江苏省连云港市东海县第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．已知空间一点A的坐标是（5，2，﹣6），P点在x轴上，若PA=7，则P点的坐标是．2．命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．3．圆C1：（x+1）2+（y+1）2=1和圆C2：x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的位置关系是．4．已知点A（﹣1，0），B（1，0），若点C满足条件AC=2BC，则点C的轨迹方程是．5．过点（2，﹣2）的抛物线的标准方程是．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是．7．已知曲线C：y2﹣4x2n=0，则“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．8．椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为．9．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣1，则其渐近线方程为．10．圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是．11．若“（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．12．直线y=﹣x﹣b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是．13．曲线=（2﹣x）的焦点是双曲线C的焦点，点（3，﹣）在C上，则C 的方程是．14．已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=4过坐标原点，则a+b的最大值是．二、解答题（本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．写出命题“若直线l的斜率为﹣1，则直线l在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？16．某企业计划生产A，B两种产品．已知生产每吨A产品需3名工人，耗电4kW，可获利润7万元；生产每吨B产品需10名工人，耗电5kW，可获利润12万元，设分别生产A，B两种产品x吨，y吨时，获得的利润为z万元．（1）用x，y表示z的关系式是；（2）该企业有工人300名，供电局只能供电200kW，求x，y分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？17．已知直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点分别为A，B．（1）求A，B的坐标；（2）点D在x轴上，使三角形ABD为等腰三角形，求点D的坐标．18．设直线l的方程是x+my+2=0，圆O的方程是x2+y2=r2（r＞0）．（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；（2）r=4时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．19．已知双曲线C1：﹣8y2=1（a＞0）的离心率是，抛物线C2：y2=2px的准线过C1的左焦点．（1）求抛物线C2的方程；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，4）是C2上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的中心是O，左，右顶点分别是A，B，点A到右焦点的距离为3，离心率为，P是椭圆上与A，B不重合的任意一点．（1）求椭圆方程；（2）设Q（0，﹣m）（m＞0）是y轴上定点，若当P点在椭圆上运动时PQ最大值是，求m的值．2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．已知空间一点A的坐标是（5，2，﹣6），P点在x轴上，若PA=7，则P点的坐标是（8，0，0）或（2，0，0）．考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：设出P的坐标，利用PA=5，求解即可．解答：解：设P的坐标是（a，0，0），点A的坐标为（5，2，﹣6），PA=7，∴解得a=8或2∴P点的坐标是：（8，0，0）或（2，0，0）故答案为：（8，0，0）或（2，0，0）点评：本题考查空间两点间的距离公式的应用，考查计算能力．2．命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0 ．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．故答案为：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．3．圆C1：（x+1）2+（y+1）2=1和圆C2：x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的位置关系是相交．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两圆的圆心距满足3﹣1＜＜1+3，可得两圆的位置关系．解答：解：由题意可得，圆C2：x2+y2+4x﹣4y﹣1=0可化为（x+2）2+（y﹣2）2=9两圆的圆心距C1C2==，∵3﹣1＜＜1+3，∴两圆相交．故答案为：相交．点评：本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．4．已知点A（﹣1，0），B（1，0），若点C满足条件AC=2BC，则点C的轨迹方程是3x2+3y2﹣10x+3=0 ．考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：先设点C的坐标是（x，y），根据题意和两点间的距离公式列出关系式，再化到最简即可．解答：解：设点C的坐标是（x，y），因为点A（﹣1，0），B（1，0），且AC=2BC，所以，两边平方后化简得，3x2+3y2﹣10x+3=0，所以点C的轨迹方程是：3x2+3y2﹣10x+3=0，故答案为：3x2+3y2﹣10x+3=0．点评：本题考查了动点的轨迹方程的求法，以及两点间的距离公式，考查了计算化简能力．5．过点（2，﹣2）的抛物线的标准方程是y2=2x或x2=﹣2y ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别设焦点在x轴和在y轴上的抛物线的方程，然后将点代入即可．解答：解：①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax，将点（2，﹣2）代入可得a=2，故抛物线的标准方程为y2=2x②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by，将点（2，﹣2）代入可得b=﹣2故抛物线的标准方程为x2=﹣2y故答案为：y2=2x或x2=﹣2y点评：本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键．6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是t＞．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：点在直线上方，点的坐标代入方程，有﹣4﹣3t+6＜0，求出t的取值范围．解答：解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞故答案为：t＞点评：本题考查点与直线的位置关系，是基础题．7．已知曲线C：y2﹣4x2n=0，则“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：设P（x，y）在曲线C：y2﹣4x2n=0上，把点P′（﹣x，y）代入曲线可得证明，解答：解：∵线C：y2﹣4x2n=0，则“n为正奇数”，∴设P（x，y）在曲线C：y2﹣4x2n=0上，把点P′（﹣x，y）代入曲线可得：y2﹣4（﹣x）2n=0，即y2﹣4（x）2n=0成立，∴P′（﹣x，y）点在曲线上，∴曲线C关于y轴对称，根据充分必要条件的定义可判断：“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的充分不必要故答案为：充分不必要点评：本题考查了充分必要条件的定义，点与曲线的位置关系，属于容易题．8．椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为24 ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直以及点P在椭圆上，求出点P的纵坐标，从而计算出△PF1F2的面积．解答：解：由题意得 a=7，b=2 ，∴c=5，两个焦点F1 （﹣5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则由题意得=﹣1，+=1，∴n2=，n=±，则△PF1F2的面积为×2c×|n|=×10×=24，故答案为：24．点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．9．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣1，则其渐近线方程为y=±x ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线的焦点在y轴上，且=1，焦点到渐近线的距离为2，求出a，b，c，即可求出双曲线的渐近线方程．解答：解：∵一条准线方程为y=﹣1，∴双曲线的焦点在y轴上，且=1，∵焦点到渐近线的距离为2，∴=2，∴b=2，∴a=2，c=4∴渐近线方程为y=±x=±x．故答案为：y=±x．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式，属于基础题．10．圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是x2+（y+1）2=13 ．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆心为A（0，b），则=，求出b，即可得出圆的方程．解答：解：设圆心为A（0，b），则=，∴b=﹣1，∴圆的方程是x2+（y+1）2=13．故答案为：x2+（y+1）2=13．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆相切，求出圆心坐标是关键．11．若“（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[0，3] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：求解不等式，利用充分必要条件的定义可判断出，求解即可．解答：解：∵（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，∴a＜x＜a+1，∵1＜2x＜16，∴0＜x＜4，∵若“（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，∴，即0≤a≤3故答案为：[0，3]点评：本题考查了不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．12．直线y=﹣x﹣b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是﹣1＜b≤1或．考点：直线与圆的位置关系；曲线与方程．专题：综合题；数形结合．分析：根据曲线方程可得曲线为一个圆心为原点，半径为1的半圆，根据图形可知，当直线与圆相切时，切点为A，直线与圆只有一个交点；当直线在直线BC与直线ED之间，且与直线BC不能重合，与直线ED可以重合，此时直线与圆也只有一个交点，分别求出各自直线的与y轴的截距的范围即可得出b的范围．解答：解：由题意可知：曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半，则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1，当直线y=﹣x﹣b与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，解得b=﹣；当直线在直线ED与直线BC之间时，直线y=﹣x﹣b与直线ED重合时，b=1，与直线BC重合时，b=﹣1，所以﹣1＜b≤1，综上，b的取值范围为﹣1＜b≤1或b=﹣．故答案为：﹣1＜b≤1或b=﹣点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．13．曲线=（2﹣x）的焦点是双曲线C的焦点，点（3，﹣）在C上，则C 的方程是3x2﹣y2=1 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：=（2﹣x）可化为，焦点为（±1，0），设双曲线方程为，代入点（3，﹣），求出a2=，即可求出C的方程．解答：解：=（2﹣x）可化为，焦点为（±1，0），设双曲线方程为，∵点（3，﹣）在C上，∴，∴a2=，∴C的方程是3x2﹣y2=1．故答案为：3x2﹣y2=1．点评：本题考查双曲线方程，考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=4过坐标原点，则a+b的最大值是2．考点：圆的标准方程；基本不等式．专题：计算题；直线与圆．分析：先确定a2+b2=4，再利用（a+b）2≤2（a2+b2）=8，即可求出a+b的最大值．解答：解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=4过坐标原点，∴a2+b2=4，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=8∴a+b的最大值是2．故答案为：2．点评：本题考查圆的标准方程，考查基本不等式的运用，比较基础．二、解答题（本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．写出命题“若直线l的斜率为﹣1，则直线l在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：集合四种命题之间的关系，分别写出相对应的另外3个命题即可．解答：解：逆命题若直线l在两坐标轴上截距相等，则直线l的斜率为﹣1；该命题是假命题；否命题若直线l的斜率不为﹣1，则直线l在两坐标轴上截距不相等；该命题是假命题；逆否命题若直线l在两坐标轴上截距不相等，则直线l的斜率为不﹣1；该命题是真命题．点评：本题考查了四种命题之间的关系，考查了命题的真与假，是一道基础题．16．某企业计划生产A，B两种产品．已知生产每吨A产品需3名工人，耗电4kW，可获利润7万元；生产每吨B产品需10名工人，耗电5kW，可获利润12万元，设分别生产A，B两种产品x吨，y吨时，获得的利润为z万元．（1）用x，y表示z的关系式是z=7x+12y ；（2）该企业有工人300名，供电局只能供电200kW，求x，y分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？考点：简单线性规划．专题：计算题；应用题；作图题；不等式的解法及应用．分析：（1）由题意写出z=7x+12y；（2）由题意得到不等式组，从而作出可行域，z=7x+12y可化为y=﹣x，从而由几何意义找到最优解，解出最优解代入求最值．解答：解：（1）由题意，z=7x+12y；故答案为：z=7x+12y．（2）根据题意得作出可行域如右图，由解得，记点A（20，24）．当斜率为﹣的直线经过点A（20，24）时，在y轴上的截距最大．此时，z取得最大值，为×12=428（万元）．所以，x，y分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是428万元．点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及简单线性规划问题的处理方法，属于中档题．17．已知直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点分别为A，B．（1）求A，B的坐标；（2）点D在x轴上，使三角形ABD为等腰三角形，求点D的坐标．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）利用方程组可以解得交点A，B的坐标；（2）因为不能确定哪个角是直角，所以需分类讨论，然后利用垂直、模长相等列方程（组）．解答：解：（1）由可得两交点的坐标分别为A （﹣，），B （﹣3，2）．（2）①当DA=DB时，易得直线l的斜率为﹣2，线段AB的垂直平分线的斜率为，中点为（﹣，），所以线段AB的垂直平分线的方程为x﹣2y+5=0．所以点D的坐标为（﹣5，0）．②当DA=BA时，以A 为圆心，AB为半径的圆A的方程为（x+）2+（y﹣）2=．圆A与x轴的交点为（﹣+，0）和（﹣﹣，0）．③当BA=BD时，以B为圆心，AB为半径的圆与x轴无交点．所以，点D的坐标为（﹣5，0）或（﹣+，0）或（﹣﹣，0）．点评：本题考查了直线、圆的交点问题，即利用它们的方程来研究交点问题，结合垂直、距离公式构造方程组求解．18．设直线l的方程是x+my+2=0，圆O的方程是x2+y2=r2（r＞0）．（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；（2）r=4时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（1）只需直线所过的定点在圆内，即可使得m取一切值时，直线与圆都有公共点；（2）显然定点与圆心的连线垂直于直线时，弦长最短，直线过圆心时，弦长为直径最大．解答：解：（1）直线l过定点（﹣2，0），当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点等价于点（﹣2，0）在圆O内或在圆O上，所以．解得．所以r的取值范围是[，+∞）；（2）设坐标为（﹣2，0）的点为点A，则|OA|=2．则当直线l与OA垂直时，由垂径定理得直线l被圆O截得的弦长为；当直线过圆心时，弦长最大，即x轴被圆O截得的弦长为2r=8；所以直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[4，8]．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，抓住圆心到直线的距离和半径，以及直线的特征是解题的关键．19．已知双曲线C1：﹣8y2=1（a＞0）的离心率是，抛物线C2：y2=2px的准线过C1的左焦点．（1）求抛物线C2的方程；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，4）是C2上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）双曲线C1：﹣8y2=1（a＞0）的离心率是，所以a2=，c2=，即可求抛物线C2的方程；（2）求出A，B的坐标，可得直线AB的方程，即可得出结论．解答：解：（1）因为双曲线C1：﹣8y2=1（a＞0）的离心率是，所以a2=，c2=，…（2分）所以抛物线C2：y2=2px的准线方程是x=﹣，所以p=1，抛物线C2的方程是y2=2x．…（4分）（2）不妨设C（8，4），设AC的斜率为k，则直线AC的方程是y﹣4=k（x﹣8），x=代入并整理，得ky2﹣2y+8﹣8k=0，方程的两根是4和﹣4，所以y1=﹣4，x1=，A点的坐标是（，﹣4），同理可得B点的坐标（2（2+k）2，﹣2k﹣4），…（7分）直线AB的斜率k AB=，直线AB的方程是y﹣（﹣2k﹣4）=[x﹣2（2+k）2]，即y=（x﹣10）﹣4，…（9分）直线AB过定点，定点坐标是（10，﹣4）．…（10分）点评：本题主要考查了直线与曲线方程的位置关系及方程思想的转化，方程的根与系数的关系的应用，抛物线的定义的应用．综合的知识的较多，还有具备一定的计算及推理的能力．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的中心是O，左，右顶点分别是A，B，点A到右焦点的距离为3，离心率为，P是椭圆上与A，B不重合的任意一点．（1）求椭圆方程；（2）设Q（0，﹣m）（m＞0）是y轴上定点，若当P点在椭圆上运动时PQ最大值是，求m的值．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用点A到右焦点的距离为3，离心率为，求出a，c，可得b，即可求椭圆方程；（2）求出PQ2=x02+（y0+m）2=﹣（y0﹣3m）2+4m2+4，分类讨论，利用PQ最大值是，求m的值．解答：解：（1）由题意得，解得所以，所求方程为．…（4分）（2）PQ2=x02+（y0+m）2=﹣（y0﹣3m）2+4m2+4，…（6分）①当0＜m≤时，PQ max=2，令2=，得m=；…（8分）②当m＞时，PQ max=m+，令m+=，得m=﹣（舍去）；…（10分）所以m的值是．…（11分）点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．。

江苏省东海高级中学2014—2015学年度第一学期期中考试高二数学试卷（文）满分：160分 时间：120分钟一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1. 不等式x (1－x )≥0的解集为 ．2. 设数列｛a n ｝满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则a 5＝ ．3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b b c c =++，则∠A ＝_________4.｛a n ｝是等差数列，且a 1＋a 7＝30，a 2＋a 8＝26，则a 3＋a 9＝ ．5. 不等式x ＋3x －1≥－１的解集为 ． 6.已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x 则z x y =+的最大值是 ．7.在△ABC 中，CcB b A a sin cos cos ==，则△ABC 是 三角形． 8. 已知x ＞1，函数21x y x =-的最小值为 ．9. nS 是数列{}n a 的前n项和，若31n n S =-，则222123na a a a ++++= ．10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B ＝3sin C ，A ＝30°，a ＝2，则△ABC 的面积等于 ．11. 已知x ＞1，y ＞1，且lg x lg y ＝１，则xy 的最小值为 ． 12. 已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝2x ＋y ＋2，则x ＋y －3的最小值为 ． 13. 下列命题中错误的有 (填写所有错误命题的序号) ①在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ；②若实数a ，b 满足a ＋2b ＝2，24ab+有最大值４； ③若｛n a ｝是等差数列，则｛1n n a a ++｝仍为等差数列； ④若｛n a ｝是等比数列，则｛1n n a a ++｝仍为等比数列；⑤当x 是三角形内角时，y ＝2sin x ＋1sin x 的最小值是22．14. 数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-()2,3,4,n =，若数列{}n a有一个形如()n a n ωϕ=+12+的通项公式，其中ω、ϕ均为实数，且0ω>，2πϕ<，则ω＋φ＝ ．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cosA ． ⑴求A 的大小；⑵若a ＝3，sin C ＝2sin B ，求b ，c 的值．16. (本小题满分14分)已知x ＞0，y ＞0，且2x ，ab ，5y 成等差数列，2，a ，b ，5成等比数列． ⑴求lg x ＋lg y 的最大值； ⑵求2x ＋5y的最小值．已知f (x )＝2x ax b -+，f (x )＞0的解集为｛x ∈R |x ≠1｝． ⑴求a 、b 的值；⑵．若不等式2(3)1()mx m x f x +--<的解集为R ，求实数m 的取值范围．18. (本小题满分16分)运货卡车计划从A 地运输货物到距Ａ地1300千米外的Ｂ地，卡车的速度为x 千米/小时(50≤100)x ≤．假设柴油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油2(6)360x +升，司机的工资是每小时24元，不考虑卡车保养等其它费用． （1）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（行车总费用＝油费＋司机工资） （2）当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36a =，10110S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 前n 项和为n T ，且1na n T =-，令()n n n c ab n *=∈N ．求数列{}nc 的前n 项和n R ．20. (本小题满分16分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3432+-=n a S n n ⑴用n a 表示1+n a ；⑵设2+=n n a b ，证明{}n b 成等比数列；⑶设123log -=n bn c ，对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使rp k c c c 1,1,1成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只需要求出一组即可）；若不存在，请说明理由期中考试高二数学试卷（文）答案一、填空题：1.[0，1]；2.16；3.2π3；4.22；5.（－∞，－1]∪（1，+∞）；6.6；7.等腰直角；8.4；9.12(9n －1)；10.3；11.100；12.4；13.②④；14.π3. 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)解：⑴由正弦定理得 sin A sin B ＝3sin B cos A ∵B ∈(0，π) ，∴sin B ≠0∴sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝ 3又∵A ∈(0，π) ，∴A ＝π3…………………………………7分⑵∵sin C ＝2sin B ，由正弦定理，得c ＝2b由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，将A ＝π3，a ＝3，c ＝2b 代入，得22149222b b b b+-=，∴b ＝3，c ＝23．………………………………………………14分16．(本小题满分14分)解：⑴由题意知2x ＋5y ＝2ab ，ab ＝2×5＝10 ∴2x ＋5y ＝20…………………………………1分∵x ＞0，y ＞0，∴2x ＋5y ≥210xy即20≥210xy ，∴0＜xy ≤10……………3分∵函数y ＝lg x 在（0，＋∞）上是单调递增函数，∴lg(xy )≤1，即lg x ＋lg y ≤1…………………………5分 当且仅当2x ＝5y 且2x ＋5y ＝20即x ＝5，y ＝2时，取“＝”， ∴当x ＝5，y ＝2时，lg x ＋lg y 取得最大值为1．…………7分 ⑵∵x ＞0，y ＞0∴(2x ＋5y )(2x ＋5y )＝29＋10(x y ＋yx)≥29＋10×2＝49………10分即20（2x ＋5y）≥49∴2x ＋5y ≥4920……………12分 当且仅当x y ＝y x 且2x ＋5y ＝20即x ＝y ＝207时，取“＝”，∴当x ＝y ＝207时，2x ＋5y 的最小值为4920．…………14分17．(本小题满分14分)解：⑴由题意知，方程2x ax b -+＝0的两个解为x 1＝x 2＝1…………2分∴1－a ＋b ＝0且△＝a 2－4b ＝0………………………4 解得a ＝2，b ＝1．…………………6分⑵不等式2(3)1()mx m x f x +--<的解集为R ． 即(m －1)x 2＋(m －1)x －2＜0的解集为R ，∴①m ＝1满足…………………………………………8分②210,(1)8(1)0,m m m -<⎧⎨-+-<⎩………………………10分 －7＜m ＜1…………………………………………12分 ∴－7＜m ≤1…………………………………………14分 18．(本小题满分16分)解：（1）行车所用时间为t ＝1300x(小时)，所以213001300(6)624360x y x x =⨯+⨯+⨯，[50,100]x ∈……………6分∴130060130060xy x ⨯=+，[50,100]x ∈ 或写成78000653y x x =+，[50,100]x ∈……………………8分 （2）130060130060xy x ⨯=+≥21300×60x ×1300x60＝2600…………12分 当且仅当1300×60x ＝1300x60即x ＝60时，取“＝”………………14分答：当x ＝60千米/小时时，这次行车的总费用最低，最低费用为2600元．……16分19． (本小题满分16分) 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得1126,1045110a d a d +=+=，……………………2分解得12,2a d ==…………………………4分2(1)22n a n n =+-⨯=………………………………………………………5分（2）∵111()2n a n n T =-=-……………………………………6分 当n ＝1时，1112b T ==当n ≥2时，111112()2()()222nn n n n n b T T --=-=--+= 且n ＝1时也满足上式……………………………………………………9分 所以1()2nn b =…………………………………………………………10分∴1222n n n n n c -==……………………………………………………11分 ∴01211232222n n nR -=++++∴211121 22222n n n n n R --=++++ 两式相减得 012111111222222n n n n R -=++++-＝1121212nn n --- ＝222nn +- ∴1242n n n R -+=-………………………16分20.(本小题满分16分)解：（1）3432+-=n a S n n ① ()3143211++-=∴++n a S n n ②②－①，得434332111+=∴--=+++n n n n n a a a a a ………………5分（2）()n n n n b b a a 323211=∴+=+++①中令1=n 求出11=a ，0,03211≠≠=+=∴n b a b 进而推出 为常数31=∴+nn b b ，{}33，公比为成等比数列，首项为n b ∴ ………………10分 （3）由（2）知，12log ,31233-==∴=-n c b n n n n当1k =时，若存在p ，r 使r p k c c c 1,1,1成等差数列，则1223121--=-=p pc c c k p r ， 因为2p ≥，所以0r c <，与数列{}n c 各项为正数矛盾，所以，当1k =时不存在；当2k ≥时，设z c y c x c r p k ===,,，则112x z y+=， 所以2xyz x y=-， 令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时12-==k x c k ，()112212--=-==k x y c p ，所以21p k =-，()()()1254234122-+-=--==k k k k z c r ， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设．………………16分。

B．放热反应的发生无需任何条件C．H2SO4和NaOH的反应是吸热反应D．化学键的断裂和形成与反应放热和吸热无关B．CO(g)的燃烧热是283.0 kJ·mol－1，则2CO2(g) ＝2CO(g)＋O2(g)的ΔH＝2×(＋283.0)kJ·mol －1C．HCl和NaOH反应的中和热ΔH＝－57.3 kJ·mol－1，则H2SO4和Ba(OH)2的反应热ΔH ＝2×(－57.3) kJ·mol－1D．1 mol甲烷燃烧生成气态水和二氧化碳所放出的热量是甲烷的燃烧热4．下列说法中正确的是A．ΔH的大小与热化学方程式的化学计量数无关B．生成物的总焓大于反应物的总焓时，反应吸热，ΔH>0C．在化学反应过程中，发生物质变化的同时不一定发生能量变化D．破坏生成物全部化学键所需要的能量大于破坏反应物全部化学键所需要的能量时，该反应为吸热反应5．下列对化学反应速率的认识正确的是A．H＋和OH—的反应活化能接近于零，反应几乎在瞬间完成B．对于任何化学反应来说，反应速率越大，反应现象就越明显C．选用适当的催化剂，分子运动加快，增加了碰撞频率，故反应速率增大D．化学反应速率是指一定时间内任何一种反应物浓度的减少或任何一种生成物浓度的增加＋5O2 4NO＋6H2O在一定体积的密闭容器中进行，30 s后NO的物质6．反应4NH的量浓度增加了3 mol/L，则下列反应速率正确的是A．v (NO)＝0.02 mol·(L·s)－1B．v (NO)＝0.2mol·(L·s)－1C．v (NH3)＝0.01 mol·(L·s)－1D．v (NH3)＝0.1 mol·(L·s)－17．对反应A（g）＋3B（g）2C（g）来说，下列反应速率中最快的是A．v(A)＝0.3 mol·L－1·min－1B．v(B)＝0.6 mol·L－1·s－1C．v(C)＝0.5 mol·L－1·min－1D．v(A)＝0.1 mol·L－1·s－18．对于化学反应3W(g)＋2X(g) ＝4Y(g)＋3Z(g)，下列反应速率关系中正确的是A．v(W)＝3v(Z)B．2v(X)＝3v(Z) C．2v(X)＝v(Y) D．3v(W)＝2v(X)O(g) CO(g)9．一定温度下，某容积不变的密闭容器中，不能说明可逆反应：C(s)＋H＋H2(g)在一定条件下已达到化学平衡状态的是A．v正(CO)＝v逆(H2O)B．体系的压强不再发生变化C．生成n mol CO的同时生成n mol H2D．1 mol H—H键断裂的同时断裂2 mol H—O键10．下列关于电离平衡常数（K）的说法正确的是A．不同浓度的同一弱电解质，其电离平衡常数（K）不同B．电离平衡常数（K）越小，表示弱电解质电离能力越弱C．多元弱酸各步电离平衡常数相互关系为：K1＜K2＜K3D．CH3COOH溶液中加入少量CH3COONa溶液，电离常数减小11．已知：CO(g)＋Cl2(g) COCl2(g)ΔH＜0，当反应达到平衡时，下列措施中能提高Cl2转化率的是①升温②降温③增加CO浓度④加压⑤加催化剂⑥恒压通入惰性气体A．①②④B．①④⑥C．②③④D．③⑤⑥12．下列事实均能说明醋酸是弱电解质的是①醋酸与水能以任意比互溶②醋酸溶液能导电③醋酸溶液中存在醋酸分子④0.1 mol/L醋酸溶液的pH比0.1 mol/L盐酸的pH大⑤醋酸能和碳酸钙反应放出CO2⑥大小相同的锌粒与相同物质的量浓度的盐酸和醋酸溶液反应，开始醋酸产生H2速率慢A．②③⑥B．④⑤⑥C．③④⑥D．①②③13．下列叙述正确的是A．c(H＋)等于1×10－7 mol/L的溶液一定是中性溶液B．任何浓度的溶液都可以用pH来表示其酸性的强弱C．无论是纯水、酸性、碱性或中性稀溶液，常温下，其c(H＋)·c(OH－)＝1×10－14D．0.2 mol/L CH3COOH溶液中的c(H＋)是0.1 mol/L CH3COOH溶液中的c(H＋)的2倍14．将纯水加热至90℃时，下列叙述正确的是A．水的离子积变大、pH变小、呈酸性B．水的离子积不变、pH不变、呈中性C．水的离子积变小、pH变大、呈碱性D．水的离子积变大、pH变小、呈中性15．体积相同、pH相同的盐酸和醋酸溶液，与NaOH溶液中和时两者消耗NaOH的物质的量A．盐酸多B．醋酸多C．二者相同D．无法比较16．25℃时，甲溶液的pH是4，乙溶液的pH是5，甲溶液与乙溶液中的c（OH-）之比为A．10：1 B．1：10 C．2：1 D．1：217．一定条件下，在容积为10L的密闭容器中，将l mol X和1 mol Y进行如下反应：2X（g）＋Y（g）Z（g），经60 s达到平衡生成0.3 mol的Z，下列说法正确的是A．60 s内X的平均反应速率为0.01 mol·L-1·s-1B．升高温度，若X的体积分数减小，则正反应的△H＜0C．将容器的容积变为20 L，达平衡后Z的浓度为0.015 mol·L-1D．保持温度和体积不变，若再充入1 mol X，Y的转化率将增大19．一定条件下，在一个容积为2 L的密闭容器中加入0.8 mol A2气体和0.6 mol B2气体反应达平衡生成1mol AB气体并释放出热量，反应中各物质的浓度随时间的变化情况如图所示。

2023-2024学年江苏省连云港市东海县高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1．抛物线x 2＝﹣4y 的焦点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（0，﹣1）2．过点P （1，﹣1），倾斜角为135°的直线方程为（ ） A ．y ＝﹣xB ．y ＝xC ．y ＝x +1D ．y ＝﹣x +13．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若S 17=172，则a 3+a 15＝（ ） A ．4B ．2C ．1D ．04．若圆（x ﹣a ）2+y 2＝1（a ≥0）与圆x 2+（y ﹣2）2＝25有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2√3]B ．[1，5]C ．[2√3，4√2]D ．[4√2，5]5．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n+1={a n +1，n 为奇数a n +3，n 为偶数，记b n ＝a 2n ，则有（ ）A ．b 1＝5B ．b 2＝9C ．b n +1﹣b n ＝2D ．b n ＝4n ﹣16．已知直线l ：λx ﹣y ﹣4λ+3＝0（λ为实数）和圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +21＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是（ ） A ．2√3B ．2√2C ．2D ．√27．已知等轴双曲线C 的中心为O ，焦点为F 1、F 2，若双曲线C 上一点P 满足：|PF 1|•|PF 2|＝6，则|PO |＝（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．√68．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)与圆C 2：x 2+y 2=2b23，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．[12，1)C ．(0，14]D ．[14，1)二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.9．过点P （1，2）引直线，使它与两点A （2，2），B （4，﹣6）距离相等，则此直线方程可以为（ ） A ．x +3y ﹣7＝0B ．4x +y ﹣6＝0C ．2x +y ﹣4＝0D ．x +4y ﹣9＝010．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1＞0，S 8＝S 16，下列判断正确的是（ ）A．d＞0B．a13＜0C．S n的最大值是S12D．当S n＜0时，n最小值为2511．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于点A，B，过A，B分别向抛物线C的准线作垂线，垂足分别为P，Q，线段PQ的中点为E，则有（）A．y A y B＝﹣4B．1|AF|+1|BF|＞2C．FP⊥FQ D．AE⊥BE12．已知圆O：x2+y2＝4，过直线l：x+y﹣4＝0上一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则下列结论正确的是（）A．存在点P，使得四边形P AOB为菱形B．四边形P AOB面积的最小值为4C．线段AB的最小值为√2D．△P AB的外接圆恒过两个定点三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知等差数列{a n}的首项a1＝14，公差d=−34，当|a n|最小时，n＝．14．已知直线l过点（2，2）且与抛物线y2＝2x只有一个公共点，则直线l的方程为．15．写出与圆x2+y2＝1和圆（x+3）2+y2＝4都相切的一条切线方程．16．双曲线的光学性质为（如图①）：从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分（如图②），其方程为x2a2−y2b2=1，F1，F2为其左右焦点，若从右焦点F2发出的互为反向的光线，经双曲线上的点A和点B反射后，满足∠BAD＝90°，tan∠ABC=−158，则该双曲线的离心率为．四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B（﹣1，﹣1）．（1）求边AB的垂直平分线方程；（2）求顶点C 的坐标．18．（12分）已知S n 是等差数列{a n }前n 项和，S 7＝28，S 10＝55． （1）求a n ；（2）证明：∑ n k=11S k＜2．19．（12分）设m 为实数，直线y ＝mx +1和圆C ：x 2﹣x +y 2＝0相交于P ，Q 两点． （1）若PQ =√22，求m 的值；（2）点O 在以PQ 为直径的圆外（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1，直线l ：y ＝x +t （t 为实数且t ≠0）与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）若直线l 过椭圆的右焦点，求△OAB 的面积； （2）线段AB 的中点为M ，求直线OM 的斜率． 21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A （1，0），焦点到渐近线的距离为√3．（1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 的右支上，若直线AM 与AN 斜率乘积为﹣9，证明：直线MN 过定点．22．（12分）如图，F （0，1）是抛物线Γ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点，过F 的直线交抛物线Γ于A ，B 两点，点A 在第一象限，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在y 轴上，直线AC 交y 轴于点D ，且D 在点F 的上方．记△AFG ，△CDG 的面积分别为S 1，S 2． （1）求抛物线Γ的方程； （2）求S 2S 1的最大值．2023-2024学年江苏省连云港市东海县高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上. 1．抛物线x 2＝﹣4y 的焦点坐标为（ ） A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（0，﹣1）解：抛物线x 2＝﹣4y 的焦点坐标为（0，﹣1）． 故选：D ．2．过点P （1，﹣1），倾斜角为135°的直线方程为（ ） A ．y ＝﹣xB ．y ＝xC ．y ＝x +1D ．y ＝﹣x +1解：根据题意，可得直线的斜率k ＝tan135°＝﹣1，结合点P （1，﹣1）在直线上，可得直线的方程：y +1＝﹣1×（x ﹣1），即y ＝﹣x ． 故选：A ．3．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，若S 17=172，则a 3+a 15＝（ ） A ．4B ．2C ．1D ．0解：由题意知，S 17=172=17(a 1+a 17)2，所以a 1+a 17＝1，所以a 3+a 15＝a 1+a 17＝1． 故选：C ．4．若圆（x ﹣a ）2+y 2＝1（a ≥0）与圆x 2+（y ﹣2）2＝25有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2√3]B ．[1，5]C ．[2√3，4√2]D ．[4√2，5]解：根据题意可知（x ﹣a ）2+y 2＝1（a ≥0）的圆心为C 1（a ，0），半径为r 1＝1； 圆x 2+（y ﹣2）2＝25的圆心为C 2（0，2），半径为r 2＝5； 由两圆有公共点可得r 2﹣r 1≤C 1C 2≤r 2+r 1，即4≤√a 2+4≤6，又a ≥0，解得2√3≤a ≤4√2． 故选：C ．5．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n+1={a n +1，n 为奇数a n +3，n 为偶数，记b n ＝a 2n ，则有（ ）A ．b 1＝5B ．b 2＝9C ．b n +1﹣b n ＝2D ．b n ＝4n ﹣1解：由已知可得：对A ，b 1＝a 2＝a 1+1＝a 1+1＝2+1＝3，故A 错误； 对B ，b 2＝a 4＝a 3+1＝a 3+1＝a 2+1+1＝a 2+3+1＝3+3+1＝7，故B 错误；对C ，b n +1﹣b n ＝a 2（n +1）﹣a 2n ＝a 2n +1+1﹣a 2n ＝a 2n +1+1﹣a 2n ＝a 2n +3+1﹣a 2n ＝4，故C 错误；对D ，由C 得公差为4，由A 得b 1＝3，通项公式为b n ＝b 1+（n ﹣1）d ＝3+（n ﹣1）4＝4n ﹣1，故D 正确． 故选：D ．6．已知直线l ：λx ﹣y ﹣4λ+3＝0（λ为实数）和圆C ：x 2+y 2﹣6x ﹣8y +21＝0交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是（ ） A ．2√3B ．2√2C ．2D ．√2解：直线l 的方程可化为λ（x ﹣4）﹣（y ﹣3）＝0， 由{x −4=0y −3=0，可得{x =4y =3，所以直线l 过定点D （4，3）． 将圆C 的方程化为标准方程可得（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝4， 所以圆心C （3，4），半径r ＝2．设圆心到直线l 的距离为d ，则d max =|CD|=√(4−3)2+(3−4)2=√2． 由垂径定理可知，d 2+(|AB|2)2=r 2， 所以有|AB|2=4(r 2−d 2)=16−4d 2≥16−4d max 2=8，所以|AB |的最小值是2√2．故选：B ．7．已知等轴双曲线C 的中心为O ，焦点为F 1、F 2，若双曲线C 上一点P 满足：|PF 1|•|PF 2|＝6，则|PO |＝（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．√6解：设等轴双曲线方程为x 2﹣y 2＝a 2，P （x ，y ）为等轴双曲线上的任一点，可得c =√2a ， 则|PF 1|•|PF 2|=√(x −√2a)2+y 2•√(x +√2a)2+y 2 =√x 2−2√2ax +2a 2+y 2•√x 2+2√2ax +2a 2+y 2 =√(x 2+y 2+2a 2)2−8a 2x 2 =√(2y 2+3a 2)2−8a 2(y 2+a 2) =√4y 4+4y 2a 2+a 4 ＝2y 2+a 2＝x 2+y 2＝|OP |2． 故|OP |=√6． 故选：D ．8．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)与圆C 2：x 2+y 2=2b23，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．[12，1)C ．(0，14]D ．[14，1)解：根据题意可得椭圆C 1上存在点P 使得|PO |=√2r =√223=23， 又b ≤|PO |≤a ，∴√3b ≤a ，∴4（a 2﹣c 2）≤3a 2，∴a 2≤4c 2，∴a ≤2c ，∴e =c a ≥12，又e ∈（0，1）， ∴椭圆C 1的离心率的取值范围是[12，1）． 故选：B ．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.9．过点P （1，2）引直线，使它与两点A （2，2），B （4，﹣6）距离相等，则此直线方程可以为（ ） A ．x +3y ﹣7＝0B ．4x +y ﹣6＝0C ．2x +y ﹣4＝0D ．x +4y ﹣9＝0解：设所求直线为l ， 当l ∥AB 时，因为A （2，2），B （4，﹣6），所以k AB =2−(−6)2−4=−4， 因为直线l 过点P （1，2），所以直线l 方程为y ﹣2＝﹣4（x ﹣1），即4x +y ﹣6＝0； 当直线l 过线段AB 中点时，设A （2，2），B （4，﹣6）中点坐标为（x 0，y 0） 则x 0=2+42=3，y 0=2+(−6)2=−2， 由两点式写出直线l 方程为y−2−2−2=x−13−1，即2x +y ﹣4＝0．故选：BC ．10．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1＞0，S 8＝S 16，下列判断正确的是（ ） A ．d ＞0B ．a 13＜0C ．S n 的最大值是S 12D ．当S n ＜0时，n 最小值为25解：设数列{a n }的公差为d ，由S 8＝S 16得，8a 1+28d ＝16a 1+120d ，解得a 1=−232d ，选项A ，因为a 1＞0，所以a 1=−232d ＞0，所以d ＜0，即A 错误； 选项B ，a 13=a 1+12d =−232d +12d =12d ＜0，即B 正确； 选项C ，S n ＝na 1+n(n−1)2d =−232d •n +n(n−1)2d =d 2（n 2﹣24n ），因为d ＜0，所以当n ＝12时，S n 取到最大值，即C 正确； 选项D ，令S n =d 2(n 2−24n)＜0，则n 2﹣24n ＞0， 因为n ∈N *，所以n ＞24，所以当S n ＜0时，n 的最小值为25，即D 正确． 故选：BCD ．11．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于点A ，B ，过A ，B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，线段PQ 的中点为E ，则有（ ） A ．y A y B ＝﹣4B ．1|AF|+1|BF|＞2 C ．FP ⊥FQ D ．AE ⊥BE解：易知焦点F （1，0），准线方程为x ＝﹣1，如图所示：可设直线l 的方程为x ＝my +1，A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），联立{y 2=4x x =my +1，消去x 可得y 2﹣4my ﹣4＝0，显然Δ＝16m 2+16＞0，由韦达定理可知y A +y B ＝4m ，y A y B ＝﹣4，故A 正确； 易知|AF |＝|AP |＝x A +1，|BF |＝|BQ |＝x B +1， 所以1|AF|+1|BF|=1x A +1+1x B +1=x A +1+x B +1(x A +1)(x B +1)，又x A +x B =my A +1+my B +1=m(y A +y B )+2=4m 2+2，(x A +1)(x B +1)=(my A +2)(my B +2)=m 2y A y B +2m(y A +y B )+4=4m 2+4， 所以1|AF|+1|BF|=x A +1+x B +1(x A +1)(x B +1)=4m 2+2+24m 2+4=1＜2，故B 错误；可知P （﹣1，y A ），Q （﹣1，y B ），则FP →=(−2，y A )，FQ →=(−2，y B )， 则FP →⋅FQ →=−2×(−2)+y A y B =0，即FP →⊥FQ →，故C 正确； 易得E(−1，y A +y B 2)，所以EA →=(x A +1，y A −y B 2)，EB →=(x B +1，y B −y A2)， 则EA →⋅EB →=(x A +1)(x B +1)+y A −y B 2⋅y B −y A 2=4m 2+4−(y A +y B )2−4y A y B4=4m 2+4−16m 2+164=0，即EA →⊥EB →，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知圆O ：x 2+y 2＝4，过直线l ：x +y ﹣4＝0上一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．存在点P ，使得四边形P AOB 为菱形 B ．四边形P AOB 面积的最小值为4C ．线段AB 的最小值为√2D ．△P AB 的外接圆恒过两个定点解：根据题意，作出示意图形，如图所示，对A ，若四边形P AOB 为菱形，则|OB |＝PB |＝2，故 OP =2√2， 结合点O 到直线l 的距离d =|0+0−4|√1+1=2√2，可知存在点P ，使得四边形P AOB 为菱形．故A 正确；根据A 的结论，可知|OP|min =2√2，所以四边形P AOB 面积等于2S ΔOAP =|PA||OA|=2√|OP|2−4≥4，故B 正确；因为 |AB|=2|OA|sin ∠AOP =4|AP||OP|=4√|OP|2−4|OP|=4√1−4|OP|2， 由|OP|min =2√2，可知1−4|OP|2≥14(2√2)2=12，所以 |AB|≥4√12=2√2，故C 错误；因为AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，所以A 、P 、B 、O 四点共圆，故△P AB 的外接圆就是四边形APBO 的外接圆， 因为四个点中只有O 为定点，故△P AB 的外接圆恒过一个定点，故D 错误． 故选：AB ．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．已知等差数列{a n }的首项a 1＝14，公差d =−34，当|a n |最小时，n ＝ 20 ． 解：根据题意，a n =a 1+(n −1)d =14−34(n −1)=−34n +594，令−34n +594＞0，解得n ＜593，令−34n +594＜0，解得n ＞593， 当n ＝19时，|a 19|=|−574+594|=12，当n ＝20时，|a 20|=|−15+594|=14， 由于14＜12，故当n ＝20时，|a n |最小． 故答案为：20．14．已知直线l 过点（2，2）且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点，则直线l 的方程为 y ＝2或x ﹣2y +2＝0 ．解：如图所示，易知点（2，2）在抛物线y 2＝2x 上， 当直线l 斜率为0时，直线l 的方程为y ＝2， 与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点，符合题意； 当点（2，2）为直线l 与抛物线的切点时， 设直线l 的方程为x ﹣2＝m （y ﹣2），联立{y 2=2xx −2=m(y −2)，可得y 2﹣2my +4m ﹣4＝0，由题意有：Δ＝（2m ）2﹣4（4m ﹣4）＝0，解得m ＝2， 此时直线l 的方程为x ﹣2y +2＝0；综上可知：直线l 的方程为y ＝2或x ﹣2y +2＝0． 故答案为：y ＝2或x ﹣2y +2＝0．15．写出与圆x 2+y 2＝1和圆（x +3）2+y 2＝4都相切的一条切线方程 x ＝﹣1（答案不唯一，x −2√2y −3=0或x +2√2y −3=0均可） ．解：圆x 2+y 2＝1的圆心为O （0，0），半径为1；圆（x +3）2+y 2＝4的圆心为C （﹣3，0），半径为2，圆心距|OC |＝3， 又1+2＝3，所以两圆外切，由图可知共有三条公切线， 易知l 1方程为x ＝﹣1．由图可知，另外两条公切线斜率存在， 故设公切线方程为y ＝kx +m ． 则O （0，0）到y ＝kx +m 的距离为√k 2+1=1， C （﹣3，0）到y ＝kx +m 的距离为√k 2+1=2，所以|﹣3k +m |＝2|m |，所以﹣3k +m ＝2m 或﹣3k +m ＝﹣2m ， 即m ＝﹣3k 或m ＝k ． 当m ＝﹣3k 时，√k 2+1=√k 2+1=1，解得{k =√24m =−3√24或{k =−√24m =3√24，所以公切线的方程为x −2√2y −3=0或x +2√2y −3=0． 当m ＝k 时，√k 2+1=√k 2+1=1，方程无解．综上，公切线的方程为x ＝﹣1或x −2√2y −3=0或x +2√2y −3=0． 故答案为：x ＝﹣1（答案不唯一，x −2√2y −3=0或x +2√2y −3=0均可）．16．双曲线的光学性质为（如图①）：从双曲线右焦点F 2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F 1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分（如图②），其方程为x 2a 2−y 2b 2=1，F 1，F 2为其左右焦点，若从右焦点F 2发出的互为反向的光线，经双曲线上的点A 和点B 反射后，满足∠BAD ＝90°，tan ∠ABC =−158，则该双曲线的离心率为√264．解：由题可知F 1，A ，D 共线，F 1，B ，C 共线，如下图：设|AF 1|＝m ，则|AF 2|＝|AF 1|﹣2a ＝m ﹣2a ， 因为tan ∠ABC =−158，所以tan ∠ABF 1=158， 又∠BAD ＝90°，所以tan ∠ABF 1=|AF 1||AB|=158，即|AB|=815|AF 1|=815m ， 所以|BF 2|=|AB|−|AF 2|=815m −(m −2a)=−715m +2a ， 所以|BF 1|=|BF 2|+2a =(−715m +2a)+2a =−715m +4a ， 又因为∠BAD ＝90°，|AF 1|＝m ，|AB|=815m ， 所以，由勾股定理得|BF 1|=√|AF 1|2+|AB|2=√m 2+(815m)2=1715m ， 因此|BF 1|=−715m +4a =1715m ，得m =4a ⋅1524=156a =52a ， 而|AF 1|=52a ，|AF 2|=52a −2a =12a ，又|F 1F 2|＝2c ，且∠BAD ＝90°，所以4c 2=(52a)2+(a 2)2，即4c 2=264a 2，化简得c 2a 2=2616，所以e =c a =√264．故答案为：√264． 四、解答题：共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的一条内角平分线CD 的方程为x +y ﹣1＝0，两个顶点为A （1，2），B （﹣1，﹣1）．（1）求边AB 的垂直平分线方程； （2）求顶点C 的坐标．解：（1）设AB 的中点坐标M （x 0，y 0）， 由中点坐标公式可得x 0=1+(−1)2=0，y 0=2+(−1)2=12， 根据AB 的斜率k AB =2−(−1)1−(−1)=32，可得垂直平分线的斜率k =−23，所以AB 的垂直平分线方程为y −12=−23x ，即4x +6y ﹣3＝0； （2）由题意，可知A （1，2）关于直线CD 的对称点在BC 上，设为A ′（a ，b ），则{b−2a−1=1a+12+b+22−1=0，解得a ＝﹣1，b ＝0，即A ′（﹣1，0），结合点B （﹣1，﹣1），可得BC 的方程为x ＝﹣1，由{x +y −1=0x =−1，解得x ＝﹣1，y ＝2，即BC 与CD 的交点坐标为（﹣1，2），因此点C 坐标为（﹣1，2）．18．（12分）已知S n 是等差数列{a n }前n 项和，S 7＝28，S 10＝55． （1）求a n ；（2）证明：∑ n k=11S k＜2．（1）解：设数列{a n }的公差为d ， 因为S 7＝28，S 10＝55，所以{S 7=7a 1+7×62d =7a 1+21d =28S 10=10a 1+10×92d =10a 1+45d =55，解得{a 1=1d =1，所以a n ＝1+（n ﹣1）×1＝n ． （2）证明：由（1）知，{a 1=1d =1，所以S n =n +n(n−1)2=n(n+1)2， 所以1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，所以∑ n k=11S k=2(1−12)+2(12−13)+⋯+2(1n −1n+1)=2(1−1n+1)＜2． 19．（12分）设m 为实数，直线y ＝mx +1和圆C ：x 2﹣x +y 2＝0相交于P ，Q 两点． （1）若PQ =√22，求m 的值；（2）点O 在以PQ 为直径的圆外（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围． 解：（1）圆C ：x 2﹣x +y 2＝0，即(x −12)2+y 2=14，圆心为C(12，0)，半径r =12． 若PQ =√22，则点C 到直线y ＝mx +1的距离d =√r 2−(PQ 2)2=√24， 所以|12m−0+1|√m 2=√24，解得m ＝﹣7或﹣1； （2）由{y =mx +1x 2−x +y 2=0消去y ，得（1+m 2）x 2+（2m ﹣1）x +1＝0， 由Δ＞0，得（2m ﹣1）2﹣4（1+m 2）＞0，解得m ＜−34． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=−2m+11+m 2，x 1x 2=11+m 2， 所以y 1y 2=(mx 1+1)(mx 2+1)=m 2x 1x 2+m(x 1+x 2)+1=m 21+m 2+−2m 2+m 1+m 2+1=m+11+m 2， 若点O 在以PQ 为直径的圆外，则∠POQ ＜90°，可得OP →⋅OQ →＞0，即x 1x 2+y 1y 2＞0， 所以11+m 2+m+11+m2＞0，即m+21+m 2＞0，结合1+m 2≥1可得m ＞﹣2，综上所述，−2＜m ＜−34，即m 的取值范围是(−2，−34)． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1，直线l ：y ＝x +t （t 为实数且t ≠0）与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）若直线l 过椭圆的右焦点，求△OAB 的面积； （2）线段AB 的中点为M ，求直线OM 的斜率． 解：（1）由x 24+y 2=1可知，c 2＝a 2﹣b 2＝3，所以椭圆的右焦点为(√3，0)，所以0=√3+t ，即t =−√3，即直线l 方程为y =x −√3， 由{y =x −√3x 24+y 2=1，可得5x 2−8√3x +8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=8√35，x 1⋅x 2=85， 所以|AB|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(8√35)2−4×85=4√25， O 到直线l 的距离d =√3|2=√62， 故S △OAB =12d|AB|=12×√62×4√25=2√35； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 由{y =x +t x 2+y 2=1，可得5x 2+8tx +4t 2﹣4＝0，当Δ＝（8t ）2﹣80（t 2﹣1）＞0，即−√5＜t ＜√5且t ≠0时，x 1+x 2=−8t 5，x 1⋅x 2=4t 2−45，所以y 1+y 2=x 1+x 2+2t =2t5，故x 0=x 1+x 22=−4t 5，y 0=y 1+y 22=t 5，即M(−4t 5，t5)， 所以k OM =y 0x 0=t5−4t 5=−14， 即直线OM 的斜率为−14．21．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A （1，0），焦点到渐近线的距离为√3．（1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 的右支上，若直线AM 与AN 斜率乘积为﹣9，证明：直线MN 过定点． 解：（1）不妨取双曲线C 的一条渐近线为y =ba x ，焦点坐标为F （c ，0）， 即bx ﹣ay ＝0，此时焦点F 到直线bx ﹣ay ＝0的距离d =|bc|√a 2+b =√3，又a 2+b 2＝c 2，② 联立①②，解得b =√3，因为双曲线C 的右顶点为A （1，0）， 所以a ＝1，则C 的方程为x 2−y 23=1；（2）证明：当直线MN 的斜率存在时， 不妨设直线MN 的方程为y ＝kx +m ，联立{y =kx +m x 2−y 23=1，消去y 并整理得（3﹣k 2）x 2﹣2kmx ﹣（m 2+3）＝0，因为双曲线C 的右支与直线MN 有两个不同的交点， 所以Δ＝（﹣2km ）2+4（3﹣k 2）（m 2+3）＞0， 解得m 2+3＞k 2，③不妨设M （x 1，y 1） N （x 2，y 2）（x 1，x 2＞1）， 由韦达定理得x 1+x 2=2km 3−k2，x 1x 2=−(m 2+3)3−k2，因为直线AM 与AN 斜率乘积为﹣9，所以k AM ⋅k AN =y 1y2(x 1−1)(x 2−1)=−9(x 1，x 2＞1)，即y 1y 2＝﹣9（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝﹣9x 1x 2+9（x 1+x 2）﹣9， 又y 1y 2＝（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2， 可得(k 2+9)x 1x 2+(km −9)(x 1+x 2)+m 2+9=0， 由韦达定理得−(k 2+9)(m 2+3)3−k 2+2km(km−9)3−k 2+m 2+9=0，即2k 2+m 2+3km ＝0， 解得m ＝﹣k 或m ＝﹣2k ， 当m ＝﹣k 时，③式成立，此时直线MN 的方程为y ＝kx ﹣k ＝k （x ﹣1），直线恒过点（1，0）， 因为x ＞1，所以m ＝﹣k 不符合题意； 当m ＝﹣2k 时，③式成立，此时直线MN 的方程为y ＝kx ﹣2k ＝k （x ﹣2），直线恒过点（2，0），符合题意， 则当直线MN 斜率存在时，直线MN 恒过定点（2，0）； 当直线MN 的斜率不存在时，不妨设M （x 1，y 1），N （x 1，﹣y 1）（x 1＞1）， 此时直线MN 的方程为x ＝x 1（x 1＞0）， 联立{x =x 1x 2−y 23=1，解得y 12=3x 12−3（x 1＞0），因为k AM ⋅k AN=−y 1y 1(x 1−1)(x 1−1)=−y 12(x 1−1)2=−9(x 1＞1)， 所以y 12=9(x 1−1)2（x 1＞1）， 又y 12=3x 12−3（x 1＞0）， 所以9(x 1−1)2=3x 12−3， 即x 12−3x 1+2=0，解得x 1＝1或x 1＝2， 因为x 1＞1，所以x 1＝2， 则直线MN 的方程x ＝2， 此时直线x ＝2过定点（2，0）． 综上，直线MN 经过定点（2，0）．22．（12分）如图，F （0，1）是抛物线Γ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点，过F 的直线交抛物线Γ于A ，B 两点，点A 在第一象限，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在y 轴上，直线AC 交y 轴于点D ，且D 在点F 的上方．记△AFG ，△CDG 的面积分别为S 1，S 2． （1）求抛物线Γ的方程； （2）求S 2S 1的最大值．解：（1）因为F （0，1）是抛物线Γ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点，所以p2=1，解得p ＝2，则抛物线Γ的方程为x 2＝4y ；（2）不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），直线AB 的方程为x ＝k （y ﹣1），k ＞0， 联立{x =k(y −1)x 2=4y ，消去x 并整理得k 2y 2﹣（2k 2+4）y +k 2＝0，由韦达定理得y 1+y 2=2+4k2，y 1y 2=1，此时x 1x 2=−4√y 1y 2=−4，x 1+x 2=k(y 1+y 2−2)=4k， 由重心坐标公式可得x G =x 1+x 2+x 33=13(4k +x 3)，y G =y 1+y 2+y 33=13(2+4k2+y 3)， 令x G ＝0，解得x 3=−4k ，所以y 3=x 324=4k 2，即y G =13(2+4k 2+4k 2)=13(2+8k2)，此时k AC =y 1−y 3x 1−x 3=x 124−x 324x 1−x 3=x 1+x34， 所以直线AC 的方程为y −y 3=x 1+x 34(x −x 3)， 令x ＝0，解得y D =y 3+−x 3(x 1+x 3)4=x 324+−x 3(x 1+x 3)4=−x 1x 34， 所以S 1=12×(y G −y F )×x 1=12×[13(2+8k 2)−1]×x 1=x 12×(83k2−13)， S 2=12×(y D −y G )×(−x 3)=−x32[−x 1x34−13(2+8k 2)]， 又x 3=−4k ，可得S 2=2k (x 1k −23−83k2)，因为x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，所以x 1−4x 1=4k ，此时k =4x 1x 12−4，(x 1＞2)，则S 1S 2=x 12×(83k 2−13)2k (x 1k −23−83k 2)=2x 12(x 12−2)(x 12−4)(x 12+4)=2−4(x 12−8)+48x 12−8+16≥2−2√(x 1−8)×48x 12−8+16=1+√32， 当且仅当x 12−8=48x 12−8，即x 12=8+4√3，x 1=√6+√2时，等号成立，则S 2S 1≤1+√32=4−2√3，故S 2S 1的最大值为4−2√3．。