(推荐)上海高一反三角函数典型例题

(一)反三角函数的概念·例题注 (i)求反三角函数值，先用一个字母表示这个反三角函数，再写出它的原三角函数，并确定所在角的象限。

然后利用已知三角函数值查表求出角来，或者利用特殊角的三角函数值求出角来。

(ii)如果一个式子中有多个反三角函数值，一般分别用一个字母表示，按上述步骤分别进行。

那么D= ______，M=______。

由对数函数的性质知，D由下面不等式组解确定从而所以M=(-∞，log2π-1)。

注求复合函数的定义域，可由里向外(或由外向里)，一层一层得出有关不等式组。

求出这不等式组的解，即为所求的定义域。

(1)求它的定义域D；(2)求它的反函数，并求反函数的值域与定义域。

注 (i)反三角函数都是单调函数。

故已知值域求定义域时，只须求出值域两端点的反三角函数值即可。

(ii)原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。

所以 y=sinx=sin(x-2π) x-2π=arcsinyy=arcsinx+2π注求三角函数的反函数时，必须先利用诱导公式，把自变量的取值范围变到此三角函数的主值区间上，再利用反三角函数表出。

例4-1-5求y=arctg(9-8cosx-2sin2x)的定义域与值域。

解由于z=arctgu的定义域为(-∞，+∞)，又因为y=cosx与y=sinx的定义域也都是(-∞，+∞)，从而所求函数定义域也是(-∞，+∞)。

再求值域。

令u=9-8cosx-2sin2x，则u=2(cosx-2)2-1当cosx=-1时，u max=17，从而y max=arctg17；注当复合函数的“外”函数是反三角函数时，求此复合函数的值域的步骤是：先求出“内”函数的最大值a与最小值b；令此复合函数为y=f(x)；再求出f(a)，f(b)。

那么值域为[f(a)，f(b)](当“外”函数为增函数时)或[f(b)，f(a)](当“外”函数为减函数时)。

反三角函数的综合应用题反三角函数是高中数学中的一个非常重要的概念，它可以解决很多复杂的问题。

在本文中，我将介绍一些反三角函数的综合应用题，希望能对广大学生有所帮助。

1. 求解三角方程三角方程是基于三角函数和角度的方程。

求解三角方程需要利用反三角函数。

下面是一个例子：cos(x) = 1/2我们可以用反余弦函数来求解这个方程。

x = arccos(1/2) = π/3 或5π/3因为余弦函数的周期是2π，所以我们可以将答案写成：x = π/3 + 2πk 或5π/3 + 2πk其中k是任意整数。

2. 求解三角形的边长和角度有时候我们需要求解一个三角形的边长和角度，但是我们只知道其中一些角度和边长的关系。

下面是一个例子：已知一个直角三角形，其中一条腰的长度是3，斜边与另一条腰的夹角是60度，求斜边和另一条腰的长度。

我们可以用反正弦函数和反余弦函数来求解这个问题。

从图中可以看出sin(60) = 1/2，因此另一条腰的长度是3/2。

对于斜边的长度，我们可以用反正弦函数来求解：sin(θ) = 3/2 / cθ = arcsin(3/2 / c)c = 2 / sin(arcsin(3/2 / c))c = 2 / sin(θ)由于这是一个直角三角形，因此我们可以用勾股定理来求解：c^2 = a^2 + b^2c^2 = 9/4 + b^2b^2 = c^2 - 9/4b = √(c^2 - 9/4)因此，斜边的长度是√(4 - 9/4) = √7/2。

3. 求解三角函数的反函数三角函数的反函数是反三角函数。

它可以用来求解一些特殊的三角函数值。

下面是一个例子：求x，在0到π/2的范围内，使得cos(arcsec(x)) = 1/2我们可以用反正割函数来求解这个问题。

cos(arcsec(x)) = 1/2sec(arcsec(x)) = 2x = sec(arccos(2))x = 1/2因此，当x = 1/2时，cos(arcsec(x))等于1/2。

反三角函数与最简三角方程知识梳理2、最简单三角方程的解集：例题解析一、反三角函数的定义【例1】求下列反三角函数的值：（1）arcsin(2-；（2）arcsin1；（3）1arcsin 2（4）arccos2；（5）1arccos()2-； （6）arctan(1)-；（7）arctan 3【难度】★ 【答案】（1）3π-；（2）2π；（3）6π；（4）6π；（5）23π；（6）4π-；（7）6π【例2】已知中，，分别用反正弦函数值、反余弦函数值、反正切函数值表示． 【难度】★ 【答案】415arcsin-π；⎪⎭⎫⎝⎛-41arccos ；15arctan -π；【例3】用反三角函数的形式表示下列角： （1）已知13sin 42x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反正弦的形式表示x ； （2）已知1cos 042x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反余弦的形式表示x ； （3）已知13tan 42x x ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭＜＜，用反正切的形式表示x ； 【难度】★★【答案】（1）1sin4x arc π=+；（2）1cos 4x arc =-；（3）1tan 4x arc π=+ 【解析】此类题目可用两种方法处理：①利用诱导公式转化为反三角函数的运算性质解决；②利用三角函数图像解决，此时应注意原函数与反函数的联系与区别；具体过程略【例4】关于t 的方程()2253172230848t x t x x +++++=有两个不同的实数根，求函数sin y x =的反函数． 【难度】★★【答案】x arcsin y -=π，()sin 4,sin 2x ∈ΔABC 234AB BC CA ===，，B ∠【解析】由()22531723420848x x x ⎛⎫∆=+-⨯++>⎪⎝⎭，得2680x x -+<，解得24x <<函数sin y x =，()2,4x ∈的值域为()sin 4,sin 2 由()sin sin y x x π==-，且,22x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，有arcsin x y π-=， 即arcsin x y π=-将x 与y 互换得到原函数的反函数为：()1arcsin y f x x π-==-，()sin 4,sin 2x ∈【巩固训练】1．求下列反三角函数的值：1）1arcsin 2⎛⎫-⎪⎝⎭2）arcsin 23 3）arccos 21 4）arccos （-23） 5）1arctan 6）arctan （-33）【难度】★ 【答案】（1）6π- ；（2）3π；（3）3π；（4）56π；（5）4π；（6）6π-2．用反正弦函数值表示下列式子中的x ： （1）1sin 5x=，(0,)2x π∈； （2）1sin 5x =，(,)2x ππ∈（3）1sin 5x=， x 是第一象限角； （4）1sin 5x =， x R ∈ 【难度】★★ 【答案】（1）1arcsin 5x=；（2）1arcsin 5x π=-；（3）12arcsin 5x k π=+，k Z ∈； （4）12arcsin5x k π=+或12arcsin 5x k ππ=+-，k Z ∈．3．函数3sin 22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，的反函数为 （ ）[]A y x x .arcsin =∈-，，11 []B y x x .arcsin =-∈-，，11 []C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []D y x x .arcsin =-∈-π，，11【难度】★★ 【答案】D【解析】同上方法，两种皆可．选一种方法作以解释如下：ππ232≤≤x ∴-≤-≤-==ππππ22x x x y ，又sin()sin 由反正先函数的定义，得：arcsin x y π-=，又11y -≤≤，故反函数为：[]arcsin 11y x x π=-∈-，，4．已知1cos 3x=，根据所给范围用反余弦函数值表示x ： 1︒x 为锐角 2︒ x 为某三角形内角 3︒ x 为第二象限角 4︒ x R ∈【难度】★★【答案】（1）1arccos 3x =；（2）1arccos 3x =；（3）不存在；（4）12arccos 3x k π=±()k Z ∈5． 1）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x ． 2）已知31tan =x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合． 3）已知1tan 3x =且x R ∈，求x 的取值集合． 【难度】★★【答案】（1）1arctan 3x =；（2）1arctan 3x =或1arctan 3π+； （3）12arctan 3x k π=+或12arctan 3k ππ++()k Z ∈．6．下列命题中，正确命题的个数是（ ）（1）arcsin y x =的反函数是sin y x = （2）cos ,[,0]y x x π=∈-的反函数是arccos ,[1,1]y x x =-∈-（3）tan ,,23y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的反函数是arctan ,(y x x =∈-∞A .0个B .1个C .2个D . 3个 【难度】★★ 【答案】C二、反三角函数的图像与性质1、反三角函数的图像应用【例5】下列命题中正确的是①函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数；②函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数； ③函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数；④函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数． 【难度】★ 【答案】③【例6】根据反三角函数的图像比较下列各组数的大小：（1）2arcsin 5与；（2）2arccos 3与2arccos()3-；（3）2arcsin 3与2arccos 3【难度】★【答案】（1）2arcsin5<；（2）2arccos 3<2arccos(3-；（3）2arccos3=Q ，23<，2arcsin 3∴<，22arcsin arccos 33∴<【例7】求解下列不等式中x 的范围： （1）arcsin 1x ＜；（2）2arccos(21)arccos x x -＜； （3）arcsin arccos x x >；（4）()2arccos arccos 0x x --＞． 【难度】★★【答案】（1）1sin1x -≤＜；（2）112x -≤-＜（3）12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦；（4）112x -≤＜【例8】求下列函数的反函数： （1）arcsin 2y x π=-，[1,1]x ∈-； （2）sin y x =（32x ππ≤≤） （3）2arccos(21)y x =+-； （4）1arctan 32x y = 【难度】★★★【答案】（1）反函数为cos y x =，[0,]x π∈；（2）反函数为arcsin y x π=-，[1,1]x ∈-； （3）反函数为11cos(2)22y x =-+，[2,2]x π∈+；（4）反函数为2tan(3)y x =，(,)66x ππ∈-．【巩固训练】1．若⎥⎦⎤⎝⎛∈653ππ,x arccos ，则x 的取值范围是 ． 【难度】★【答案】⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2123，2．解不等式：5arccos(2)6x π->． 【难度】★【答案】22⎛⎤+⎥ ⎝⎦【解析】原式即为：arccos(2)arccos(2x ->由arccos y x =为减函数，知12122x x -≤-≤⎧⎪⎨-<⎪⎩解得原不等式的解为：1,22⎡-⎢⎣⎭3．求下列不等式的解集：（1）2arcsin arcsin(1)x x <-；（2）arccos2arccos(1)x x <-；（3）2arctan 2arctan(3)0x x +->．【难度】★★ 【答案】（1）1[1,)2--；（2）11(,]32；（3）(1,3)-2、反三角函数的定义域、值域与最值【例9】写出下列函数的定义域： （1）y = （2）2arcsin()y x x =+ （3）2log arccos 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】（1）[0,1] （2）⎣⎦ （3）[2,1)-【例10】求下列函数的定义域和值域：（1）2arcsin 33x y π=+；（2）y =；（3）arc tan(21)y x =-． 【难度】★★【答案】（1）定义域为[3,3]-，值域为24[,33ππ-；（2）定义域为[1,1)-，值域为)+∞； （3）定义域为R ，值域为(,22ππ-；【例11】函数()21arcsin 2y x x =-的值域是 ．【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41214arcsin ，π【解析】由22211124411x x x x x ⎧⎛⎫-=--+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≤-≤⎩⇒2114x x -≤-≤ ⇒()()21111arcsin 1arcsin arcsin 42224x x π-=-≤-≤【例12】求函数xarcsin y 1=的定义域与值域． 【难度】★★【答案】[)+∞,1，⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π 【解析】由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≠01arcsin 1110x x x 得1≥x ，故函数的定义域为[)+∞,1由20,21arcsin 01101ππ≤<∴≤<∴≤<⇒≥y x x x ∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π【例13】求函数()21arccos 5arccos ,,12y x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值，以及相应的x 的值． 【难度】★★【答案】最大值为0，此时1x =；最小值为241093ππ-，此时12x =-．【例14】函数1arctan arcsin 2y x x =+的值域是 ． 【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ， 【解析】函数()1arctan arcsin 2y f x x x ==+在定义域[]1,1-上单调递增， 所以值域为()()1,1,22f f ππ⎡⎤-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【例15】求函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域． 【难度】★★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6 【解析】先求函数的定义域∴≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,2102121201211111211x x x x x x x 函数的定义域是}⎩⎨⎧≤≤210x x2)1arcsin(6,1121,210ππ≤-≤∴≤-≤∴≤≤x x x 同理：22arccos 0120π≤≤∴≤≤x x∴函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6．【巩固训练】1．函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =___________． 【难度】★★【答案】由11110x a x a a -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>⎩⇔11110a x a a x a a --≤≤-⎧⎪-+≤≤+⎨⎪>⎩。

高中数学反三角函数练习题及讲解### 高中数学反三角函数练习题及讲解#### 练习题1. 求值题：计算 \(\sin^{-1}(\frac{1}{2})\) 和 \(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})\) 的值。

2. 化简题：将 \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) +\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 化简为一个角度。

3. 应用题：在直角三角形ABC中，已知角A的正弦值为\(\frac{3}{5}\)，求角A的余弦值。

4. 方程题：解方程 \(\cos^{-1}(x) + \sin^{-1}(x) =\frac{\pi}{4}\)，其中 \(x \in [-1,1]\)。

5. 证明题：证明恒等式 \(\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) =\frac{\pi}{2}\) 对所有 \(x > 0\) 成立。

6. 综合题：如果 \(\sin(\theta) = \frac{4}{5}\) 且 \(\theta\) 在第一象限，求 \(\cos(\theta)\) 和 \(\tan(\theta)\)。

7. 探索题：探索并证明当 \(x\) 从 0 增加到 1 时，\(\sin^{-1}(x)\) 和 \(x\) 之间的关系。

8. 图形题：在单位圆上，找出 \(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})\) 对应的点，并描述该点在坐标系中的位置。

#### 讲解1. 求值题：根据特殊角的三角函数值，我们知道 \(\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ\) 或 \(\frac{\pi}{6}\) 弧度，\(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ\) 或\(\frac{\pi}{6}\) 弧度。

利用反三角函数解决问题练习题在高中数学课程中，我们经常会遇到需要用到反三角函数来解决问题的练习题。

利用反三角函数解决问题不仅可以帮助我们更深入地理解三角函数的性质，还有助于提高我们在解决实际问题时的思维能力。

在本文中，我将为大家介绍一些常见的利用反三角函数解决问题的练习题，并逐步讲解解题方法。

练习题一：已知直角三角形一条直角边的长度为3cm，另一条直角边的长度为4cm，求斜边的长度。

解析：我们可以利用正弦函数来解决这个问题。

根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。

设斜边的长度为x，则有sinθ = 3 / x，其中θ为直角边与斜边的夹角。

根据三角函数的定义，我们可以通过反正弦函数得到夹角的大小，即θ = arcsin(3 / x)。

由题意可知，夹角θ为直角，所以有θ = 90°。

代入公式得到arcsin(3 / x) = 90°，解得x ≈5cm。

练习题二：已知平面直角坐标系中一点P的坐标为(4, 3)，求点P与x轴正方向之间的夹角。

解析：我们可以利用反正切函数来解决这个问题。

根据反正切函数的定义，tanθ等于直角边y与直角边x的比值。

设点P与x轴正方向之间的夹角为θ，则有tanθ = 3 / 4。

通过求反函数，我们可以得到夹角的大小，即θ = arctan(3 / 4)。

代入公式计算得到θ ≈ 36.87°。

练习题三：已知平面直角坐标系中一点Q的坐标为(-2, -2)，求点Q与原点之间的距离。

解析：我们可以利用反余弦函数来解决这个问题。

根据反余弦函数的定义，cosθ等于直角边x与斜边的比值。

设点Q与原点之间的距离为d，则有cosθ = -2 / d，其中θ为点Q与x轴正方向的夹角。

通过求反函数，我们可以得到夹角的大小，即θ = arccos(-2 / d)。

由题意可知，夹角θ为直角，所以有θ = 90°。

代入公式得到arccos(-2 / d) = 90°。

三角函数与反三角函数一、 填空题1. 函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是 .2. 函数2sin cos y x x =-的最大值为 。

3. 函数()sin 3cos f x x x =+的对称中心的坐标为4. 。

函数2sin(2)34y x π=--的单调递增区间是 . 5. 函数sin cos ()sin cos x x f x x x-=+的奇偶性为 6. 已知函数()cos()f x A wx ϕ=+的部分图像如图所示， 若2()23f π=-,则(0)f = 。

7。

函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π的最小值为 。

8.方程22sin 3sin cos 4cos 0x x x x +-=的解集为 .9.函数3cos ([,))2y x x ππ=∈的反函数是 .10.已知0w >，函数()sin()4f x wx π=+在(,)2ππ单调递增,则w 的取值范围是 。

11。

设()cos(sin )f x x =与()sin(cos )g x x =，以下结论：（1）()f x 与()g x 都是偶函数； （2)()f x 与()g x 都是周期函数；（3）()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]-; (4）()f x 的值域是[cos1,1],()g x 的值域是[sin1,sin1]-;其中不正确的是 .12。

函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 。

二、 选择题13。

下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）.A cos(2)2y x π=+ .B sin(2)2y x π=+ .C sin 2cos 2y x x =+ .D sin cos y x x =+14.要得到函数sin(4)3y x π=-的图像,只需要将函数sin 4y x =的图像（ ) .A 向左平移12π个单位 .B 向右平移12π个单位 .C 向左平移3π个单位 .D 向右平移3π个单位 15。

反三角函数举例例1 下列各式子中，有意义的是________(1)arcsin (2)arcsin;2π(3)sin(arcsin 2); (4)arcsin(sin 2).解 注意到arcsin y x = 的定义域是[1,1],- 因此有意义的式子是（4） 例2 求下列反正弦函数的值.(1)arcsin____;=(2)arcsin 0_____;=(3)1arcsin()______;2- (4)arcsin1_______.要熟记10;;,122±±± 的反正弦值. 例 求1sin(arcsin)24I π=+ 的值；()f x 解 由于1a r c s i n ,26π= 于是16s i n ().64224I ππ=+=⨯+=例3设sin x =用反正弦的形式表示下列各式中的.x （1）[,];22x ππ∈- （2）[,];2x ππ∈ （3）[0,].x π∈解 （1）由于[,],22x ππ∈-则x = （2）由于[,],2x ππ∈则 [0,],2x ππ-∈且sin()sin 5x x π-==因此a r c s i ,5x π-=于是arcsin5x π=- （3）当[0,]x π∈时，arcsin,5x =或者arcsin 5x π=- 练习用反正弦的形式表示下列各式中的.x 设1sin ,4x =- （1）[,];22x ππ∈-（2）3[,2];2x ππ∈ 解 （1）由于[,],22x ππ∈-则 11arcsin()arcsin().44x =-=-（2）当3[,2]2x ππ∈时，2[0,],2x ππ-∈ 且1sin(2)sin .4x x π-=-=因此12a r c s i n (),4x π-= 于是12arcsin .4x π=- 注意 若sin ,x a = 当[,]22x ππ∈-时，则arcsin ;x a = 当[,]22x ππ∉-时，可以将角转化到[,]22ππ-上，再利用诱导公式处理对应角三角函数值即可.练习写出式中的.x （1）sin ,[,];222x x ππ=∈-（2）sin [0,];3x x π=∈ （3）33sin ,[,].522x x ππ=-∈解 （1）.3x π= （2）arcsin ,3x =或者arcsin 3x π=- （3）当3[,]22x ππ∈时，[,].22x πππ-∈-而3sin()sin ,5x x π-=-= 3arcsin ,5x π-= 于是3arcsin .5x π=+例4 求2arcsin(52)y x =- 的定义域和值域.解 由1521x -≤-≤ 可得2 3.x ≤≤ 因此函数的定义域为[2,3].x ∈ 由于arcsin(52)[,],22x ππ-∈-因此函数的值域为[0,].π练习 （1）求sin arcsin y x x =+ 定义域和值域； （2）当3[,]44x ππ∈-时，求arcsin(cos )y x = 的值域. 解 （1）函数的定义域是 [1,1],x ∈- 值域为 [sin1,sin1].22ππ--+（2）令3cos ,[,],44t x x ππ=∈- 于是[,1].2t ∈- 而arcsin y t = 是单调增加的函数，于是函数的值域为[,].42ππ-例5 求下列函数的反函数（1）sin ,[,];2y x x ππ=∈ （2）arcsin ,[0,1].y x x =∈解 （1）函数的值域[0,1],y ∈ 由于[,],2x ππ∈ 则[,0],2x ππ-∈-且sin()sin .x x y π-=-=- 于是arcsin()arcsin ,x y y π-=-=- 因此arcsin ,x y π=-于是原函数的反函数1()arcsin ,[0,1].fx x x π-=-∈（2）当[0,1]x ∈ 时，值域[0,].2y π∈ 于是 sin ,x y = 因此原函数的反函数为1()s i n ,[0,].2f x x x π-=∈ 例6 求下列反三角函数的值 （1）____;= .6π （2）arccos(_____;2-= 两种方法求 3.4π （3）arccos0arctan1_____;+= 3.4π （4）arctan(_____;= .3π- （5）11arcsin()arccos()____;22-+-= .2π（6）5arctan(tan )____;6π= .6π-例7 用反三角函数的形式表示下列各式中的.x（1）1cos ,[0,];3x x π=∈ 1arccos .3x =（2）1cos ,[,2];3x x ππ=-∈1arccos .3x π=+（3）tan 2,(,).22x x ππ=-∈-arctan(2)arctan 2.x =-=-（4）3tan 2,(,).22x x ππ=-∈arctan 2.x π=-例8 （1）已知 arcsin arcsin(1),x x ≥- 求x 的取值范围. 解 由111x x -≤-≤≤ 可得11.2x ≤≤ （2）已知 arccos arccos(1),x x >- 求x 的取值范围. 解 由111x x -≤<-≤ 可得10.2x ≤< （3）已知arctan ,3x π>求x 的取值范围.解x >（4）已知arccos .3x π>求x 的取值范围.11.2x -≤<解 9 求arcsin arctan y x x =+ 的值域.解 因为函数的定义域为[1,1].- 它的值域为33[,].44ππ- 10 求下列各式的值 （1）sin(arccos());3-解 设arccos(x =则 cos [0,],x x π=∈于是sin(arccos(sin 33x -==（2）tan(arccos());26π--解 3tan(arccos())tan()2646πππ--=-2== （3）213cos (arccos );25解 设 3arccos ,5x =则 3cos ,[0,].52x x π=∈ 2213114cos (arccos )cos ()(1cos ).25225x x ==+=（4）123sin(arctan arcsin );55-解 设123arctan ,arcsin ,55αβ== 则12125tan ,sin ,cos .51313ααα===34sin ,cos .55ββ==于是123sin(arctan arcsin )sin()55αβ-=-1245333.13513565=⨯-⨯=（5）求11arctan arctan 23+ 的值.解 设11arctan ,arctan ,23αβ==则11tan ,tan ,,[0,].232παβαβ==∈ tan()1,αβ+=于是.4παβ+=。

2010上海高一反三角函数典型习题【学习导航】1、通过前面两节课的学习，你认为：（简洁明了）arcsin(||1)x x≤是：。

arccos(||1)x x≤是：。

arctan()x x R∈是：。

2．把你所学的反三角函数的图像、定义域、值域、性质、恒等式，分别列举出来。

地方吗？【课堂焦点】问题1、求下列函数的反函数：（1）siny x=，3,2xππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦。

（2）cosy x=，[],0xπ∈-。

问题2、利用反三角函数的性质解决一些基本问题。

1．求函数2arcsin 33x y π=+的定义域与值域：2．不求值，比较下列各组反三角函数值的大小： ①1arccos 4⎛⎫-⎪⎝⎭1arccos 3。

②()arctan 4- ()arctan π-3．函数1arcsin 3tan3y x arc =+的值域为 。

4．判断下列函数的奇偶性：（1）()()sin arctan f x x =。

（2）()arccos 2f x x π=-。

（3）()()cot arcsin f x x =。

问题3、反三角函数运算的问题：（1）11arcsinarccos33+= 。

（2）||1x ≤时，arcsin arccos()x x --= 。

（3）求1arcsin arcsin77+的值；（4）若02x π<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2x x ππ+++= 。

（5）11tan(2arctan arctan)23+= 。

（6）45cos arccosarccos 513⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

（7）设方程26510x x -+=的两根为12,x x ，求12arctan arctan x x +的值。

【反馈练习】1．求下列函数的反函数 （1）arccos22x y π=+。

（2）()3arctan 21y x π=--2.已知1|sin |3x =，且(,)2x ππ∈--，则x 可以表示为 （ ） A 1arcsin3π+； B 1arcsin 3π-； C 1arcsin 3π-+； D 1arcsin 3π--3. 函数()()arccos cos f x x =的奇偶性为 。

反三角函数及例题
反三角函数是一类特殊的函数，它们的定义域和值域都是实数集，它们的定义域是正弦、余弦和正切函数的值域，而值域是正弦、余弦和正切函数的定义域。

反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数，它们的函数图像和正三角函数的函数图像是对称的。

反三角函数的应用非常广泛，它们可以用来解决很多数学问题，比如求解三角形的角度、求解三角形的面积等。

例如，已知三角形的两边长度a和b，求其夹角C的大小，可以用反余弦函数来求解：
C=arccos(a^2+b^2-c^2/2ab)。

另外，反三角函数还可以用来求解微积分中的问题，比如求解曲线的面积、求解曲线的极限等。

例如，已知曲线y=sin(x)，求其在区间[0,π]上的面积，可以用反正弦函数来求解：
S=∫0πsin(x)dx=∫0πarcsin(y)dy=π/2。

总之，反三角函数是一类特殊的函数，它们的应用非常广泛，可以用来解决很多数学问题，也可以用来求解微积分中的问题。

三角函数与反三角函数一、 填空题1. 函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是 .2. 函数2sin cos y x x =-的最大值为 .3. 函数()sin 3cos f x x x =+的对称中心的坐标为4. .函数2sin(2)34y x π=--的单调递增区间是 . 5. 函数sin cos ()sin cos x x f x x x-=+的奇偶性为 6. 已知函数()cos()f x A wx ϕ=+的部分图像如图所示，若2()23f π=-，则(0)f = . 7.函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π的最小值为 . 8.方程22sin 3sin cos 4cos 0x x x x +-=的解集为 .9.函数3cos ([,))2y x x ππ=∈的反函数是 .10.已知0w >，函数()sin()4f x wx π=+在(,)2ππ单调递增，则w 的取值范围是 . 11.设()cos(sin )f x x =与()sin(cos )g x x =，以下结论：（1）()f x 与()g x 都是偶函数；（2）()f x 与()g x 都是周期函数；（3）()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]-；（4）()f x 的值域是[cos1,1]，()g x 的值域是[sin1,sin1]-；其中不正确的是 .12.函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 .二、 选择题 13.下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）.A cos(2)2y x π=+ .B sin(2)2y x π=+ .C sin 2cos 2y x x =+ .D sin cos y x x =+14.要得到函数sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像（ ） .A 向左平移12π个单位 .B 向右平移12π个单位 .C 向左平移3π个单位 .D 向右平移3π个单位 15.设函数sin y x =的定义域[,]a b ，值域为1[1,]2-，则以下结论中错误的是（ ）.A b a -的最小值为23π .B b a -的最大值为43π .C a 不可能等于2,6k k Z ππ-∈ .D b 不可能等于2,6k k Z ππ-∈16.如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数“互为生成”函数，给出下列函数：（1）()sin cos f x x x =+；（2）()cos )f x x x =+；（3）()sin f x x =；（4）()f x x = ）.A （1）（2） .B （2）（3） .C （1）（4） .D （3）（4） 三、 解答题17.已知函数2()sin()sin 2f x x x x π=-（1） 求()f x 的最小正周期和最大值；（2） 讨论()f x 在2[,]63ππ上的单调性18.已知函数())(0,)22f x wx w ππϕϕ=+>-≤<的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π（1） 求w 和ϕ的值；（2） 若2()()263f ϕππα=<<，求2cos()3πα+的值19.（1）求值：13sin[arcsin()]25-； （2）求值：11sin(arcsin arccos )23+ （3）判断函数2arcsin arccos()y x x =--的奇偶性，并说明理由20.某同学用“五点法”画函数()sin()(0,||)2f x A wx w πϕϕ=+><在某一个周期内的图像时，列入了部分数据，如下表：（1） 请将上表数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式；（2） 将()y f x =图像上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图像，若()y g x =图像的一个对称中心为5(,0)12π，求θ的最小值.21.已知关于x 的方程2sin cos x x m +=在[0,2)π内有两个不同的解,αβ（1） 求实数m 的取值范围；（2） 求cos()αβ-（用m 表示）参考答案1.π3. (,0)3k ππ- 4. [,]4k k πππ+ 5.非奇非偶6.237. 8.{|arctan(4)}4x x k k πππ=++-或9.2arccos (10)y x x π=--≤≤ 10.1(0,]411.（1）（2）（4）12.413..A14..B15..D16..C17.答案：（1）,max 1T π== （2）当5[,]612x ππ∈，()f x 为增函数；当52[,]123x ππ∈时，()f x 为减函数 18.答案：（1）2,6w πϕ==-（219.答案：（1）（2 （3）非奇非偶20.答案：（1）填表略，()5sin(2)6f x x π=- （2）6π21.答案：（1）m 的取值范围是((1,5)（2）2215m -。

沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数 6.9 反三角函数（2）一、解答题1. 求下列函数的反函数：（1）；（2）．2. 求下列函数的定义域和值域：（1）；（2）．3. 求下列各式的值：（1）；（2）．二、双空题________．三、填空题为的一个内角，若，则________．不等式的解集是________．函数，的奇偶性为________．函数的反函数为________．函数的值域为________．四、单选题函数的值域是()A. B. C. D.函数的值域是()A. B. C. D.使得成立的x的取值范围是()A. B. C. D.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数 6.9 反三角函数（2）一、解答题1.【答案】（1）y=−a ln x,x∈[−1,1]；（2）y=atx,x∈(−1,√3)【考点】反三角函数【解析】（1）根据反函数的求法，先反解》，得到x=ac cos y，再将∼与）互换即可；根据反函数的求法，先反解》，得到x=at tan y，再将∼与）互换即可；【解答】（1）∵ x∈[−π,0]，…y∈[−1,1]cos x=y，∴x=ar cos y…原函数的反函数为y=ac cos x,x∈[−1,1]．（2）∵ x∈(−π4,π3)，∴y∈(−1,√3)y=tan x，∴x=at tan y…原函数的反函数为y=at tan x,x∈(−1,√3) 2.【答案】（1）定义域为[0,1]，值域为[0,a+cos34)（2）定义域为R，值域为[−π4,π2 )【考点】反三角函数【解析】（1）先利用反余弦函数有意义列不等式求得函数的定义域，再求反余弦函数的值域（2）先利用反正切函数有意义求得函数的定义域，再求反正切函数的值域【→解】（1）由，解得，定义域为[0,1]为减函数，…．函数的值域为[0,at cos34)（2）x2+2x∈R∴ x∈R，即定义域为R．令t=x2+2x=(x+1)2−1，则t∈[−1,+∞)y=at tan t是增函数，…．函数的值域为[−π4,π2 )【解答】此题暂无解答3.【答案】（1）一、π；（2）2【考点】反三角函数【解析】（1）利用诱导公式得cos115π=cosπ5，再结合反三角函数直接求解（2）由反三角得tanα=12,tanβ=13，再利用两角和的正切公式展开求解【解答】（1）at cos(cos115π)=aa cosπ5)=π5（2）令α=ar tan12,β=at tan13，则tanα=12,tanβ=13tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=12+131−12×13=10<ar tan12≤π4,0<a tan13<π4，α+β∈(0,π2)．α+β=π4，即arc tan12+at cos13=π4二、双空题【答案】12×4+12＝60（元）【考点】图文应用题【解析】观察图可知：钢笔的价格是12元，书包的价格是钢笔价格的4倍，求出两种商品一共多少钱，先用钢笔的价格乘4，求出书包的价格，再把两者的价格相加即可。

解：
sin x cos xsin x 6 cos x 0
sin x cos x或sin x 6 cos x tan x 1或tan x 6
所以，原方程的解集是：
x cos x t 则sin 2 x t 2 1 t 2 t 0
解： 设sin
t 0或t 1
2 tan x 1或sin( x ) 4 2

x x k 或x k arctan 6, k Z 4
所以，原方程的解集是：
k ,k Z x x k 或x k (1) 4 4 4
,k Z
0
k 1,

6
f ( x) 2 sin(x ) cos(x ) 2 3 cos2 ( x ) 3 。 例 7.已知 2 2 2



（3）在（2）成立的条件下，求满足 f ( x) 1, x , 的 x 的 集合。
图像
2
y arccos x
y

2
y arctan x
y
2
y
o
-1
-
1
x
1
o

2
o
x
-
1
x

2
定 义 域 值域
- 1,1
2 , 2
- 1,1
R
, 2 2
在 R 上单调递增
0,
在 1,1 上单调递减
解： 当

时, f ( x) 2 sin( 2 x ) 2 cos 2 x 6 2

沪教版(上海某校高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数 6.8 反三角函数（1）一、解答题1. 求下列反正弦函数的值：（1）；（2）；（3）.2. 用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x：（1）；（2）；（3）.3. 求下列函数的反函数：（1），；（2），；（3），.二、填空题________．函数的定义域是________.当时，的取值范围是________.若函数的值域是，则它的定义域为________. 在中，若，则________.已知，用反正弦函数值表示角x为________.下列式子中正确的是________（填写序号）.①；②；③；④.三、单选题，则角x等于().A. B.C. D.参考答案与试题解析沪教版(上海某校高一第二学期 新高考辅导与训练 第6章 三角函数 6.8 反三角函数（1）一、解答题1.【答案】（1）ac sin √22=π4；（2）ac sin [−√32)=−π3； （3）ac sin 1=π2【考点】反三角函数【解析】（1）IH 】利用反正弦函数直接求出对应的角即可．【解答】（1）sin π4=√22，且π4∈[−π2,π2] ax sin √22=π4（2）sin (−π3)=−√32，且−π3∈[−π2,π2] ar cos (−√32)=−π3（3）sin π2=1，且π2∈[−π2,π2]a tan 1=π22.【答案】（1）x =−a tan √25（2）x =加−ar sin 13（3）x =at sin 15或x =π−ar sin 15【考点】反三角函数【解析】（1）由条件利用反正弦函数的定义和性质，即可求解．【解答】（1）∵ x ∈[π2,32π]π−x ∈[−π2,π2]sin (π−x )=sin x =13由反正弦函数定义，知π−x =ar sin 13 x =π−a tan 13（2）在区间[0,π2]上，由定义可得x =ac sin 15；在区间(π2,π]上，由诱导公式， 知x =π−ar sin 15满足s ln x =15 x =ac sin 15或x =π−ar sin 153.【答案】（1）y =π−ax sin xx ∈[0,1]；（2）y =12(ax sin x +π3)x ∈[12,√32]； （3）y =−cos xx ∈[0,π]【考点】反三角函数【解析】（1）求出函数y =sin x 在区间[π2,π]上的值域，再结合x ∈[π2,π]可求得原函数的反函数；（2）由x ∈[π4,π3]计算出2x −π3的取值范围，并求得函数y =sin (2x −π3)的值域，进而可解得原函数的反函数；（3）由x ∈[−1,1]计算出函数y =π2+a tan x 的值域，再由y =π2+a tan x 得出ax sin x =y −π2，利用诱导公式可求得原函数的反函数．【解答】（1）∵ x ∈[π2,π]．y =sin x ∈[0,1]，且π−x ∈[0,π2] ．sin (π−x )=sin x =y ，π−x =ac sin y ，即x =π−at sin y所求原函数的反函数为y =π−ar sin x,x ∈[0,1]（2）∵ x ∈[π4,π3]．2x −π3∈[π6,π3]，y ∈[12,√32] ：y =sin (2x −π3)，2x −π3=a cos y ，即x =12(atc sin y +π3)因此，所求原函数的反函数为y =12(ax sin x +π3),x ∈[12,√32]（3）∵ x∈[−1,1]．at sin x∈[−π2,π2]．y∈[0,π]由y=π2+a tan x，得ac sin x=y−π2∴ x=sin(y−π2)=−cos y因此，所求原函数的反函数为y=−cos x,x∈[0,π]二、填空题【答案】12×4+12＝60（元）【考点】图文应用题【解析】观察图可知：钢笔的价格是12元，书包的价格是钢笔价格的4倍，求出两种商品一共多少钱，先用钢笔的价格乘4，求出书包的价格，再把两者的价格相加即可。

6.4 反三角函数(1)――反正弦函数上海市交通大学附属中学曹建华、教学内容分析根据反函数的概念，正弦函数y=sinx( x € R)没有反函数•但是如果我们适当选取实数集R的一个子集卜，］，那么函数y=sinx , x €卜 ,］就存在反函数，为什么要选取2 2 2 2［-—,—］，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx , x € ［-—,—］的反函数叫做反正2 2 2 2弦函数，记作y=arcsinx , x€ ［-1 , 1］，学生对符号的arcsinx的理解比较困难，前面符号中的x 必须满足|x| < 1, arcsinx是［-—，—］上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.2 2根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx ,x € ［-1,1］的图像和函数y=sinx , x € ［----- ,2—］的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到2反正弦函数y=arcsinx , x € ［-1 , 1］是奇函数，且单调递增.二、教学目标设计1 .理解函数y=sinx (x € R)没有反函数；理解函数y=sinx , x € ［-一,—］有反函数;2 2理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是［-1 , 1］，值域是［-,-］.2 22 .知道反正弦函数y=arcsinx , x€ ［-1 , 1］的图像.3 .掌握等式sin (arcsinx ) =x, x € ［-1 , 1］和arcsin (-x ) =-arcsinx , x € ［-1 , 1］.4 .能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角5 .会用数形结合等数学思想分析和思考问题.三、教学重点及难点教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质教学难点：反正弦函数y arcsin x,x 1,1的产生和从本质上处理正弦函数y sinx x R的反函数问题四、教学用具准备直尺、多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1 •复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f (x), x € D,如果对它的值域中的任意一个值y,在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f (x),这样得到的x关于y的函数叫做y=f (x)的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是 -- 对应的2 •思考那么正弦函数是否存在反函数呢？［说明］因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的•故而不存在反函数.3 .讨论正弦函数不存在反函数•但只要选取某一区间使得y sin x在该区间上存在反函数因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了•学生讨论应该选取怎样的区间，使得y sinx存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）y sin x在所取区间上存在反函数；（2）能取到y sinx的一切函数值1,1 .可以选取闭区间一，一，使得y sinx在该区间上存在反函数，而这个反函数就2 2是今天要学习的反正弦函数•二、学习新课1 •概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx , x €卜一,—]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx , x € [-1 ,2 21].（2）反正弦函数的性质：①图像② 定义域[-1,1]③ 值域[-—，—]2 2④ 奇偶性：奇函数，即 arcsin (-x ) =-arcsinx , x € [-1 , 1]⑤ 单调性：增函数X 对称，函数y=sinx , x €卜一,—］2 2与函数y=arcsinx , x € [-1 , 1]的图像关于直线y X 对称.2 .例题分析例1.求下列反正弦函数的值:(1)因为 sin =-，且一€ 卜 ，］，所以 arcsin6 2 6 2 2例2•用反正弦函数值的形式表示下列各式的x ：(1) sinx=，, x € ［-—,i ］；[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线 y (1) arcsin(2) arcsinO ; 解: (2)因为 sin0=0，且 0€ ［——, 2 —］，所以 arcsin0=0.2—］，所以 arcsin2(- T ) =-3(3) arcsin(3)因为sin1(2)sinx=- , x € 卜一,—]；一2(3)sinx=- 3, x € [-3n,0].解: (1)因为x €[- 2]由定义，可知x=arcsin因此(2)(3)因为x € [-2]由定义，可知x=arcsin1 1(- )=-arcsi n5 5在区间卜一，0］上,2由定义，可知x=arcsin• 3(- )=- arcsi n3在区间卜n,-—］上，由诱导公式,2可知x=- n +arcsin—，满足3sinx=-x= arcsin 仝或x=- n +arcsin 山3 3例3 •化简下列各式:(1)4arcsin (sin — ) ;( 2) arcsin ( sin5* (3) arcsin (sin2007 0)解: (1)因为7€ [-一，一］，设sin — = a，所以2 2 7 arcsin a =一，即arcsin (sin7-)7(2)4因为—5而一€ [-—,5 22］，且^4sin — =sin ，设sin — =sin5 5 5a,所以arcs in (sin =arcsin (sinarcs in a =—5(3)因为sin2007 0=sin ( 5X 360°+207°) =sin207 0=sin (180°+27°) =-sin27所以arcsin (sin2007 °) = arcsin (-sin27 °) =- arcsin(sin27 °)=- 27例4.求函数f (x) =2arcsin2x的反函数f-1(x),并指出反函数的定义域和值域解：设y=2arcsin2x，贝U — = arcsin2x ,21 1因为2x€ [-1 , 1] , arcsin2x € 卜 _ ,—]，所以x€ [- , ] , y € 卜刃，刃]，根据反2 2 2 2正弦函数的定义，得2x=sin —, x=— sin —,将x, y互换，得反函数f-1(x) =—sin —,2 2 2 2 2 1 1定义域是卜貝，貝]，值域是卜，].2 23 .问题拓展例1.证明等式：arcsin (-x ) =-arcsinx , x € [-1 , 1]证明：••• x€ [-1 , 1] ,••• -x € [-1 , 1]二sin[arcsin (-x ) ]= -x , sin (-arcsinx ) =-sin (arcsinx ) =-x又因为arcsin (-x ) € [- , ] , -arcsinx € [- , ]，且正弦函数在[- , ]上2 2 2 2 2 2单调递增，所以arcsin (-x ) =-arcsinx ,x € [-1,1].[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明3 1例2.设x€ [— , ] , sinx=，用反正弦函数值表示x.2 2 33€ [-一,—]，又sin (n -x ) =sinx，得sin 2 2 7t 解：因为x € [-,—]，所以（n -x2 21 1 1-x )=一，于是n -x=arcsin , x= n - arcsin3 3 3—］;(6)式不成立，因为与反正弦函数的定义不符2四、课堂小结 教师引导学生总结： (1) 反正弦函数的定义； (2) 反正弦函数的性质.五、作业布置(1)书上练习 6.4(1)中的1、2、3、4(2)思考题：求函数f (x ) =2 n -arcsin2x 的反函数f -1 (x )，并指出反函数的定义域 和值域•七、教学设计说明 1 •关于教学内容反正弦函数作为基本初等函数之一， 对后继课程的学习有着重要的作用， 特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点本节课与反函数的基本概念、 性质有着紧密的联系， 通过对这一节课的学习， 既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解， 而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用 •2 •关于教学方法［说明］对于用反正弦函数值表示区间卜—，—］外的角，教材不作要求，但考虑到在解实2 2际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学三、巩固练习 判断下列各式是否成立(1) arcsin 32⑵ arcs —亠;(3) arcsin1=2k ., k € Z ; (4)32 2 arcsin(-—)=-arcsin _ ; 33(5) sin (arcsin 和2 ) = . 2 ; (6) arcsin6 2解：(1)式成立;⑵、(4)、( 5)各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为 [-1，1］ ；( 3)式仅当k=0时成立, k 取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式•在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质。