高二数学 上学期平面区域问题例题解析
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高二数学 上学期平面区域问题知识点分析
在直角坐标平面内，直线l 可以用二元一次方程Ax +By +C =0来表示，点P (x 0,y 0)在直线l 上的充要条件是Ax 0+By 0+C =0；若点P 不在直线l 上，则Ax 0+By 0+C ＞0或Ax 0+By 0+C ＜0，二者必居其一.
直线l ：Ax +By +C =0将平面划分为两个半平面Ax +By +C ＞0和Ax +By +C ＜0，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式.要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如取原点或坐标轴上的点来检验.另外，还可证明如下结论：
（1）若A ＞0，则Ax +By +C ＞0表示直线l :Ax +By +C =0右侧的半平面，Ax +By +C ＜0表示直线l 左侧的半平面.
（2）若B ＞0，则Ax +By +C ＞0表示直线l :Ax +By +C =0上方的半平面，Ax +By +C ＜0表示直线l 下方的半平面.
［例1］在直角坐标平面上有两个区域M 和N .M 是由y ≥0，y ≤x 和y ≥z -x 这三个不等式确定的.N 是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t +1的确定，t 的取值范围是0≤t ≤1.设M 和N 的公共面积是函数f (t )，求证：f (t )=-t 2+t +2
1.
导析：这是一个基本问题，关键是确定M 和N 的公共部分的形状.可先让学生自行画出M 、N 这两个区域，然后再作判断.
如图所示，依题意，区域M 是图中△AOB ,区域N 是直线x =t 与x =t +1(0≤t ≤1)之间的带形域.M 和N 的公共部分为图中的阴影部分五边形ACDEF （包括边界）.
关于五边形ACDEF 面积的计算，可引导学生从下面三个途径去考虑：
（1）△AOB 的面积减去Rt △ODC 、Rt △BEF 的面积；
（2）过A 作x 轴的垂线，将其划分为两个直角梯形来计算；
（3）连结CF ，将其划分为一个直角三角形CAF 和一个直角梯形CDEF 去求解.
［例2］已知实数x 、y 满足2x +y ≥1，求u =x 2+y 2+4x -2y 的最小值.
导析：注意到所求式的结构特点，学生容易想到将其作如下的配方变形.
u =(x +2)2+(y -1)2-5
显然，(x +2)2+(y -1)2表示点P （x ,y )与定点A （-2,1)的距
离的平方.
由约束条件2x +y ≥1知，点P （x ，y ）在直线l ：2x +y =1
的右上方区域G .
于是，问题转化为求定点A （-2，1）到区域G 的最近距离.
由图知，点A 到直线l 的距离为A 到区域G 中点的距离的
最小值.
d =541211)2(222=+-+-⋅
∴d 2=5
16. 故u m in =d 2-5=-5
9. 说明：这是一个条件最值问题，由于所求式呈现出两点间距离的特点，所以我们应用了等价转化的思想，应用解析法使问题得到巧妙地解决.
［例3］设实数x 、y 满足不等式组
⎩⎨⎧-≥+≤+≤.
322,41x y y x （1）求点(x ,y )所在的平面区域；
（2）设a ＞-1，在（1）所求的区域内，求函数f (x ,y )=y -ax 的最值.
导析：必须使学生明确，求点(x ,y )所在的平面区域，关键是确定区域的边界线，可从去掉绝对值符号入手.
（1）已知的不等式组等价于
⎪⎩
⎪⎨⎧<--≥+≤+≤⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+≤+≤.032,232,41.032,322,41x x y y x x x y y x 或
解得点（x ,y )所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界）.其中，
AB :y =2x -5;BC :x +y =4;
CD :y =-2x +1;DA :x +y =1.
（2）f (x ,y )表示直线l ：y -ax =k 在y 轴上的截距，且直线l 与（1）中所求区域有公共点.
∵a ＞-1,
∴当直线l 过顶点C 时，f (x ,y )最大.
∵C 点的坐标为（-3，7），
∴f (x ,y )的最大值为7+3a .
如果-1＜a ≤2，那么当直线l 过顶点A （2，-1）时，f (x ,y )最小，最小值为-1-2a . 如果a ＞2，那么当直线l 过顶点B （3，1）时，f (x ,y )最小，最小值为1-3a .
说明：由于直线l 的斜率为参数a ，所以在求截距k 的最值时，要注意对参数a 进行讨论，方法是将直线l 动起来.。
