必修二1.3-柱体、椎体、台体的表面积与体积

2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底
直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长
15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π取
3.14，结果精确到1 cm2）？
20cm
解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
15cm
S [(15)2 15 15 20 15] (1.5)2
圆台S (r2 r 2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
各面面积之和
1. 柱体、锥体、台体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积之和。
的展开图是什么？如何 计算它们的表面积？
棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图 形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图 形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。
练习 1 . 若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形， 则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ A ）
A . 1 2 2
1 4
B . 4
C . 1 2
D . 1 4
2
2 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个 圆锥的侧面积展开图----扇形的圆心角为____
__1_8_0__度
小结
本节课主要介绍了求几何体的表面积的方法： 将空间图形问题转化为平面图形问题， 利用平面图形求面积的方法求立体图 形的表面积
10cm
15cm
7.5cm
柱体、锥体、台体的体积
正方体、长方体，以及圆柱的体积公式可以统 一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为 底面面积，h为高。
棱锥的体积公式也是 S 1 Sh ，其中S为
底面面积，h为高。

(6)梯形面积公式： _________
二、棱柱、棱台、棱锥的表面积
用空间几何体的展开图来求它的面积
几何体的展开图
侧面展开图的构成
一组平行四边 形
一组三角形
一组梯形
表面积=侧面积+底面积
问题：圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别和矩形、三角形、 梯形的面积有什么类似的地方？
空间体侧面展开图
空间体的侧面积 平面图形面积
矩 形
三 角 形
梯 形
三、圆柱、圆锥、圆台表面积
侧面展开图
侧面积
表面积
练习
1、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面
体S-ABC（即三棱锥），求它的表面积。
练习
2、已知棱长为a，底面为正方形，各侧面 均为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求 它的表面积。
知识探究：柱体、锥体、台体的体积 思考1:正方体、长方体和圆柱的体积公 式吗？它们可以统一为一个什么公式？ 思考2:推广到一般的棱柱和圆柱，猜想 柱体的体积公式是什么？
上底面 积S′
高h
下底面 积S
练习
已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均 为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它 的体积。
作业：
P28习题1.3 A组： 2，3，4 题
小结
1.多面体表面积：各面面 积之和
2.旋转体表面积：侧面展 开图面积+底面积
思考题：
已知棱长为a，各面均为等边三角形 的四面体S-ABC（即三棱锥），求 它的体积。
高h
底面积S
将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有 什么关系？它们与三棱柱的体积有什么 关系？
3 2
1 1
3 2
思考3:推广到一般的棱锥和圆锥，你猜 想锥体的体积公式是什么？

的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);

(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”, 还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
【题型探究】 类型一 柱体、锥体、台体的表面积 【典例】1.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为 ( )
2
四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.
所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.
【方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.旋转体的侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母 线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要 通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题.
Байду номын сангаас
积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+12 ·2πr·2=2π+4,所以此几何体的
表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.
2.选D.由已知得l=2r,
S侧 S底
＝
rl r 2
＝
l r
＝2.
3.选D.几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的