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1-21．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：[]()j j j j 01e e()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τωωωωτωωω-----+∞⎡⎤=====⎢⎥-∞-⎣⎦⎰⎰F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰，()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt tf t F F ωωωωωω--+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ （令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰（换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πtF f t ωωω+∞=-=--∞⎰ 所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则()()()()()j j e d e d t t F f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ （令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰（换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证()20012sin πd e αωαωωαω+∞-=>+⎰解：由Fourier 正弦变换公式，有()()s s F f t ω⎡⎤=⎣⎦F ()0sin f t t t ω+∞=⎰d 0sin tt t ω+∞-=⎰e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=+e 21ωω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式，有()120022sin ()()sin 1s s s t f t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===⎡⎤⎣⎦+⎰⎰F d d ππ 由此，当0t α=>时，可得()()2sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞-==>+⎰5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ，试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明： 在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞⎡⎤==+-⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()()()cos sin d j sin cos d ri r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()Re Im F j F ωω⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰， ()a ()()()Im sin cos d ri F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∞⎰()b 1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re cos d rF f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰()()Im sin d rF f t t t ωω+∞⎡⎤=-⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦反之，若已知()()F F ωω-=，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有()()()cos d j sin d r rF f t t t f t t t ωωω+∞+∞=--∞-∞⎰⎰ 亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re sin d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im cos d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦()(){}Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦()F ω=-反之，若已知()()F F ωω-=-，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰， 亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=，求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为连续的偶函数，由公式有()()j π1sin e d cos d 2π0tf t F t ωωωωωωω+∞+∞==-∞⎰⎰ ()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωωωωωω+∞++∞-=+⎰⎰ 但由于当0a >时sin sin sin πd d()d 0002a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===⎰⎰⎰ 当0a <时sin sin()πd d 002a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-⎰⎰当0a =时，sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得 ()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πt t t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=-∞+∞+∞=++--∞-∞⎰⎰⎰j j 00011e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier变换.解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222aa t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解 ：()()()()j 1δδδδe d 222ta a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥=-==-=⎢⎥⎣⎦cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知()()000sin j πδδt ωωωωω⎡⎤=+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦F由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由()()3j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t t f t t --⎛⎫-===-+- ⎪⎝⎭即得()()()()()πjδ33δ13δ1δ34f t ωωωω⎡⎤⎡⎤=---++-+⎣⎦⎣⎦F12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于()π1sin 5sin5cos5322f t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()()()()()πjδ5δ55δ52f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F . 14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ，其中()t ϕ为一实数，则()()()1cos 2t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦F ()()()1sin 2j t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦F 其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为 ()()j j e e d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()j j j j ee d ee d t t tt F t t ϕϕωωω+∞+∞---∞-∞-==⋅⎰⎰()()()()()()j j j j 1e ee d cos e d cos 22t t t t F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解 ：02π,T ω=()1,00,ht t Tf t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他()00111d d 2TTh C f t t ht t TTT ===⎰⎰()()000j j j 02011e d e d e d TTTn t n t n t n ht h C F n f t t t t t TTT Tωωωω---===⋅=⎰⎰⎰00j j 211j e e d j j 2πTn t n t Thht T n n n ωωωω--⎡⎤=⋅+=⎢⎥-⎣⎦⎰()()()()()000j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h hF n h n n nωωωωωωω+∞+∞=-∞=-∞≠≠=+⋅-=+⋅-∑∑。
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
第一章快速傅里叶变换（FFT ）4.1 填空题（1）如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 点。
解：64+128-1＝191点; 256(2)如果一台通用机算计的速度为：平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算N=1024点的DFT )]([n x 。
问直接运算需（ ）时间，用FFT 运算需要（ ）时间。
解：①直接运算：需复数乘法2N 次，复数加法）（1-N N 次。
直接运算所用计算时间1T 为s s N N N T 80864.12512580864020110021==⨯-+⨯=μ）（② 基2FFT 运算：需复数乘法N N2log 2次，复数加法N N 2log 次。
用FFT 计算1024点DTF 所需计算时间2T 为s s N N N NT 7168.071680020log 100log 2222==⨯+⨯=μ。
(3)快速傅里叶变换是基于对离散傅里叶变换 和利用旋转因子k Nj e π2-的来减少计算量，其特点是 _______、_________和__________。
解：长度逐次变短；周期性；蝶形计算、原位计算、码位倒置 （4）N 点的FFT 的运算量为复乘 、复加 。
解：N NL N mF 2log 22==；N N NL aF 2log ==4.2 选择题1．在基2DIT —FFT 运算中通过不断地将长序列的DFT 分解成短序列的DFT ，最后达到2点DFT 来降低运算量。
若有一个64点的序列进行基2DIT —FFT 运算，需要分解 次，方能完成运算。
A.32 B.6 C.16 D. 8 解：B2．在基2 DIT —FFT 运算时，需要对输入序列进行倒序，若进行计算的序列点数N=16，倒序前信号点序号为8，则倒序后该信号点的序号为 。
积分变换练习题 第一章 Fourier 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§1 Fourier 积分 §2 Fourier 变换一、选择题1．设0()()f t t t δ=-，则[()]f t =F [ ] （A ）1 （B ）2π （C ）0j t eω （D ）0j t eω-000[()]()i t i t i t t t f t t t e dt e e ωωωδ∞---=-∞⎛⎫=-== ⎪⎝⎭⎰F 二、填空题1．设0a >，,0(),0at at e t f t e t -⎧<=⎨>⎩，则函数()f t 的Fourier 积分表达式为2202cos atdt a ωπω∞+⎰ 000()()00()()2201()[()]()==lim lim 112=lim lim ;()112[()]()=22i t at i t at i t R a i t a i tR R R R a i t a i t R R R i tF f t f t e dt e e dt e e dt e dt e dt e e a a i a i a i a i a F F e d ωωωωωωωωωωωωωωωωωππ∞∞-----∞-∞-+-→∞→∞--+-→∞→∞-∞--∞==+++=+=-+-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰F F 22220(cos sin )2cos =a t i t d a a t d a ωωωωωωπω∞-∞∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎰⎰ 2．设[()]()f t δω=F ，则()f t =12π1111[()]()=222i ti t e d e ωωωδωδωωπππ∞-=-∞⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰F 3．设2()sin f t t =，则[()]f t =F ()[(2)(2)]2ππδωδωδω-++-2221cos2[()]()=sin 211()()[(2)(2)]242i t i t i t i t it it i tt f t f t e dt te dt e dt e dt e e e dt ωωωωωππδωδωδω∞∞∞----∞-∞-∞∞∞----∞-∞⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=-++- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰F4．设()δt 为单位脉冲函数，则2()cos ()3πδ+∞-∞+=⎰t t dt 14221()cos ()cos ()334t t dt ππδ+∞-∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭⎰ 三、解答题1．求下列定积分： (可用《高等数学》的方法做)1(1)sin azebzdz ⎰ 1(2)cos azebzdz ⎰1()111()0000222222101(cos sin )((cos sin )1)()cos sin 1sin cos (cos sin )(co a ib z a ib az az ibz a ib za a a a a azaxe e e bz i bz dz e e dz e dz a iba ibe b i b a ib ae b be b ae b be b b i a b a b a b I e bz i bz dz e +++-+====+++-+--+-==++++=+=⎰⎰⎰⎰在原积分中，由于被积函数解析，则1111s sin ),cos Re ;sin Im ax ibx azaz bx i bx dx e e dx e bzdz I e bzdz I+===⎰⎰⎰⎰从而 2．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ≤≤⎧=⎨⎩其他的Fourier 变换。
(1)[()]()=Ai i ti tA e f t f t edt Aedt i τωωωω∞----∞-==⎰⎰F3．求下列函数的Fourier 积分： ,||1(1)()0,||1t t f t t ≤⎧=⎨>⎩，解法一：1112221()()=1112sin (cos )112sin ()()(cos )2212sin (cos )(cos sin )22sin sin cos sin i ti t i ti i i ti t F f t edt te dti ti i ie e e if t F e d e d it i t d t tωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωππωωωωωωωπωωωωωωωπ∞---∞----∞∞-∞-∞∞-∞=++-==-=-==-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰；2d ωω∞⎰解法二：由于f(t)为奇函数，故由课本P12页的(1.12)式可知，100001110000010022()()sin sin sin sin 2121cos sin cos cos sin 21sin 21sin cos sin cos f t f d td d td d td d td td τωττωωτωττωωππτωτωωτωτωττωωπωπωωτωωωωωπωωπωω∞∞∞∞∞∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤--=⋅=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤--⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰02sin 2sin cos sin td td ωωωωωωωπω∞∞-=⎰⎰110,1,1,10,(2)()1,01,0,1.()()()=()(cos sin )2()sin 2cos 2(cos 1)2sin 112(cos ()()=22i ti tt t f t t t f t F f t edt f t t i t dt i f t tdti ti i tdt i f t F e dt ωωωωωωωωωωωωωππ∞∞∞--∞-∞∞-∞-∞<<-⎧⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩=-=--=-===⎰⎰⎰⎰⎰解法一：为奇函数，从而1)(cos 1)(cos sin )2(1cos )sin i t e dtit i t tdt dtωωωωωωωπωπω∞-∞∞∞-∞--+-==⎰⎰⎰解法二：同上题，根据余弦逆变换公式可得：10000100022()()sin sin sin sin 2cos 21cos sin sin f t f d tdt d tdttdt tdt τωττωωττωππωτωωωπωπω∞∞∞∞∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤--==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．求函数sin ,||()0,||t t f t t ππ≤⎧=⎨>⎩的Fourier 积分,并计算下列积分：2sin ,||sin sin 210,||t t t d t ππωπωωωπ+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰解：同上题，0000000022()()sin sin sin sin sin 11sin(1)sin(1)[cos(1)cos(1)]sin sin 111sin(1)sin(1)11f t f d tdt d tdtd tdt tdt ππππτωττωτωττωππωτωτωτωττωωππωωωπωππωω∞∞∞∞∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤+-=-+--=--⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦+-⎡⎤=--⎢+-⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰220002sin sin 2sin sin sin 11t ttdt dt dt ωπωωπωωπωπω∞∞∞=-=⎥--⎦⎰⎰⎰(0)(0)0.2f f t πππ±++±-=±=当时，从而2sin ,||sin sin 210,||t t t d t ππωπωωωπ+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰5．设a 为实数，求积分j 21a e d ωωω+∞-∞+⎰的值。
(分别讨论a 为正实数和负实数的情形) 222201()12Res[(),]2lim ;102Res[(),]2lim .11ia iaz iaza z i ia ia iaz iaz a z i a R z z i z e e d i R z e i i e z ia e e e d d i R z e i i e z i ωωσσωωπππωωσπππωσ+∞--∞→--=-+∞+∞--∞-∞→>==+===++<====+++⎰⎰⎰当时，在上半平面只有一个奇点，从而当时，解法二：参考课本146页Fourier 变换表中的21，即222[]Re()0c tce c c ω-=<+， 取c=-1，从而-22[]1te ω=+，则积分 j 122j 211[]211221taa t a t aa ae e ed e d eωωωπωωωπω--+∞--∞==+∞--∞===++⇒=+⎰⎰积分变换练习题 第一章 Fourier 变换________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______§3 Fourier 变换的性质 §4 卷积与相关函数一、选择题1．设[()]()f t F ω=F ，则[(2)()]t f t -=F [ ] （A ）()2()F F ωω'- （B ）()2()F F ωω'-- （C ）()2()iF F ωω'- （D ）()2()iF F ωω'-- （利用Fourier 变换的线性性质和象函数的导数公式）2．设[()]()f t F ω=F ，则[(1)]f t -=F [ ] （A ）()j F eωω- （B ）()j F eωω-- （C ）()j F eωω （D ）()j F eωω-1(1)()[(1)](1)()()()()t s i t i s i i s i f t f t e dt f s e ds e f s e ds e F ωωωωωω-=+∞-∞----∞+∞+∞-----∞⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎪==-⎝⎭⎰⎰⎰ 二、填空题1．设23[()]1f t ω=+F ，则()f t =-32te-2--22--[]1333[]()212ttte e ef t ωω⎛⎫= ⎪+ ⎪ ⎪=⇒= ⎪+⎝⎭由1三5解法二中的分析可知：，从而2．设()()tf t e u t -=⋅，则[()]f t =F 。
()()Fourier ['()][()]()()()()()()()()()[][()()][()][()]()[][t tt t tt t tt t u t d f t i f t g t e u t e d dg t e d e t g t e t dt dg t g t e t g t e t dt dg t i g dt δττωδττδττδδδδω-∞---∞----∞--===⋅==-+=-+=-+=-+=⎰⎰⎰已知单位阶跃函数，及变换的微分性质：令，则，即，又由(1)(1)0()]()[()]1[()]=()1111111t i tt i t i tt t e t e dt e t g t t e dt i i i e i i ωωωδδδωωωωω+∞---+∞-+-∞-∞-+=⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪=⋅= ⎪++⎝⎭⎰⎰，从而三、解答题1．若()[()]F f t ω=F ，且0a <，证明：1[()]()f at F a aω=-F 11[()]()=()()()s s at i i s i taa ds f at f at edt f s ef s e ds F a a a aωωωω∞-∞∞=-⋅-⋅--∞+∞-∞==-=-⎰⎰⎰2．若()[()]F f t ω=F ，证明：()[()]dF jtf t d ωω=-F 11[()]()111[()]()()()22211()()()()()22i ti ti ti ti t dF itf t d d d d F F e d F e F e d d d d F ite d it F e d it f t ωωωωωωωωωωωωωωπωππωωωωωππ-∞∞∞--∞-∞-∞∞∞-∞-∞=-==-=-=-=-⎰⎰⎰⎰即证：3．已知某函数的Fourier 变换为sin ()F ωωω=，求该函数()f t 。
