12.9周期为2l的傅里叶级数解析

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12.13 周期为2pi的函数的傅立叶展开

和
f
(x)
2
4
n1
1 (2n
1)2
cos(2n
1) x ,
当x 0时, f (0) 0,
从而有
2
8
1
1 32
1 52
设
1
1 22
1 32
1 42
,
1
1
1 32
1 52
(
2
8
)
2
1 22
1 42
1 62
,
3
1
1 22
1 32
1 42
,
4 2 1 2 ,
2
1
3
2
24
,
1
2
2
0
2
x2 2
x
0
2
y
an
2
( x 1)cos nx d x
0
1
o x
2
x sin nx n
cos nx n2
sin nx n
0
2
n2
cos n
1
4
(2k 1)2
,
n 2k 1
(k 1, 2,)
0, n 2k
x 1 1
2
4
k 1
1 (2k 1)2
cos(2k 1)x
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
1 7
sin
7t
)
所给函数满足Dirichlet充分条件.
当t k时, 收敛于ut .
在点t
k
(k
0,1,2,)处不连续
.
收敛于
1 2
1

12.9周期为2l的傅里叶级数

1
p
F (t ) sin ntdt. p p

1
p
t
px
l
F (t ) f ( x)
a0 np np f ( x) (an cos x bn sin x) 2 n 1 l l
1 l np 其中 an f ( x ) cos xdx, l l l 1 l np bn f ( x ) sin xdx. l l l

ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在上的傅里叶级数 .
方法2
令
即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
x

2 0

4 np
2 2
(1)
n
1

1 (2k 1)p x cos f ( x) x 1 2 2 2 p k 1 (2k 1) (0 x2) 8
当函数定义在任意有限区间上时,其傅里叶展开方法:
方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba f ( x) F ( z ) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
例3. 将函数
则解: 令 f ( x) f ( z 10) z F ( z )
展成傅里叶级数.
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 F ( z)

周期为2L的周期函数的傅立叶级数

1M
其中
an
—
I
F(t)cosntdt
"
(n
=
0,1,2,—) 冗J一
1 en
bn =
I F(t) sin ntdt (n = n ~n
1,2,…)
则f (x)的傅里叶级数为：3a+Z&( ann n* x+如sninnx).
2
l
l
n=1
板书
1
t =竺 =—其|中1 f a(xn =)co—s 1I^FnnX(~t)-ncnosdnxtndtJT
2n 23 2 5 2
(—8 v x v +8； x 主 0,±2,±4,…)
•令x = 1,则f (1) = k.于是
,111 n 357 4
例2将函数f (x) = 10 - x (5 v x v 15)展开成
傅里叶级数.
将f (x)以周期T = 2l = 10延拓, 其傅里叶级数在(5,15)内收敛于f ( x ).
5 vnn
—nxn)xsin-nxdx1=0
(—1)n
—
(n
=
1,2,—)
n
5f5
'
Hr zv \ -t n 10。(—1)" . nn
A
故 f (x) = 10 一 x = V sin x (5 v x < 15).
n5
冗 n=1
I三、小结
•求傅里叶展开式的步骤：
1. 画图形验证是否满足收敛条件(收敛域); 2. 求出傅里叶系数； 3. 写出傅氏级数，注明它在何处收敛于f (x).
ll
1 ci nnx
=；Lf(x)cos；dx (n = 0丄2,…)

12.8 周期为2l的傅立叶级数

其中，an
1
F(z) cos
nzd
z，bn
1
F (z)sin nzd z
4
令 z x ，并注意到 F (z) f (x).
l
则
an
bn
1 l
1 l
l l l l
f (x) cos n x dx
l
f (x) sin n x dx
l
(n 0,1, 2, ) (n 1, 2, )
a0
a0 2
n1
an
cos
n
l
x
其中，an
2 l
l
n x
f (x) cos dx
0
l
(n 0,1, 2,
)
注：无论哪种情况，若 x 为 f (x) 在连续点，傅立叶级数
收敛于 f (x)；若 x 为 f (x) 在间断点，傅立叶级数
收敛于
f
(x)
f
(x ) .
2
6
例1 交流电压 E(t) E sin t，经半波整流后负压消失，
2
k1 1 4k 2
直流部分交流部分
10
★ 定义在[-l,l]上的 f (x)的傅里叶级数展开 f (x)， x [l,l]
周期延拓
F
(x)
f
f (x),
(x 2k
),
x [其l,l它) ，以2l 为周期
傅立叶展开
F ( x)的傅里叶级数展开
限制
f (x)在[l,l]上的傅里叶级数展开
11
F(z 2 ) f [l(z 2 )] f (l z 2l) f (l z ) F(z)
即，F(z)是以2 为周期的周期函数，且满足收敛定理条件.

关于大学数学教材中“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题

关于大学数学教材中“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题本文关于清华大学数学科学系《微积分》编写组编写的清华大学公共基础平台课教材《微积分11》（清华大学出版社出版）4.3节中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”定理伪证明的问题。

标签：大学数学；傅里叶级数；伪证明【文章編号】2236-1879（2017）10-0026-02（1）在清华大学数学科学系《微积分》编写组编写的清华大学公共基础平台课教材《微积分11》（清华大学出版社出版）4.3节中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”；（2）在伍胜建编著的北京大学数学教学系列丛书本科生数学基础课教材《数学分析》第二册12.1.4节：周期为2T的函数的傅里叶级数；（3）在同济大学数学教研室主编的高等数学教材《高等数学》下册第四版，第五版，第六版教材中关于“周期为2L的周期函数的傅里叶级数”一节；（4）在武汉大学数学与统计学院主编的大学公共数学系列教材《高等数学》下册中“一般周期函数的傅里叶级数”一节；（5）在萧树铁主编，郑建华编著的普通高等教育“十五”国家级规划教材《大学数学·微积分》（高等教育出版社出版）第二版6.3.1节“以T为周期的函数的傅氏级数”一节；在高等数学编写组编的高等院校教材《高等数学》下册（中国人民大学出版社出版）续篇第一章第5节“任意周期函数的傅里叶级数”一节，在以上六本教材中“周期为2L周期函数的傅里叶级数”一节中，均有定理：设周期为2L的周期函数f（x）满足收敛定理条件，则它的傅里叶级数展开式为：f（x）=a02+Σ∞n=1ancosnπxl+bnsinnπxl（1）a0，an，bn略。

随后给出了证明或推理，证明大致如下：第一步：做变量代换z=πxl，于是函数x∈[-L，L]变成z∈[-π，π].即函数周期从2L变成2π，f（x）变成F（z）；第二步：由上一节收敛定理得周期为2π的周期函数F（z）满足收敛定理，可得F（z）的傅里叶级数展开式F（z）=a02+Σ∞n=1（ancosnz+bnsinnz）（2）第三步：将z=πxl，F（z）=f（x）代入（2），即得证（1）。

一般周期函数的傅里叶级数

2 k12k 1
2
( x R，x 2m, m 0,1,2, )
a0 E, an 0 (n 1,2, )
二、定义在 [-l , l ]和[ 0, l ]区间上的函数展成傅里叶级数
1. 将[–l , l ]上的函数展成傅里叶级数
思
周期延拓 F ( x) 傅里叶展开
想
T 2l
y y f (x)
例1 设f ( x) 的周期T 10，且当 5 x 5 时，
f ( x) x，将 f ( x) 展开成傅里叶级数.
y
解 l 5, f ( x) : 奇函数,
an 0 n 0,1,2,
5 o 5
x
bn
2 l
0l
f
xsin nπx d x
l
2 5
05
x
sin
nπx d 5
x
2 nπ
x
l l
l
(n 0,1,2, )
bn
1 l
l F ( x)sin nx d x,
l
l
(n 1,2, )
1 l f ( x)sin nx d x.
l l
l
例3 将f x e x在 π, π 上展成傅里叶级数
解 f ( x)在 π，π上连续,且满足狄利克雷条件.
(周期延拓
傅里叶展开
傅里叶级数之和函数：
S( xm )
f ( xm ) 2
f
(
xm
)
E. 2
l 2,
当x xm 时，f ( x)连续
f
(
x)
S(
x)
a0 2
(an
n1
cos
nx 2l
bn

以2L为周期的傅氏级数-PPT文档资料

于是由(1)与(2)式分别得
这里(4)式是以 2l 为周期的函数 f 的傅里叶系数， (3)式是 f 的傅里叶级数.
n x a f ( x ) cos dx , n 0 , 1 , 2 , n l l (4) l n x b f ( x ) sindx , n 0 , 1 , 2 , n l l

若 f 在 l, l 上可积，则 F 在[-π ，π ]上也可积，这时函数 F 的傅里叶级数展开式是： a F ( t ) ~0 ( a cos nt b sin nt ) (1) n n
2
其中
1 a F ( t ) cos ntdt , n 0 , 1 , 2 , n
且展开式在 ( 5 , 5 ) 内收敛于 F ( z ).
这拓广的周期函数满足收敛定理的条件 ,
a 0 ,( n 0 , 1 , 2 , ) n
25 n z b z ) sin dz n ( 50 2 5 n 10 (1) , ( n 1 , 2 , ) n
氏级数 .
解作变量代换 z x 10 ,
5 z 5 , 5 x 15
f ( x ) f ( z 10 ) z F ( z ),
补充函数 F ( z ) z( 5 z 5 ) 的定义 ,
F ( z ) 作周期延拓 ( T 10 ) 令 F ( 5 ) 5 , 然后将
15.2 以2L为周期的傅氏级数
一、以2L为周期的傅立叶级数二、偶函数与奇函数的傅立叶级数
本节讨论以2L为周期的函数的傅里叶级数展开式及偶函数和奇函数的傅里叶级数展开式．
一、以2L为周期的傅氏级数

一般周期的函数的傅里叶级数

n x d x ( n 0 , 1, 2 , ) 其中 an f ( x) cos l 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数
收敛于
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例1. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数. 在 x = 2 k 处级数收敛于何值? 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
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2 2 a0 x d x 2 0

1 (2k 1) x ( 0 x 2 ) f ( x) x 1 2 cos 2 2 k 1 (2k 1) 8
说明: 此式对

也成立,
y
据此有
1 2 (2k 1) 2 8 k 1
作业:
11.8 1 ; 2 .
本章已讲完,下次课为习题课,请复习.
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结束
定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则在函数的连续点处其傅里叶展开式为:
其中
n x 1 l d x (n 0 , 1, 2 ,) an f ( x) cos l l l
1 l n x bn f ( x) sin dx l l l
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(x 间断点)
结束
思考与练习
1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形? 答: 易看出奇偶性及间断点, 从而便于计算系数和写出收敛域 . 2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ? 答: 用系数公式计算 an , bn时 ,如分母中出现因子n－k

高等数学12.7一般周期函数的傅里叶级数

1 2 n a n 0 k cos xdx 0, ( n 1,2,) 2 2 k 1 2 n (1 cos n ) bn k sin xdx n 2 0 2 2k 当n 1,3,5, , n 0 当n 2,4,6,
( n 1,2,3,)
于是有
f ( x)
l
n
Cne
i

i
nx l
, 傅里叶级数的复数形式
1 C n f ( x )e 2l l
nx l
dx ( n 0, 1, 2, )
傅里叶系数的复数形式
例设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数,它在 [ 1,1) 上的表达式为 f ( x ) e x , 将其展成复数形式的傅氏级数.
1 1 (1 in ) x 1 1 x inx dx 解 cn e e dx e 2 1 2 1
1 1 in 1 [e cos n e cos n] 2 2 2 1 n
1 in ( 1) sinh 1, 2 2 1 n
4
2
0
2
4
x
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2)
0 2 x 0 , 将其展上的表达式为 f ( x ) x2 k 0 a0 n x n x (an cos ), bn sin 成傅里叶级数. f ( x ) ~
it
it
,
a0 nx nx bn sin ) f ( x ) ( an cos 2 n 1 l l
nx nx nx nx i i i a0 an i l ib n l l l e e e e 2 n 1 2 2

周期为2l的傅立叶级数

周期为2l的傅立叶级数
目录
• 引言 • 周期为2l的傅立叶级数 • 傅立叶级数的计算方法 • 傅立叶级数的应用实例 • 结论
01 引言
傅立叶级数的背景和重要性
傅立叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，它在数学、物理和工程领域有着广泛的应用。
通过傅立叶级数，我们可以将复杂的周期函数分解为简单的正弦和余弦函数，从而更好地理解和
滤波器设计
通过傅立叶级数，可以设计出各种滤波器，用于信号的降噪、增强和分离。
调制与解调
在通信系统中，傅立叶级数用于信号的调制和解调，实现信号的传输和接收。
在图像处理中的应用
图像压缩
傅立叶变换可以将图像从空间域转换到频率域，便于去除冗余信息，实现图像的压缩。
图像增强
通过傅立叶级数，可以对图像进行滤波和锐化，改善图像的视觉效果。
唯一性
• 如果f(x)在区间[-l, l]上有定义，那么它的傅立叶级数展开是唯一的。
平移不变性
• 如果函数f(x)满足$f(x+h) = f(x)$，其中h是常数，那么它的傅立叶级数在平移h后仍然成立。
微分与积分
• 对傅立叶级数中的每一项分别求导或积分，不会改变级数的和。
信号处理
• 通过傅立叶级数可以将周期信号表示为一系列正弦和余弦波的叠加，从而方便分析信号的频率成分和频谱特性。
图像识别
傅立叶级数可以用于图像的特征提取和分类，实现图像的自动识别和标注。
在其他领域的应用
数值分析
傅立叶级数用于求解偏微分方程和积分方程，提供数值解的有效方法。
控制系统
傅立叶级数用于分析系统的稳定性和频率响应，优化控制系统的性能。
地球物理学

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2
2 2
(1)
n
1
1 o 1 x
故得
x [1,1]
得
故
1 p2 (2k 1) 2 8 k 1

1 2 n 1 n

p
2
6
例3. 把 (1) 正弦级数;
展开成 (2) 余弦级数.
解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
y
np x 2 2 dx bn x sin 2 2 0 2 np x 2 x cos np 2 np 4 cos np np 4 (1) n 1 np x f ( x) sin p n 1 n 2
将 z x a 代入展开式
在
上的正弦或余弦级数
例3. 将函数
则解: 令 f ( x) f ( z 10) z F ( z )
展成傅里叶级数.
将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数, 则它满足收敛定理条件. 由于F(z) 是奇函数, 故 F ( z)
5 5 z 2 5 np z n 10 bn z sin d z (1) 5 0 5 np ( n 1 , 2 , ) n 10 (1) np z F ( z) sin (5 z 5 ) p n 1 n 5 10 (1)n npx sin p n1 n 5
证明
令t
px
l lt
, l xl
p t p ,
设f ( x) f ( ) F (t ),
a0 F (t ) (an cos nt bn sin nt ), 2 n1
其中 an bn F (t ) cos ntdt , p p

p
则F (t )以2p 为周期，且

ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在上的傅里叶级数 .
方法2
令
即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
1
p
F (t ) sin ntdt. p p

1
p
t
px
l
F (t ) f ( x)
a0 np np f ( x) (an cos x bn sin x) 2 n 1 l l
1 l np 其中 an f ( x ) cos xdx, l l l 1 l np bn f ( x ) sin xdx. l l l
o 2
x
2 0

2
np x sin 2

(0 x 2)
(2) 将作偶周期延拓, 则有 2 2 a0 x d x 2 0 2 2 np x an x cos dx 2 0 2 2 np x 2 2 np x cos x sin np 2 np 2
y
o 2
( n 0,1,2,)
例 1 设 f ( x ) 是周期为 4 的周期函数,它在[ 2,2) 上的表达
0 2 x 0 式为 f ( x ) , 将其展成傅氏级数. k 0 x 2
. 解 l 2, 满足狄氏充分条件
1 0 1 2 a0 0dx kdx k , 2 2 2 0
a0 npx npx f ( x ) ( an cos bn sin ), 2 n 1 l l
其中系数 an , bn为
1 l npx an f ( x ) cos dx, l l l 1 l npx bn f ( x ) sin dx, l l l
( n 0,1, 2,) ( n 1, 2,)
f(x)的图形
1 2 np an 0 k cos xdx 0, ( n 1,2,) 2 2 1 2 np k bn k sin xdx (1 cos np ) 2 0 2 np 2k 当n 1,3,5, np , 0 当n 2,4,6,
当函数定义在任意有限区间上时, 其傅里叶展开方法: 方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba F ( z ) f ( x) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓

ba ba 上展成傅里叶级数 , F ( z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 在上的傅里叶级数
方法2 令 x za, 即 z xa
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
将 z x a 代入展开式在上的正弦或余弦级数
特别:
(1) 如果f ( x )为奇函数, 则有

npx f ( x ) bn sin , l n 1 2 l npx 其中系数 bn为 bn f ( x ) sin dx, 0 l l
( 2) 如果f ( x )为偶函数,
( n 1,2,)
则有
a0 npx f ( x ) an cos , 2 n 1 l 2 l npx 其中系数 an为 an f ( x ) cos dx l 0 l
周期为2L的周期函数的傅里叶级数
到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以 2p 为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函数, 它的周期不一定是2p. 怎样把周期为2l的周期函数f(x) 展开成三角级数呢？
一、以2L为周期的傅氏级数
定理设周期为2l的周期函数 f ( x)满足收敛定理的条件,
则它的傅里叶级数展开式为
和函数的图形
k 2k px 1 3 px 1 5 px f ( x ) (sin sin sin ) 2 p 2 3 2 5 2
( x ; x 0,2,4,)
例2
展开成以2为周的和.
y
2
期的傅立叶级数, 并由此求级数为偶函数, 解:
np 因 f (x) 偶延拓后在
( 5 z 5)
内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式 a0 f ( x) 2 (x 间断点) 1 l np x f ( x) cos d x (n 0 ,1,) l l l 其中 1 l np x (n 1, 2 ,) f ( x ) sin d x l l l 当f (x)为奇 (偶)函数时, 为正弦(余弦) 级数. 变换 2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法延拓
x

2 0

4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnp
2 2
(1)
n
1

1 (2k 1)p x cos f ( x) x 1 2 2 2 p k 1 (2k 1) (0 x2) 8
当函数定义在任意有限区间上时,其傅里叶展开方法:
方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba f ( x) F ( z ) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓