反三角函数及最简三角方程.docx

高三数学二高考复一习讲义■反三角函数与最简三角方程、反三角函数的图像与性质、最简单三角方程的解集:1、反三角函数的定义1【例1】右sinx=— , x =[—为可，贝U x =.3【巩固训练】1.函数y =cosx,xw (-冗,0 )的反函数是2、反三角函数的性质与图像1【例2】求函数y = v arcsin-的定义域与值域. x【例3】求函数y =arcsin(1 —x) +arccos2x的值域. 【例4】.求函数y =arccos(x2 -2x)的单调区间【例5】.函数f x =xarcsinx ' a 【巩固训练】+ barccosx是奇函数的充要条件是2.求函数y = Jarcsin(x—6)的定义域和值域.3.写出下列函数的定义域2 、. x 互(1) y=2arcsinjx (2) y =arcsin(x +x) (3) y = log2 arccos——2 3，一一二x ,,4.求函数y =—+arccos-的反函数，并指出反函数的定乂域和值域2 2心一「冗5元"|…，一…一一一5.右arccos x= —,——,则x的取值氾围是<3 6」3、反三角函数的恒等式19【例6】arcsin I sin —二,124 c 5【例7】化间：arccos 2arccos—二5 5［例8］求下列各式的值:“、一 4 . ( 11) cos arccos- + arccos5一.二1 ,(2) sin —十—arctan1 - x -【例9】求y =arctanx + arctan -------- 的值.1 x【巩固训练】6.计算arcsin(cos2) = 16二、7.下列关系式中，正确的是（八.二3A.arcsin —二一3 2B.sin(arcsin，一2) =、. 21 .C.arccos 一一1= arcsinD.arctan — arctan —一=03 . 38.求值:… ，一，3(1)arctan 7 + arctan 一 4 (2),1-tan 25 arctan -------1 tan 25JI9 设——W x W0,求arcsin (cosx )-arccos (sin x )的值24、最简三角方程的解集x x【例10］斛方程：sin - - cos- =1 .2 2【例11】解方程：2sec2 x+19tan x =12 .【例12］解方程：sin2x+3sin xcosx+1 =0 .【例13］解方程：sin2x—12(sin x — cosx)+12 = 0 .【巩固训练】10.方程：sin x —、,r3cosx = J2在0,冗】上的解是11.方程：5cosx cos2x , sin x = 0在0,2二1上的解丸12.解方程：sin5x-cosx=013.解方程：sin 2x-12 (sin x-cosx )+12 = 05、综合应用【例14］解三角方程：asin(x +n =sin 2x+9,a 为一实常数. 4【巩固训练】14 .关于X 的方程3+2sin x +cosx = k 恒有解，求实数k 的取值范围.1 2sin x 3cosx【课后作业】1.函数y =arcsin(x-2 )的定义域为，值域为 2,若 x =」是方程 2cos(x +a ) = 1 的解 其中 a w (0,2n ),则 a =3冗 JT3.若1=$的乂，x = .1--,—,则arccost 的取值范围是 ______________________ .一 6 3一..1 -2x .. _____ __ _ 一 4 .函数 y = 3arccos --- 的反函数的取大值是，取小值是 .4「. 7立).一11 15 . arccos.sin - \=, sin |-arccos -- =26 .万程 1g (cosx +sin x )=lg (2cos x -1 )的解集是.27 .函数y=arccos(2x -x )的值域为( )8 .下列命题中，正确命题的个数是( )(1) y =arcsin x 的反函数是 y =sin xA. 0,二 1B."*'」C. \ 71)1 0,arccos ——1 I 84C n 1D. 0,arccos-一 8(2)y=cosx, x^ [-n,0]的反函数是y - -arccosx, x [-1,1](3)y=tanx, x e 1-—,—i的反函数是y = arctanx, xw (口,西2 2 3A.0个B.1个C.2个D.3个_____ . . 2 . 3x-1 ......9. (1)求函数y=lg(1—4x )+arcsin---的定义域；(2)求y =arcsin(1 -x )+arccos2x的值域；2(3)求y =arcsin(x -x )的定乂域；(4)判断函数y = sin(2arccosx)的奇偶性；(5)求满足不等式arccos(1 -x )> arccosx的x的取值范围.2 1、，10.求函数y =arccos（x -x-金）的TE义域和值域.11.解下列三角方程：(1)sinx+cosx =cos2x ；1(2)cosxcos2xcos4x =一；82(3)3tan x +2 =2sec x ；x(4)cos x = 2 tan --1 I.212.已知方程cos2x 十J3sin 2x = k+1.(1)k为何值时，方程在区间|0,三।内有两个相异的解" _ ,2(2)求a + P的值.(3)。

高三数学 反三角函数概念、图像和性质，反三角函数的运算，简单的三角方程 知识精讲一. 反三角函数的概念，图像和性质 1. 反三角函数的定义 函数y x x =∈-sin ([])ππ22， y x x y x x y x x =∈=∈-=∈c o s ([])tan (())cot (())，，，，，，，，0220ππππ的反三角函数分别为：y x x y x x y x x R y a r c x x R =∈-=∈-=∈=∈a r c s i n ([])arccos ([])arctan ()cot ()，，，，，，11112. 反三角函数的性质（1）奇偶性y x y x y x y arc x ====arcsin arccos arctan cot 在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数；在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数。

（2）反三角函数的单调性y x y x y x y a r c x ====a r c s i n a r c c o s a r c t a n cot 在定义域内单调递增；在定义域内单调递减；在定义域内单调递增；在定义域内单调递减。

3. 三角函数的图像二. 反三角函数的运算：1. 掌握三角函数的反三角运算，反三角函数的三角运算，熟悉常见的一些恒等式。

三角函数的反三角运算a r c s i n (s i n )[]a r c c o s (c o s )[]a r c t a n (t a n )()o t (c o t )()x x x x x x x x x a r c x x x =∈-=∈=∈-=∈，，，，，，，，ππππππ220220 反三角函数的三角运算 s i n (a r c s i n )[]x x x =∈-，，11c o s (a r c c o s )[]t a n (a r c t an )c o t (o t )x x x x x x R a r c x x x R=∈-=∈=∈，，，，11反三角函数间的互余关系 a r c s i n a r c c o s a r c t a n o t x x x a r c x +=+=ππ22，反三角函数的性质a r c s i n ()a r c s i n a r c t a n ()a r c t a n a r c c o s ()a r c c o s c o t ()cot -=--=--=--=-x x x x x x arc x arc x，，ππ在使用上面的概念和公式要特别注意的是，必须在变量的指定范围内，否则结果就是错误的。

反三角函数公式大全常用反三角函数公式整理反三角函数主要是三个：y＝arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】反三角函数公式:arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=π－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=π－arccotxarcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(a rccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=xx∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=xx∈(0，π),arccot(cotx)=x，x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)反三角函数知识点整理1、反正弦函数：正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。

记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。

定义域[-1，1]，值域[-π/2，π/2]。

2、反余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。

定义域[-1，1]，值域[0，π]3、反正切函数：正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。

记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。

教学内容概要教学内容【知识结构】1、反三角函数：2、三角方程：【例题精讲】例1、试判断下列函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性（1）()sin arcsin y x = （2）()arcsin sin y x = 解：（1）()()sin arcsin y f x x x ===定义域为[]1,1- 值域为[]1,1- 奇函数 ()f x 不是周期函数，且再[]1,1-上单调递增 （2）()()arcsin sin y f x x == 定义域为R 值域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦奇函数 ()f x 是周期函数，周期为2π 下面讨论单调性： ① 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()arcsin sin f x x x ==，为增函数。

② 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()()arcsin sin arcsin sin f x x x x ππ==-=-⎡⎤⎣⎦，为减函数。

由函数的周期性，得 ① 区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）为函数()f x 的递增区间，此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x x k x k ππ==-=-⎡⎤⎣⎦，k Z ∈。

② 区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）为函数()f x 的递减区间，此时 ()()()arcsin sin arcsin sin 22f x x k x k x ππππ==+-=+-⎡⎤⎣⎦，k Z ∈。

所以()2,2,222arcsin sin 32,2,222x k x k k y x k x x k k πππππππππππ⎧⎡⎤-∈-+⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎡⎤⎪+-∈++⎢⎥⎪⎣⎦⎩，k Z ∈。

如图。

例2、xyO2π2π-2π2π-32π32π- ()arcsin sin y x =（1）19arcsin sin 12π⎛⎫= ⎪⎝⎭________ （2）若12arctan34πα-=，则tan α=__________ （3）函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =_____________ （4）函数()21arcsin 2y x x =-的值域是_______________ 解：（1）191955arcsin sinarcsin sin 2arcsin sin 12121212πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦。

三角函数的反函数与解三角方程在高中数学中，我们学习过三角函数及其性质。

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

而与之对应的反函数，即反三角函数，是用来解决一些三角方程的重要工具。

本文将详细介绍三角函数的反函数以及如何利用反函数来解决三角方程。

一、正弦函数的反函数正弦函数的反函数称为反正弦函数，常用符号为sin^(-1)，也可用arcsin表示。

反正弦函数可以表示为y = sin^(-1)(x)，其中x的取值范围为[-1, 1]，y的取值范围为[-π/2, π/2]。

反正弦函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反正弦函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反正弦函数的值。

二、余弦函数的反函数余弦函数的反函数称为反余弦函数，常用符号为cos^(-1)，也可用arccos表示。

反余弦函数可以表示为y = cos^(-1)(x)，其中x的取值范围为[-1, 1]，y的取值范围为[0, π]。

反余弦函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反余弦函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反余弦函数的值。

三、正切函数的反函数正切函数的反函数称为反正切函数，常用符号为tan^(-1)，也可用arctan表示。

反正切函数可以表示为y = tan^(-1)(x)，其中x的取值范围为(-∞, +∞)，y的取值范围为(-π/2, π/2)。

反正切函数的求值方法如下：1. 将给定的x值代入反正切函数的表达式中；2. 计算得到的y值即为所求的反正切函数的值。

四、解三角方程利用三角函数的反函数可以解决一些三角方程。

一般来说，解三角方程的步骤如下：1. 将方程转化为三角函数的方程；2. 利用三角函数的性质和恒等式进行等式变形，将方程化简为形如sin^(-1)(x) = a或cos^(-1)(x) = a的形式；3. 根据反函数的定义，得到x的值。

需要注意的是，在解三角方程时，需要根据具体的题目要求确定解的范围，并且考虑到周期性的特点。

1、反三角函数：概念：把正弦函数y sinx , x 一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y arcsinx.2 2y sin x(x R)，不存在反函数.含义：arcs in x表示一个角；角，一；sin x.2 2(1).符号arcsi nx可以理解为[—一，一]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[—一，一]上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为[0 ,n ]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0 ,n ]上的一个实数；(2) . y= arcsi nx 等价于si ny= x, y€ [ —, — ], y= arccosx 等价于cosy= x, x€ [0, n ],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3).恒等式sin(arcsinx)= x, x€ [ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x€ [—1, 1],arcsin(sinx) = x, x€ [ —, — ], arccos(cosx) = x, x€ [0, n ]的运用的条件；2 2(4) . 恒等式arcsinx+ arccosx= , arctanx+ arccotx= 的应用。

2 2(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；(2)•解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；(3).要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；k女口：若sin sin ，贝U sin k ( 1) ;若cos cos ，贝U 2k ;若tan tan ，贝y a k ；若cot cot ，贝y a k ；(4).会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

【例题精讲】例1.分析与解:精品文档例4.分析与解: 例5.分析与解:例6•使arcsinx arccosx成立的x的取值范围是（分析与解：x从反三角函该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求x的取值范围，故需把数式中分离出来，为此只需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可，不妨选用正弦函数。

反三角函数及最简三角方程一、知识回顾： 1、反三角函数：概念：把正弦函数sin y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的反函数，成为反正弦函数，记作x y arcsin =.sin ()y x x R =∈，不存在反函数.含义：arcsin x 表示一个角α；角α,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；sin x α=.反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1）． 符号arcsin x 可以理解为[－2π，2π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2π，2π]上的一个实数；同样符号arccos x 可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； （2）． y ＝arcsin x 等价于sin y ＝x , y ∈[－2π，2π], y ＝arccos x 等价于cos y ＝x , x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； （3）．恒等式sin(arcsin x )＝x , x ∈[－1, 1] , cos(arccos x )＝x , x ∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈Rarcsin(sin x )＝x , x ∈[－2π，2π], arccos(cos x )＝x , x ∈[0,π],arctan(tanx)=x, x ∈（－2π，2π）的运用的条件； （4）． 恒等式arcsin x ＋arccos x ＝2π, arctan x ＋arccot x ＝2π的应用。

2（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。

解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解； （3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin αβ=，则sin (1)k k απβ=+-；若cos cos αβ=，则2k απβ=±；若tan tan αβ=，则a k πβ=+；若cot cot αβ=，则a k πβ=+； （4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

2019高考数学复习重要知识点：反三角函数与简单的三角方程反三角函数是一种基本初等函数。

它并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。

下面是2019高考数学复习重要知识点：反三角函数与简单的三角方程，希望对考生有帮助。

它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。

三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x 对称。

欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x;相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2反正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。

记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。

定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

反余弦函数y=cos x在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。

记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。

定义域[-1，1] ，值域[0，π]。

反正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。

记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。

定义域R，值域(-π/2，π/2)。

反余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。

记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。

定义域R，值域(0，π)。

小编为大家提供的2019高考数学复习重要知识点：反三角函数与简单的三角方程大家仔细阅读了吗?最后祝大家可以考上理想的大学。

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反三角函数公式
arc sin x + arc sin y =
arc sin x – arc sin y =
arc cos x + arc cos y =
arc cos x – arc cos y =
arc tan x + arc tan y =
arc tan x – arc tan y =
2 arc sin x =
2 arc cos x =
2 arc tanx =
cos (n arc cos x) =
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反三角函数图像与特征
反正弦曲线图像与特征
反余弦曲线图像与特征
拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜
率为1
拐点(同曲线对称中心)：
，该点切线斜率为－1
反正切曲线图像与特征
反余切曲线图像与特征
拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点：
，该点切线斜率为－1
渐近线：渐近线：
名称反正割曲线反余割曲线
方程
图像
顶点
渐近线
反三角函数的定义域与主值范围
函数主值记号定义域主值范围
反正弦若，则
反余弦若，则
反正切若，则
反余切若，则
反正割若，则
反余割若，则
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一般反三角函数与主值的关系为
式中n为任意整数.
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反三角函数的相互关系
arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x =。

反三角函数公式arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y =1 / 92 arc sin x = 2 arc cos x =2 arc tanx = cos (n arc cos x) =2 / 9反三角函数图像与特征反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为－1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点：，该点切线斜率为－1渐近线：渐近线：名称反正割曲线反余割曲线方程图像顶点渐近线反三角函数的定义域与主值范围函数主值记号定义域主值范围反正弦若，则反余弦若，则反正切若，则反余切若，则反正割若，则反余割若，则式中n为任意整数.反三角函数的相互关系arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x =sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... (|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)ArcSin(x) 函数功能：返回一个指定数的反正弦值，以弧度表示，返回类型为Double。

第25讲反三角函数与三角方程本讲主要内容：反三角函数的概念、运算与解三角方程．反三角函数：三角函数在其整个定义域上是非单调的函数，因此，在其整个定义域上，三角函数是没有反函数的．但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数了． 一．反正弦函数1．定义：函数y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的反函数就是反正弦函数，记为y＝arcsin x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[-π2 ，π2 ]内，正弦函数值为x 的角就是arcsin x ，即 2．反正弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[-π2 ，π2 ]．⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是[－1，1]上的奇函数，即⑷ y ＝arcsin x 的图象：与y ＝sin x (x ∈[-π2 ，π2 ])的图象关于y ＝x 对称．⑸ arcsin(sin x )的值及y ＝arcsin(sin x )的图象：二．反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到：1．定义：函数y ＝cos x (x ∈[0，π])的反函数就是反余弦函数，记为y ＝arccos x (x ∈[－1，1])这个式子表示：在区间[0，π]内，余弦函数值为x 的角就是arccos x ，即 2．反余弦函数的性质：⑴ 定义域为[－1，1]；值域为[0，π]． ⑵ 在定义域上单调减；⑶ 是[－1，1]上的非奇非偶函数，即⑷ y ＝arccos x 的图象：与y ＝cos x (x ∈[0，π])的图象关于y ＝x 对称． ⑸ arccos(cos x )的值及y ＝arccos(cos x )的图象：三．反正切函数1．定义：函数y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的反函数就是反正切函数，记为y＝arctan x (x ∈R )．这个式子表示：在区间(-π2 ，π2 )内，正切函数值为x 的角就是arctan x ，即2．反正切函数的性质：⑴ 定义域为R ；值域为(-π2 ，π2 )．⑵ 在定义域上单调增； ⑶ 是R 上的奇函数，即⑷ y ＝arctan x 的图象：与y ＝tan x (x ∈(-π2 ，π2 ))的图象关于y ＝x 对称．⑸ arctan(tan x )的值及y ＝arctan(tan x )的图象：四．反余切函数 请根据上面的内容自己写出．A 类例题例1证明：⑴ cos(arcsin x )＝1－x 2；sin(arccos x )＝1－x 2；tan(arccot x )＝1x．并作它们的图象．⑵ sin (arc tan x )＝x1＋x 2； tan(arcsin x )＝ x1－x 2； cos(arctan x )＝11＋x 2； tan(arccos x )＝ 1－x 2x． 证明：⑴ 设arcsin x ＝α，则α∈[－π2，π2]，且sin α＝x ，于是，cos α＝1－x 2 ，即cos(arcsin x )＝1－x 2 ；同理可证其余．⑵ 设arctan x ＝α，则α∈(-π2，π2)，tan α＝x ．于是，sec α＝1＋x 2，所以，sin α＝tan α·cos α＝x 1＋x 2，就是sin(arctan x )＝x1＋x 2；同理可证其余．说明 本题给出了反三角函数运算的方法：把某个反三角函数看成是在某个范围(该反三角函数的主值区间)内的一个角，把反三角函数的运算改成三角函数的运算．例2证明：⑴ arcsin x ＋arccos x ＝π2， x ∈[－1，1]⑵ arctan x ＋arccot x ＝π2， x ∈R证明：令arcsin x ＝α，arccos x ＝β，则α∈[-π2 ，π2 ]，β∈[0，π]，π2－β∈[-π2 ，π2 ]而 sin α＝x ，sin(π2 －β)＝cos β＝x ，即sin α＝sin(π2 －β)，但α与β都在区间[-π2 ，π2 ]内，在此区间内正弦函数是单调增函数，从而α＝π2 －β．就是arcsin x ＋arccos x ＝π2．同法可证⑵．说明 这是关于反正弦与反余弦函数、反正切与反余切函数的一个重要关系式．例3计算：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )；x ，y ∈[－1，1] ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )．x ，y ∈[－1，1] 解：⑴ sin(arcsin x ＋arcsin y )＝x 1－y 2＋y 1－x 2． ⑵ cos(arccos x ＋arccos y )＝xy －1－x 2·1－y 2．情景再现1．若arctan x ＋arctan y ＋arctan z ＝π，证明：x ＋y ＋z ＝xyz ； ⑵ 证明：cot[arctan x ＋arctan(1－x )]＝1－x ＋x 2．2．设f (x )＝x 2－πx , α＝arcsin 13，β＝arctan 54,γ＝arc cos(－13),δ＝arc cot(－54),则 A ．f (α)＞f (β)＞f (δ)＞f (γ) B ．f (α)＞f (δ)＞f (β)＞f (γ) C ．f (δ)＞f (α)＞f (β)＞f (γ) D ．f (δ)＞f (α)＞f (γ)＞f (β) 3．函数y ＝arc cos(12-x 2)的值域是A ．[-π2，π6]B ．[-π2，π3]C ．[π6，π]D ．[π3，π]B 类例题例4求10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)的值．解：设 arccot3＝α，arccot7＝β，arccot13＝γ，arccot21＝δ，则0<δ<γ<β<α<π4．∴ tan α＝13，tan β＝17，tan γ＝113，tan δ＝121，∴ tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 13＋171－13⨯17＝1020＝12．tan(γ＋δ)＝tan γ＋tan δ1－tan γtan δ＝113＋1211－113⨯121＝ 18 ．tan(α＋β＋γ＋δ)＝12 ＋181－12 ⨯18＝23．∴ 10cot(arc cot3＋arc cot7＋arc cot13＋arc cot21)＝10⨯32 ＝15．例5求常数c ，使得 f (x )＝ arc tan 2－2x 1＋4x ＋c 在区间(-14，14)内是奇函数．解：若f (x )是(-14，14)内的奇函数，则必要条件是f (0)＝0，即c ＝－arctan2．当c ＝－arctan2时，tan(arcta 2－2x1＋4x －arctan2)＝2－2x1＋4x －21＋2－2x1＋4x·2＝2－2x －2－8x1＋4x ＋4－4x＝－2x ．即f (x )＝arctan(－2x )；f (－x )＝arctan(－(－2x ))＝arctan2x ＝－f (x )．故f (x )是(-14，14)内的奇函数．说明例6 [x ]表示不超过x 的最大整数，{x }表示x 的小数部分（即{x }＝x -[x ])，则方程 cot[x ]·cot{x }＝1的解集为 ；解：由于0≤{x }<1，故cot{x }＞cot1＞0，即cot{x }≠0． ∴ cot[x ]＝1cot{x }＝tan{x }＝cot(π2－{x })， ∴ [x ]＝k π＋π2－{x }．即[x }＋{x }＝k π＋π2(k ∈Z )，就是x ＝k π＋π2(k ∈Z )．说明情景再现4．函数f (x )＝arc tan x ＋12arc sin x 的值域是A ．(-π，π)B ．[－3π4，3π4]C ．(- 3π4，3π4)D ．[-π2，π2]5、设-1<a <0，θ＝arc sin a ,那么不等式 sin x <a 的解集为 A ．{x |2nπ＋θ<x <(2n ＋1) π-θ，n ∈Z }B ．{x |2nπ-θ<x <(2n ＋1) π＋θ，n ∈Z }C ．{x |(2n -1) π＋θ<x <2nπ-θ，n ∈Z }D ．{x |(2n -1) π-θ<x <2nπ＋θ，n ∈Z }6、在区间[0，π]上，三角方程cos7x ＝cos5x 的解的个数是 ；C 类例题例7求使方程a ＋a ＋sin x ＝sin x 有实数解的实数a 的取值范围． 分析解：sin x ≥0，平方得a ＋sin x ＝sin 2x －a ，故a ≤sin 2x ，平方整理得，a 2－(2sin 2x ＋1)a ＋sin 4x －sin x ＝0，这是一个关于a 的一元二次方程．＝(2sin 2x ＋1)2－4(sin 4x －sin x )＝4sin 2x ＋4sin x ＋1＝(2sin x ＋1)2． ∴ a ＝12[2sin 2x ＋1±(2sin x ＋1)]．其中，a ＝sin 2x ＋sin x ＋1＞sin 2x ，故舍去；a ＝sin 2x －sin x ，当0≤sin x ≤1时，有a ∈[－14，0]．当a ＝0时，得sin x ＝0或1，有实解；当a ＝－14时，sin x ＝12，有实解．即a 的取值范围为[－14，0]．说明例8解方程：cos n x -sin n x ＝1，这里，n 表示任意给定的正整数． 分析：可先从n ＝1，2，3，……着手研究，找出规律再解． n ＝1时，cos x ＝sin x ＋1， n ＝2时，cos 2x ＝sin 2x ＋1， n ＝3时，cos 3x ＝sin 3x ＋1， n ＝4时，cos 4x ＝sin 4x ＋1． 解：原方程就是，cos n x ＝1＋sin n x ． ⑴ 当n 为正偶数时，由于cos n x ≤1，sin n x ≥0，故当且仅当cos n x ＝1，sin n x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时为解．⑵ 当n 为正奇数时，若2k π≤x ≤2k π＋π，则cos n x ≤1，sin n x ≥0，故只有cos n x ＝1，sin n x ＝0时，即x ＝2k π(k ∈Z )时为解；若2k π＋π<x <2(k ＋1)π，由于1＋sin n x ≥0，故只能在2k π＋3π2≤x <2(k ＋1)π内求解，此时x ＝2k π＋3π2满足方程．若2k π＋3π2 <x <2(k ＋1)π，当n ＝1时，cos x －sin x ＝|cos x |＋|sin x |＞1，当n ≥3时，cos n x －sin n x ＝|cos n x |＋|sin n x |<|cos 2x |＋|sin 2x |＝1．即此时无解．所以，当n 为正偶数时，解为x ＝k π(k ∈Z )；当n 为正奇数时，解为x ＝2k π与x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )． 说明情景再现7．解方程：cos 2x ＋cos 22x ＋cos 23x ＝1． 8．求方程x 2-2x sin πx2＋1＝0的所有实数根；习题251、arc sin(sin2000︒)＝ ．2．已知函数①y ＝arcsin(2x ), ②y ＝sin πx ＋cos πx , ③y ＝log 2x ＋log 1/2(1＋x )．其中，在区间[12,1]上单调的函数是A ．①、②和③B ．②和③C ．①和②D ．③3．函数y ＝arcsin[sin x ]＋arcos[cos x ]，x ∈[0，2π）的值域（其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数）是A ．{0，π，3π2}B ．{-π2，π2，3π2}C ．{0，π2，π} D ．{-2，-1，0，1}第 11 页 共 11 页 4．已知α∈（-π2 ，π2 ），sin2α＝sin(α-π4)，则α＝ ； 5．求方程x 2-2x sin πx 2＋1＝0的所有实数根； 6．求关于x 的方程 x 2-2x -sin πx 2＋2＝0的实数根． 7．解方程：⎝⎛⎭⎫sin x 22csc 2x ＝14 ； 8．求方程 sin n x ＋1cos m x ＝cos n x ＋1sin m x的实数解，其中m 、n 是正奇数．。