4.5 积分表的使用

a
dx 2 abac r oa tbta x n C bcosx abab ab 2
将 a5 , b 代 入 得4
541cosxdx3 2arco3tta2 xnC.
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5
【例3】求
x
dx . 4x2 9
1
第五节 积分表的使用
一、关于积分表的说明 二、例题
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2
一、关于积分表的说明
（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接
或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（五版）上册
现在 a3, b4于是
3 x x 4 2 d x 1 9 ln |3 x 4 | 3 x 4 4 C .
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4
【例2】求
1 dx. 被积函数中含有三角函数
54cosx
在积分表（十一）中查得此类公式有两个
a 5 , b 4a 2 b 2选公式（105）
对积分sin2 x使d用x公式（93）
sin2
xdxx1sin2xC 24
sin4xdxsin3x4coxs432x14sin2xC.
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9
【说明】 初等函数在其定义区间上原函数一定存 在，但原函数不一定都是初等函数.
［例］
ex2 dx,
sinnxdxsin n 1n xco x snn 1sin n 2xdx
利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使 用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这 个公式叫递推公式.

将 u 2 x 回代得 2 dx 1 4x 9 3 x 4 x 2 9 3 ln 2 | x | C.
1 例 2 查表求积分 dx. 5 4 cos x
解： 在积分表（十一）中查得此类公式有两个
a 5, b 4 a b
2
2
∴ 选公式（105）
才此 能例 查必 积须 分变 表形 之 后

x 1 2 tan t , 则 dx 2 sec 2 t dt 2 tan t 3 2 2 sec t dt (4 tan 2 t 3) 2 sec t
2 sin t 3 cos t dt 2 2 4 sin t 3 cos t sin t dt cos t dt 2 3 2 2 2 2 4 sin t 3 cos t 4 sin t 3 cos t
d cos t d sin t 2 3 2 2 4 cos t sin t 3
(P348 公式21) (P348 公式19)
x 1 2 tan t
x2 2x 5
1 2 cos t sin t ln 3 arctan C 2 2 cos t 3
dx 2 ab x ab tan C a b cos x a b a b arctan 2 ab
将 a 5, b 4 代入即得
1 2 x 3 tan C . 5 4 cos xdx 3 arctan 2
例3. 求 解:
dx du x 4 x 2 9 u u2 32
被积函数中含有
u2 32 ,
在积分表（六）中查得公式（37） dx 1 x2 a2 a x x 2 a 2 a ln | x | C

因此
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
dR ( t ) 300 (18 0.3 t ) dt
即
dR ( t ) 5400 90 t , dt
两边同时求不定积分，得
R( t ) (5400 90 t )dt 5400 t 60 t C ,
3 2
而 R(0) 0, 得 C 0 ，于是
R( t ) 5400 t 60t ,
由于这口井将在36个月后干枯，于是将来的总收入是 （美元）. R(36) 5400 36 60 36 207360
3 2
3 2
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
二、石油的消耗量的估计
（2）停车线的确定
停车线的确定需考虑两点： ①驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段的反应时间 t1 ，在此段时间 内，驾驶员尚未刹车. ②驾驶员刹车后，车还需继续向前行驶一段距离，此段距离称为 刹车距离.
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
一般驾驶员的反应时间 t 1 可以根据经验或由统计数据确定.而刹 车距离可采用如下方法确定. 当驾驶员踩动刹车踏板时，便产生 一种摩擦力，它使汽车减速并最终停下. 设道路规定的速度为 v 0 , 汽车质量为 m , 刹车摩擦系数为 k ,
T ( t ) 是石油消耗总量， 所以 T ( t ) 就是石油消耗率 R( t ) ，即
T (t ) R(t ) .那么 T ( t ) 就是 R( t ) 的一个原函数.
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
T ( t ) R( t )dt 161 e 0.07 t dt 161 e 0.07 t C 2300 e 0.07 t C , 0.07 由 T (0) 0 , 得 C 2300 ,

x2 2x 5 1
3 arctan
3(
x 1 x2 2x

5)


C
作业
P221 3 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25
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C

2 3
arctan
3 tan
x 2


C
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例2. 求
解法1 令 u 2x, 则
原式
1 2
du

du
u 2
u2 32
u u2 32
(P364 公式 37)
1 ln u2 32 3 C 1 ln 4x2 9 3 C
3
u
3
2x
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例2. 求
解法2 令 u 4x2 9 , 则 u2 4x2 9, u du 4x d x
原式
4 x dx 4 x2 4x2 9
du u 2 32
( P363 公式 21 )

1 ln 6
u u
3 3
C

1 ln 6
等数学软件的符号演算功能求得 .
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例1.
求

5

d 4
x cos
x
.
解: 这里 a 5,b 4, 应使用P368 公式105 .

5

d 4
x cos
x

2 5 （ 4）
5 5
（ （
44））
arctan
5 5
（ （