期末总复习三、三角形中的边角关系、命题与证明

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明一、三角形（一）、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。

3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角。

（二）、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a -b<c,a -c<b,b -c<a 。

2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a 同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.4、作用：∠判断三条已知线段能否组成三角形；∠当已知两边时，可确定第三边的范围；∠证明线段不等关系。

（三）、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。

注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

三角形中的边角关系、命题与证明【学习目的】①理解与三角形有关的基本概念②命题与证明考点一：三角形中的边角关系►知识点拨：1.三角形中的有关概念（1）三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.用符号“△”表示.（2）三角形的顶点、边和角：①边的表示；②角的表示；③对边、对角的概念.2.三角形按边的关系分类（1）不等边三角形：三条边互不相等；②等腰三角形：有两条边相等的三角形；（2）等边三角形：三条边都相等的三角形（等腰三角形的特例）3.三角形的三边关系：三角形中任何两条边的和大于第三边，两边的差（绝对值）小于第三边.4.三角形中角的关系（1）按角分类：①直角三角形；②斜三角形：锐角三角形和钝角三角形.（2）三角形的内角和等于180 .注意：①用Rt△ABC表示直角三角形；②任意一个三角形最多有三个锐角；最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角；③任何三角的最大内角不能小于60 ，最小内角不能大于60 .5.三角形中的几条重要线段（1）角平分线：角平分线把角分成两个相等的角.（三条角平分线的交点就是三角形的外心）（2）中线：三角形一顶点与它对边中点的线段叫中线.（三条中线的交点就是三角形的重心）（3）高线：三角形一顶点与它对边所在直线的垂线段叫三角形的高线.注意：三角形的中线所分得的两个三角形的面积相等.6.定义：能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.例1：如图所示，以点A为顶点的三角形共有（）A.6个B.7个C.8个D.9个A.20或16B.20C.60D.以上都不对例3：若四条线段的长分别为2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，则可以构成三角形的个数有（）A.1 B.2 C.3 D.4A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定例5：如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A.BA=2BFB.2∠ACE=∠ACBC.AE=BED.CD⊥BE例6：下列属于定义的是（）A.两点确定一条直线B.两直线平行，同位角相等C.三角形的高、角平分线和中线都是线段D.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形基础训练1、如图所示，AB＝AC，BE＝CD，AD＝BD＝DE＝AE＝CE，则图中共有个等腰三角形，有个等边三角形.第1题图第3题图第4题图2、一个等腰三角形中，一边长为9cm，另一边长为5cm，则等腰三角形的周长是.3、如图，AD、BE、CF分别是△ABC的高、中线、角平分线.则△ADC的高、中线、角平分线分别是.4、如图，图中以AB为边的三角形的个数是（）A.3B.4C.5D.6A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.不能确定6、三角形的两边长分别为3，8，则第三边长为（）A.5B.6C.3D.117、以下各组长度的线段为边，组成的三角形是（）A.2、3、5B.3、3、6C.5、8、2D.4、5、68、设三角形的三边长分别为2，9，1-2a，则a的取值范围是（）A.3<a<5B.-5<a<3C.-5<a<-3D.不能确定9、三角形的内角和等于（）A.90B.180C.300D.36010、在△ABC中，若∠A=54 ，∠B=36 ，则△ABC是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形11、当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为（）A.30°B.50°C.80°D.100°12、三角形的角平分线、中线和高（）A.都是射线B.都是直线C.都是线段D.都在三角形内13、如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确的个数为（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC.A.②和③B.③和④C.①和④D.仅有③14、下面四个命题中属于定义的是（）A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.有两条边相等的三角形叫等腰三角形D.内错角相等强化训练1.在△ABC中，如果∠A:∠B:∠C=1：2：3，则△ABC一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.如图，AE是△ABC的中线,D是BE上一点,若BE=5，DE=2，则CD的长为（）A.7B.6C.5D.43.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）4.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A.3cm，4cm，8cmB.8cm ，7cm，15cmC.5cm ，5cm，11cmD.13cm ，12cm，20cm5.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，点E是边AC上一点，且DE∥BC，∠B=40 ，∠AED=60 ，则∠A的度数是（）A.100 B.90 C.80 D.70第5题图第7题图第8题图6.一个三角形的两边长为8和10，则它的最短边a的取值范围是．7.如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的平分线.（1）若∠B=47°，∠C=53°，则∠DAE=度；（2）若∠B=α，∠C=β(α<β)，则∠DAE=度.（用α、β含的代数式表示）8.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是．9.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_____.10.如图，在△ABC中，∠A=40 ，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=_____.11.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.(1)若∠ABE=15 ，∠BAD=40 ，求∠BED的度数；(2)在△BED 中，作BD 边上的高；(3)若△ABC 的面积为40，BD=5，求△BDE 中BD 边上的高为多少?12.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠BAC ＝50°，∠C ＝70°，求∠DAC ，∠BOA.能力提升1.各边长度都是正整数且最大边长为8的三角形共有个.2.三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且(a -b-c)∙(b-c)＝0，则此三角形为________三角形．3.如图所示，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12=∆ABC S ，则图中阴影部分面积是_____.4.如图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且24cm S ABC =∆，则阴影S 等于 （ ）5.如图，用钢筋做支架，要求BA 、DC 相交所成的锐角为32 ，现测得∠BAC=∠DCA=115 ，则这个支架符合设计要求吗?为什么?6.设三角形的三条边为整数a 、b 、c 且c b a ≤≤，当b=4时，符合条件的a 、b 、c 的取值若下表：（1）将表格补充完整；（2）满足条件的三角形共有多少个?其中等腰三角形有多少个?等边三角形又有多少个? 考点二：命题与证明例1：下列语句不是命题的是（）A.直角都等于90 B.对顶角相等 C.互补的两个角不相等 D.作线段AB例2：把下例命题改写成“如果......那么.....”的形式，并分别指出它们的题设和结论.(1)整数一定是有理数；(2)同角的补角相等；(3)两个锐角互余.例3：写出下列命题的逆命题，并判断真假（1）两直线平行，同位角相等；（2）若a=0，则a b=0；（3）对顶角相等.例4：请举反例说明命题“对于任意实数x ，552++x x 的值总是正数”是假命题，你举的反例是_____（写出一个的值即可）.例5：在下列证明中，填上推理依据：如图，CD ∥EF ，∠1=∠2，求证：∠3=∠ACB.例6：如图，在△ABC 中，∠ABC=66 ，∠ACB=54 ，BE 、CF 是两边AC 、AB 上的高，它们交于点H.求∠ABE 和∠BHC 的度数.基础训练1、下列语句中，不是命题的是 （ ） A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.不是对顶角的两个角不相等D.过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线2、下列命题中，是真命题的是 （ ） A.三角形的一个外角大于任何一个内角 B.三角形的一个外角等于两个内角之和 C.三角形的两边之和一定不小于第三边D.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心3、“两条直线相交只有一个交点”的题设是 （ ）A.两条直线B.相交C.只有一个交点D.两条直线相交4、已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A.2kB.15C.24D.425、如图，下列说法中错误的是（）A.∠1不是△ABC的外角B.∠B＜∠1+∠2C.∠ACD是△ABC的外角D.∠ACD＞∠A+∠B第5题图第6题图第7题图6、一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（）A.165B.120C.150D.1357、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD∥AB，∠ACD=40°，则∠B的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°8、命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”的题设是，结论是，它的逆命题是.9、完成以下证明，并在括号内填写理由：已知：如图所示∠1=∠2，∠A=∠3.求证：AC∥DE.证明：因为∠1=∠2，所以AB∥．（）所以∠A=∠4．（）又因为∠A=∠3，所以∠3=.（）所以AC∥DE. （）10、将下列命题改写成“如果......那么......”的形式，并分别指出命题的题设与结论：（1）直角都相等；（2）末位数字是5的整数能被5整除；（3）同角的余角相等.11、分析下列所举反例的正确性，若不正确，请写出正确的反例.（1）若|x|=|y|，则x=y；反例：取x=3，y=-3，则|x|=|y|，所以此命题是假命题；（2）两个锐角的和一定是钝角；反例：取∠1=30°，∠2=100°，则∠1+∠2=130°，不符合命题的结论，所以此命题是假命题；（3）若|a|=a，则a>0.12、如图，已知AC∥DE，∠1=∠2.求证：AB∥CD.13、如图，在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=∠DCE=36°，求∠BEC的度数.14、如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，，则△ABC 是直角三角形吗？为什么？强化训练1.如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于点P.若∠A ＝50°，则∠BPC的度数是（）A.150B.130C.120D.1002.如图，从①∠1=∠2；②∠C=∠D；③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3第2题图第6题图3.一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则这个三角形三个内角之比是（）A.5:4:3B.4:3:2C.3:2:1D.5:3:14.能说明命题“对于任何实数a ，a a ->”是假命题的一个反例可以是 （ ）A.a =-2B.31=a C. a =1 D.2=a 5.下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若b a =，则b a =；④若0=x ，则022=-x x .它们的逆命题一定成立的有 （ ）A.①②③④B.①④C.②④D.②6.如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B=35 ，∠ACE=60 ，则∠A= （ ）A.35B.95C.85D.757.如图，在△ABC 中，∠B=40 ，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=.8.直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的锐角的度数是.9.写出命题“如果b a =，那么b a 33=”的逆命题：.10.如图，AD 是△ABC 的高，BE 平分∠ABC 交AD 于E.若∠C ＝60°，∠BED ＝54°，求∠BAC 的度数.11.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，交BC 的延长线于D 点，若∠B=30°，∠ACD=100°， 求∠DAE 的度数．12.如图，D是△ABC内的任意一点.求证：∠BDC=∠1+∠A+∠2.13.用两种方法证明“三角形的外角和等于360 ”.如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角.求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360 .证法1： ，∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180⨯ 3=540 .∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 -（∠1+∠2+∠3）.，∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 -180 =360 .请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.能力提升1.如图，∠A+∠B+∠C+∠D=.2.观察下列各式：想一想：什么样的两个数之积等于这两个数的和？设n 表示正整数，用关于n 的代数式表示这个规律：_______×_______=_______+________.3.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD=12BC ．2224,24;1139393,3;22224164164,4;33335255255,5.4444⨯=+=⨯=+=⨯=+=⨯=+=（1）求证：∠BAC=90°；（2）直接运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长为1，另两边之和为4.如图在△ABC中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于E、F.（1）求证：AE=CF（2）是否还有其他结论，不要求证明（至少2个）。

第13章《三角形的边角关系、命题与证明》期末总复习资料本章需要理解掌握的知识点有：一、三角形的概念（要注意“不在同一直线上”）二、三角形边的关系1、按边分类：不等边三角形；等腰三角形（包括等边三角形）2、特殊三角形：等腰三角形，腰、底边；顶角、底角。

3、三边之间关系：三角形任何两边之和大于第三边三角形任何两边之差小于第三边4、三边关系应用：已知两边求第三边取值范围（第三边小于两边之和、大于两边之差的绝对值）；已知三条线段的长，判断能否构成三角形（只要看“两条较小线段的长度和是否大于最长线段）证明线段不等关系（只要是证明线段不等关系的题目，都要考虑用”三角形两边之和大于第三边“来证，那么。

首先要出现三角形，然后在三角形中来证明）三、三角形角之间关系1、按角分类：直角三角形；斜三角形（包括锐角三角形和钝角三角形）2、特殊三角形：直角三角形，直角边、斜边。

3、三角之间关系：三角形内角和是180度4、三角关系应用：求角度证明角的不等关系四、三角形中重要线段1、三角形的角平分线(1、三角形的角平分线是线段，2、角平分线的交点叫三角形的内心)2、三角形的中线（1、中线把三角形分成了两个面积相等的三角形，2、中线的交点叫重心，3、遇到中线的问题如果难以解决，则加倍延长中线）3、三角形的高（1、高并不一定在内部，2、把握高的定义是作三角形高的基础，3、高的交点叫垂心，4、牵扯到高的题目通常用面积相等来解决）探究几何图形的性质可以通过观察、操作和实验的方法。

但这些方法得到的结论有时候是近似的、甚至是错误的。

要想结论使人信服就要用到推理、推理就需要思维、思维就需要作出判断，判断的语句就是命题。

五、命题1、命题的定义2、真、假命题3、命题的构成4、命题的形式5、互逆命题六、证明一个命题是假命题的方法：举反例（例子要“符合命题的题设，但不符合命题的结论”）七、证明一个命题是真命题要用推理的方法。

八、命题的证明1、把命题改写成“如果p，那么q”的形式，找出题设和结论，p就是题设、q就是结论2、画出符合题意的图形，并标明字母3、结合图形写出已知、和求证：在已知中写题设；在求证中写结论4、分析证明思路（执果索因）5、写出证明过程：每一步都要有依据。

第13章，三角形的边角关系，命题与证明基础知识总结一、三角形的分类及其重要线段1,三角形的分类。

（1）按边分：三角形（2）按角分：三角形 2、三角形的高、中线、角平分线。

△的高、中线、角平分线几何符号语言表示（1）∵AD 是△ABC 的边BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°（2）∵AE 是△ABC 的边BC 上的中线，∴BE = EC = ，S △ABE = S △AEC = 。

（3）∵AF 是△ABC 的角平分线，∴∠1=∠2 = ∠ 。

（4）△的高、△的中线、△的角平分线都是（选填‘线段、射线和直线’）（5）交点情况：a.三条高所在的直线交于一点：△是锐角三角形时交点位于△的内部；△是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点；△是钝角三角形时，交点位于三角形的外部。

b.△的三条中线交于一点，交点位于△的内部;交点叫重心。

c.△的三条角平分线交于一点，交点位于△的内部。

例题：1、图中共有（ ）个三角形。

A ：5 B ：6 C ：7 D ：8 2、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF3、三角形一边上的高（ ）。

A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。

A ：三角形的角平分线B ：三角形的中线C ：三角形的高线D ：以上都不对6、具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）。

A ：∠A+∠B=∠CB ：∠A=∠B=12∠C C ：∠A=90°-∠B D ：∠A-∠B=90 7、如右图,△ABC 的周长为24，面积是32，BC=10，AD 是△ABC 的中线，且被分得的两个三角形的周长差为2，求AB 和AC 的长和S △ABD 。

212121C D F E E B C F D 等腰三角形（特例：等边三角形） 不等边三角形 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 斜三角形 A B C D二、三角形的性质1、三边关系:三角形任何两边的和 第三边. 三角形任何两边的差 第三边.例题：1、以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（ ）。

2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选一．解答题（共22小题）1．（2019秋•当涂县期末）如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC与∠ACB的三等分线分别交于点M、N 两点．（1）求∠BMC的度数；（2）若设∠A＝α，用α的式子表示∠BMC的度数．2．（2019秋•埇桥区期末）（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．①当∠A＝60°时，求∠D的度数．②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论．（2）如图（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）．3．（2019秋•临泉县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．解：我写的真命题是：已知：；求证：．（注：不能只填序号）证明如下：4．（2019秋•濉溪县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，作出下列坐标的A（﹣3，2），B（0，﹣4），C （5，﹣3），D（0，1）．并求出四边形ABCD的面积．5．（2019秋•潜山市期末）如图，∠A＝37°，∠B＝28°，∠ADB＝148°，求∠C的度数．6．（2019秋•庐阳区期末）如图，在△ABC中，AD、CE分别平分∠BAC和∠ACB，AD、CE交于点O，若∠B＝50°，求∠AOC．7．（2019秋•庐阳区期末）在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠B﹣∠A＝30°．（1）求∠A、∠B、∠C的度数；（2）△ABC按角分类，属于什么三角形？△ABC按边分类，属于什么三角形？8．（2019秋•裕安区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．9．（2019秋•瑶海区期末）如图，已知△ABC．（1）若AB＝4，AC＝5，则BC边的取值范围是；（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．10．（2019秋•全椒县期末）已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC 和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC＝2∠A；（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．11．（2019秋•涡阳县期末）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长．12．（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．13．（2019秋•和县期末）如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠E的度数．14．（2019秋•涡阳县期末）如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（﹣4，﹣6），（﹣6，﹣3），求三角形AOB的面积（提示：三角形AOB的面积可以看作一个梯形的面积减去一些小三角形的面积）．15．（2018秋•望江县期末）在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为多少？16．（2018秋•长丰县期末）已知：如图，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A ＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：（1）∠BDC的度数；（2）∠BFC的度数．17．（2018秋•埇桥区期末）在△ABC中，∠A＝∠B+20°，∠C＝∠A+50°，求△ABC各内角的度数．18．（2018秋•包河区期末）如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝．（直接写出结论即可）19．（2018秋•桐城市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C ＝70°，分别求：（1）∠BAC的度数；（2）∠AED的度数；（3）∠EAD的度数．20．（2018秋•无为县期末）如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．解：（2）关系式为：证明：21．（2018秋•阜南县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝42°，∠C＝70°，求：∠DAE的度数．22．（2019春•庐江县期末）已知：三角形ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．若∠EDF＝85°，则∠A的度数为°．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A，证明：DE∥BA．（3）如图3，点D是三角形ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．【解答】解：（1）∵∠A ＝75°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣75°＝105°，∴∠MBC +∠MCB =23×105°＝70°，∴∠BMC ＝180°﹣70°＝110°．（2）∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α∴∠MBC +∠MCB =23×（180°﹣α）＝120°−23α∴∠BMC ＝180°﹣（120°−23α）＝60°+23α2．【解答】解：（1）①∵∠A ＝60°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣60°＝120°，∵∠DBC =12∠ABC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×120°＝60°，∴∠D ＝180°﹣60°＝120°．②结论：∠D ＝90°+12∠A ．理由：∵∠DBC =12∠ABC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×（∠ABC +∠ACB ）=12（180°﹣∠A ）＝90°−12∠A∴∠D ＝180°﹣（90°−12∠A ）＝90°+12∠A ．（2）不正确．结论：∠D ＝90°−12∠A ．理由：∵∠DBC =12∠PBC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×（∠PBC +∠QCB ）=12（∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ）=12（180°+∠A ）＝90°+12∠A ，∴∠D ＝180°﹣（90°−+12∠A ）＝90°−12∠A ．3．【解答】解：我写的真命题是：已知：①②④；求证：③证明如下：∵BE ＝FC ，∴BE +EC ＝CF +EC ，即BC ＝FE ，在△ABC 和△DEF 中{AA =AA AA =AA AA =AA ，∴△ABC ≌△DEF （SSS ），∴∠B ＝∠DEF ，∴AB ∥DE ．故答案为①②④；③．4．【解答】解：如图所示，S 四边形ABCD =12×5×3+12×5×5=20．5．【解答】解：连接CD 并延长点E ， ∵∠ACD ＝∠ADE ﹣∠A ＝∠ADE ﹣37°，∴∠A ＝37°，∠ADE ＝∠A +∠ACD ，同理可得：∠BCD ＝∠BDE ﹣28°，∵∠ACB ＝∠ACD +∠BCD ，∴∠ADB ＝148°，∠ACB ＝∠ADB ﹣∠A ﹣∠B ，＝148°﹣37°﹣28°＝83°．6．【解答】解：∵∠ABC ＝50°， ∴∠BAC +∠ACB ＝180°﹣50°＝130°，∵AD ，CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，∴∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠ACB ，∴∠OAC +∠OCA =12（∠BAC +∠ACB ）=12×130°＝65°，在△AOC 中，∠AOC ＝180°﹣（∠OAC +∠OCA ）＝180°﹣65°＝115°．7．【解答】解：（1）由题意：{∠A +∠A =∠AAA −AA =30°AA +AA +AA =180°，解得{∠A =30°AA =60°AA =90°．（2）∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴按角分类，属于直角三角形．△ABC 按边分类，属于不等边三角形．8．【解答】解：∵AD 是高，∠B ＝50°，∴Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAC ＝90°，∠B ＝50°，∴△ABC 中，∠ACB ＝90°﹣50°＝40°，∵AE ，CF 是角平分线，∴∠CAE =12∠BAC ＝45°，∠ACF =12∠ACB ＝20°，∴△AOC 中，∠AOC ＝180°﹣45°﹣20°＝115°．9．【解答】解：（1）∵AB ＝4，AC ＝5，∴5﹣4＜BC ＜4+5，即1＜BC ＜9，故答案为：1＜BC ＜9；（2）∵∠ACD ＝125°，∴∠ACB ＝180°﹣∠ACD ＝55°，∵DE ∥AC ，∴∠BDE ＝∠ACB ＝55°．∵∠E ＝55°，∴∠B ＝180°﹣∠E ﹣∠BDE ＝180°﹣55°﹣55°＝70°．10．【解答】（1）证明：∵∠FEC ＝∠A +∠ADE ，∠F +∠BDF ＝∠ABC ，∴∠F +∠FEC ＝∠F +∠A +∠ADE ，∵∠ADE ＝∠BDF ，∴∠F +∠FEC ＝∠A +∠ABC ，∵∠A ＝∠ABC ，∴∠F +∠FEC ＝∠A +∠ABC ＝2∠A ．（2）∠MBC ＝∠F +∠FEC ．证明：∵BM ∥AC ，∴∠MBA ＝∠A ，、∵∠A ＝∠ABC ，∴∠MBC ＝∠MBA +∠ABC ＝2∠A ，又∵∠F +∠FEC ＝2∠A ，∴∠MBC ＝∠F +∠FEC ．11．【解答】解：∵S △ABC =12AC •BE ，S △ABC =12BC •AD ，∴AC •BE ＝BC •AD ，∴BE =406=203．12．【解答】解：设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝2BC ＝4x ，∵BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40两部分，AC ＞AB ， ∴AC +CD ＝60，AB +BD ＝40，即{4A +A =60A +A =40，解得：{A =12A =28， 当AB ＝28，BC ＝24，AC ＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，所以AC ＝48，AB ＝28．13．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ；又∵∠B ＝47°（已知），∠B +∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴12∠DAC +12∠ACF =12（∠B +∠B +∠1+∠2）=227°2（外角定理），∴∠E ＝180°﹣（12∠DAC +12∠ACF ）＝66.5°．14．【解答】解：S △AOB ＝S 梯形BCDO ﹣（S △ABC +S △OAD ） =12×（3+6）×6﹣（12×2×3+12×4×6）＝27﹣（3+12） ＝12．15．【解答】解：（1）由题意知，9﹣2＜x ＜9+2，即7＜x ＜11；（2）∵7＜x ＜11，∴x 的值是8或9或10，∴△ABC 的周长为：9+2+8＝19（舍去）．或9+2+9＝20或9+2+10＝21（舍去）即该三角形的周长是20．16．【解答】解：（1）∵∠A ＝62°，∠ACD ＝35°，∴∠BDC ＝∠A +∠ACD ＝62°+35°＝97°；（2）∵∠ABE ＝20°，∠BDC ＝97°，∴∠BFC ＝∠BDC +∠ABE ＝97°+20°＝117°．17．【解答】解：∵∠A ＝∠B +20°，∠C ＝∠A +50°， ∴∠C ＝∠B +20°+50°，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠B +20°+∠B +∠B +20°+50°＝180°，解得：∠B ＝30°，∴∠A ＝30°+20°＝50°，∴∠C ＝50°+50°＝100°，即∠A ＝50°，∠B ＝30°，∠C ＝100°．18．【解答】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝100°，∴∠ACD ＝180°﹣100°＝80°，∴∠CAD ＝90°﹣80°＝10°，∵∠B ＝30°，∴∠BAD ＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC ＝50°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE =12∠BAC ＝25°，∴∠EAD ＝∠CAE +∠CAD ＝35°；（2）∵AD ⊥BC ，∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝β，∴∠ACD ＝180°﹣β，∴∠CAD ＝90°﹣∠ACD ＝β﹣90°，∵∠B ＝α，∴∠BAD ＝90°﹣α，∴∠BAC ＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE =12∠BAC ＝90°−12（α+β），∴∠EAD ＝∠CAE +∠CAD ＝90°−12（α+β）+β﹣90°=12β−12α．故答案为：12β−12α．19．【解答】解：（1）∵∠B ＝30°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°；（2）∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE =12∠BAC ＝40°，∴∠AED ＝∠BAE +∠B ＝40°+30°＝70°；（3）∵AD ⊥BC ，∴∠ADE ＝90°，∴∠EAD ＝∠ADE ﹣AED ＝90°﹣70°＝20°．20．【解答】解：（1）∵∠A ＝35°，∠B ＝30°，∴∠ACD ＝∠A +∠B ＝65°，又∵AC 平分∠DCE ，∴∠ACE ＝∠ACD ＝65°，∴∠BEC ＝∠A +∠ACE ＝35°+65°＝100°， 故答案为：100°；（2）关系式为∠BEC ＝2∠A +∠B ．理由：∵AC 平分∠DCE ，∴∠ACD ＝∠ACE ，∵∠BEC ＝∠A +∠ACE ＝∠A +∠ACD ，∵∠ACD ＝∠A +∠B ，∴∠BEC ＝∠A +∠A +∠B ＝2∠A +∠B ．21．【解答】解：∵∠B ＝42°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝68°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=12A BAC＝34°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝20°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝34°﹣20°＝14°．22．【解答】解：（1）∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠A＝∠DEC，∠DEC＝∠EDF，∵∠EDF＝85°∴∠A＝∠EDF＝85°；故答案为：85；（2）证明：如图1，延长BA交DF于G．∵DF∥CA，∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴DE∥BA．（3）∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°，理由：如图2，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠EDF+∠E＝180°，∠E+∠EAF＝180°，∴∠EDF＝∠EAF＝∠A；如图3，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠EDF+∠F＝180°，∠F＝∠CAB，∴∠EDF+∠BAC＝180°．即∠EDF+∠A＝180°，。

高效学案4、三角形中的重要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段.（2）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3）三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高.三、经典例题【例1】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm【变式1】两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长x cm 的范围是__________．【变式2】若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简c b a a c b c b a +--+--+--．【变式3】如图，已知P 是△ABC 内一点，连结AP ，PB ，PC ．求证：PA+PB+PC >21(AB+AC+BC)．【例2】等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ）A ．15cmB ．20cmC ．25 cmD ．20 cm 或25 cm【例3】已知△ABC 中：（1）∠A=20°，∠B ﹣∠C=40°，则∠B=______；（2）∠A=120°，2∠B+∠C=80°，则∠B=_______；（3）∠B=∠A+40°，∠C=∠B ﹣50°，则∠B=_______；（4）∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B=_______．E DA 2 1 ABC 【变式】如图把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 在四边形BCDE 的内部时，则∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找出这个规律，你发现的规律是（ ）A.∠A=∠2＋∠1B.2∠A=∠2＋∠1C.3∠A=2∠1＋∠2D.3∠A=2∠1＋2∠2【例4】如图，α、β、γ分别是△ABC 的外角，且α：β：γ= 2：3：4，则α =__________．【变式1】如图，五角星ABCDE ，求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数．【变式2】已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关 ；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．利用（1）的结论，试求∠P 的度数；（3）如果图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系？【例5】如图，∆ABC 中，AD 是BC 上的中线，BE 是∆ABD 中AD 边上的中线，若∆ABC 的面积是24，则∆ABE 的面积是________．【例6】如图，在△ABC 中，BE ⊥AC ，BC=5cm ，AC=8cm ，BE=3cm .（1）求△ABC 的面积；（2）画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值．【例7】已知：如图AB//CD 直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于P ，求证 90=∠P ．【变式】如图，∠MON=90°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动，BE 平分∠NBA ，BE 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点C ．∠BAO=45°则∠C 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【例8】如图，△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线交于点O ，若∠A=70°，则∠BOC= 度．【变式】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 探究2：如图2中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 探究3：如图3中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？四、方法归纳1、三角形的边的关系，只需验证：两个较短的边之和大于第三边即可.2、三角形的两边长分别为b a ,，则第三边长c 的取值范围是：b a c b a +<<-.3、三角形的几种“心”.（1）重心：三条中线的交点.（2）外心：三边垂直平分线的交点.（3）内心：三条内角平分线的交点.（4）垂心：三条高线的交点.五、课后作业【作业1】1.如图所示，共有_______个三角形，以AD 为一边的三角形有___________________，∠C 是△ADC 的________边的对角，AE 是△ABE 中∠_____的对边.2.一个三角形周长为27cm ，三边长为2：3：4，则最长边为______cm.3.已知在△ABC 中，5=a ，3=b ，那么第三边c 的取值范围是_____________.4.在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则△ABC 是________三角形.5.在△ABC 中，已知∠B －∠A=5°，∠C －∠B=20°，则∠A=_______.6.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD ⊥AB 于D ，则∠ACD =_________.7.等腰三角形周长为14，其中一边长为3，则腰长为________.8.一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为9cm ，那么这个三角形的周长是__________.9.在△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线交与点O ，若∠BOC=132°，则∠A=________.10.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A 等于（ ）A.60°B.45°C.30°D.20°11.如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定12.一个三角形的两边长分别为3和7，若第三边长为偶数，则第三边为（ ）A.4，6B.4，6，8C.6，8D.6，8，1013.能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高线D.以上都不对14.在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形15.如图，AD 、AF 分别是△ABC 的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 数.（提示：先证明∠DAF=21（∠C －∠B ））16.如图，已知I 为△ABC 的内角平分线的交点.求证：∠BIC=90°＋21∠A.17.如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 50°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，求∠BDE 的度数.18.如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，已知∠AFD=150°，求∠EDF 等于多少度？【作业2】1.如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的中线、高、角平分线.则：BD=___=21___；∠___=∠___=90°；∠___=∠___=21∠___. 2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，已知AB=6，BC=4，AD=5，则CE=______.3.如图，AD 、AE 分别是△ABC 的中线、高，且AB=5，AC=3，则△ABD 与△ACD 的周长的差是_________，△ACD 与△ABD 的面积关系为__________.第1题 第2题 第3题 第4题 第5题4.如图，△ABC 的周长是21cm ，AB=AC ，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm ，则AB= ，BC=_________.5.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且2ABC cm 8=∆S ，则阴影部分的面积等于_________.6.在△ABC 中，若AB=5，AC=2，且三角形周长为偶数，则BC=________.7.△ABC 的三边长是a ，b ，c ，则c b a a c b c b a +++-----=________.第8题 第9题 第10题8.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点B 沿CB 所在直线远离C 点移动，下列说法不正确的是（ ）A.三角形面积随之增大B.∠CAB 的度数随之增大C.边AB 的长度随之增大D.BC 边上的高随之增大9.如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）A.118°B.119°C.120°D.121°10.如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，则∠BOC 与∠A 的大小关系是（ ）A.∠BOC=2∠AB.∠BOC=90°+∠AC.∠BOC=90°+21∠A D.∠BOC=90°21-∠A11.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，已知∠A=50°，求∠BDC的度数．13.如图，已知BD为∠ABC的平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．14.如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．15.如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．16.已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON ，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D ．设∠OAC x =°.21（1）如图1，若AB ∥ON ，则①∠ABO 的度数是 ；②当∠BAD=∠ABD 时，=x ；当∠BAD=∠BDA 时，=x ．（2）如图2，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．第二节：命题与证明一、课堂导入有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用。

2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选一．填空题（共30小题）1．（2020春•铜陵期末）在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（0，4），C（0，﹣2），则三角形ABC的面积为．2．（2020春•蜀山区期末）将一副直角三角板如图放置，点E在AC边上，且ED∥BC，∠C＝30°，∠F ＝∠DEF＝45°，则∠AEF＝度．3．（2020春•芜湖期末）已知点A（﹣4，0），B（2，0），点C在y轴上，且△ABC的面积等于12，则点C 的坐标为．4．（2019秋•东至县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线．若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝．5．（2019秋•当涂县期末）设三角形三边之长分别为2，9，5+a，则a的取值范围为．6．（2019秋•蜀山区期末）写出命题“如果mn＝1，那么m、n互为倒数”的逆命题：．7．（2019秋•蜀山区期末）如图，一个直角三角形纸片ABC，∠BAC＝90°，D是边BC上一点，沿线段AD 折叠，使点B落在点E处（E、B在直线AC的两侧），当∠EAC＝50°时，则∠CAD＝°．8．（2019秋•肥东县期末）如图，在△ABC中，BD，BE将∠ABC分成三个相等的角，CD，CE将∠ACB 分成三个相等的角．若∠A＝105°，则∠D等于度．9．（2019秋•潜山市期末）△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为．10．（2019秋•当涂县期末）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则S1与S2的数量关系为．11．（2019秋•裕安区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，3）和点B（2，0）是坐标轴上两点，点C（m，n）（m≠n）为坐标轴上一点，若三角形ABC的面积为3，则C点坐标为．12．（2019秋•裕安区期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F，若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为．13．（2019秋•包河区期末）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）14．（2019秋•裕安区期末）若△ABC的三边的长AB＝5，BC＝2a+1，AC＝3a﹣1，则a的取值范围为．15．（2018秋•濉溪县期末）命题“如果∠A＝∠B，那么∠A的余角与∠B的余角相等”的条件是，结论是．16．（2018秋•义安区期末）△ABC的两条角平分线BP、CP相交于点P，若∠A＝80°，则∠BPC＝．17．（2018秋•砀山县期末）下列命题中，真命题为．①如果一个三角形的三边长分别为√5，3，√14，那么这个三角形是直角三角形②如果两个一次函数的图象平行，那么它们表达式中的k相同③三角形的一个外角等于两个内角的和18．（2018秋•长丰县期末）命题“如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是，此命题是（选填“真“或“假”）命题．19．（2018秋•安庆期末）设三角形三边之长分别为3，7，1+a，则a的取值范围为．20．（2018秋•瑶海区期末）已知点A（4，0）、B（0，5），点C在x轴上，且△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标为．21．（2017秋•蚌埠期末）如图，D是线段AC上一点，连BD，用不等号“＜”表示∠A，∠1的大小关系为．22．（2017秋•蜀山区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠A＝70°，则∠BOC ＝．23．（2017秋•埇桥区期末）一个三角形的最大角不会小于度．24．（2017秋•颍上县期末）“对顶角相等”这个命题的逆命题是，它是一个命题（填“真”或“假”）．25．（2017秋•怀远县期末）请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例．26．（2017秋•瑶海区期末）命题“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的逆命题，是命题．（填“真”或“假”）27．（2017秋•望江县期末）三角形三边长分别为3，1﹣2a，8，则a的取值范围是．28．（2017秋•埇桥区期末）把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式是．29．（2017秋•固镇县期末）命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”它的题设是，结论是，它的逆命题是．30．（2017秋•临泉县期末）如图所示，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和外角∠ACE，若∠D＝24°，则∠A＝度．2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》填空题精选参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．【解答】解：如图，BC＝4+2＝6．所以S△ABC=12BC•x A=12×6×2=6．故答案是：2．2．【解答】解：∵ED∥BC，∠C＝30°∴∠DEC＝∠C＝30°，∵∠DEF＝45°，∴∠CEF＝∠DEF﹣∠DEC＝45°﹣30°＝15°．∴∠AEF＝180°﹣∠CEF＝165°，故答案为：165．3．【解答】解：如右图所示，设C点的坐标是（0，x），∵S△ABC＝12，∴12×AB×OC=12×6•|x|＝12，∴|x|＝4，故点C的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．故答案为（0，4）或（0，﹣4）．4．【解答】解：∵∠B＝38°，∠C＝70°，∴∠BAC＝72°，∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAE＝36°，∵AD是BC边上的高，∠B＝38°，∴∠BAD＝52°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝16°，故答案为16°．5．【解答】解：由题意得9﹣2＜5+a＜9+2，解得2＜a＜6．故答案为：2＜a ＜6．6．【解答】解：命题“如果mn ＝1，那么m 、n 互为倒数”的逆命题是如果m 、n 互为倒数，那么mn ＝1， 故答案为：如果m 、n 互为倒数，那么mn ＝1．7．【解答】解：设∠CAD ＝x ．∵∠DAE ＝∠DAB ，∴50°+x ＝90°﹣x ，解得x ＝20°，∴∠CAD ＝20°，故答案为20．8．【解答】解：∵∠A ＝105°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣105°＝75°，∵BD ，BE 将∠ABC 分成三个相等的角，CD ，CE 将∠ACB 分成三个相等的角，∴∠DBC +∠DCB =23×75°＝50°， ∴∠D ＝180°﹣（∠DBC +∠DCB ）＝130°，故答案为130．9．【解答】解：∵5﹣2＝3，5+2＝7，∴3＜第三边＜7，∵第三边为奇数，∴第三边长为5．故选：5．10．【解答】解：过A 点作AG ⊥BC 于G ，过D 点作DH ⊥EF 于H ．在Rt △ABG 中，AG ＝AB •sin40°＝5sin40°，∠DEH ＝180°﹣140°＝40°，在Rt △DHE 中，DH ＝DE •sin40°＝8sin40°，S 1＝8×5sin40°÷2＝20sin40°，S 2＝5×8sin40°÷2＝20sin40°．则S 1＝S 2．故答案为：S 1＝S 2．11．【解答】解：∵点C （m ，n ）（m ≠n ）为坐标轴上一点，∴S △ABC =12×3×|m ﹣2|＝3或S △ABC =12×2×|n ﹣3|＝3，解得：m ＝4或0，n ＝6或0，∴C 点坐标为（4，0）或（0，6），故答案为：（4，0）或（0，6）．12．【解答】解：∵EF ⊥BC ，∠DEF ＝15°，∴∠ADB ＝90°﹣15°＝75°．∵∠C ＝35°，∴∠CAD ＝75°﹣35°＝40°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAC ＝2∠CAD ＝80°，∴∠B ＝180°﹣∠BAC ﹣∠C ＝180°﹣80°﹣35°＝65°．故答案为：65°．13．【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，故答案为：真．14．【解答】解：∵△ABC 的三边的长AB ＝5，BC ＝2a +1，AC ＝3a ﹣1，∴①{(3a −1)+(2a +1)＞5(3a −1)−(2a +1)＜5， 解得1＜a ＜7；②{(3a −1)+(2a +1)＞5(2a +1)−(3a −1)＜5， 解得a ＞1，则2a +1＜3a ﹣1．∴1＜a ＜7．故答案为：1＜a ＜7．15．【解答】解：命题“如果∠A ＝∠B ，那么∠A 的余角与∠B 的余角相等”的条件是∠A ＝∠B ，结论是∠A 的余角与∠B 的余角相等，故答案为：∠A ＝∠B ；∠A 的余角与∠B 的余角相等．16．【解答】解：如图，∵BP 、CP 分别是△ABC 的角平分线∴∠ABP ＝∠CBP ，∠ACP ＝∠PCB ；∵∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，∴∠A +2∠CBP +2∠PCB ＝180°；∵∠A ＝80°，∴∠CBP +∠PCB ＝50°；在△BPC 中，又∵∠BPC +∠CBP +∠PCB ＝180°，∴∠BPC ＝130°．17．【解答】解：①如果一个三角形的三边长分别为√5，3，√14，∵（√5）2+32＝（√14）2，∴这个三角形是直角三角形，是真命题，符合题意；②如果两个一次函数的图象平行，那么它们表达式中的k 相同，是真命题；③三角形的一个外角等于两个不相邻内角的和，故原说法错误．故答案为：①②．18．【解答】解：根据题意得：命题“如果|a |＝|b |，那么a 2＝b 2”的条件是如果|a |＝|b |，结论是a 2＝b 2”，故逆命题是如果a 2＝b 2，那么|a |＝|b |，该命题是真命题．故答案为：如果a 2＝b 2，那么|a |＝|b |；真．19．【解答】解：由题意，得{a +1＞7−3a +1＜7+3， 解得：3＜a ＜9，故答案为：3＜a ＜9．20．【解答】解：∵点A（4，0）、B（0，5），∴OA＝4，OB＝5，设OC＝a（a≥0），有三种情况：①当C在x轴的负半轴上时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（4+a）×5，解得：a＝﹣6，不符合a≥0，舍去；②当C在x轴的正半轴上，且在点A的右边时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（a﹣4）×5，解得：a＝6，此时点C的坐标是（6，0），③当C点在O、A之间时，∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×a×5=3×12×（4﹣a）×5，解得：a＝3，此时点C的坐标是（3，0），所以点C的坐标为（3，0）或（6，0），故答案为：（3，0）或（6，0）．21．【解答】解：∵∠1是△ABD的一个外角，∴∠A＜∠1，故答案为：∠A＜∠1．22．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠CBO，∠BCO＝∠ACO，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠A）=12（180°﹣70°）＝55°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣55°＝125°．故答案为：125°．23．【解答】解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾．所以三角形的最大角不小于60度；故答案为：60．24．【解答】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，∴逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题，故答案为：相等的角是对顶角，假25．【解答】解：例如α＝30°，β＝40°，α+β＜90°，故答案为：α＝30°，β＝40°，α+β＝70°＜90°，26．【解答】解：命题“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的逆命题是平行四边形的两组对边分别平行；该命题是真命题．故答案为：平行四边形的两组对边分别平行，真．27．【解答】解：∵三角形三边长分别为3，1﹣2a，8，∴8﹣3＜1﹣2a＜8+3，解得﹣5＜a＜﹣2．故答案为：﹣5＜a＜﹣2．28．【解答】解：把命题“任意两个直角都相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角都是直角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角都是直角，那么这两个角相等．29．【解答】解：命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”它的条件是“有两边相等的三角形”，结论是“这个三角形是等腰三角形”，故题设是有两边相等的三角形，结论是“这个三角形是等腰三角形”，它的逆命题是“等腰三角形的两腰相等”．30．【解答】解：∵∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBC＝2（∠DCE﹣∠DBC），∠D＝∠DCE﹣∠DBC，∴∠A＝2∠D＝48°．。

《三角形中边角关系，命题与证明》全章复习与巩固—知识讲解（提高）撰稿：张晓新责编：孙景艳【学习目标】1．理解并会应用三角形三边关系定理；了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图；能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算及证明问题；2.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3.理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，证明的基本过程，并能判断命题的真假，掌握直接证明的格式.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．2．三角形的分类(1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高⇔∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线⇔∠BAD＝∠DAC＝21∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、命题、定理及证明1.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.定理与逆定理如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.3.证明从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.要点诠释：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线. 【典型例题】类型一、三角形的有关概念和性质1.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150° B．130° C．120° D．100°【思路点拨】本题主要考查对三角形的高的性质、互余和互补角的性质以及小学学过的常识性的问题------三角形的内角和是180°等知识.【答案与解析】解:∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，∴∠AEB=∠CDB=90°，∵∠A=•50°，∴∠ABE=40°，∴∠B PD=180°-∠CDB-∠ABE=180°-90°-40°=50°，•∴∠BPC=180°-∠BPD=180°-50°=130°．【总结升华】本题虽然是选择题型，它重点考查运用三角形的高的性质、互余、互补角的性质等知识，通过简单的推理计算来解决问题．举一反三【变式】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°【答案】D.提示：锐角三角形的高都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部，应进行分类讨论．类型二、三角形的内角和2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．【答案与解析】解：分两种情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，∵ BD是AC边上的高(已知)，∴∠ADB＝90°(垂直定义)．又∵∠ABD＝30°(已知)，∴∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝120°，又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°．(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，∵∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．∴∠BAC＝120°．又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠ABC+∠C＝60°．∴∠C＝30°．综上，∠C的度数为60°或30°．【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节． 举一反三【变式】已知：如图，在ΔABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，BD 、CE 相交于H ，则∠BHC 的度数为 .【答案】135°.类型三、三角形的三边关系及分类3.已知三角形的三边长分别是3，8，x ,若x 的值为偶数，则x 的值有 ( )．A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个 【答案】D ；【解析】x 的取值范围：511x <<，又x 为偶数， 所以x 的值可以是6, 8, 10，故x 的值有3个.【总结升华】不要忽略“x 为偶数”这一条件.举一反三【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x 为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2<x-3<4+2，解得5<x<9，因为x 为整数，故x 可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).4.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．5.在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠B=2∠A，（1）求∠A、∠B、∠C的度数；（2）△ABC按角分类，属于什么三角形？【思路点拨】根据三角形的内角和定理列方程组，直接求∠A、∠B、∠C的度数即可；有角的度数再根据三角形按角分类正确给与分类即可.【答案与解析】解：（1）根据题意得【总结升华】几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．举一反三【变式】一个三角形的三个角的度数比是1：2：3，这个三角形中最小的一个角是度，按角分类，这个三角形是三角形．【答案】30；直角.类型四、三角形的重要线段6. 如图13，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠FCD的度数.【思路点拨】由图可知∠CDF是Rt△CDF的一个内角，求∠CDF可先求出∠FCD，△CDB为直角三角形，所以可以求出∠BCD，而∠FCD=∠BCE－∠BCD.【答案与解析】在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，由三角形的内角和定理得：∠BCA=180°-72°-40°=68°又CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠BCA=34°，在中，CD⊥AB于D，∠B = 72°∴∠BCD= 90°- 72°= 18°∴∠FCD=∠BCE－∠BCD=34°-18°=16°.即∠FCD =16°.【总结升华】这是三角形内角和定理在直角三角形中的应用，直角三角形两个锐角互余，所以在直角三角形中，已知一个锐角的大小，就可以求出另一个锐角的度数.举一反三【变式】如图14，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．【答案】∠DAE=35°。