新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量2-5-1

基础达标1．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( )．A ．1 B.2 C ．3 D.4解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．答案 C2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8,1) D.(8,1)解析 AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，∴12AB →＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12. 答案 A3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )．A ．(－2，－4)B.(－3，－5) C ．(3,5) D.(2,4)解析 ∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．答案 B4．a ＝(4,6)，且a ＝2b ，那么b 的坐标是________．解析 ∵a ＝2b ，∴b ＝12a ＝12(4,6)＝(2,3)．答案 (2,3)5．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________．解析 设P (x ，y )，则由MP →＝12MN →得，(x －3，y ＋2)＝12(－8，1)，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 6．已知AB →＝(x ，y )，B 的坐标是(－2,1)，那么OA →的坐标为________．解析 ∵B 的坐标是(－2,1)，∴OB →＝(－2,1)，∴OA →＝O B →＋BA →＝(－2,1)＋(－x ，－y )＝(－2－x,1－y )．答案 (－2－x,1－y )7．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC ，BD 的交点，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)．求OB →的坐标．解 DB →＝AB →－AD →＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)，∴OB →＝12DB →＝12(－5，－6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－3. 能力提升8．已知向量集M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N 等于( )．A ．{(1,1)}B.{(1,1)，(－2，－2)} C ．{(－2，－2)} D.∅解析 设a ＝(x ，y )，对于M ，(x ，y )＝(1,2)＋λ(3,4)，(x －1，y －2)＝λ(3,4)，⎩⎨⎧ x －1＝3λ，y －2＝4λ，∴x －13＝y －24.对于N ，(x ，y )＝(－2，－2)＋λ(4,5)，(x ＋2，y ＋2)＝λ(4,5)，⎩⎨⎧ x ＋2＝4λ，y ＋2＝5λ，∴x ＋24＝y ＋25，解得x ＝－2，y ＝－2. 答案 C9．(2012·洛阳高一检测)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.解析 设q ＝(x ，y )，则由题意可知 ⎩⎨⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝1，所以q ＝(－2,1)． 答案 (－2,1)10．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示．(1)证明：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立；(2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标；(3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标．(1)证明 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)，＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立．(2)解 f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)解 设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )，∴y ＝p,2y －x ＝q ，∴x ＝2p －q ，即向量c ＝(2p －q ，p ).。

平面向量一、选择题1．下列命题中正确的是( )( A ) 两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同( B) 若a，b是两个单位向量，则a＝ b( C) 若向量a和b共线，则向量a， b 的方向相同( D) 零向量的长度为0，方向是任意的2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )( A ) ( C) AB DCAB AD BD( B )( D )AD AB ACAD CB03．在四边形ABCD 中，CB AB BA( )(A) DB (B) CA(C) CD (D) DC4．已知a，b为非零向量，且｜a＋ b｜＝| a|＋| b|，则一定有( )( A ) a＝b ( B ) a∥b，且a，b方向相同( C) a＝－b ( D ) a∥b，且a，b方向相反5．化简下列向量： ( 1) AB BC CA (2) AB AC BD CD(3) FQ QP EF EM (4) OA OB AB，结果为零向量的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题6．对于下列命题①相反向量就是方向相反的向量②不相等的向量一定不平行③相等的向量一定共线④共线的单位向量一定相等⑤共线的两个向量一定在同一条直线上其中真命题的序号为______．3 3点A 的位置向量为 ______．8．一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成30°，则船的实际速度的大小为______ ，水流速度的大小为______．9．如图，在□ABCD中，AO a ，DO b ，用向量a， b 表示下列向量CB______AB =_____.10．已知平面内有□ABCD和点O，若OA a ，OB b，OC c ，OD d，则a－b＋c －d＝______．三、解答题11．化简：(1) AB AC BD(2) AB CD CB DA12．在单位圆中， B 是 OA 的中点， PQ 过 B 且 PQ∥Ox，MP⊥ Ox，NQ⊥ Ox，则在向量OM，ON，MP，NQ，OP，OQ，OB，OA，PQ 中．( 1) 找出相等的向量；( 2) 找出单位向量；( 3) 找出与OM共线的向量；( 4) 向量OM，ON的长度．13．已知正方形A BCD 的边长为1，若AB a ，BC b ，AC c ，求作向量a－b＋c，并求出 |a－b＋c｜．14．已知向量a， b 满足：| a|＝3，| a＋ b|＝5，| a－ b|＝5，求｜ b｜．向量的线性运算 ( 二 ) 一、选择题1．若 3( x＋ 3a) － 2( a－x) ＝0，则向量 x＝ ( ) ( A ) 2a ( B) － 2a ( C) 7a ( D ) 7 a5 52．若AB5e， CD7e且 | AD | | BC |，则四边形ABCD 是 ( ) ( A ) 平行四边形( B ) 非等腰梯形( C)菱形( D)等腰梯形3．如图所示， D 是△ ABC 的边上的中点，则向量CD 等于()(A) BC 1BA ( B ) BC1BA 2 2(C) BC 1BA (D) BC 1 BA2 2 )4．已知向量1－ 2e2，b＝－ 2e1＋ 4e2，则向量a与b满足关系 (a＝ e( A ) b＝ 2a ( B) 共线且方向相反 ( C) 共线且方向相同(D)不平行5．下列结论中正确的个数是 ( )①若｜ b|＝2｜ a｜，则 b＝±2a ②若 a∥ b，b∥ c，则 a∥ c ③若 m a＝m b，则a＝b④ 0a＝0⑤若向量a与b共线，则一定存在一个实数，使得 a＝ b(A)0个(B)1个(C)2个(D)3 个二、填空题6．化简： 5( 3a－ 2b) ＋ 4( 2b－3a) ＝ ______．7．与非零向量a共线的单位向量为 ____________．8．数轴上的点 A，B，C 的坐标分别为2x，－ 2，x，且AB 3BC ，则x＝______；｜AB｜＝ ______．9．已知向量 a 与 b 方向相反，｜a｜＝6，｜ b|＝4，则 a＝______b．10．在□ ABCD 中，AB a ，AD b ，AN3NC ，M为BC的中点，则 MN____.三、解答题11．点 D 是△ ABC 边 BC 上一点，且BD 1 BC．设试AB a，AC b，用向量a，b表示3AD.12．已知向量a， b 满足求｜ a｜∶｜ b｜．11 1(a3b)(a b)(3a2b) ，求证：向量 a 与 b 共线，并52 513．已知｜a｜＝ 1，｜b｜＝ 2．若a＝b，求｜a－b｜的值．14．已知平面中不同的四点A，B，C，D 和非零向量a，b，且AB a2b，CD 5a6b，CD =7a-2b.( 1) 证明： A， B， D 三点共线；( 2) 若a与b共线，证明A， B， C，D 四点共线．向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1．已知向量a＝ ( 4，2) ，向量 b＝( x，3)，且 a∥b，则x＝( )(A)9 (B)6 (C)5 (D)32．已知点 A( 0， 1) ， B( 1， 2) ， C( 3， 4) ，则AB 2BC的坐标为 ( )( A)( 3，3) ( B)( －3，－ 3) ( C)( － 3， 3) ( D)( 3，－ 3)3．已知基底 { e1，e2} ，实数 x，y 满足 ( 3x－ 4y) e1＋ ( 2x－3y) e2＝ 6e1＋ 3e2，则 x－ y 的值等于( )(A)3(B)－3(C)0(D)24．在基底 { e1，e2} 下，向量a＝e1＋ 2e2，b＝ 2e1－e2，若a∥b，则的值为()(A)0(B)－21(D)－4( C)25．设向量a＝ ( 1，－ 3) ，b＝ ( － 2，4) ，c＝ ( － 1，－ 2) ，若表示向量4a，4b－2c，2( a－c) ，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d 为( )( A)( 2，6) ( B)( －2，6)( C)( 2，－ 6) ( D)( － 2，－ 6)二、填空题6．点 A( 1，－ 2) 关于点 B 的对称点为 ( － 2， 3) ，则点 B 的坐标为 ______．7．若 M( 3，－ 2) ，N( － 5，－ 1) 且MP 1 MN，则 P 点的坐标为 ______________．28．已知点 O( 0，0) ， A( 1，2) ，B( 4，5) ，点 P 满足OP OA t AB ，当点P在x轴上时，t＝ _______．9．已知□ABCD 的三个顶点A( － 1， 3) ， B( 3， 4) ，C( 2， 2) ，则顶点D的坐标为 ______．10．向量OA(k，12) ， OB (4，5) , OB (10， k) 若A、B、C三点共线，则k＝ ______．三、解答题11．已知梯形ABCD 中，AB2DC ，M，N分别是DC，AB的中点．设 AD a，AB b 选择基底 { a，b} ，求向量DC，NM在此基底下的分解式．12．已知向量a＝( 3，－2)，b＝(－2，1)， c＝( 7，－4)，( 1) 证明：向量a， b 是一组基底；( 2) 在基底 { a，b} 下，若c＝ x a＋ y b，求实数x， y 的值．13．已知向量a＝( 1，2)， b＝(－3，x)．若 m＝2a＋ b， n＝ a－3b，且 m∥ n，求实数x的值并判断此 m 时 n 与的方向相同还是相反．14．已知点O( 0，0) ， A( 1， 4) ，B( 4，－ 2) ，线段 AB 的三等分点C，D ( 点 C 靠近 A) ．OC2OD平面向量的数量积及其运算律一、选择题1．若｜ a ｜＝ 4， | b ｜＝ 3，〈a ， b 〉＝ 135°，则 a 2 b ＝ ( )(A)6( B)(C)6 2 (D) 622．已知 | a ｜＝ 8， e 为单位向量，〈 a ， e 〉2π，则 a 在 e 方向上的正射影的数量为 ( )3(A)4 3(B)4(C) 43(D)－4 3．若向量 a ， b ， c 满足 a 2 b ＝ a 2 c ，则必有 ()( A ) a ＝ 0( B) b ＝ c( C) a ＝0 或 b ＝ c ( D ) a ⊥ ( b － c )4．若｜ a ｜＝ 1，｜ b ｜＝ 2，且 ( a ＋ b ) ⊥ a ，则〈 a ， b 〉＝ ()( A) 30° ( B) 60°( C) 120° (D)150°5．平面上三点 A ，B ，C ，若 | AB | 3，|BC | 4，|CA | 5，则 AB BC BC CA CA AB＝ ( )A ．25 ( B) －25(C)50(D)－50二、填空题6．已知 a 2 b ＝－ 4， a 在 b 方向上的正射影的数量为－8，则在｜ a ｜和 | b | 中，可求出具体数值的是 ______，它的值为 ______．7．已知 a ， b 均为单位向量， 〈 a ， b 〉＝ 60°，那么｜ a ＋ 3b | ＝ ______． 8．已知｜ a ｜＝ 4，｜ b | ＝ 1，| a － 2b | ＝ 4，则 cos 〈a ， b 〉＝ ______．9．下列命题中，正确命题的序号是______．( 1) ｜ a ｜ 2＝a 2；( 2) 若向量 a ， b 共线，则 a 2 b ＝｜ a ｜｜ b | ；( 3)( a 2 b ) 2＝ a 22 b 2；( 4) 若 a 2 b ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0( 5)( a －b ) 2 ( a ＋b ) ＝｜ a ｜ 2－| b | 2；10．设向量 a ， b ， c 满足 a ＋ b ＋c ＝ 0， ( a －b ) ⊥ c ， a ⊥b ．若｜ a ｜＝ 1，则 | a ｜ 2＋｜ b ｜2＋｜ c | 2的值是 ______. 三、解答题11．已知｜ a ｜＝ 5，｜ b ｜＝ 4，〈a ， b 〉π，求 ( a ＋ b ) 2 a 和｜ a ＋ b ｜．312．向量 a ， b 满足 ( a － b ) 2 ( 2a ＋ b ) ＝－ 4，且 | a | ＝ 2，｜ b ｜＝ 4，求〈 a ，b 〉．13．已知 O 为△ ABC 所在平面内一点，且满足(OB OC) (OB OA) 0 ，试判断△ ABC的形状．14．已知向量 a ， b 满足：｜ a ｜＝ 1，｜ b | ＝ 2，| a － b | ＝ 7 ．( 1) 求｜ a － 2b ｜； ( 2) 若 ( a ＋ 2b ) ⊥( k a － b ) ，求实数 k 的值．向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1．已知 a ＝ ( － 4， 3) ， b ＝ ( 5，6) ，则 3a 2－4a 2 b ＝()(A)83(B)63(C)57(D)232．已知向量 a ( 3, 1) ， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b3 ，则 b ＝()(A)(3, 1) (B) (1,3 ) (C) (1,3 3) ( D)( 1，0)2222443．在△ ABC 中， A( 4， 6) ， B( － 4，10) ， C( 2， 4) ，则△ ABC 是 ( )( A ) 等腰三角形( B) 锐角三角形( C) 钝角三角形( D ) 直角三角形4．已知 a ＝ ( 0， 1) ，b ＝ ( 1，1) ，且〈 aπ的值为( )b ,a 〉，则实数2(A)－1(B)0(C)1(D)25．已知 a ＝ ( 1， 2) ，b ＝ ( － 2，－ 4) ， | c |5 ，若 (ab )c 5 )，则〈 a ， c 〉＝ (2( A) 30°( B) 60°( C) 120°(D)150°二、填空题，b 〉＝．若a ＋ ＝ ( － ，－1) ， － ＝，－ ，则＝，〈 a ______ ．6 b 2 a b ( 4 3) a 2 b ______7．向量 a ＝ ( 5， 2) 在向量 b ＝( － 2， 1) 方向上的正射影的数量为 ______． 8．在△ ABC 中， A( 1， 0) ， B( 3， 1) ， C( 2， 0) 则∠ BCA ＝ ____________． 9．若向量 a 与 b ＝ ( 1， 2) 共线，且满足 a 2 b ＝－ 10，则 a ＝ ______．10．已知点 A( 0，3) ，B( 1，4) ，将有向线段 AB 绕点 A 旋转角π到 AC 的位置，则点C 的2坐标为 ______. 三、解答题11．已知 a ＝ ( － 3，2) ，b ＝ ( 1，2) ，求值： | a ＋ 2b ｜，( 2a － b ) 2 ( a ＋b ) ，cos 〈a ＋ b ，a － b 〉．12．若 |a |2 13 , b ＝ ( － 2， 3) ，且 a ⊥ b ，求向量 a 的坐标．13．直角坐标系 xOy 中，已知点 A( 0，1) 和点 B( －3， 4) ，OC 为△ AOB 的内角平分线，且OC 与 AB 交于点 C ，求点 C 的坐标．14．已知 k Z ，AB ( k ，1)，AC ( 2，4)，| AB | 4 ，且△ ABC 为直角三角形， 求实数 k 的值．用心爱心专心测试十二向量的应用Ⅰ学习目标1．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量的方法解决物理中简单的力学和速度问题；能将物理问题转化为数学问题，同时会用建立起来的数学模型解释相关的物理问题．Ⅱ基础性训练一、选择题1．作用于原点的两个力f1＝( 1，1)， f2＝( 2，3)，为使它们平衡，需要增加力f3，则力 f3 的大小为 ( )( A)( 3，4) ( B)( －3，－ 4)( C) 5 (D)252．在水流速度为自西向东，10 km / h 的河中，如果要使船以10 3 km/ h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小和方向( )( A ) 北偏西 30°， 20 km/ h( B ) 北偏西 60°， 20 km / h( C) 北偏东 30°， 20 km/ h( D ) 北偏东 60°， 20 km / h3．若平行四边形ABCD 满足| AB AD | | AB AD |，则平行四边形ABCD 一定是 ( )(A)正方形(B)矩形(C)菱形(D)等腰梯形4．已知□ABCD 对角线的交点为O，P 为平面上任意一点，且PO =a，则PA PB PC PD ＝ ( )( A ) 2a ( B) 4a ( C) 6a ( D ) 8a5．已知非零向量AB与 AC满足(AB AC)BC 0且 AB.AC 1|AB | |AC | |AB| |AC| 2，则△ ABC为 ( )( A ) 三边均不相等的三角形( B ) 直角三角形( C) 等腰非等边三角形( D ) 等边三角形二、填空题6．自 50 m 高处以水平速度10 m/ s 平抛出一物体，不考虑空气阻力，则该物2s 时的速度的大小为 ______，与竖直向下的方向成角为，则tan＝______( g＝10 m/ s2)．7．夹角为 120°的两个力f1和 f2作用于同一点，且｜ f 1|＝｜ f2｜＝m( m＞0)，则 f1和 f2的合力 f 的大小为______， f 与 f2的夹角为____________．8．正方形ABCD 中， E，F 分别为边DC ， BC 的中点，则cos∠ EAF ＝ ____________．9．在△ ABC 中，有命题：①AB AC BC ；②若 ( AB AC) ( AB A C )0 ，则△ABC 为等腰三角形；③AB BC CA=0；④若 AB BC 0 ，则为△ABC锐角三角形．上述命题中正确的是____________( 填上你认为正确的所有序号)三、解答题10．水平电线AB 对竖直电杆BD 的拉力为300 N，斜拉索BC 的拉力为600 N，此时电杆恰好不偏斜，求斜拉索与地面成角的大小以及由此引起的电杆对地面的压力( 电杆自重不计)．11．某运动员在风速为东偏北60°， 2 m/ s 的情况下正在以 10 m/ s 的速度向东跑．若风停止，运动员用力不变的情况下，求该运动员跑步速度的大小和方向．12．对于平行四边形ABCD ，点 M 是 AB 的中点，点N 在 BD 上，且BN 1 BD．用向量3的方法证明：M， N， C 三点共线．Ⅲ拓展性训练13．在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，且 CA＝ CB， D 是 CB 的中点， E 是 AB 上一点，且AE＝2EB．求证： AD ⊥ CE．14．如图，已知点A( 4， 0) ， B( 4，4) ， C( 2， 6) ，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标．测试十三平面向量全章综合练习一、选择题1．向量( AB MB) (BO CB) OM 化简后等于( )(A) AC (B) BC ( C) AB (D) AM2．点 A 的坐标为 ( 1，－ 3) ，向量AB的坐标为 ( 3，7) ，则点 B 的坐标为 ( ) ( A)( 4，4) ( B)( －2，4) ( C)( 2， 10) ( D)( －2，－ 10)3．已知向量a＝ ( －2， 4) ，b＝ ( － 1，－ 2) ， c＝( 2，3)，则( a＋ b) 2 ( a－ c)的值为( )(A)10 (B)14 ( C) －10 (D)－144．已知向量a＝ ( 2，t) ，b＝ ( 1， 2) ．若 t＝ t1时，a∥b； t＝ t 2时，a⊥b，则 ( ) ( A ) t1＝－ 4， t2＝－ 1 ( B ) t1＝－ 4， t2＝ 1( C) t1＝ 4， t2＝－ 1 ( D ) t1＝ 4， t2＝ 15．若点 O 是△ ABC 所在平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA ，则点O是△ABC 的 ( )( A ) 三个内角的角分线的交点( B ) 三条边的垂直平分线的交点( C) 三条中线的交点( D ) 三条高线的交点二、填空题6．河水的流速为 2 m/ s，一只小船想要以垂直于河岸方向10 m/ s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度的大小应为______________．7．数轴上的点A，B，点 A 的坐标为－ 3，且向量AB的长度为5，则点 B 的坐标为 ______．8．已知p＝ ( － 2， 2) ，q＝ ( 1，3) ，则p在q方向上的正射影的数量为______．9．已知向量a＝( 2，3)， b＝(－1，2)，若( a＋b)⊥( a＋ b)，则实数＝______．10．给出下列命题：①a b b; a2a②｜ a|－｜ b|＜｜ a－ b｜；③ |a2b|＝|a｜｜b|；④ ( b2 c) a－ ( c2 a) b与c垂直；⑤已知 a，b 是非零向量，若| a＋ b|＝｜ a－ b｜，则a⊥ b；a2＝ b2．⑥已知 a， b 是两个单位向量，则所有正确的命题的序号为____________ ．三、解答题11．已知点A( － 2， 1) ， B( 1，3) ．求线段 AB 中点 M 和三等分点P， Q 的坐标．12．已知 | a｜＝ 2， | b｜＝ 4，〈a，b〉2π．求｜a－b｜和〈a，a－b〉的余弦值．313．已知向量a＝( 1，2)， b＝( x，1)．( 1) 求与 a 垂直的单位向量的坐标；( 2) 求｜ b－2a｜的最小值以及此时 b 的坐标；( 3) 当 x 为何值，a＋ 2b与b－ 2a平行，并确定它们此时是同向还是反向．14．如图，以原点O 和 A( 5，2) 为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠ B＝ 90°．求点 B 的坐标和 AB 的坐标．参考答案第二章平面向量测试七向量的线性运算 ( 一 )一、选择题1．D 2．C 3．C 4．B 5．C二、填空题6．③7．“东偏北 60°， 6 km”或“北偏东30°， 6 km ” 8． 10 km / h 5 3 km/ h9．b－a；a＋b10．0三、解答题11．解： ( 1) CD；( 2) 原式＝(AB BC CD) DA AD DA ＝0．12．解： ( 1) MP NQ OB ；( 2) OP,OQ,OA；( 3) ON,PQ ；( 4)|OM | | ON | 3 213．解：AB a, BC b, AC c ，所以DB a b，BE AC c, DE DB BE a b c ，｜ a－ b＋ c｜＝2．14．解：设AB a, AD b ，做□ABCD．则 AC a b, DB a b ，可得 AC BD 5 ，所以□ABCD为矩形，|b | | AD | 52 32＝4．测试八 向量的线性运算 ( 二 )一、选择题1．D 2．D 3．A 4． B 5． A二、填空题6． 3a － 2b 7．a 8．－ 4； 6 9． a 3b 10． 1 b 1a| a |244三、解答题11．答： AD2 a 1b .33712．略解：化简得 9a ＝ 7b ，即 ab ，所以 a ∥ b ；｜ a ｜∶｜ b ｜＝ 7∶ 9．91，λ＝ 113．略解：由题意，得｜ a ｜＝｜ λ｜｜ b ｜，∴ ｜ λ｜＝，22｜ a － b ｜＝｜ λ－ 1｜｜ b ｜＝ 2｜ λ－ 1｜＝ 1 或 3．14． (1) 证明：∵ BDCD CB 2a 4b ，∴ BD 2 AB ，∴ AB // BD ，因为二者均经过点 B ，所以 A ， B ， C 三点共线． (2)证明：∵ a 与 b 共线，设 a ＝ λb ，∴ BD ( 2 4)b , CD (7 2)b∵CD0, BD 0 ∴7λ－ 2≠0， 2λ＋ 4≠0．∴ BD 24CD ，7 2∴ BD // CD ，所以 B ， C ， D 三点共线，又 A ，B ， D 三点共线．所以 A ， B ，C ， D 四点共线．测试九 向量的分解与向量的坐标表示一、选择题1．B 2． B 3．A 4．D 5．D 二、填空题6．( 1,1)7．( 1, 3) 8． t2 9．( －2，1) 10．－ 2 或 112 223三、解答题11．答： DC1b ; NM a1b ．2412． ( 1) 证明：∵32 ，∴ a 与 b 不平行，所以向量 a ， b 是一组基底．213x 2 y 7,x 1, ( 2) 略解： ( 7，－ 4) ＝ x( 3，－ 2) ＋ y( － 2， 1) ，y4,所以2.2x y13．略解： m ＝( － 1， 4＋x) ， n ＝( 10， 2－ 3x) ，因为 m ∥ n ，所以－ ( 2－ 3x) － 10( 4＋ x) ＝0， x ＝－ 6，此时 m ＝ ( － 1，－ 2) ， n ＝ ( 10， 20) ，有 n ＝－ 10m ，所以 m 与 n 方向相反．14．略解： ( 1) OC OA AC OA 1(1,4)1(2,2) ．AB (3, 6)3 3OD OA AD OA 2AB (1,4)2(3, 6) (3,0) ．3 3( 2) OC 2OD ( 2,2) 2(3,0) (8,2) ．OE OB OC 2OD ( 4, 2) (8,2) (12,0) ．测试十平面向量的数量积及其运算律一、选择题1．D 2．D 3．D 4．C 5．B二、填空题6．｜b｜； 1 7．13 8．19．①⑤10． 42 4提示：10．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b，又 ( a－b) ⊥c，∴ (a－b) 2 (－a－b)＝0，2 2∴－｜ a｜－ a2 b＋a2 b＋｜ b｜＝0，∴｜b｜＝｜a｜＝1．又 c＝－ a－ b，222 2 ∴｜ c｜＝｜－ a－ b｜＝(－ a－ b) 2 (－ a－ b)＝｜ a｜＋2a2 b＋｜ b｜＝2．另外，可以结合图示，分析解决问题．三、解答题11．解：a2 b＝ 10， ( a＋b) 2 a＝a2＋a2 b＝ 35，|a b | ( a b) 2 a 2 2a b b2 61 .12．解：由题意得2a 2－a2 b－b2＝－ 4，所以 2a2－a2 b－b2＝－ 4，得a2 b＝－4，cos 〈a，b〉 a b 1, 〈a，b〉＝120°| a || b | 213．略解：因为(OB OC) (OB OA) 0 ，所以CB AB=0，从而CB AB ，△ABC 为直角三角形．14．略解： ( 1) ｜a－b｜2＝a2－ 2ab＋b2＝ 7，所以a2 b＝－ 1，｜ a－2b｜2＝ a2－4ab＋4b2＝21，即|a2b | 21．( 2) 由已知得 ( a＋ 2b) 2 ( k a－b) ＝ 0，即 k a2－ab＋ 2k ab－ 2b2＝ 0，得 k＝－ 7．测试十一向量数量积的坐标运算与度量公式一、选择题1．A 2．B 3．D 4．A 5．C提示：5．设c＝ ( x，y) ，由 | c | 5 ，得x2＋y2＝5,,①，由 ( a b ) c55 5，得 ( 1, 2) ( x, y)，∴ x 2 y,, ②222由①②解得 c( 1 3, 13) ，或 c ( 1 3, 13) ．22 2213) 时， cos 〈a c5 1 ， 当c (3, 1， 〉222a c5 52|a || c |∴〈 a ，c 〉＝ 120°，另一种情况，计算结果相同．二、填空题6．－ 5； 135° 7． 8 510． ( － 1，4) 或 ( 1，2)58．135° 9． ( － 2，－ 4)提示：10．设 C( x ， y) ，则 AB(1,1), AC ( x, y 3) ，由 AC ⊥ AB 得， AB AC 0 ，即 x ＋ y － 3＝ 0,, ①又 | AB | AC ， ∴ 2＝ x 2＋ ( y － 3) 2,, ②． 结合①②，解得，x 1,x 1y 或y 4 ∴ C( 1， 2) 或 C( －1，4) ．2,三、解答题11．答： |a 2b |37 ；( 2a － b ) 2 ( a ＋ b ) ＝22； cos a b , ab 55.12．解：设 a ＝ ( x ，y) ，则2x 3 y 0 x 6 x6 x2y252，解得：y 4 或，所以 a ＝( 6，4) 或y 4a ＝ ( －6，－ 4) ．13．解：设 C( x ， y) ，则 OC( x, y) ，由已知可得： 〈 OA,OC 〉＝〈 OB, OC 〉AC // ABx y 113 则，所以，解得OC OCOB OC 3 4 x, y，2yxy2|OA ||OB|55所以 C( 1, 3)．2 214．解：由 | AB |4 得 k 2≤ 15，∵ k ∈ Z ，∴ k ＝－ 3，－ 2，－ 1， 0， 1， 2，3，·2k 4 0 所以 k ＝－ 2；当 A ＝ 90°时， AB ACAB ·BC 0，BC （2 - k ，3）当 C＝ 90°时，，所以 2( 2－ k) ＋12＝ 0， k＝ 8( 舍 ) ．AC·BC 0，BC （2 - k，3）综上 k＝－ 1 或－ 2 或 3．测试十二向量的应用一、选择题1．C2．A3．B4．B5．D提示：ABm, AC5．设n ，则｜m｜＝｜n｜＝1，|AB| |AC|由已知 (m n) BC 0 ．∴ m BC n BC，∴ m BC cos(x B)n BC cos C ∴c osB＝ c osC，又B、C∈( 0，)∴B＝ C．又由已知 m n 1，2∴ m n cos A 1 2∴ cos A 1，又（0，π）2∴A＝ 60°∴△ ABC 为等边三角形．二、填空题18．46. 10 5m/s;7． m， 60°，9．②③2 5三、解答题10．答：＝ 60°；300 3N．11．解：如图，建立平面直角坐标系，作□ABCD，设|OC | 2,| OB | 10，则C( 1，3 )，B( 10， 0) ，CB (9, 3)，得 |CB| 2 21 9.17m/s，tan AOB3．9由计算器计算得∠ AOB≈ 10. 89°．该运动员跑步速度的大小为9. 17 m/ s，方向为东偏南约10. 89°．MN // MC量，再证明二者具有关系 MN MC 即可．设AB e 1 ， AD e 2 ，则 BDe 1 e 2 ， BN1e 1 1e 2 ．3 3MC1e 1 e 2 ， MN MB BN 1e 1 ( 1e 11e 2 ) 1 e 1 1e 2 ．22 33 6 3所以 MN1MC ，所以 M ， N ，C 三点共线．313．证明：设此等腰直角三角形的直角边长为a ，AD CE( AC CD) (CA AE) AC CA AC AECD CA CD AE|AC|2| AC || AE | cos45 0 |CD || AE |cos45a 22 a 21 a 20 所以 AD ⊥ CE ．33或以点 C 为原点， CA ， CB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则 A( a ， 0) ， D (0, 1 a), E(1 a, 2a), AD ( a, 1 a), CE ( 1 a, 2a),23 3233可得出 AD CE1 a2 1 a 20 ，所以 AD ⊥CE ．3 314．解：设 P( x ， y) ，则 OP (x, y) ， OB ＝ ( 4， 4) ，由 OP,OB ，共线得 4x －4y ＝ 0，,, ①，AP ( x 4, y) ， AC ＝ ( － 2， 6) ，由 AP, AC 共线得 6( x － 4) － y( － 2) ＝0,, ②，由①②解得， P( 3， 3) ．测试十三 平面向量全章综合练习一、选择题 1．A2．A3．B4．C5．D二、填空题6． 2 26m/s7．－8 或 2 2 109．1710．④⑤⑥8．59三、解答题11．解： ABOB OA (3,2) ，OM1(OB OA) ( 1,2),所以 M (1,2)，2 22OPOA1AB (1, 5) ，所以 p( 1, 5), OQ OA 2AB (0, 7) ，3 3 33 3 7所以 Q(0, ) ．2 7 ， cos 〈 a ， a -b 〉2712．答：｜ a -b ｜7.13．略解： ( 1) 设单位向量为 e ＝ k( － 2， 1) ＝ ( － 2k ， k) ，因为 | e | ＝ 1，得 k55，2 5 52 5 5e (5 , 5 ) 或 e ( 5 , 5 ) ．(2)|b 2 | ( x 2) 29 ，当 x ＝ 2 时， | b － 2a ｜最小值为 3，此时 b ＝ ( 2，1) ．a ( 3) x 1 ，反向．214．解：设 B( x ， y) ，则 AB( x 5, y 2), OBAB OB 0(x, y) ，由已知得，| AB| |OB|x( x5) y( y 2) 0x 3x2 7所以，解得 2 或 2 ，x2y2( x 5)21( y 2)2y 1 7 y 2 32 2 所以 B(3,7)或 B(7,3)，AB ( 3, 1)或 AB ( 7,3)，222 22 22 2用心 爱心 专心。

所以a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－3×5＋4×(－12)＝－63.
答案：－63
9．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解析：①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
解析：(1)由|3a－b|＝ ，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝ .因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，
所以|a＋3b|＝ .
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝ ，
所以cosθ＝ ＝ ＝ ，
故 · ＝( ＋ )·
＝ ·( － )
＝ ·( － )
＝ · ＋ －
＝ | || |cos 120°＋ | |2－ | |2
＝ ×2×1× ＋ ×1－ ×22＝－ .
答案：－
8．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，i，j为相互垂直的单位向量，那么a·b＝________.
解析：将两已知等式相加得，2a＝－6i＋8j，所以a＝－3i＋4j.同理将两已知等式相减得，b＝5i－12j，而i，j是两个互相垂直的单位向量，
1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．2B．－2
C．4D．－4
解析：记向量a与b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ＝－12，即6×3cosθ＝－12，所以cosθ＝－ ，所以a在b方向上的投影为|a|cosθ＝6× ＝－4.

§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法,)1．问题导航(1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗？(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何不同？2．例题导读教材P77例1，例2，P78例3.通过此三例的学习，熟悉向量加法运算，学会利用向量加法解决实际生活问题．试一试：教材P81习题2－2 B组T1，T2，T3你会吗？1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知向量a，b，在平面内任取一点A 作法作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→结论向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→图形平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O 作法以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB 结论对角线OC→就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a. 2．向量加法的运算律运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( )(2)|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是a ∥b .( )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) 解析：(1)正确．根据向量和的定义知该说法正确． (2)错误．条件应为a ∥b ，且a ，b 的方向相同．(3)错误．当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线． 答案：(1)√ (2)× (3)×2．若a ，b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析：选B.因为a 与b 方向相反，|a |<|b |，所以a ＋b 与a 的方向相反，故B 不正确． 3．化简下列各向量： (1)AB →＋BC →＝________． (2)PQ →＋OM →＋QO →＝________．解析：根据向量加法的三角形法则及运算律得： (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)PQ →＋OM →＋QO →＝PQ →＋QO →＋OM →＝PO →＋OM →＝PM →.答案：(1)AC → (2)PM →4．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 答案：01．对向量加法的三角形法则的四点说明 (1)适用X 围：任意向量．(2)注意事项：①两个向量一定首尾相连；②和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点． (3)方法与步骤：第一步，将b (或a )平移，使一个向量的起点与另一个向量的终点相连； 第二步：将剩下的起点与终点用有向线段相连，且有向线段的方向指向终点，则该有向线段表示的向量即为向量的和．也称“首尾相连，连首尾”．(4)图示：如图所示2．对向量加法的平行四边形法则的四点说明 (1)适用X 围：任意两个非零向量，且不共线．(2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的起点； ②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量．(3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量a 与b 的起点平移到同一点； 第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为a 与b 的和．(4)图示：如图所示已知向量作和向量如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b ＋c .(教材P 81习题2－2 A 组T 3)[解] 法一：如图(1)，在平面内作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ；再作BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .法二：如图(2)，在平面内作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 与OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD →＝a ＋b ；再作OC →＝c ，以OD 与OC 为邻边作平行四边形ODEC ，则OE →＝a ＋b ＋c .方法归纳已知向量求作和向量的方法(1)用三角形法则，在平面内任取一点，顺次作两个向量等于已知向量，从起点到终点的向量就是两个向量的和．(2)用平行四边形法则，在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以它们为邻边作平行四边形，共起点的对角线对应的向量就是这两个向量的和．1．(1)如图所示，已知向量a 和b ，求作a ＋b .(2)如图，已知a ，b ，c 三个向量，试求作和向量a ＋b ＋c .解：(1)法一：(三角形法则)如图所示．①在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ；②连接OB ，则OB →＝a ＋b .法二：(平行四边形法则)如图所示．①在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；②以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b .(2)作出来的和向量如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →即为所求．向量的加法运算(1)下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．① D ．③(2)设A ，B ，C ，D 是平面上任意四点，试化简： ①AB →＋CD →＋BC →； ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →.(教材P 81习题2－2A 组T 5(1)(2))[解] (1)选B.由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确．(2)①AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →＝(DB →＋BD →)＋(AC →＋CA →)＝0＋0＝0.方法归纳向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．2．(1)在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → (2)化简下列各式： ①(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝________． ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________．解析：(1)因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.(2)①(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →＋0＝AD →. ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝(AB →＋BC →)＋(DF →＋FA →)＋CD →＝AC →＋DA →＋CD →＝(AC →＋CD →)＋DA →＝AD →＋DA →＝0.答案：(1)C (2)①AD →②0向量加法的应用(1)已知图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ，则F 1与F 2的合力大小为________N ；方向为________．(2)如图是中国象棋的部分棋盘，“马走日”是象棋中“马”的走法，如果不从原路返回，那么“马”从A 经过B 再走回到A 最少需几步？(教材P 77例1，例2，P 78例3) [解](1)如图，根据向量加法的平行四边形法则，得合力F 1＋F 2＝OC →.在△OAC 中，|F 1|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°，所以∠OCA ＝90°，|OC →|＝123， 所以F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为竖直向上．故填123和竖直向上．(2)如图，如果不从原路返回，那么所走路线为A →B →C →D →A ，即AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，所以最少需四步．本例(2)条件不变，若不限步数，那么“马”从A 经过B 再走回A 时，所走的步数有什么特点？解：若不限步数，则“马”从A 经过B 再走回A 时，不论如何走，均需走偶数步，且不少于四步．方法归纳向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．3．(1)若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．(2)如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：(1)设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b .又因为|OA →|＝8，|OB →|＝8，所以|OC →|＝|a ＋b |＝8 2. 又因为∠AOC ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.故填82和北偏东45°.(2)设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2 ＝8002＋8002＝8002(km)．易错警示未能正确理解向量加法致误小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h.[解析] 如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.[答案] 20[错因与防X] (1)解答本题，易将船的实际速度当成河水的流速与静水速度之和，导致得不到正确的实际航速关系式而出错．(2)①向量的和一般不能直接用模作和；要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和；②船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接某某际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求速度的大小．4．(1)一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3 h ，该船的实际航程为________km.(2)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：(1)由题意，如图，OA →表示水流速度，OB →表示船在静水中的速度，则OC →表示船的实际速度．因为|OA →|＝2，|OB →|＝4，∠AOB ＝120°，则∠CBO ＝60°， 又因为∠AOC ＝∠BCO ＝90°，所以|OC →|＝23，所以船的实际航行速度为2 3 km/h ，则实际航程为23×3＝63(km)．故填6 3. (2)作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中， |CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ，所以cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，所以α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向．1．已知下面的说法：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a 或b 的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B.①当a ＋b ＝0时，不成立；②说法正确；③当A ，B ，C 三点共线时，也可以有AB →＋BC →＋CA →＝0，故此说法不正确；④当a ，b 共线时，若a ，b 同向，则|a ＋b |＝|a |＋|b |；若a ，b 反向，则|a ＋b |＝||a |－|b ||；当a ，b 不共线时，|a ＋b |<|a |＋|b |，故此说法不正确．2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A.FD →＋DA →＝FA →B.FD →＋DE →＋FE →＝0C.DE →＋DA →＝EB →D.DA →＋DE →＝FD →解析：选A.如题图，可知FD →＋DA →＝FA →， FD →＋DE →＋FE →＝FE →＋FE →≠0， DE →＋DA →＝DF →，故A 正确．3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D.2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( )A.BD →B ．DB → C.BC →D ．CB →解析：选C.BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.3．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.4．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG →C.FO →D ．EO →解析：选C.设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.5．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( ) ①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |； ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．③④⑤解析：选C.因为(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →) ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝a ＝0. 所以a∥b ，a ＋b ＝b ，即①③正确，②错误，而a ＝0时，|a ＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，故④错误，⑤正确． 6．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角． 解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角． 答案：|a |＝|b |7．矩形ABCD 中，|AB |＝3，|BC →|＝1，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度等于________． 解析：因为ABCD 为矩形，所以AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →＝AC →＋AC →，如图，过点C 作CE →＝AC →，则AC →＋AC →＝AE →，所以|AB →＋AD →＋AC →|＝|AE →|＝2|AC →|＝2|AB →|2＋|BC →|2＝4. 答案：48．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________(图形)．解析：如图所示，BC →＋BA →＝BD →，BC →＋AB →＝AC →， 又|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，所以|BD →|＝|AC →|，则四边形ABCD 是矩形． 答案：矩形9．如图所示，P ，Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明：AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，所以AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.因为PB →与QC →大小相等，方向相反，所以PB →＋QC →＝0， 故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →. 10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30°＝150 3 N ，|OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[B.能力提升] 1．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同的点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选B.根据所给的四个向量的和是一个零向量，即MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0.当A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B.2．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝( )A.3B ．3C ．23D ．3 3解析：选D.在平面内任取一点O ，作向量OA →，OB →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →.由题意知四边形OACB 为菱形，又∠AOB ＝60°，所以|OC →|＝2×3×sin 60°＝3 3.3．已知G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________．解析：如图，连接AG 并延长交BC 于E ，点E 为BC 中点，延长AE 到D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC→＝GD →，GD →＋GA →＝0，所以GA →＋GB →＋GC →＝0.答案：04．若|AB →|＝10，|AC →|＝8，则|BC →|的取值X 围是________．解析：如图，固定AB →，以A 为起点作AC →，则AC →的终点C 在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上，由图可见，当C 在C 1处时，|BC →|取最小值2，当C 在C 2处时，|BC →|取最大值18.答案：[2，18]5．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km ，然后又向西行驶2 km ，你知道此船在整个过程中的位移吗？解：如图，用AC →表示船的第一次位移，用CD →表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知AD →＝AC →＋CD →，所以AD →可表示两次位移的和位移．由题意知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC ＝1，AB ＝ 3. 在等腰△ACD 中，AC ＝CD ＝2， 所以∠D ＝∠DAC ＝12∠ACB ＝30°， 所以∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ＝23，所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小为2 3 km.6．(选做题)在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12.求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.解：因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，所以OA →＝CO →，OB →＝DO →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →|＝1，知四边形ABCD 为菱形．因为cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， 所以∠DAB ＝π3，所以△ABD 为正三角形， 所以|DC →＋BC →|＝|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2|AO →|＝ 3.|CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.。