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第八章 曲线积分与曲面积分(改)

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第八章 曲线积分与曲面积分（A ）习题八1、计算下列数量值函数的曲线积分： ⑴22L y ds x y +⎰，其中L 为平面上的上半圆周：221,0x y y +=≥． ⑵⎰+Lds y x )(，其中L 为以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形边界．⑶⎰+Ly x ds e22，其中L 为x 轴，圆周222(0)x y a a +=>，直线y x =在第一象限内所围成扇形的边界．⑷2Ly ds ⎰，其中L 是摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-的一拱(02)t π≤≤．⑸22()Lx y ds -⎰，其中L 为柱面221x y +=与平面0x y z ++=的交线．2、求空间曲线cos ,sin ,(0)tttx e t y e t z e t ---===<<+∞的弧长．3、求均匀摆线弧(sin ),(1cos )(0)x a t t y a t t π=-=-≤≤的重心坐标．4、计算下列数量值函数的曲面积分： ⑴22()xy dS ∑+⎰⎰，其中∑：222()z x y =-+，0z ≥．⑵()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面5y z +=被柱面2225x y +=所截得的部分．⑶22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面．⑷2221dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑为介于平面0z =和平面(0)z H H =>之间的圆柱面222x y R +=．5、求抛物面22z x y =+被锥面2z =所截下的部分曲面面积．6、计算下列向量值函数在定向曲线上的积分： ⑴22610Lxydx xy dy +⎰，其中L 为曲线2y x =上从点(0,0)到(1,1)的一段弧． ⑵2(sin )Lx y dx +⎰，其中L 为由2,1y x x ==所围区域的边界（逆时针方向）． ⑶2222Ly xdx dy x y x y -+++⎰，其中L 是半径为a ，圆心在原点且方向由(,0)A a 到(,0)B a -的上半圆．⑷(2)La y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(s i n ),(1c o sx a t t y a t =-=-从0t =到2t π=的一段．⑸||||Ldx dyx y ++⎰，其中L 为从点(1,0)A 经点(0,1)B 到点(1,0)C -的折线段． ⑹(1)Lxdx ydy x y dz +++-⎰，其中L 是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线．7、设曲线L 是从点(0,0)O 沿圆弧y =到点(1,0)A 的弧段，计算22()(sin )LI x yx dx y x y dy =-++⎰．8、将(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰化为数量值函数的曲线积分，其中L 为沿圆周222x y y +=（逆时针）从(0,0)到(1,1)．9、方向沿纵轴方向，大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量为m 的质点沿半圆周y =(1,0)-移动到(1,0)时，场力所作的功．10、设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2kr （0k >为常数，r 为质点A 与M 之间的距离），质点M 沿曲线y =自(2,0)B 运动到(0,0)O ，求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功．11、利用格林公式计算下列曲线积分： ⑴2(1)Ly dx xydy ++⎰，其中L 为曲线sin y x =和2sin (0)y x x π=≤≤所围区域的正向边界． ⑵(sin )(cos )x x Le y y x dx e y x dy +++-⎰，其中L 为从点(0,0)O 经圆周22(1)1x y -+=的下半部分到点(2,0)A 的一段弧．12、计算曲线积分224Cxdy ydxx y-+⎰，其中C 是以(1,0)为中心，(1)R R ≠为半径的圆周，逆时针方向．13、证明曲线积分(3,4)2322(1,2)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰与路径无关，并求积分值．14、验证22(2cos sin )(2cos sin )x y y x dx y x x y dy -+-在整个xOy 平面内为某一函数的全微分，并求一个这样的函数(,)u x y ．15、计算下列向量值函数在定向曲面上的积分： ⑴22()xy zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑是球面2221x y z ++=的下半部分的下侧．⑵zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧．⑶2z dxdy ∑⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分的上侧． ⑷2x dydz zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑为抛物面22(01)z x y z =+≤≤的上侧．16、利用高斯公式计算下列曲面积分： ⑴222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，x y z a ++=(0)a >所围立体的全表面的外侧．⑵32()2xyz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰，其中∑为222x y R +=在平面0z =和1z =之间部分圆柱面的外侧．⑶333()()()x yz dydz y xz dzdx z xy dxdy ∑++-++⎰⎰，其中∑为取外侧的球面222x y z z ++=． ⑷222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面22(01)z x y z =+≤≤的上侧．17、计算323232()()()xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =18、计算xyzA e r =在点()1,1,1P 处的散度，其中r 为矢径：r xi yj zk =++．19、求向量yzi xzj xyk ++穿过圆柱体222,0x y R z H +≤≤≤的全表面∑的外侧的通量．20、利用斯托克斯公式计算曲线积分()()()C z y dx x z dy x y dz -+-+-⎰，其中C 是曲线2212x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的．（B ）单元自我测试题一、填空题（每题4分，共20分）1、设C 为3y x =上点(0,0)到(1,1)的一段弧，则曲线积分C⎰＝ ．（写出定积分形式，不必计算）2、设L 是圆周：2222,0x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩则曲线积分2Lx ds ⎰的值为 ．3、设C 是逆时针方向的闭曲线，其方程为22(1)1x y -+=，则222()(2)Cx y d x y x y d y-+-⎰＝ ． 4、设∑是抛物面221(23)z x y =-+在xOy 平面上方部分的下侧，则向量值函数在定向曲面上的积分I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰化为数量值函数的曲面积分后，I ＝ ．5、向量场()()22,,ln 1z u x y z xy i ye j x z k =+++在点()1,1,0P 的散度divu = ．二、单项选择题（每题3分，共15分） 1、曲线积分22()Lx y ds +⎰，其中L 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则曲线积分值为（ ）A ．22a π Ｂ．3a π Ｃ．32a π Ｄ．34a π 2、设∑：2222(0)x y z a z ++=≥，1∑为∑在第一卦限的部分，则有（ ）．A ．14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ Ｂ．14ydS ydS ∑∑=⎰⎰⎰⎰Ｃ．14zdS zdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ Ｄ．14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰3、设L 是从点()0,0沿折线11y x =--至点()2,0A 的折线段，则曲线积分LI ydx xdy =-+⎰=( )A ．2- Ｂ．1- Ｃ．0 Ｄ．24、设2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分，则常数a ＝（ ）．A ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2 5、设∑是柱面221,01x y z +=≤≤外侧，()x y z dydz ∑++=⎰⎰（ ）． A ．0 Ｂ．1π+ Ｃ．1 Ｄ．π三、计算下列曲线积分或曲面积分的值（每题6分，共24分）1、设L 是由直线2y x =，2y =和0x =所围成的三角形区域的边界，求Lxyds ⎰．2、2I z dS ∑=⎰⎰，其中∑是球面2222xy z a ++=．3、计算22C I xy dy x ydx +=-⎰，C 为圆周222x y a +=．4、2()I z x dydz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于0z =及3z =之间部分的下侧．四、（8分）求面密度为1的均匀半球面2222:x y z a ∑++=，0z ≥对z 轴的转动惯量．五、（８分）设曲线C 为抛物线222x y =-上从点(0,1)A 到点(0,1)B -的一段弧，计算22Cxdy ydxI x y -=+⎰．六、（８分）设函数()f x 可导，且(0)1f =，求()f x 使得曲线积分()xLye dx f x dy +⎰在全平面上与路径无关，并计算(1,1)(0,0)()x I ye dx f x dy =+⎰．七、（8分）设∑是平面1x y z ++=在第一卦限部分的上侧，求曲面积分()I x y dydz ydzdx dxdy ∑=+++⎰⎰．八、（9分）计算曲面积分33311()()()22x x dydz y xz dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰，其中∑是球面2222x y z z ++=的内侧．（C ）提高题1、计算曲面积分zdS ∑⎰⎰，其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分．2、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(,,)P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离，求(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰．3、设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2(,)Lx y d xQ x y d y +⎰与路径无关，并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰，求(,)Q x y ．4、设函数()y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分24()22Ly dx xydyx yϕ++⎰的值恒为同一常数．证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有24()202Cy dx xydyx y ϕ+=+⎰．5、设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221[1()][()1]L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰， ⑴ 证明曲线积分I 与路径L 无关； ⑵ 当ab cd =时，求I 的值．6、计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰，其中L 是平面2x y z ++=与柱面||||1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向．7、确定常数λ，使向量42(,)2()A x y xy x y i λ=+242()x x y j λ-+在右半平面0x >上的为某二元函数(,)u x y 的梯度，并求(,)u x y ．8、已知平面区域{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证： ⑴sin sin sin sin y x y x LLxe dy ye dx xe dy ye dx ---=-⎰⎰；⑵sin sin 22y x Lxe dy ye dx π--≥⎰．9、求[sin ()](cos )x xI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中,a b 为正常数，L为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧．10、计算曲面积分2222xdydz z dxdy x y z ∑+++⎰⎰，其中∑是由曲面222x y R +=及两平面z R =，(0)z R R =->所围成立体表面的外侧．11、计算212222()()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰，其中∑为下半球面z =上侧，a 为大于零的常数．12、计算曲面积分(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为有向曲面22z xy =+(01)z ≤≤，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角．13、计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221(0)z x y z =-≥－的上侧．。

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曲线积分和曲面积分

曲线积分和曲面积分

定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。

定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。

最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。

定义可以用统一的形式给出：从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。

上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。

因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。

曲面积分的形式如下：\begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*}这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。

二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头{a}）上任何一点的分量向量。

最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。

求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。

换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。

在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。

根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积\超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi）如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。

第八章 曲线积分和曲面积分题目+简案

第八章 曲线积分和曲面积分题目+简案


的封闭曲线， L 的方向为逆时针方向。
答案：（1）18
（2）16 （3） 2
五、证明： (2x sin y)dx x cos ydy 是某一函数的全微分，并求出一个原函数．
答案：所求原函数为 x2 x sin y C . ( C 为任意常数).
六、⑴在全平面上，证明:曲线积分 y2exdx 2 yexdy 与路径无关，并求 y2exdx 2yexdy L
L
L

P(
x,
y)
2x x2 Q(x, y)(1 x) ds .
十、证明：曲线积分有估计式 P(x, y)dx Q(x, y)dy LM ，其中L 为积分路径的长度， L
M max P2 Q2 . ( x, y)L
答案：证明略.
十一、计算下列曲面积分。
（1）计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的
z
顶部．
（2）计算曲面积分 (xz 36x2 9 y2 4z2 )dS, 其中 是 x2 y2 z2 1，其面积为 A.

49
（3）计算 I (x z2 )dydz zdxdy ，其中 是 z 1 (x2 y2 ) 介于平面 z 0 及 z 2
3. 设 为球面 x2 y2 z2 1，则 3x2ds 4 ．
1 4. 设 u ln x2 y2 z2 ，则 div(gradu) x2 y2 z2 ．
5. 设 是有向光滑曲面，则第二型曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 化为第一型曲面积

(x2 y 2 z )2 3
曲线积分和曲面积分

曲线积分和曲面积分

第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。

由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。

§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。

我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。

为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。

在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。

最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。

每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。

在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。

第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。

第八章-曲线积分与曲面积分部分考研真题及解答

第八章-曲线积分与曲面积分部分考研真题及解答

第八章 曲线积分与曲面积分 8.1对弧长的曲线积分8.2对坐标的曲线积分07.1) 设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数)，过第II 象限内的点M 和第IV 象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是 （ B ） (A )(,)Tf x y dx ⎰. (B)(,)Tf x y dy ⎰.(C)(,)Tf x y ds ⎰. (D)(,)(,)x y Tf x y dx f x y dy ''+⎰.04.1) 设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23.（利用极坐标将曲线用参数方程表示） 09.1)已知曲线2:(0L y x x =≤≤，则Lxds ⎰=13610.1)已知曲线L 的方程为1||,y x =-([1,1]),x ∈-起点为(1,0),-终点为(1,0),则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰0 （直接算或格林）01.1)计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中L 是平面2x y z ++=与柱面|x |+|y |=1的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。

解：记S 为平面2x y z ++=上L 所围部分的上侧，D 为S 在xOy 坐标面上的投影。

由斯托克斯公式得(24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰(423)Sx y z dS =++⎰⎰2(6)Dx y dxdy =--+⎰⎰12Ddxdy =-⎰⎰=-2408.1)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段.（路径表达式直接代入）8.3格林公式02.1)设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记22211()()1Lx I y f xy dx y f xy dy y y ⎡⎤⎡⎤=++-⎣⎦⎣⎦⎰（1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当ab cd =时，求I 的值.03.1) 已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1)dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly【详解】 方法一： (1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx edy exy=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由于2sin sin ≥+-x xe e，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx yedy xex x xLy方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性，所以⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin ， 故dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy e DDx y ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDxx ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e eDDx x05.1)设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x >0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【详解】 （I ）Yl 3如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接，则=++⎰Cy x xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x xydydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx y ϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx yϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ① 243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=- 06.1)设在上半平面D=(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的t >0都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有()()2,,0yf x y dx xf x y dy -=⎰证：把2(,)(,)f tx ty tf x y t -=两边对求导得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=-令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-③ ④所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q Px y ∂∂=∂∂今 (,)(,)x Q f x y xf x y x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y yf x y y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立。