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2
2 2
(1)
n
1
1 o 1 x
故得
x [1,1]
得
故
1 p2 (2k 1) 2 8 k 1
1 2 n 1 n
p
2
6
例3. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数.
解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
y
np x 2 2 dx bn x sin 2 2 0 2 np x 2 x cos np 2 np 4 cos np np 4 (1) n 1 np x f ( x) sin p n 1 n 2
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
例3. 将函数
则 解: 令 f ( x) f ( z 10) z F ( z )
展成傅里叶级数.
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定 理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 F ( z)
5 5 z 2 5 np z n 10 bn z sin d z (1) 5 0 5 np ( n 1 , 2 , ) n 10 (1) np z F ( z) sin (5 z 5 ) p n 1 n 5 10 (1)n npx sin p n1 n 5
证明
令t
px
l lt
, l xl
p t p ,
设f ( x) f ( ) F (t ),
a0 F (t ) (an cos nt bn sin nt ), 2 n1
其中 an bn F (t ) cos ntdt , p p
p
则F (t )以2p 为周期，且
ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在 上的傅里叶级数 .
方法2
令
即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
1
p
F (t ) sin ntdt. p p
1
p
t
px
l
F (t ) f ( x)
a0 np np f ( x) (an cos x bn sin x) 2 n 1 l l
1 l np 其中 an f ( x ) cos xdx, l l l 1 l np bn f ( x ) sin xdx. l l l
o 2
x
2 0
2
np x sin 2
(0 x 2)
(2) 将 作偶周期延拓, 则有 2 2 a0 x d x 2 0 2 2 np x an x cos dx 2 0 2 2 np x 2 2 np x cos x sin np 2 np 2
y
o 2
( n 0,1,2,)
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2) 上的表达
0 2 x 0 式为 f ( x ) , 将其展成傅氏级数. k 0 x 2
. 解 l 2, 满足狄氏充分条件
1 0 1 2 a0 0dx kdx k , 2 2 2 0
a0 npx npx f ( x ) ( an cos bn sin ), 2 n 1 l l
其中系数 an , bn为
1 l npx an f ( x ) cos dx, l l l 1 l npx bn f ( x ) sin dx, l l l
( n 0,1, 2,) ( n 1, 2,)
f(x)的图形
1 2 np an 0 k cos xdx 0, ( n 1,2,) 2 2 1 2 np k bn k sin xdx (1 cos np ) 2 0 2 np 2k 当n 1,3,5, np , 0 当n 2,4,6,
当函数定义在任意有限区间上时, 其傅里叶展开方法: 方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba F ( z ) f ( x) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓
ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在 上的傅里叶级数
方法2 令 x za, 即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
将 z x a 代入展开式 在 上的正弦或余弦级数
特别:
(1) 如果f ( x )为奇函数, 则有
npx f ( x ) bn sin , l n 1 2 l npx 其中系数 bn为 bn f ( x ) sin dx, 0 l l
( 2) 如果f ( x )为偶函数,
( n 1,2,)
则有
a0 npx f ( x ) an cos , 2 n 1 l 2 l npx 其中系数 an为 an f ( x ) cos dx l 0 l
周期为2L的周期函数的傅里叶级数
到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以 2p 为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函数, 它 的周期不一定是2p. 怎样把周期为2l的周期函数f(x) 展开成三角级数呢？
一、以2L为周期的傅氏级数
定理 设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理的条件,
则它的傅里叶级数展开 式为
和函数的图形
k 2k px 1 3 px 1 5 px f ( x ) (sin sin sin ) 2 p 2 3 2 5 2
( x ; x 0,2,4,)
例2
展开成以2为周 的和.
y
2
期的傅立叶级数, 并由此求级数 为偶函数, 解:
np 因 f (x) 偶延拓后在
( 5 z 5)
内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 a0 f ( x) 2 (x 间断点) 1 l np x f ( x) cos d x (n 0 ,1,) l l l 其中 1 l np x (n 1, 2 ,) f ( x ) sin d x l l l 当f (x)为奇 (偶)函数时, 为正弦(余弦) 级数. 变换 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 延拓
x
2 0
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnp
2 2
(1)
n
1
1 (2k 1)p x cos f ( x) x 1 2 2 2 p k 1 (2k 1) (0 x2) 8
当函数定义在任意有限区间上时,其傅里叶展开方法:
方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba f ( x) F ( z ) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓
