2020北京新高考数学高三二模汇编 04复数排列组合二项式定理

精品解析：北京市2020年高考数学最新联考试题分类大汇编（11）
排列组合、二项式定理试题解析
一、选择题：
（6）（2020年4月北京市海淀区高三一模理科）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是
（A ）12 （B ）24
（C ）36 （D ）48
【答案】D
8．(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且 30a ≠.则A 中所有元素之和是（ C ）
（A ）120 （B ）112 （C ）92 （D ）84
【答案】C
二、填空题：
（用数字作答）
【答案】256,672
【解析】显然card()10M =表示集合M 中有10个元素，card()2A =表示集合A 中有2个元素，而A X M ⊆⊆，故集合X 中可以只含A 中的2个元素，也可以除了A 中的2个元
素外，在剩下的8个元素中任取1个，2个，3个，。

8个，共有01788888256
C C C C ++⋅⋅⋅++=种情况，即符合要求所求的集合M 有256个；满足条件Y M ⊆的集合Y 的个数为102，其中
的集合Y的个数为82，不满足条件不满足条件A Y。

2020北京各区高三二模数学分类汇编 —集合与复数、平面向量与逻辑用语集合与复数1.（2020▪海淀二模）若全集U =R ，{}|1A x x =<，{}|1B x x =>-，则（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）U B A ⊆ð（D ）U A B ⊆ð2．（2020▪西城高三二模）设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B I =（A ）{}0,2（B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--3.（2020▪东城高三二模）已知全集{}0,1,2,3,4,5=U ，集合{}0,1,2=A ，{}5=B ，那么()=U U A B ð(A){}0,1,2(B){}3,4,5(C){}1,4,5(D){}0,1,2,54.（2020▪西城高三（下）6月模拟）设全集U R =,集合{}{}2,1||A x x B x x =<=<,则集合()U A B ⋃=ð(A)(),2-∞ (B)[)2,+∞ (C)()1,2(D)()[),12,-∞⋃+∞5.（2020▪昌平高三二模）已知集合，则集合（A ）（B ）（C ）（D ）6．（2020▪丰台高三二模）集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（A ）4（B ）6（C ）7（D ）87.（2020▪房山高三二模）已知全集U =R ，集合2{|0}A x x x =->，那么集合UA =ð（A ）(,0][1,)-∞+∞U （B ）(,0)(1,)-∞+∞U （C ）(0,1)（D ）[0,1] 8．（2020▪密云高三二模）已知集合，，则在下列集合中符合条件的集合可能是A. {0,1}B.C.D.9．（2020▪西城高三二模）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限10.（2020▪朝阳高三二模）在复平面内，复数()1i i +对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限11. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设复数1z i =+,则2z=(A)2i -(B)2i(C)22i -(D)22i + 12.（2020▪昌平高三二模）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数（A ） （B ）（C ）（D ）13.（2020▪海淀二模）若复数(2i)(i)a -+为纯虚数，则实数a =_______. 14.（2020▪东城高三二模）复数1iiz -=的共轭复数z 为_________. 15. （2020▪丰台高三二模）已知复数2i z =-，则z =_________.．16.（2020▪房山高三二模）若(i)(1i)13i m ++=+（m ∈R ），则m = ． 17.（2020▪密云高三二模） 已知集合．给出如下四个结论：①，且；②如果，那么；③如果，那么对于，则有；④如果，，那么．其中，正确结论的序号是__________． 平面向量与逻辑用语18.（2020▪东城高三二模）平面直角坐标系中，已知点,,A B C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2)，且四边形ABCD 为平行四边形，那么D 点的坐标为(A) (3,3) (B) (5,1)- (C)(3,1)- (D)(3,3)- 19.（2020▪朝阳高三二模）在平行四边形ABCD 中，2,1,3A AB AD π∠===，若,M N 分别是边,BC CD 上的点，且满足,BM CN BC CD=u u u u r u u u r u u u r u u u r 则AM AN u u u u r u u u rg 的最大值为（A ）2（B ）4（C ）5（D ）620. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设向量,a b 满足 11,2a b a b ===g ,则 ()a xb x R +∈的最小值为(C) 121.（2020▪昌平高三二模）已知向量，.若，则实数的值为（A ） （B ） （C ） （D ）22（2020▪东城高三二模）已知向量(0,5)=a ，(4,3)=-b ，(2,1)=--c ，那么下列结论正确的是(A)-a b 与c 为共线向量 (B)-a b 与c 垂直 (C)-a b 与a 的夹角为钝角 (D)-a b 与b 的夹角为锐角23．（2020▪西城高三二模）若向量a 与b 不共线，则“0•<a b ”是“2->+a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件24.（2020▪海淀二模）对于非零向量,a b ，“2()2+⋅=a b a a ”是“ = a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件25（2020▪东城高三二模）已知函数2()ln f x x ax =+，那么“0a >”是“()f x 在(0,)+∞上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件26.（2020▪朝阳高三二模）设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <是“{}n b 为递减数列”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件27. （2020▪西城高三（下）6月模拟）设{}n a 为等比数列,则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件28.（2020▪昌平高三二模）已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 29.（2020▪密云高三二模）已知平面向量，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 30.（2020▪房山高三二模）“sin sin αβ≠”是“αβ≠”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件31.（2020▪昌平高三二模）一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画╳.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如下表所示，则m 的值为（A ）（B ）（C ） （D ）32．（2020▪西城高三二模）设平面向量(1,2)=-a ，(,2)k =b 满足⊥a b ，则=b ____．33.（2020▪海淀二模）已知点(2,0)A ，(1,2)B ，(2,2)C ，||||AP AB AC =-u u u r u u u r u u u r ，O 为坐标原点，则||AP =u u u r_______，OP u u u r 与OA u u u r夹角的取值范围是_______.34.（2020▪朝阳高三二模）已知平面向量(,3)(1,6),a m b ==，若,a b P 则m =35.（2020▪房山高三二模）已知正方形ABCD ，若3BP PD =u u u r u u u r ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 ．36.（2020▪西城高三二模）甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．2020北京各区高三二模数学分类汇编—集合与复数、平面向量与逻辑用语参考答案集合与复数1.D2.C3.B4.D5.B6.D7.D8.A9.A 10.B 11.A 12.D;13. 14. 15. 16.2 17. ①②④;平面向量与逻辑用语18.A 19.C 20.B 21.A 22.B 23.A 24.B 25.A 26.C 27.C 28.A 29.C 30.A 31.B; 32. 33.1 , 34. 35. 36. 乙，丁。

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集，集合，，则集合A. B.C. D. ，2.设复数，则A. B. 2i C. D.3.焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是A. B. C. D.4.在锐角中，若，，，则A. B. C. D.5.函数是A. 奇函数，且值域为B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为D. 偶函数，且值域为R6.圆截x轴所得弦的长度等于A. 2B.C.D. 47.设a，b，c为非零实数，且，则A. B.C. D. 以上三个选项都不对8.设向量，满足，，则的最小值为A. B. C. 1 D.9.设为等比数列，则“对于任意的，”是“为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效，因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的▱ABCD由六个正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.在的展开式中，x的系数为______．12.在等差数列中，若，，则______；使得数列前n项的和取到最大值的______．13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______．14.能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值是______．15.已知函数的定义域为R，满足，且当时，有以下三个结论：；当时，方程在区间上有三个不同的实根；函数有无穷多个零点，且存在一个零点．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，在三棱柱中，底面ABC，，D是的中点，且．Ⅰ求证：平面；Ⅱ求直线BC与平面所成角的正弦值．17.已知函数同时满足下列四个条件中的三个：最小正周期为；最大值为2；；．Ⅰ给出函数的解析式，并说明理由；Ⅱ求函数的单调递增区间．18.随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔．其中，小型视频会议软件格外受人青睐．根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A，B，C，D，E，在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况．为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量单位：人次与使用量单位：人次，数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率，当时，称该款软件为“有效下载软件”调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率．Ⅰ在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；Ⅱ从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；Ⅲ将Ⅰ中概率值记为对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”？说明理由．19.设函数，其中，曲线在点处的切线经过点．Ⅰ求a的值；Ⅱ求函数的极值；Ⅲ证明：．20.已知椭圆E：经过点，离心率为为坐标原点．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，D为椭圆E上一点不在坐标轴上，直线CD交x 轴于点P，Q为直线AD上一点，且，求证：C，B，Q三点共线．21.如图，表1是一个由个非负实数组成的40行20列的数表，其中2，，40；，2，，表示位于第m行第n列的数．将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列不改变该数所在的列的位置，得到表即，其中，2，，39；，2，，．表1表2Ⅰ判断是否存在表1，使得表2中的2，，40；，2，，等于？等于呢？结论不需要证明Ⅱ如果，且对于任意的，2，，39；，2，，20，都有成立，对于任意的，2，，40；，2，，19，都有成立，证明：；Ⅲ若2，，，求最小的正整数k，使得任给，都有成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，，，，．故选：D．进行补集和并集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，补集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：，．故选：A．由z求得，利用两数和的平方公式展开即可得出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为，又由焦点到准线的距离为4，即，故要求抛物线的标准方程为，故选：D．根据题意，设要求抛物线的标准方程为，结合抛物线的几何性质可得p的值，代入抛物线的标准方程即可得答案．本题考查抛物线的标准方程，注意抛物线标准方程的形式，属于基础题．4.答案：C解析：解：在锐角中，若，，，由正弦定理，可得，由B为锐角，可得．故选：C．由已知利用正弦定理可求sin B的值，结合B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求解cos B 的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，属于基础题．5.答案：B解析：解：根据题意，函数，其定义域为，有，即函数为奇函数，其导数，在区间和上都是增函数，且；其图象大致如图：其值域为R；故选：B．根据题意，其出函数的定义域，分析可得，即函数为奇函数；进而求出函数的导数，分析其单调性可得在区间和上都是增函数，且；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断以及值域的计算，注意分析函数的定义域，属于基础题．6.答案：B解析：解：令，则圆的方程转换为，所以，，所以．故选：B．首先令，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长．本题考查的知识要点：直线圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：设a，b，c为非零实数，且，所以对于选项A：当，，时，，故错误．对于选项B：当，，时，无意义，故错误．对于选项C：由于，，所以，故正确．对于选项D：由于C正确，所以选项D错误．故选：C．直接利用不等式的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：，当时，取得最小值．故选：B．两边平方，得出关于x的二次函数，从而得出最小值．本题考查了平面向量的模长计算，考查二次函数的最值，属于基础题．9.答案：C解析：解：对于任意的，，即．，，任意的，，或．“为递增数列”，反之也成立．“对于任意的，”是“为递增数列”的充要条件．故选：C．对于任意的，，即可得：，，任意的，解出即可判断出结论．本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.答案：B解析：解：将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且AB与CD相交，且B，C两点重合，故选：B．可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．11.答案：30解析：解：展开式的通项公式为：；令x的指数为1，即；的系数为：；故答案为：30．先写出二项式的展开式的通项，要求x的系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值求出x的系数．本题考查二项式定理，解决的方法是利用二项展开式的通项公式，属于容易题．12.答案：9 5解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，解得：，．．令，解得．使得数列前n项的和取到最大值的．故答案为：9，5．设等差数列的公差为d，由，，可得，，解得：，可得令，解得n即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体．如图所示：所以．故答案为：．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.答案：答案不唯一，，解析：解：则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m，n的值为：满足即可，可取，，故答案为：，．由题意可得满足或者，即可，任意取满足m，n的值即可．本题考查双曲线，椭圆的性质，属于基础题．15.答案：解析：解：因为函数的定义域为R，满足，时，，所以；所以正确；的大致图象如图所示可得当时，方程在区间上有三个不同的实根；所以正确因为时，时，，又因为，所以函数由无数个零点，但没有整数零点，所以不正确；故答案为：．由题意可得函数的大致图象，可判断出所给命题的真假．本题考查函数的性质及命题真假的判断，属于中档题．16.答案：Ⅰ证明：连接，设，连接DE，由为三棱柱，得．又是的中点，．平面，平面，平面；Ⅱ解：底面ABC，，，CB，两两互相垂直，故分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则0，，2，，0，，2，，0，，，，．设平面的法向量为，由，取，得；设直线BC与平面所成角为．则．直线BC与平面所成角的正弦值为．解析：Ⅰ连接，设，连接DE，可得，再由直线与平面平行的判定得到平面；Ⅱ由底面ABC，，得CA，CB，两两互相垂直，分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．17.答案：解：Ⅰ若函数满足条件，则，这与，矛盾，故函数不能满足条件，所以函数只能满足条件，，，由条件，可得，又因为，可得，由条件，可得，由条件，可得，又因为，所以，所以Ⅱ由，，可得：，，可得的单调递增区间为，．解析：Ⅰ若函数满足条件，则由，推出与，矛盾，可得函数不能满足条件，由条件，利用周期公式可求，由条件，可得，由条件，可得，结合范围，可求，可得函数解析式．Ⅱ利用正弦函数的单调性即可求解．本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．18.答案：解：，，，，，．款软件中有4款有效下载软件，这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为．的可能取值有2，3，4，且，，，X 2 3 4P．不能认为这些软件中大约有的软件为“有效下载软件”．理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本．解析：计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；根据样本是否具有普遍性进行判断．本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，样本估计总体思想，属于中档题．19.答案：解：，则，，故取消在处的切线方程，把点代入切线方程可得，，由可得，，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值，证明：等价于，由可得当且仅当时等号成立，所以，故只要证明即可，需验证等号不同时成立设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，当且仅当时等号成立，因为等号不同时成立，所以当时，．解析：由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a；先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解；由于等价于，结合可得，故只要证明即可，需验证等号不同时成立结合导数可证．本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20.答案：解：Ⅰ由题意，得，，又因为，所以，，故椭圆E的方程为．Ⅱ，，，设，则，所以直线CD的方程为，令，得点P的坐标为，设，由，得显然，直线AD的方程为，将代入，得，即，故直线BQ的斜率存在，且．又因为直线BC的斜率，所以，即C，B，Q三点共线．解析：Ⅰ由，，，解得a，c，进而得出椭圆的方程．Ⅱ设，则，直线CD的方程为，令，得点P 的坐标，设，由，得显然，写出直线AD的方程为，得，所以，即C，B，Q三点共线．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆相交问题，向量问题，属于中档题．21.答案：解Ⅰ存在表1，使得，不存在表1，使得．证明：Ⅱ因为对于任意的，2，3，，，2，，都有．所以，，．所以，即．由于，2，，，2，3，，都有．所以，，．所以，即．解：Ⅲ当表1如下图时，0111101111101111011111011110111111101111011111011110其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个因此每行的和均为19，符合题意．重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此．以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行设为第r行的全部实数即包含，，，，假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、则表2的前39行中至多含有表1中的个数．这与表2中前39行中共有个数相矛盾．所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行设为第r行，的全部实数．其次，在表2中，根据重拍规则得：当时，，2，，．所以，所以．综上所述．解析：Ⅰ直接利用表格求出结果．Ⅱ利用行列式的变换的应用求出结果．Ⅲ利用假设法的应用和关系式的变换的应用求出结论．本题考查的知识要点：行列式的变换的应用，组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于难题．。

2020北京各区高三二模数学分类汇编 —排列组合与二项式定理、概率与统计排列组合与二项式定理1.（2020▪昌平高三二模）在的展开式中，的系数为（A ）（B ）（C ）（D ）2.（2020▪房山高三二模）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是 （A ）12（B ）13（C ）14（D ）153.（2020▪海淀二模）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离.某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）.根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为 （A ）9（B ）10（C ）11（D ）124.（2020▪朝阳高三二模）在61x x（+）的展开式中，常数项为 （用数字作答）5. （2020▪西城高三（下）6月模拟）在()615x +的展开式中,x 的系数为.6．（2020▪密云高三二模）在的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．概率与统计7.（2020▪海淀二模）（本小题共14分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.（Ⅰ）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（Ⅱ）若以图2中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；（Ⅲ）据统计，该地区被访者的签约率约为44%. 为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.8．（2020▪西城高三二模）（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；年龄（单位：岁）1 图O 21314151617181911011110.0180.0210.016频率组距0.0150.0100.0040.0050.010.0150.020.0250.00250.00050.0080.00530.337.155.761.770.075.8O18~302040608031~5051~6061~7071~8081以上年龄段%签约率（）（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．9.（2020▪东城高三二模）（本小题14分）某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了,,,A B C D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为,a b.甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为甲同学最终被招募的项目个数，已知1 (0)40 Pξ==,1(4)10Pξ==.（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；（Ⅱ）求a，b的值；（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者(不包含甲)调整到项目D，试判断Eξ如何变化(结论不要求证明). 10.（2020▪朝阳高三二模）(本小题14分)近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟.为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试.某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程(单位:万公里)将这些汽车分为4组:[)[)[)[]5,6,6,7,7,8,8,9并整理得到如下的频率分布直方图:(I)求a 的值;(II)该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本.从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X 的分布列和数学期望;(III)设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为0μ.若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为1μ;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为2μ.有同学认为0102μμμμ-<-，你认为正确吗?说明理由.11. （2020▪西城高三（下）6月模拟）(本小题满分14分)随着科技的进步,视频会议系统的前景愈加广阔.其中,小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计,小型视频会议软件下载量前6名的依次为,,,,,A B C D E F .在实际中,存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此,某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查,统计得到这6款软件的下载量W(单位:人次)与使用量U (单位:人次),数据用柱状图表示如下:定义软件的使用率WUt =,当0.9t ≥时,称该款软件为“有效下载软件”，调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率.(Ⅰ)在这6款软件中任取1款,求该款软件是“有效下载软件”的概率;(Ⅱ)从这6款软件中随机抽取4款,记其中“有效下载软件”的数量为X ,求X 的分布列与数学期望; (Ⅲ)将(Ⅰ)中概率值记为%x .对于市场上所有小型视频会议软件,能否认为这些软件中大约有%x 的软件为“有效下载软件”?说明理由.12.（2020▪昌平高三二模）（本小题14分）为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.（Ⅰ）由图中数据求的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在和的人中任选3人，求其中在的人数的分布列和数学期望；（III）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）13. （2020▪丰台高三二模）（本小题共14分）为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导. 规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.14.（2020▪房山高三二模）（本小题14分）“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时，14时，16时公布实时在园人数．下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：40%以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人．（Ⅰ）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；（Ⅱ）从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？（只需写出结论）15.（2020▪密云高三二模）（本小题满分14分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（Ⅰ）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在、、内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和元．方案2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．2020北京各区高三二模数学分类汇编—排列组合与二项式定理、概率与统计参考答案1.C2.B3.C4.155.306.207.（本小题共14分）解: （Ⅰ）由图1可知，该地区居民中年龄在71~80岁的频率为0.00410=4%⨯.由图2可知，样本中年龄在71~80岁居民家庭医生的签约率为70.0%， 因为该地区居民人数约为2000万，所以该地区年龄在71~80岁，且已签约家庭医生的居民人数约为20004%70.0%=56⨯⨯（万人）.（Ⅱ）由题意，从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取一人，其签约家庭医生的概率为710. 设i A 表示事件“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，其中第i 个人已签约家庭医生”（1,2i =），则7()10i P A =，73()11010i P A =-=（1,2i =）. 设事件C 为“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人,这两人中恰有1人已签约家庭医生”， 则1221C A A A A =U .所以1212733721()()()()()1010101050P C P A P A P A P A =+=⨯+⨯=. 所以这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为2150. （Ⅲ）应着重提高年龄在31~50岁居民的签约率.理由如下：①依题意，该地区年满18周岁居民签约率从44%提高到55%以上，需至少提升11%； ②年龄在31~50岁居民人数在该地区的占比约为：21%+16%=37%，占比大； ③年龄在31~50岁居民的医生签约率较低，约为37.1%； ④该地区年满18周岁居民的人数在该地区的占比约为：0.008+0.0050.7)10=0.885⨯⨯1-(；所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从37.1%提升至55%，可将该地区年满18周岁居民签约率提升37%(137.1%)0.88537%62.9%23%⨯-÷>⨯≈，大于11%.8．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，……………1分 由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=， 解得 2.4a =.……………… 2分由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=， …………3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=.……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.20.20.04P X ==⨯=，(25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=， (40)0.30.30.09P X ==⨯=.……………… 9分所以X 的分布列为： (1)故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分 9.（本小题14分）解：因为1(0)40P ξ==， 所以60a >，且80b >.设事件A 表示“甲同学被项目A 招募”，由题意可知，501()1002P A ==； 设事件B 表示“甲同学被项目B 招募”，由题意可知，60()P B a =； 设事件C 表示“甲同学被项目C 招募”，由题意可知，80()P C b=； 设事件D 表示“甲同学被项目D 招募”，由题意可知，1604()2005P D ==； （Ⅰ）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“4ξ=”是对立的，所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是191(4)11010P ξ-==-=.………………………………4分 （Ⅱ）由题意可知，1608041(0)()(1)(1)(1)(1)2540P P ABCD a b ξ===-⋅-⋅-⋅-=； 1608041(4)()2510P P ABCD a b ξ===⋅⋅⋅=；解得120a =，160b =.………………………………12分 （Ⅲ）E ξ变大.………………………………14分 10.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意知，1(0.10.20.4)1a ⨯+++=，所以0.3a =．……………3分 （Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在[7,8)这一组的无人驾驶汽车有410410⨯=辆， 行驶里程在[8,9]这一组的无人驾驶汽车有310310⨯=辆． 由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2．24272(0)7C P X C ===，1143274(1)7C C P X C ===，23271(2)7C P X C ===．所以X 的分布列为所以X 的数学期望()0127777=⨯+⨯+⨯=E X ．……………11分 （Ⅲ）这种说法不正确．理由如下：由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果影响． 因此有可能1μ更接近0μ，也有可能2μ更接近0μ， 所以0102||||μμμμ-<-不恒成立． 所以这种说法不正确．……………14分11．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）根据数据，可得软件A ，B ，C ，D ，E ，F 的使用率，，，，，.所以软件A ，B ，E ，F 为“有效下载软件”.………………2分 记事件为“在6款软件中任取1款，该款软件是有效下载软件”，………3分则事件的概率.………………4分（Ⅱ）随机变量的可能取值为2，3，4.………………5分则，，.……8分所以随机变量的分布列为：2 3 4 (9)所以随机变量的数学期望.………………10分（Ⅲ）不能认为大约有的软件为“有效下载软件”.………………12分理由如下：若根据这6款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的频率，即是用样本估计总体.用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取.但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排名前6名”的软件，不是从所有软件中随机抽取6款作为样本.故不能认为大约有的软件为“有效下载软件”.………………14分12.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为，所以. …………….2分因为，所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在的学生有人. …….3分所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在的概率为. …………….5分（Ⅱ）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在和的人分别有5人和3人. …………….6分 所以的所有可能取值为0,1,2,3. …………….7分， ,，. …………….9分所以的分布列为所以的期望. ………….11分（III ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在.13．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ，参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共246C =种，所以242104322()109152C P S C ⨯===⨯. ………4分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.02462101(0)3C C P X C ⋅===，11462108(1)15C C P X C ⋅===，20462102(2)15C C P X C ⋅===.X 的分布列为：()012315155E X =⨯+⨯+⨯=. ………11分（Ⅲ）答案不唯一．答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化． 答案示例2：无法确定．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：2233330.10.90.10028C C ⋅⋅⋅=+..虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．………14分14.（本小题14分）（Ⅰ）由题意知，若舒适度为“舒适”，则在园人数不大于408 3.2100⨯=万， 所以10月1日至7日中下午14时舒适度为“舒适”的天数为3天，因此甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该景区游览，遇上“舒适”的概率为37．（Ⅱ）这记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X ，则X 的可能取值为0,1,210月1日至7日中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有3天，则24272(0)7C P X C ===1143274(1)7C C P X C ===23271(2)7C P X C ===X 的分布列为所以X 的期望24160127777EX =⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）从10月2日开始连续三天的在园人数的方差最大． 15. （本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A.由图可知，去年消费金额在内的有8人，在内的有4人，消费金额超过3200元的“健身达人”共有8+4=12（人）， 从这12人中抽取2人，共有种不同方法，其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有种不同方法．所以，．（Ⅱ）解：方案1按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为，，，按照方案1奖励的总金额为（元）．方案2设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能取值为0，200，300．由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为，所以，，．所以的分布列为：数学期望为（元），按照方案2奖励的总金额为（元），因为由，所以施行方案2投资较少．。

2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编----排列组合二项式定理1.（2020海淀一模）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（ ）C A. 120-B. 120C. 160-D. 160【答案】C【分析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项. 【详解】61(2)x x-展开式的通项2616(1)2k k k k k T C x -+=- ，令260,3k k -== 常数项333316(1)2=160T C +=--，故选：C ．【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．2.（2020西城一模）在61()x x +的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】20 【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =. 故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.3.（2020北京市模拟）在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．5-B ．5C ．10-D ．10 【答案】A 【解析】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk k k k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =． 因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-，故选A ． 4.（2020石景山一模）将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种．A. 72B. 36C. 64D. 81【答案】B【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果.【详解】解：Q 将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有234336C A =．【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．5（2020延庆一模）.5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是( ) A. 160B. 80C. 50D. 10【答案】B【分析】由二项式定理公式1C r n r r r n T a b -+=即可得到结果. 【详解】依题5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为:2551031551(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==， 当1034r -=时，2r =，此时523552280r r C C -==，所以5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80. 故选：B【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.6.（2020密云一模）52()x x -的展开式中含3x 的系数为__________．（用数字填写答案）【答案】10【解析】 由题意得，二项式展开式的通项为5521552()(2)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-， 令1r =，则113325(2)10T C x x =-=-，所以3x 得系数为10-．7.7(1)x +的展开式中3x 的系数是___________.【答案】35；【分析】根据二项式定理的通项公式1C r n r r r n T a b -+=，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：7(1)x +的通项公式为717r r r T C x -+=，令734-=⇒=r r ，所以3x 的系数是4735C =，故答案为：35【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.7.（2020东城一模）一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A. 12B. 36C. 72D. 720【答案】C【分析】根据题意，用捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数乘法原理计算可得答案.【详解】根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有333336A A =种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有222A =种情况，则有36272⨯=种不同的坐法. 故选：C.【点睛】本题考查排列的简单应用，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.8.（2020房山一模）．在二项式（1﹣2x ）5的展开式中，x 3的系数为（ ）A ．40B ．﹣40C ．80D ．﹣80解：在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中的x 3系数．（1﹣2x ）5展开式的通项公式为 C 5r •（﹣2x ）r ，故令r ＝3， 可得其中的x 3系数为C 53•（﹣2）3＝﹣80， 故选：D ．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.（2020通州一模）在6(2)1x x-的展开式中，常数项是 A A. -160 B . -20 C . 20 D . 16010.（2020门头沟一模）在二项式26(2)x +的展开式中，8x 的系数为 。

2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案2020年北京市海淀区高三二模试卷数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若全集 $U=R$。

$A=\{x|x-1\}$。

则A) $A\subseteq B$B) $B\subseteq A$C) $B\subseteq U$D) $A\subseteq B$2.下列函数中，值域为 $[0,+\infty)$ 且为偶函数的是A) $y=x^2$B) $y=|x-1|$C) $y=\cos x$D) $y=\ln x$3.若抛物线 $y^2=12x$ 的焦点为 $F$，点 $P$ 在此抛物线上且横坐标为 $3$，则 $|PF|$ 等于A) $4$B) $6$C) $8$D) $10$4.已知三条不同的直线 $l,m,n$ 和两个不同的平面$\alpha,\beta$，下列四个命题中正确的为A) 若 $m\parallel \alpha$。

$n\parallel \alpha$。

则$m\parallel n$B) 若 $l\parallel m$。

$m\subset \alpha$。

则 $l\parallel\alpha$C) 若 $l\parallel \alpha$。

$l\parallel \beta$。

则 $\alpha \parallel \beta$D) 若 $l\parallel \alpha$。

$l\perp \beta$。

则 $\alpha \perp \beta$5.在 $\triangle ABC$ 中，若 $a=7$。

$b=8$。

$\cos B=-\dfrac{1}{2}$，则 $\angle A$ 的大小为A) $\dfrac{\pi}{6}$B) $\dfrac{\pi}{4}$C) $\dfrac{\pi}{3}$D) $\dfrac{\pi}{2}$6.将函数 $f(x)=\sin(2x-\dfrac{\pi}{3})$ 的图象向左平移$1$ 个单位长度，得到函数 $g(x)$ 的图象，则A) $g(x)=\sin(2x+\dfrac{\pi}{3})$B) $g(x)=\sin(2x+\dfrac{2\pi}{3})$C) $g(x)=\cos 2x$D) $g(x)=-\cos 2x$7.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 $1$，那么该三棱锥的体积为A) $\dfrac{2}{3}$B) $\dfrac{3}{2}$C) $2$D) $4$8.对于非零向量 $a,b$，$(a+b)\cdot a=2|a|^2$ 是 $a=b$ 的A) 充分而不必要条件B) 必要而不充分条件C) 充分必要条件D) 既不充分也不必要条件9.如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $2$，点 $O$ 为底面 $ABCD$ 的中心，点 $P$ 在侧面$BB_1C_1C$ 的边界及其内部运动。

十三、排列、组合及二项式定理
1、（朝阳二模理5）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（C ）
（A ）1 （B ）80个 （C ）40个 （D ）
2、（丰台二模理5）．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是（B ）
(A) 1) 84(C) 60(D) 48
1、（海淀二模理11）若4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++，
其中26a =-，则实数m 的值为 3
2 ， ； 12345a a a a a ++++的值为 1
16 .
2、（昌平二模理9）.5)2(x +的展开式中的系数是2x _______80 _______（结果用数值表示）
3、（东城二模理9）251
()x x +的展开式中，4
x 的系数为 10 ．（用数字作答） 4、（顺义二模理10）.在二项式521⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为_________10_____________. (用数字作答）
5、（西城二模理10）.在521(
)x x +的展开式中，2x 的系数是__5___. 6、。

押新高考卷4题排列组合与二项式定理考点3年考题考情分析排列组合与二项式定理2022年新高考Ⅰ卷第13题2022年新高考Ⅱ卷第5题2020年新高考Ⅰ卷第3题2020年新高考Ⅱ卷第6题排列组合与二项式定理均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，新高考冲刺复习中，分类加法原理、分步乘法原理，排列数及组合数，二项式定理、二项展开式系数都是重点复习内容，可以预测2023年新高考命题方向将继续对排列组合和二项式定理选其一展开命题．1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.4.组合数公式m n C=m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).5.排列数与组合数的关系m mn n A m C =⋅！.6．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m mn A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.7．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- .（2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.8.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B3．（2020·新高考Ⅰ卷高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4．（2020·新高考Ⅱ卷高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）6名老师被安排到甲､乙､丙三所学校支教，每名老师只去1所学校，甲校安排1名老师，乙校安排2名老师，丙校安排3名老师，则不同的安排方法共有（）A ．30种B ．60种C ．90种D ．120种【答案】B【分析】按照分步计数原理求解.【详解】依题意，第一步，从6名老师中随机抽取1名去甲校，有16C 种方法；第二步，从剩下的5名老师中抽取2名取乙校，有25C 种方法；第三部，将剩余的3名老师给丙校，有33C 种方法；总共有123653C C C 60=种方法；故选：B.2．（2023·湖南湘潭·统考二模）2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17日在卡塔尔举行．现要安排甲、乙等5名志愿者去A ，B ，C 三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人都只能去一个足球场，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为（）A ．12B ．18C ．36D ．48【答案】C【分析】先按3，1，1或2，2，1分组，再安排到球场.【详解】将5人按3，1，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有13C 种，将5人按2，2，1分成三组，且甲、乙在同一组的安排方法有23C 种，则甲、乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为()123333C C A 36+=．故选：C3．（2023·广东佛山·统考二模）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A ．96种B ．64种C ．32种D ．16种【答案】B【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有222A 4=种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有1142A A 8=种排法；第三步，排数字5和6，共有22A 2=种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为48264⨯⨯=.故选：B.12．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）若一个三位数M 的各个数位上的数字之和为8，则我们称M 是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（）A ．34个B ．35个C ．36个D ．37个【答案】C【分析】利用列举法求出所有组合，再计算能排列出多少个“叔同数”.【详解】三位数各位数的和为8可能的组合有116，125，134，224，233，017，026，035，044，008，其中三个数不同且都不为0可排出33A 6=个“叔同数”，没有0的3个数中有2个数相同，则排出13A 3=个“叔同数”，有1个0其余2个数为不同的非零数字可排出1222A A 4=个“叔同数”，008只能排出800一个“叔同数”，所以它们排出的“叔同数”的个数共有366334442136+++++++++=，故选：C13．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）现要从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（）A ．56种B ．64种C ．72种D ．96种【答案】D【分析】根据A 是否入选进行分类讨论即可求解.【详解】由题意可知：根据A 是否入选进行分类：若A 入选：则先给A 从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有13C 3=种，再给剩下三个岗位安排人有34A 43224=⨯⨯=种，共有32472⨯=种方法；若A 不入选：则4个人4个岗位全排有44A 432124=⨯⨯⨯=种方法，所以共有722496+=种不同的安排方法，故选：D .14．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（）A ．72种B ．81种C ．144种D ．192种【答案】D【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为2525A A 240=，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为2424A A 48=，由间接法可知，满足条件的排法种数为24048192-=种.故选：D.15．（2023·重庆九龙坡·统考二模）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算和计数.某学习小组有甲､乙､丙､丁四人，该小组要收集九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､珠算6种算法的相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数有（）A ．1560种B ．2160种C ．2640种D ．4140种【答案】A【分析】先分组，再分配，注意部分平均分组需要除以组数（平均的组数）的全排列.【详解】依题意分两种情况讨论：①将6种算法分成1、1、1、3四组，再分配给4人，则有3464C A 480=种；。

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷二模试卷文科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．复数 i (1i)⋅-= （A ）1i +（B ）1i -+（C ）1i -（D ）1i --2．已知向量(=a ，)=λb ．若a 与b 共线，则实数=λ （A ）1-（B ）1（C ）3-（D ）33．给定函数：①2y x =；②2xy =；③cos y x =；④3y x =-，其中奇函数是 （A ）①（B ）② （C ）③ （D ）④4．若双曲线221y x k+=的离心率是2，则实数k = （A ）3（B ）3-（C ）13（D ）13-5．如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯” 之值， 则判断框内可以填入 （A ）10k ≤ （B ）16k ≤ （C ）22k ≤（D ）34k ≤6．对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是 （A ）m n ⊥，n ∥α（B ）m ∥β，⊥βα （C ）m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α（D ）m n ⊥，n ⊥β，⊥βα7．已知函数||()e ||x f x x =+．若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）(1,)+∞（C ）(1,0)-（D ）(,1)-∞-8．已知集合{1,2,3,4,5}的非空子集A 具有性质P ：当a A ∈时，必有6a A -∈．则具有性质P 的集合A 的个数是 （A ）8（B ）7（C ）6（D ）5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线1:310l x y -+=，2:210l x my +-=．若1l ∥2l ，则实数m =______． 10．右图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 11．在△ABC 中，2BC =，AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______． 12．设a ，b 随机取自集合{1,2,3}，则直线30ax by ++=与圆221x y +=有公共点的概率是______．13．已知命题:p 函数(1)1y c x =-+在R 上单调递增；命题:q 不等式20x x c -+≤的解集是∅．若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是______．14．在直角坐标系xOy 中，已知两定点(1,0)A ，(1,1)B ．动点(,)P x y 满足01,0 2.OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩则点P 构成的区域的面积是______；点(,)Q x y x y +-构成的区域的面积是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，28a =，3448a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设4log n n b a =．证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ． 16．（本小题满分13分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,)62ππ∈(α．将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ．记),(),,(2211y x B y x A ．（Ⅰ）若311=x ，求2x ； （Ⅱ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ．记△AOC 的面积为1S ，△BOD 的面积为2S ．若122S S =，求角α的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体PBFC 的体积； （Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ； （Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ． 18．（本小题满分13分）已知函数322()2(2)13f x x x a x =-+-+，其中0a >． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 在区间[2,3]上的最小值． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22:1(01)y C x m m+=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55，求m 的值；（Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 20．（本小题满分13分）已知集合1212{(,,,)|,,,n n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,,n 的一个排列}(2)n ≥，函数 对于12(,,)n n a a a S ∈…，定义：121()()(),{2,3,,}i i i i i b g a a g a a g a a i n -=-+-++-∈，10b =，称i b 为i a 的满意指数．排列12,,,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列．（Ⅰ）当6n =时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列； （Ⅱ）证明：若12,,,n a a a 和12,,,na a a '''为n S 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于n S 中的排列12,,,n a a a ，进行如下操作：将排列12,,,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． A ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．C ； 7．B ； 8．B ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．6-； 10．>；11．3，2； 12．59； 13．(1,)+∞； 14．2，4． 注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意 0q >． ………………1分 因为 28a =，3448a a +=，两式相除得 260q q +-=， ………………3分解得 2q =， 舍去 3q =-．………………4分所以 214a a q==． ………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为 1112n n n a a q -+=⋅=． ………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 41log 2n n n b a +==． ………………9分 因为 1211222n n n n b b +++-=-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为12d =的等差数列． ………………11分所以 21(1)324n n n n nS nb d -+=+=． ………………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得 1cos x =α，2cos()3x π=+α．因为 ,)62ππ∈(α，1cos 3=α，所以 sin 3==α． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α． （Ⅱ）解：依题意得 1sin y =α，2sin()3y π=+α．所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα， ………………7分2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα．……………9分依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα，整理得 cos20=α． ………………11分因为62ππ<<α， 所以 23π<<πα， 所以 22π=α， 即 4π=α． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由左视图可得 F 为AB 的中点，所以 △BFC 的面积为 12121=⋅⋅=S ．………………1分 因为⊥PA 平面ABCD ，………………2分 所以四面体PBFC 的体积为PA S V BFC BFC P ⋅=∆-31………………3分322131=⋅⋅=． ………………4分 （Ⅱ）证明：取PC 中点Q ，连结EQ ，FQ ．………………5分由正（主）视图可得 E 为PD 的中点，所以EQ ∥CD ，CD EQ 21=．………………6分 又因为AF ∥CD ，CD AF 21=， 所以AF ∥EQ ，EQ AF =． 所以四边形AFQE 为平行四边形，所以AE ∥FQ ．………………8分 因为 ⊄AE 平面PFC ，⊂FQ 平面PFC ，所以 直线AE ∥平面PFC ． ………………9分 （Ⅲ）证明：因为 ⊥PA 平面ABCD ，所以 CD PA ⊥．因为面ABCD 为正方形，所以 CD AD ⊥．所以 ⊥CD 平面PAD ． ………………11分 因为 ⊂AE 平面PAD ，所以 AE CD ⊥． 因为 AD PA =，E 为PD 中点，所以 PD AE ⊥．所以 ⊥AE 平面PCD ． ………………12分因为 AE ∥FQ ，所以⊥FQ 平面PCD ． ………………13分因为 ⊂FQ 平面PFC ， 所以 平面PFC ⊥平面PCD .………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为R ， 且 2()242f x x x a '=-+-．………………2分当2a =时，1(1)3f =-，(1)2f '=-， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 12(1)3y x +=--， 即 6350x y +-=．………………4分（Ⅱ）解：方程()0f x '=的判别式80a =>∆， ………………5分令 ()0f x '=，得 112x =-，或212x =+．………………6分 ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调增区间为(,1-∞，(1)++∞；单调减区间为(1-+． ………………9分① 当02a <≤时，22x ≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递增， 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是7(2)23f a =-．………………10分 ② 当28a <<时，1223x x <<<，此时()f x 在区间2(2,)x 上单调递减，在区间2(,3)x 上单调递增，所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是 25()33f x a =--．………………12分 ③当8a ≥时，1223x x <<≤，此时()f x 在区间(2,3)上单调递减， 所以()f x 在区间[2,3]上的最小值是(3)73f a =-．………………13分 综上，当02a <≤时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是723a -；当28a <<时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是53a --8a ≥时，()f x 在区间[2,3]上的最小值是73a -．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，M 是线段AP 的中点，因为(1,0)A -，9(,55P ，所以 点M的坐标为2(5．………………2分由点M 在椭圆C 上，所以41212525m+=， ………………4分 解得 47m =． ………………6分（Ⅱ）解：设00(,)M x y ，则 2201y x m+=，且011x -<<． ①………………7分因为 M 是线段AP 的中点，所以 00(21,2)P x y +．………………8分 因为 OP OM ⊥，所以 2000(21)20x x y ++=．②………………9分由 ①，② 消去0y ，整理得 20020222x x m x +=-．………………11分 所以001116242(2)82m x x =+≤-++-+， ………………13分 当且仅当02x =- 所以 m的取值范围是1(0,24-．………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当6n =时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3-．………………3分 （Ⅱ）证明：设12,,,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ；12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,nb b b '''． 从右往左数，设排列12,,,n a a a 与12,,,na a a '''第一个不同的项为k a 与k a '，即：n n a a '=，11n n a a --'=，，11k ka a ++'=，k k a a '≠． 显然 n nb b '=，11n n b b --'=，，11k kb b ++'=，下面证明：k k b b '≠． ………………5分由满意指数的定义知，i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i a 大的项的个数．由于排列12,,,n a a a 的前k 项各不相同，设这k 项中有l 项比k a 小，则有1k l --项比k a 大，从而(1)21k b l k l l k =---=-+．同理，设排列12,,,na a a '''中有l '项比k a '小，则有1k l '--项比k a '大，从而21kb l k ''=-+． 因为 12,,,k a a a 与12,,,ka a a '''是k 个不同数的两个不同排列，且k k a a '≠， 所以 l l '≠， 从而 k kb b '≠． 所以排列12,,,n a a a 和12,,,na a a '''的生成列也不同．………………8分 （Ⅲ）证明：设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,,n b b b ，且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 1210,0,,0,1k k b b b b -≥≥≥≤-． ………………9分依题意进行操作，排列12,,,n a a a 变为排列1211,,,,,,k k k n a a a a a a -+，设该排列的生成列为12,,,nb b b '''． ………………10分 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++22k b =-≥．所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2．………………13分。

1.（西城11）.在6
(15)x +(展开式中, x 的系数为 . 答案 30
2.（昌平3）在()5
2x -的展开式中，2x 的系数为
（A ）40- （B ） 40 （C ）80- （D ）80 答案 C
3.（丰台14）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：
2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年. 答案 己卯；60
4.（密云12）在6
1
()x x
+的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．
答案 20
5. （朝阳12）在61
)+x
的展开式中，常数项为________．（用数字作答） 答案 15。

绝密★启用前北京市顺义区普通高中2020届高三毕业班下学期第二次统一练习(二模)数学试题(解析版)2020年6月一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|32}A x x =-<<，{3,2,0}B =--，那么AB =（ ） A. {2}-B. {0}C. {2,0}-D. {2,0,2}- 【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念，可求出集合,A B 的交集.【详解】因为集合{|32}A x x =-<<,{3,2,0}B =--,所以AB ={2,0}-. 故选：C.【点睛】本题考查集合的交集,属于基础题.2.在复平面内,复数(1)z i i =+对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】【分析】运用复数乘法的运算法则,化简复数,最后确定复数所对应的点所在的象限.【详解】2(1)1z i i z i i i =+∴=+=-+,因此复数z 对应点的坐标为(1,1)-,在第二象限,故本题选B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则,以及复数对应点复平面的位置.3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,)+∞上为减函数的是（ ）A. 2y x =-B. 12log y x =C. cos y x =D.12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】结合函数的奇偶性及单调性,对四个函数逐个分析,可选出答案.【详解】由题意,选项B 、D 中两个函数是非奇非偶函数,不符合题意；对于选项A ,二次函数2y x =-,既是偶函数,又在区间(0,)+∞上为减函数,符合题意； 对于选项C ,余弦函数cos y x =是偶函数,在区间(0,)+∞上不是单调函数,不符合题意. 故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性的应用,考查学生的分析问题、解决问题的能力,属于基础题.4.抛物线24y x =上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）A. 4B. 2C. 1D. 12【答案】C【解析】【分析】结合抛物线的定义,可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,进而可求出最小值.【详解】由题意,抛物线的焦点()1,0F ,准线为1x =-,设抛物线上的动点()00,P x y , 根据抛物线的定义可知,01PF x =+,因为[)00,x ∈+∞,所以011PF x =+≥,。

历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编考点01 排列组合综合1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．232．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A ．120B ．60C ．30D ．203．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．234．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．238．（2021∙全国乙卷∙高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种9．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.810．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A ．13B ．25C ．23D ．4511．（2020∙海南∙高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种12．（2020∙山东∙高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种13．（2019∙全国∙高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116考点02 二项式定理综合1．（2024∙北京∙高考真题）在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6B ．6-C ．12D ．12-2．（2022∙北京∙高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-3．（2020∙北京∙高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（2020∙全国∙高考真题）25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2019∙全国∙高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24参考答案考点01 排列组合综合1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【详细分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【答案详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率81=243P =. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A ．120B ．60C ．30D ．20【详细分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【答案详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【答案详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=. 故选：D.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A ．30种 B ．60种 C ．120种 D ．240种【答案】C【详细分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【答案详解】首先确定相同得读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分步乘法公式则共有1265C A 120⋅=种，故选：C.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种【详细分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【答案详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人，高中部共抽取2006020600⨯=， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种. 故选：D.6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种 B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B【详细分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【答案详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式， 故选：B7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【答案详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==. 故选：D.8．（2021∙全国乙卷∙高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C【详细分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【答案详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.【名师点评】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.9．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【详细分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【答案详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.6 10，故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】C【答案详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C=种排法，若2个0不相邻，则有2510C=种排法，所以2个0不相邻的概率为102 5103=+.故选：C.11．（2020∙海南∙高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种【答案】C【详细分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【答案详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种 故选：C【名师点评】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.12．（2020∙山东∙高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【答案】C【详细分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【答案详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【名师点评】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.13．（2019∙全国∙高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【详细分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【答案详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【名师点评】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要详细分析元素是否可重复，其次要详细分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．考点02 二项式定理综合1．（2024∙北京∙高考真题）在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6 B ．6- C ．12 D ．12-【答案】A【详细分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【答案详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r T x xr --+==-=，令432r-=，解得2r =， 故所求即为()224C 16-=. 故选：A.2．（2022∙北京∙高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【答案】B【详细分析】利用赋值法可求024a a a ++的值. 【答案详解】令1x =，则432101a a a a a ++++=， 令=1x -，则()443210381a a a a a -+-+=-=， 故420181412a a a +++==， 故选：B.3．（2020∙北京∙高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C【详细分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.【答案详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【名师点评】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4．（2020∙全国∙高考真题）25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【详细分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【答案详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【名师点评】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及详细分析能力，属于中档题.5．（2019∙全国∙高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【详细分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【答案详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【名师点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．。

创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31
创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31 北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷排列
组合、二项式定理 创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31 审核人： 北堂本一 创作单位： 雅礼明智德学校
一．基础题组
1. 【四川成都七中高数学（理科）10月阶段考试（一）2】二项式(x+1)n (n ∈N*)的展开式中x 2的系数为15，则n=( )
A ． 5
B ． 6
C ． 8
D ． 10
2. 【西藏日喀则地区一高第一学期10月检测8】若61n
x x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 3. 【长春外国语学校上学期高三第一次质量检测13】二项式531()x x
-的展开式中常数项为．
二．能力题组
1.【西藏日喀则地区一高第一学期10月检测6】有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（ ）
A ．150
B ．180
C ．200
D ．280 2. 【抚顺市第一高三10月月考14】 在6()(0)a x a x
+>的展开式中含常数项的系数是60，则0sin a xdx ⎰
的值为.
创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31
审核人： 北堂本一
创作单位： 雅礼明智德学校。