-= ⎪+-++⎝⎭>0. 2－21．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++.解:由[]2132!1232132m m m t s s s s st t +⎡⎤⎡⎤==++=++⎣⎦⎣⎦及有L L L .2)()1e t f t t =-. 解 ：[]()()1111,e e t tt t t s ss s --⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦222+1-1L L,L 1-.3)()()21e t f t t =-. 解：()22-1e e 2e e t t t tt t t ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦L L ()()()232322145.-1-1-1s s s s s s -+=-+=-1 5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有:[][]()2222222d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭+L L 6) ()5sin23cos2f t t t =-解:已知[][]2222sin ,cos st t s s ωωωωω==++L L ,则 []522222103sin 23cos 253444s t t s s s --=-=+++L 8)()4e cos4t f t t -=. 解: 由[]2cos 416t s +s=L 及位移性质有 42cos 4416e ts t s -⎡⎤=⎣⎦++4（＋）L . 3．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的微分性质）:()()()()()1,Re nn nF s t f t s c ⎡⎤=->⎣⎦L特别地，()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L ，或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ，并利用此结论计算下列各式：1）()3e sin2t f t t t -=，求()F s . 解：()()()322sin 224ett s s ωωω-===++22+3+3L,()()()()()32222343d 2sin 2d 444e ts s t st s s s -⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦222+3+3+3L2)()30e sin 2d tt f t t t t -=⎰，求()F s .解：()0332112sin 2d sin 234e e t t tt t t s s s --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎰L L ,()()()02322222312132sin 2d 3434e t t s s t t t s s s s -'⎛⎫++ ⎪⎡⎤=-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎡⎤⎡⎤ ⎪++++⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰L3)()1ln1s F s s +=-，求()f t . 解:()1ln,1s F s s +=-()(),F s f t ⎡⎤=⎣⎦令-1L()()()()()()'211111ee ttF s tf t tf t s s s -=-=-=-=-=--+-2L L L故 ()()-12sinh tF s f t t⎡⎤==⎣⎦L. 4．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的积分性质）:()()d s f t F s s t ∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L ，或()()1d s f t t F s s ∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L并利用此结论计算下列各式：1)()sin ktf t t=，求()F s . 解: ()2222sin kkkt s s kωωω===++L , 222sin 1d d 1s skt k s s t s k k s k ∞∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰L πarctan arctan 2ss s k k∞==- 2)()3e sin 2t tf t t-=，求()F s .解:()()322e sin 234t t s -=++L ,()32e sin 22π3d arctan 2234t s t s s t s -∞⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦⎰L 2－31．设()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c ），且()()()()1212,f t f t F s F s ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦L L ，则乘积()()12f t f t ⋅的Laplace 变换一定存在，且()()()()j 1122j 1d 2πj F q F s q q f t f t ββ+∞-∞⎡⎤=-⎣⋅⎦⎰L其中(),Re .c s c ββ>>+证明： 已知()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件且其增长指数均为c ，由Laplace 变换存在定理知()()12f t f t ⋅也满足Laplace 变换存在定理的条件且()()()()1212e e ct ct f t f t f t f t M M ⋅=⋅≤⋅22e ,0ct M t =≤<+∞ 表明()()12f t f t ⋅的增长指数为2c .因此()()12f t f t ⋅的Laplace 变换()()()120e d st F sf t f t t +∞-=⎰在半平面()Re 2s c >上一定存在，且右端积分在()()Re s c c ββ≥+>上绝对且一致收敛，并且在()Re 2s c >的半平面内，()F s 为解析函数.根据()()11F f t s ⎡⎤=⎣⎦L ，则()1f t 的Laplace 反演积分公式为()()11j j 1e d 2πj qt q f F q t ββ+∞-∞=⎰ 从而()()()()12120e d stf t f t f t f t t +∞-⎡⎤⎣⋅=⎦⎰L()()j 12j e d 1e d 2πj q s t tF q q f t t ββ+∞+--∞∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰（交换积分次序）()()()1j 0j 2e 12πj d d s q t F q f t t q ββ++∞-∞∞--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 12j 1d 2πjF q F s q q ββ+∞-∞=-⎰ 2．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）；并用另一种方法加以验证. 1）()221F s s a=+. 2）()()()sF s s a s b =--.3）()()()2s cF s s a s b +=++.10）()()()2214sF s ss =++.解： 1）12211sin at s a a -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L. 2）()()1sa b s a s b a b s a s b ⎛⎫=- ⎪-----⎝⎭, ()()()11e e .at bt s a b s a s b a b-⎡⎤=-⎢⎥---⎣⎦L3）()()()()()222111s cc a b c F s s a s b b a s a s b b a s b +--⎡⎤==-+⋅⎢⎥++-⎣⎦++-+, 故()()()()1222e at bts c c a b c a c e t b a s a s b b a a b ---⎡⎤⎡⎤+---⎢⎥⎢⎥=++-++--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L10）由()()()2222131414ss s s s s F s s ⎛⎫=⎪++++⎝⎭＝－，有 ()()()11cos cos 23f t F s t t -⎡⎤==-⎣⎦L.3．求下列函数的Laplace 逆变换： 1）()()2214F s s=+.6）()221ln s F s s -=.13）()221e sF s s -+=.解 ： 1）用留数计算法，由于122j,2j s s ==-均为()F s 的二级极点，所以()()()()()2112211e 2j 2j Res k s sts k F s F s s s f t --==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣-⎦+∑LL()()2222j j e e 2j 2d d lim lim d d j st s s t s s s s s →→-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎦⎣-⎣⎦+⎥ ()()()()()()2j 22244j22j 22j e e e e 2j 2j 2j 2l j im lim s s st st st st s s t t s s s s →→-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++---++⎢⎥⎢⎣⎦⎣-⎦-⎥ 2j 2j 2j 2j 8j 8j e e e e 1625616256t t t t t t --=---+ 2j 2j 2j 2j e e 1e e sin 2cos 282162j 168t t t t t t t t --+-=-+=-6）令()()()22212ln ,ln 1s F s F s s s s -'==-, ()()()()112e e 211t t F s tf t s s s-'=+-=+-=-+-L L , ()()21212ln 1cosh s f t t s t -⎛⎫-==- ⎪⎝⎭L. 13）2211122221e 1e s s ss s s -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL ()()()21,222,02t t t t u t t t ⎧->⎪=+--=⎨≤<⎪⎩.2－41.求下列卷积：3）mt n t （,m n 为正整数）. 解：mt ()()()0d 1C d nttnknm mk n k k n k t t t ττττττ-==⋅-=-∑⎰⎰()()001C d 1d C nnt tkkk n km km k k n knn k k tt ττττ-++-===-=-⋅∑∑⎰⎰ ()()()11001C 1C 11m k n k nnkk k m n k n nk k t t t m k m k ++-++==⋅=-⋅=-++++∑∑()1!!1!m n m n t m n ++=++.注:本小题可先用卷积定理求出mt n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积6)sin kt ()sin 0kt k ≠.解 ：sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2ttkt k k t kt k kt τττττ⎡⎤=-=---⎣⎦⎰⎰ ()()011cos cos 2d 224tt kt k t t k k ττ=-+--⎰()0sin 211sin cos cos 2422tt k ktt kt t kt kkτ-=-+=-+. 7) t sinh t解 ：t sinh sinh t t = t ()0sinh d tt τττ=⋅-⎰()()0011e d e d 22t t t t ττττττ-=---⎰⎰ ()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττττ---⎡⎤=-+-=-++-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 9)()u t a - ()()0f t a ≥ .解：()u t a - ()()()()00,d d ,tt a t a f t u a f t f t t a τττττ⎧<⎪=-⋅-=⎨-≥⎪⎩⎰⎰.10) ()δt a - ()()0f t a ≥. 解： 当t a <,()δt a - ()0f t =. 当t a ≥,()δt a - ()()()0δd tf t a f t τττ=-⋅-⎰()()()()δd aa f t f t f t a τττττ+∞-∞==-⋅-=-=-⎰.2.设()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，利用卷积定理，证明:()()0d t F s f t t s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L 证明：()()()()()1f t u t f t u t F s s⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L ，。

0
eateit dt
0
R
0
= lim e(ai)t dt lim e(ai)t dt
R
=
lim
R
0
e(ai )t (a i)
R 0
R R
lim e(ai)t R a i
0 R
1 a i
1 a i
2a a2 2
;
F1[F ()]
1 2
F ()eitd=
1 2
2a a2 2
sin
td
2
0
1 0
1d
cos
sin td
2
0
1
cos
1 0
1 0
cos d
sin td
2
0
1
cos
sin
1 sintd 0
2
0
1
cos
sin
sin
td
2
sin
2
cos
sin td
0
3
0,
(2)
f
(t
)
1,
1,
0,
2
1 2i (cos sin )(cost i sin t)d
2
2 sin sin t cos sin t d
0
2
解法二：由于 f(t)为奇函数，故由课本 P12 页的(1.12)式可知，
f
(t)
2
0
0
f
(
) sin d
sin
td
2
0
1 0
sin d
(1)
f
(t
)
t, 0,
| t | 1

Hence the Fourier cosine series is given by 1 cos 2nx. 2−1 4 n n=1
∞
1 2 4 cos nx = − 2−1 n π π even n
Assume the Fourier cosine series converges pointwise to | sin x| on (−π, π ), then we have that | sin x| = Set x = 0, we get that 2 4 − π π
0
π 2
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Jacky Chong which means Y2 = X2 − (X2 , Z1 )Z1 7 = (cos x − cos 2x). 2 Computing the norm of Y2 yields Y2 then it follows Z2 =
2 2 π
Problem 3
k−1 k −1 i=1 (Xk , Zi )Zi , Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi ) k−1 Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi 2
= 1.
(b) Observe cos x + cos 2x
2 2
π
=
0 π
| cos x + cos 2x|2 dx cos2 x + 2 cos x cos 2x + cos2 2x dx
k−1 i=1 (Xk , Zi )(Zi , Zl ) k−1 Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi k−1 (Xk , Zl ) − i=1 (Xk , Zi )δil k −1 Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi
1 0

定理3 (收敛性定理)设以 为周期的函数 在 上按段光滑，则
，
定理4如果 在 上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则
．
定理5如果 在 按段单调，则
．
二 习题解答
1设 以 为周期且具有二阶连续的导函数，证明 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ．
证：由题目设知 与 是以 为周期的函数，且光滑，
故 ，
，
且 ．
5.47．某信号的频谱密度函数为 则 （）
A． B。2
C． D。2
6.52．已知信号 的傅氏变换为 则 的傅氏变换为（）
A． B。
C． D。
7.98． 周期信号的傅立叶变换为（）
A． B。2 C。
8.3。符号函数 的频谱函数F(jω)=________________。
六、有一幅度为1，脉冲宽度为2ms的周期矩形脉冲，其周期为8ms，如图所示,求频谱并画出频谱图频谱图。（10分）
当 时，
．
于是
．
由贝塞尔不等式得 收敛，又 收敛，
从而 收敛，
故 在 上一致收敛．
2设 为 上可积函数，证明：若 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ，则成立贝塞尔(Parseval)等式
，
这里 为 的傅里叶系数．
证：设 ，
因为 的傅里叶级数在 上一致收敛于 ，
所以 ，
．
于是 ．而
．
所以 时，
，
故 ．
3由于贝塞尔等式对于在 上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式．
证：因为 为 上光滑函数，所以 为 上的连续函数，故可积．
由系数公式得
．
当 时，
．
故结论成立．
10证明：若三角级数 中的系数 满足关系 ， 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．