立体几何中平行与垂直证明方法归纳

立体几何平行垂直的证明方法在立体几何中，平行和垂直是两个重要的概念。

平行指的是两条直线或两个平面在平面内没有交点，而垂直则表示两条直线或两个平面之间存在90度的夹角。

在解决立体几何问题时，我们常常需要证明两条线段或两个平面是否平行或垂直。

本文将介绍几种常用的证明方法，帮助读者更好地理解立体几何中平行和垂直的性质。

一、平行线的证明方法1. 共面法：若两条直线在同一个平面内且没有交点，则它们是平行线。

要证明两条直线平行，我们可以找到一个共同的平面，使得这两条直线在该平面内且没有交点。

通过构建图形或使用法向量等方法，可以证明两条直线共面且没有交点，从而得出它们是平行线的结论。

2. 平行线定理：若两条直线与第三条直线分别平行，则这两条直线也是平行线。

这一方法常用于证明平行线的性质，通过构建平行线与其他直线的交点关系，可以得出所求结论。

3. 平行线的性质：在平面几何中，平行线具有很多性质。

常见的平行线定理包括等角定理、同位角定理、内错角定理等。

通过运用这些性质，可以证明两条直线平行。

二、垂直关系的证明方法1. 垂直定理：若两条直线互相垂直，则构成的四个角中有两个互为相应角。

根据这一定理，我们可以通过证明两个角互为相应角，从而得出两条直线互相垂直的结论。

2. 垂线定理：若两条直线互相垂直，则它们的斜率之积等于-1。

这一方法常用于证明两条直线垂直的情况。

通过计算两条直线的斜率，如果它们的斜率之积等于-1，则可以得出它们垂直的结论。

3. 垂直角的性质：在平面几何中，垂直角的性质是我们常用的性质之一。

两条直线垂直时，其错角是互相垂直的。

通过构建直线的错角，可以证明所求的两条直线垂直关系。

三、平面的平行和垂直关系的证明方法1. 共面定理：在空间几何中，三条或三条以上的直线如果在同一个平面内，则它们是共面的。

通过在空间中构建直线和平面的关系，可以证明所求直线是否共面。

2. 平行平面定理：若两个平面各与第三个平面平行，则这两个平面也是平行的。

空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。

理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。

下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。

一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。

2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。

证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。

又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。

（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。

2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。

证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。

因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。

又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。

因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。

（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。

2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。

二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。

方法技巧专题立体几何中平行与垂直证明一、立体几何中平行与垂直知识框架cc∥∥b a ba ∥⇒二、立体几何中的向量方法【一】“平行关系”常见证明方法1.1直线与直线平行的证明1.1.1利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行等1.1.2利用三角形中位线性质1.1.3利用空间平行线的传递性（即公理4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.4利用直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

1.1.5利用平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．1.1.6利用直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

1.1.7利用平面内直线与直线垂直的性质：在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

1.1.8利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点1.2直线与平面平行的证明1.2.1利用直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

αbaabαβb a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα βα⊥⊥b a ba ∥⇒b∥a b a αα⊂⊄α∥a ⇒αab1.2.2利用平面与平面平行的性质推论：两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

βαaβαα∥⊂a β∥a ⇒1.2.3利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点1.3平面与平面平行的证明1.3.1利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

ααββ////∩⊂⊂ba Pb a b a =αβ//⇒αβbaP1.3.2利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等1.3.3利用定义：两个平面没有公共点1.例题【例1】如图，已知菱形ABCD ，其边长为2，60BAD ∠=，ABD ∆绕着BD 顺时针旋转120得到PBD∆，M 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MBD ；（2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值．证明（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OM在菱形ABCD 中，O 为AC 中点， M 为PC 的中点∴OM 为∆APC 的中位线，∴OM ∥AP---------------（利用1.1.2中位线性质）又 OM ⊂面MBD ，且PA ⊄面MBD∴//PA 平面MBD----------------（利用1.2.1直线与平面平行的判定定理）【例2】已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是60=∠A 、边长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点．证明：DN//平面PMB 。

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.求证：PC∥面BDQ.证明：如图，连结AC交BD于点O.∵ABCD是平行四边形，∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线，∴PC∥O Q.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥21B 1D 1.∴EF ∥21BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面.（2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ⊂面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O ,∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q.而O Q ⊂平面EFBD ，∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ⊂面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD.例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=46，A 是P 1D 的中点，沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PEC ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，则FG//CD//AE ，且FG=21CD=AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形 ∴AF//EG ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ， ∴AF//平面PEC例4、 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥面BCE.证法一：如图（1），作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N,连接MN, 因为面ABCD ∩面ABEF=AB,则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQDC QN =. ∴DCQNAB PM =. ∴PM ∥QN.四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.又∵MN ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE ， ∴PQ ∥面BCE.证法二：如图(2)，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC, ∴QKAQQB DQ =. 又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK. ∴EK ⊂面BCE ，PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE.例5、正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线AC 、FB 上且AM= FN 。

高中数学重难点归纳：立体几何中的平行与垂直
题型一：线线、线面位置关系的证明
（1）证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理。

（2）证明立体几何问题，要精密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用。

题型二：两平面之间位置关系的证明
（1）证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行。

（2）证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直。

题型三：空间线面位置关系的综合问题
与平行、垂直有关的存在性问题注意解题的步骤。

完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳本文系统总结了立体几何中平行与垂直证明方法，适合高三总复时学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。

以下是常见证明方法：一、“平行关系”常见证明方法一）直线与直线平行的证明1.利用平行四边形的对边互相平行的特性；2.利用三角形中位线性质；3.利用空间平行线的传递性（即公理4）；4.利用直线与平面平行的性质定理；5.利用平面与平面平行的性质定理；6.利用直线与平面垂直的性质定理；7.利用平面内直线与直线垂直的性质；8.利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点。

二）直线与平面平行的证明1.利用直线与平面平行的判定定理；2.利用平面与平面平行的性质推论；3.利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点。

三）平面与平面平行的证明1.利用平面与平面平行的判定定理；2.利用某些空间几何体的特性；3.利用定义：两个平面没有公共点。

二、“垂直关系”常见证明方法一）直线与直线垂直的证明1.利用直角三角形的两条直角边互相垂直的特性；2.看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直；3.利用直线与平面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

1.利用空间几何体的特性：例如长方体侧棱垂直于底面。

2.观察直线与平面所成角度：若直线与平面所成角为90度，则该直线垂直于平面。

3.利用直线与平面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线垂直于此平面。

4.利用平面与平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，则在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

5.利用常用结论：例如若一条直线平行于一个平面的垂线，则该直线也垂直于此平面。

立体几何有关平行垂直定理总结 BHS文字语言图形语言符号语言1线面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（线线平行⇒线面平行）2线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. （线面平行⇒线线平行）3面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行⇒面面平行）4面面平行的性质如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面（面面平行⇒线面平行）aaαββα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥5面面平行定理的推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面平行. （线线平行⇒面面平行）6面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行.（面面平行⇒线线平行）7线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（线线垂直⇒线面垂直）8线面垂直的定义如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线。

（线面垂直⇒线线垂直）aa bbαα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭9面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直⇒面面垂直）baβαbaβαO/////////,//,,a ab ba b Oa b Oa ba b//a/b/baβαO10面面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线必定垂直于另一个平面.（面面垂直⇒线面垂直）ba aa bαβαβαα⊥⎫⎪=⎪⎪⊂⇒⊥⎬⎪⊥⎪⎪⎭11线线平行⇒线面垂直如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面.a bbaαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭∥12线面垂直⇒线线平行垂直于同一个平面的两条直线平行aa bbαα⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥13线面垂直⇒面面平行垂直于同一条直线的两个平面平行aaααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭∥14面面平行⇒线面垂直两个平行平面中如果有一个平面垂直于一条直线，那么另外一个平面也垂直于这条直线2．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总(一)立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有：①利用定义采用反证法；②平行判定定理；③利用面面平行，证线面平行。

主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定岀面内的与面外直线平行的直线.常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.•••ABCD是平行四边形，••• A O = O C.连结0Q，则0Q在平面BDQ内，且0Q是厶APC的中位线，• PC II 0Q.•/ PC在平面BDQ夕卜，• PC I 平面BDQ.例2、在棱长为a的正方体ABCD —A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2 )面AMN I 面EFBD.证明:⑴分别连结B i D i 、ED 、FB ，如图，则由正方体性质得 B i D i // BD.•/ E 、F 分别是D i C i 和B i C i 的中点，1i ••• EF // B i D i . A EF // BD.22 •E 、 F 、 B 、 D 对共面. (2)连结A i C i 交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ,分别连结PA 、Q O .•/ M 、N 为A i B i 、A i D i 的中点，• MN // EF ，EF 面 EFBD.• MN //面 EFBD.•/ PQ /A O ,•四边形PA O Q 为平行四边形.• PA // O Q.而O Q 平面EFBD ，• PA //面 EFBD.且 PA n MN=P ，PA 、MN 面AMN ，•平面AMN //平面EFBD.例 3 女口图(i )，在直角梯形 P i DCB 中, P i D//BC , CD 丄 P i D ，且 P i D=8，BC=4，DC=4A 是P i D 的中点，沿 AB 把平面P i AB 折起到平面 PAB 的位置(如图(2)),使二面角求证：AF//平面PEC ;证明：如图，设 PC 中点为G ,连结FG,CD — B 成 45 ，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点1 贝U FG//CD//AE ，且 FG= CD=AE , 2•••四边形AEGF 是平行四边形••• AF//EG ,又••• AF 平面PEC , EG 平面PEC ,• AF// 平面 PEC例4、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于 AB ,在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ. 求证：PQ //面BCE.证法一：如图（1 ），作PM // AB 交BE于M ，作QN // AB 交BC 于N,连接MN, 因为面 ABCD n 面 ABEF=AB,贝U AE=DB.又••• AP=DQ,• PE=QB. 又••• PM // AB// QN,BQ• PM PE QN "AB AE 'DC BD• PM QN"AB DC• P M /QN.四边形PMNQ 为平行四边形• PQ // MN.又••• MN 面 BCE ，PQ 面 BCE ，• PQ //面 BCE. 证法二：如图（2），连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK.•/ AD // BC,• DQ AQ"QB QK .又•••正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，A（1）A Q A P .则 PQ II EK.QK PE••• EK 面 BCE , PQ 面 BCE.••• PQ //面 BCE.例5、正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于AB （如图所示）M 、N 在对角线 AC 、FB 上且AM= FN 求证：MN // 平面BCE证明：过N 作NP//AB 交BE 于P ，过M 作 MQ//AB 交BC 于QCM QM BN NPNP MQAC AB BF EF 又NP 〃AB 〃MQ :「MQPN于 A 、B 、C 、D 、E 、F ，若 GA=9，AB=12，BH=16 ， S AEC 72，求 S BFDG/ \a E 1 1 l0 l /CAF DBHMN // PQ PQ 面BCE MN //面BCE〃，线段 GH 、GD 、HE 交 GD GH G AC // BDHE HA H AE//BFAC GA 9EAC FBDBD GB 21证明:AC // BDBF HB 16 AE II BF AE HA 28S AEC -AC2AE si nA373S BFD-BF BD sin B 7442 S BFD 96立体几何每日一练基础部分线面平行问题(中位线)1.在正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，P 、Q 分别是 AD i 、BD 上的点，且 AP=BQ ，求证：PQ II 平面 DCC i D i 。