积分表的使用
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小组积分表模板
小组积分表模板
以下是一个简单的小组积分表模板，用于追踪小组成员在不同活动或任务中的表现，并根据其表现分配积分。
这种模板通常在团队合作、竞赛或项目管理中使用，以激励成员的积极参与和出色表现。
说明：
1.成员姓名：列出小组中每个成员的姓名或代号。
2.活动1积分、活动2积分、活动3积分：输入每个成员在不
同活动或任务中获得的积分。
你可以根据实际情况添加或删除
列，以适应你的活动数量。
3.总积分：计算每个成员的总积分，可以通过简单的求和公式来
实现。
这个表格可以根据你的具体需求进行修改。
你可能还需要添加日期、活动描述、积分规则等其他列，以使表格更具体和完整。
此外，你可以根据活动的重要性和不同类型的表现分配不同的权重，以反映不同活动对总积分的贡献程度。
初中生暑假积分表
初中生暑假积分表摘要：一、积分表简介1.积分表背景2.积分表目的3.积分表适用人群二、积分表内容1.积分项目2.积分标准3.积分奖励三、积分表使用方法1.积分获取2.积分兑换3.积分查询四、积分表的意义1.培养初中生的自我管理能力2.激发学习兴趣3.提高学习效率五、总结正文：【积分表简介】在我国，许多初中生都会在暑假期间进行各种课外学习活动，以充实自己，提高综合素质。
为了更好地激励学生积极参与，同时让家长了解孩子的学习进度，初中生暑假积分表应运而生。
它旨在通过积分奖励机制，激发学生的学习兴趣，帮助他们养成良好的学习习惯。
【积分表内容】积分表主要包括积分项目和积分标准两部分。
积分项目涵盖了学生在暑假期间的各种学习活动，如阅读、写作、参加线上课程等。
积分标准则是根据不同项目的难度和完成质量来设定的，难度越大、完成质量越高，所获得的积分也就越多。
此外，积分表还列出了积分奖励，学生可以根据积分兑换相应的奖品，如学习用品、书籍等。
【积分表使用方法】学生可以通过参与积分项目来获取积分，然后根据积分表查询自己的积分情况。
当积分达到一定数值后，学生可以兑换相应的奖品。
积分获取、积分兑换以及积分查询是积分表使用的三个主要环节，学生需要关注这三个环节，合理规划自己的学习进度，以便在暑假期间获得更多的积分奖励。
【积分表的意义】初中生暑假积分表对于学生的发展具有重要意义。
首先，积分表有助于培养学生的自我管理能力。
通过参与积分项目，学生需要自己安排学习进度，合理分配时间，这有利于他们养成良好的学习习惯。
其次，积分表可以激发学生的学习兴趣。
学生在完成学习任务的同时，还能获得积分奖励，这让他们更愿意主动学习。
最后，积分表有助于提高学生的学习效率。
学生在追求积分奖励的过程中，会努力提高学习效果，从而提高学习效率。
总之，初中生暑假积分表是一种有效的激励学生学习的方法。
通过积分奖励，它可以激发学生的学习兴趣，培养学生的自我管理能力，提高学生的学习效率。
第四节 积分表的使用方法
x
dx
2
9x 4
2
1 t2 9
1 dt dt 3 , 2 2 2 3 2 t t 2 t 4
上式右端积分的被积函数中有 t 2 22 , 在积分表 当 a = 2(x 相当于 t)时， (五)类中，查到公式 39， 得
dt
2
t
t 2 22
t2 4 C 4t
5 2 x 4 arctan tan C . 3 2 5 3
2.先进行变量代换，再查表
例3
9x2 4 解 该积分在积分表中直接查不到，要进行变
2
查表求
x
dx
.
1 1 量代换， x t , 令 3 x = t， 则 dx dt , 于是有 3 3
9x2 4 C. 12x
代入原积分中，得
x
dx
2
9x2 4
3
t2
9x2 4 C. 4x t 2 22 dt
3.用递推公式
例4
解
dx . 查表求 4 sin x
被积函数中含三角函数， 在积分表(十一)
类中查到公式 97，递推公式为
1 cos x n2 dx dx sin n x n 1 sin n1 x n 1 sin n2 x ,
等， 都不能用初等函数表示.
第四章 不定积分பைடு நூலகம்
第四节
例1 查表求
积分表的使用方法
dx . 2 x( 3 2 x )
1.在积分表中能直接查到的
解 被积函数含 a + bx 因式，在积分表(一)类 中，查到公式 9 ，当 a = 3，b = 2 时， 得
儿童积分表格
儿童积分表格儿童积分表格是一种用于记录和评估儿童行为的工具。
它通过积分的方式，帮助家长和教育者监测儿童的表现，促进积极的行为发展，并纠正消极的行为。
本文将介绍儿童积分表格的作用、使用方法以及一些有效的行为积分奖励策略。
一、儿童积分表格的作用儿童积分表格作为一种评估和奖励机制，具有以下几个重要作用：1. 奖励积极行为：儿童表现出积极的行为，如完成作业、尊重他人等，可以获得相应的积分。
这种正向激励有助于鼓励儿童持续展现积极行为。
2. 纠正消极行为：儿童如果展示消极的行为，如调皮捣蛋、不听话等，可能会减少积分。
这种扣分机制可以让儿童意识到自己的行为不当，并帮助他们改正错误。
3. 培养自我管理能力：儿童需要根据积分表格的规则和标准来管理自己的行为。
通过积分表格的使用，儿童可以学会自觉约束自己的行为，培养自我管理的能力。
二、儿童积分表格的使用方法儿童积分表格的使用方法相对简单，以下是一般的步骤：1. 设定目标和规则：在使用儿童积分表格之前，家长或教育者需要设定明确的目标和规则。
目标可以是完成作业、参与家务等，规则可以是不撒谎、尊重他人等。
2. 设计积分表格：根据儿童的实际情况，设计一个简洁美观的积分表格。
可以使用Excel制作电子版本，或手工绘制一份纸质版。
表格应包括日期、行为描述和对应的积分。
3. 记录儿童行为：每天或每周根据儿童的行为情况，在积分表格上做出相应的记录。
通过记录，家长和教育者可以清楚地了解儿童的行为表现。
4. 奖励和惩罚：根据儿童获得的积分，制定一套积分兑换制度或奖励策略。
兑换制度可以是儿童积攒一定积分后，可以换取心仪的礼物或活动；奖励策略可以是给予儿童更多的自主权或赞美。
5. 定期总结和调整：定期对儿童的积分情况进行总结，评估积分系统的效果，并及时对目标和规则进行适当的调整。
三、行为积分奖励策略为了让儿童积分表格更具效果，以下是一些行为积分奖励策略的建议：1. 奖励可操作性：将奖励设定为儿童可以自主选择的事物，如在电视时间上多给予一定的自主权。
群众每日积分统计表
群众每日积分统计表
摘要：
1.群众每日积分统计表的意义和作用
2.积分统计表的内容和构成
3.积分统计表的使用方法和注意事项
4.积分统计表的实际应用案例
正文：
一、群众每日积分统计表的意义和作用
群众每日积分统计表是一种记录和统计群众每日积分的数据表格，旨在鼓励群众积极参与各种活动，提升个人素质和团队凝聚力。
通过积分统计表，可以直观地了解群众的活动参与情况，便于组织者对活动进行调整和优化，从而提高活动效果。
二、积分统计表的内容和构成
积分统计表一般包括以下几个部分：
1.表格标题：明确指出表格的主题，如“群众每日积分统计表”。
2.表格日期：记录表格所对应的时间段，方便查询和统计。
3.姓名/编号：列出参与活动的群众姓名或编号，以便于识别和统计。
4.日积分：记录每个群众在当日所获得的积分。
5.累计积分：记录每个群众在整个活动期间所获得的积分总和。
三、积分统计表的使用方法和注意事项
1.使用方法：在活动进行期间，组织者需要每日更新积分统计表，将参与
活动的群众的积分情况进行记录和统计。
在活动结束后，组织者可以根据积分统计表对参与者进行奖励和表彰。
2.注意事项：积分统计表应保持真实、客观、公正，避免出现漏记、错记等情况；组织者应对积分统计表进行定期检查，确保数据的准确性；在活动结束后，积分统计表应妥善保存，以备日后查询和借鉴。
四、积分统计表的实际应用案例
以某公司举办的员工健身活动为例，组织者可以通过设置每日锻炼时长、参加健身课程等项目获得积分，并记录在每日积分统计表中。
篮球比赛积分表
篮球比赛积分表
背景
本文档旨在提供一份标准的篮球比赛积分表，以记录比赛结果
和球队积分。
积分表是一种常用的管理工具，能够清晰地展示各个
球队在比赛中的表现和排名情况。
篮球比赛积分表通常包含球队名称、胜场数、负场数、得分、失分以及积分等信息。
积分计算方法
球队在每场比赛中的胜利将获得2分，平局将获得1分，失败
将获得0分。
积分表按照球队获得的积分进行排序，积分高的球队
排名靠前。
当两个球队积分相同时，可根据净胜分（得分减去失分）来确定排名。
积分表示例
使用说明
为了使用积分表，您需要按照比赛结果更新每支球队的积分信息。
每次比赛结束后，将胜利球队获得2分，失败球队获得0分。
积分表将自动根据所提供的积分信息进行排序。
如果有多支球队积分相同，您可以通过比较净胜分来决定排名。
结论
篮球比赛积分表是一种简单而实用的管理工具，能够帮助您记录和监控球队在比赛中的表现和排名情况。
通过使用积分表，您可以及时了解球队的表现，并进行相应的调整和决策。
希望本文档对您有所帮助！。
第五节 积分表的使用 - CC 40 Support
x2 2x 5 1
3 arctan
3(
x 1 x2 2x
5)
C
作业
P221 3 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
C
2 3
arctan
3 tan
x 2
C
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
解法1 令 u 2x, 则
原式
1 2
du
du
u 2
u2 32
u u2 32
(P364 公式 37)
1 ln u2 32 3 C 1 ln 4x2 9 3 C
3
u
3
2x
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
解法2 令 u 4x2 9 , 则 u2 4x2 9, u du 4x d x
原式
4 x dx 4 x2 4x2 9
du u 2 32
( P363 公式 21 )
1 ln 6
u u
3 3
C
1 ln 6
等数学软件的符号演算功能求得 .
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例1.
求
5
d 4
x cos
x
.
解: 这里 a 5,b 4, 应使用P368 公式105 .
5
d 4
x cos
x
2 5 （ 4）
5 5
（ （
44））
arctan
5 5
（ （
3 arctan
3(
x 1 x2 2x
5)
C
作业
P221 3 ; 8 ; 19 ; 24 ; 25
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
C
2 3
arctan
3 tan
x 2
C
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
解法1 令 u 2x, 则
原式
1 2
du
du
u 2
u2 32
u u2 32
(P364 公式 37)
1 ln u2 32 3 C 1 ln 4x2 9 3 C
3
u
3
2x
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例2. 求
解法2 令 u 4x2 9 , 则 u2 4x2 9, u du 4x d x
原式
4 x dx 4 x2 4x2 9
du u 2 32
( P363 公式 21 )
1 ln 6
u u
3 3
C
1 ln 6
等数学软件的符号演算功能求得 .
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例1.
求
5
d 4
x cos
x
.
解: 这里 a 5,b 4, 应使用P368 公式105 .
5
d 4
x cos
x
2 5 （ 4）
5 5
（ （
44））
arctan
5 5
（ （
定积分表格计算法
定积分表格计算法
在求积分[公式]时，很简单，一次分部积分就好了。
但如果让你求的是[公式]甚至[公式]，分部积分就相当麻烦了。
于是诞生出了一个公式（方法）---表格法。
表格法的使用：以[公式]为例。
①画两行表格，[公式]放第一行首位，[公式]第二行首位。
然后第一行依次求导，第二行依次积分，如下，直到把[公式]求导到0为止。
②以[公式]为起点，左上、右下错位相乘，各项符号依次为“+”“-”“+”“-”
然后各项加起来就完事了。
即[公式]整理后答案为[公式]
有了这种方法我们得以秒杀一些简单积分。
如
此方法的推导很简单，用分部积分算下[公式]就可以退出来了。
其厉害之处在于，把积分式拆开，两者分别求导，积分，简便性大大提高。
连开头提到的[公式]都可以用表格法一步到位。
当然，该方法局限性是只能求带多项式[公式]的不定积分，如[公式],[公式],[公式]等。
但这已经够了，如果遇到sinx乘e^x这类积分，老实分部积分就好了，当然这类也有普遍公式，但形式过于复杂，就不再考虑。
基于综合评价的学生成长积分表的设计与使用
基于综合评价的学生成长积分表的设计与使用2022年10月，中共中央、国务院印发的《深化新时代教育评价改革总体方案》〔以下简称《方案》〕为教育评价指明了开展的方向，为教育的差异化赋能，引导学校由“重分数”向“重过程”转变，使其真正把立德树人成效作为根本目标，进而促进学生身心健康、全面开展。
《方案》的实施给予教育功能重新思考和定位，无论对哪一个层面或哪一个类别的教育而言，其影响和指导性都是“大同小异”。
“大同”就是“为党育人，为国育才”，“小异”就是“评价机制”在教育不同阶段的具体实施。
为更好地落实小学阶段的评价机制改革，我校设计了学生成长积分记录量表〔见表1〕，旨在鼓励学生多样化成长、成才。
一、学生成长积分表的设计理念〔一〕核心理念找准评价机制的改革切入点至关重要。
以往我校按照学生考试成绩来进行评价，考试是评价方式，分数是评价标准，学优生和学困生是评价结果。
这种评价方式明显单一，有的学生从三年级甚至是从一年级开始成绩就跟不上，比父母和老师的失望更严重的是学生本人的自我放弃;而那些所谓的好学生，成长也并非尽如人意，很多学生因为抗挫能力差，偶尔的一次成绩下滑就一蹶不振。
学校曾经尝试把分数按等级制来划分，或者是学生成绩不排名，然而这仅是评价标准的改变，教育的开展和改革无从谈起。
学生评价标准应该是考察综合能力的并持续跟踪。
假设有一套评价系统能根据学生的努力程度划分，引导学生不懈努力，帮助学生克服困难，最终使其不断进步，那么这套评价系统对学生最大的帮助应该是催促和提醒，无论在什么时候都能让学生看到成长的希望，这就是我校学生成长积分记录量表设计与使用的初衷。
1.科学记录，目及成长一张表格用6年，能够比拟客观全面地呈现学生身体、素养和成绩的全过程。
一是让学生看得见自己的成长，相信努力给自己带来的变化，从小培养学生成长型思维的意识;同时也有利于各学科教师对学生的了解，使其针对学成长过程中出现的问题进行有效诊断。
2.改革评价，提高目标为了提高学生学习的内驱力以及培养成长型思维模式的形成，建立以核心素养为导向的成长积分制。
足球比赛积分表
足球比赛积分表引言本文档旨在介绍如何创建一个足球比赛积分表。
积分表是一种常见的工具，用于记录和展示足球比赛的结果并计算球队的积分。
通过积分表，可以清晰地了解每支球队在比赛中的表现，并确定最终的排名。
步骤以下是创建足球比赛积分表的简单步骤：1. 确定参赛球队：首先，确定参与比赛的球队数量，并为每支球队分配一个唯一的标识符，例如球队名称或缩写。
确定参赛球队：首先，确定参与比赛的球队数量，并为每支球队分配一个唯一的标识符，例如球队名称或缩写。
2. 记录比赛结果：在每场比赛结束后，记录比赛的结果。
包括比赛的日期、参与球队、比分等信息。
这些信息将用于计算球队的积分。
记录比赛结果：在每场比赛结束后，记录比赛的结果。
包括比赛的日期、参与球队、比分等信息。
这些信息将用于计算球队的积分。
3. 计算积分：根据比赛结果，为每支球队计算积分。
一般来说，胜利积3分，平局积1分，失败不得分。
将每支球队的积分累加起来，得出总积分。
计算积分：根据比赛结果，为每支球队计算积分。
一般来说，胜利积3分，平局积1分，失败不得分。
将每支球队的积分累加起来，得出总积分。
4. 排名球队：根据球队的总积分，将球队进行排名。
积分高的球队排名靠前，积分低的球队排名靠后。
可以按照总积分从高到低的顺序排列球队。
排名球队：根据球队的总积分，将球队进行排名。
积分高的球队排名靠前，积分低的球队排名靠后。
可以按照总积分从高到低的顺序排列球队。
5. 展示积分表：创建一个表格，将球队的排名、名称、总比赛场数、胜场数、平局数、负场数、进球数、失球数和总积分等信息显示出来。
可以使用Microsoft Excel或其他类似的工具来创建和格式化表格。
展示积分表：创建一个表格，将球队的排名、名称、总比赛场数、胜场数、平局数、负场数、进球数、失球数和总积分等信息显示出来。
可以使用Microsoft Excel或其他类似的工具来创建和格式化表格。
6. 更新积分表：随着比赛的进行，记录和计算新的比赛结果，并相应更新积分表。
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第五节 积分表的使用
第四章
积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分
的效率, 已把常用积分公式汇集成表, 以备查用.
如 P347附录Ⅲ . 积分表的结构: 按被积函数类型排列
积分表的使用: 1) 注意公式的条件
2) 注意简单变形的技巧
注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple 等数学软件的符号演算功能求得 .
被积函数中含有 ax b
在积分表（一）中查得公式（7）
x 1 b ln | ax b | C ax b 2 dx a 2 ax b
现在 a 3, b 4 于是
x 1 4 ln | 3 x 4 | C . 3 x 42 dx 9 3 x 4
将 a 5, b 4 代入得
1 2 x 3 tan C . 5 4 cos xdx 3 arcot 2
例3 求
dx x 4x2 9
.
表中不能直接查出, 需先进行变量代换.
令2x u
4 x 2 9 u 2 32 1 du dx du 2 x 4 x 2 9 u 2 2 u u2 32 u 3 2 被积函数中含有 u 2 3 2 ,
3 sin x cos x 3 4 2 sin xdx sin xdx 4 4 2 sin xdx 使用公式（93） 对积分
x 1 sin xdx 2 4 sin 2 x C 3 sin x cos x 3 x 1 4 sin 2 x C . sin xdx 4 4 2 4
x 1
1 x 2x 5 1 x 1 C 3 arctan ln 3( x 2 2 x 5) 2 x2 2x 5 1
练 习 题
利用积分表计算下列不 定积分 : dx 2 1. . 2 . 2 x 9dx. 2 4x 9 x 3. x arcsin dx. 4. e 2 x sin 3 xdx. 2 1 1 5. 2 dx. 6. dx. 2 x (1 x ) x x 1 7.
1 6. arccos C . 7. x 8.
(1 x )(1 x ) 2 arcsin
一、关于积分表的说明
（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（四版）上册
（同济大学数学教研室主编）第452页．
二、例题
x dx . 例1 求 2 ( 3 x 4)
x
2
x 2dx.
2
8.
1 x dx. 1 x
练习题答案
1. 2. 3. 4. 1 ln 2 x 4 x 2 9 C . 2 1 9 2 2 2x 9 ln( 2 x 2 x 2 9 C . 2 4 x2 x x ( 1) arcsin 4 x2 C. 2 2 4 e 2 x 1 1 x ( 2 sin 3 x 3 cos 3 x ). 5. ln C. 13 x x x ( x 2 1) x 2 2 1 ln( x x 2 2 ) C . 4 2 x 1 C. 2
d cos t d sin t 2 3 2 2 4 cos t sin t 3
(P348 公式21) (P348 公式19)
x2 2x 5
1 2 cos t sin t ln 3 arctan C 2 2 cos t 3
2
t 2 x 1 2 tan t
在积分表（六）中查得公式（37）
dx 1 | x| x x 2 a 2 a ln a x 2 a 2 C du 1 |u| ln C 2 2 2 2 3 3 u 3 u u 3
将 u 2 x 代入得
dx 1 2| x | x 4 x 2 9 3 ln 3 4 x 2 9 C .
2
说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在， 但原函数不一定都是初等函数.
例 e
x2
dx ,
sin x x dx,
1 ln x dx.
例5. 求
解: 令 x 1 2 tan t , 则 dx 2 sec 2 t dt 原式
2 tan t 3
(4 tan t 3) 2 sec t
2
2 sec 2 t dt
2 sin t 3 cos t dt 2 2 t3 3 cos t 1) 2 4 (x (x 4 sin 1) 2 sin t dt cos t dt 2 3 2 2 4 sin t 3 cos t 4 sin 2 t 3 cos 2 t dcos t d sin t 2 3 2 2 4 cos t sin t 3
4 sin xdx . 例4 求
在积分表（十一）中查得公式（95）
n 1 sin x cos x n 1 n n 2 sin xdx sin xdx n n
利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使 用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这 个公式叫递推公式. 现在 n 4 于是
1 dx. 被积函数中含有三角函数 例2 求 5 4 cos x
在积分表（十一）中查得此类公式有两个
a 5, b 4 a 2 b 2 选公式（105）
dx 2 ab x ab a b cos x a b a b arcot a b tan 2 C
第四章
积分计算比导数计算灵活复杂, 为提高求积分
的效率, 已把常用积分公式汇集成表, 以备查用.
如 P347附录Ⅲ . 积分表的结构: 按被积函数类型排列
积分表的使用: 1) 注意公式的条件
2) 注意简单变形的技巧
注: 很多不定积分也可通过 Mathematica , Maple 等数学软件的符号演算功能求得 .
被积函数中含有 ax b
在积分表（一）中查得公式（7）
x 1 b ln | ax b | C ax b 2 dx a 2 ax b
现在 a 3, b 4 于是
x 1 4 ln | 3 x 4 | C . 3 x 42 dx 9 3 x 4
将 a 5, b 4 代入得
1 2 x 3 tan C . 5 4 cos xdx 3 arcot 2
例3 求
dx x 4x2 9
.
表中不能直接查出, 需先进行变量代换.
令2x u
4 x 2 9 u 2 32 1 du dx du 2 x 4 x 2 9 u 2 2 u u2 32 u 3 2 被积函数中含有 u 2 3 2 ,
3 sin x cos x 3 4 2 sin xdx sin xdx 4 4 2 sin xdx 使用公式（93） 对积分
x 1 sin xdx 2 4 sin 2 x C 3 sin x cos x 3 x 1 4 sin 2 x C . sin xdx 4 4 2 4
x 1
1 x 2x 5 1 x 1 C 3 arctan ln 3( x 2 2 x 5) 2 x2 2x 5 1
练 习 题
利用积分表计算下列不 定积分 : dx 2 1. . 2 . 2 x 9dx. 2 4x 9 x 3. x arcsin dx. 4. e 2 x sin 3 xdx. 2 1 1 5. 2 dx. 6. dx. 2 x (1 x ) x x 1 7.
1 6. arccos C . 7. x 8.
(1 x )(1 x ) 2 arcsin
一、关于积分表的说明
（1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果. （4）积分表见《高等数学》（四版）上册
（同济大学数学教研室主编）第452页．
二、例题
x dx . 例1 求 2 ( 3 x 4)
x
2
x 2dx.
2
8.
1 x dx. 1 x
练习题答案
1. 2. 3. 4. 1 ln 2 x 4 x 2 9 C . 2 1 9 2 2 2x 9 ln( 2 x 2 x 2 9 C . 2 4 x2 x x ( 1) arcsin 4 x2 C. 2 2 4 e 2 x 1 1 x ( 2 sin 3 x 3 cos 3 x ). 5. ln C. 13 x x x ( x 2 1) x 2 2 1 ln( x x 2 2 ) C . 4 2 x 1 C. 2
d cos t d sin t 2 3 2 2 4 cos t sin t 3
(P348 公式21) (P348 公式19)
x2 2x 5
1 2 cos t sin t ln 3 arctan C 2 2 cos t 3
2
t 2 x 1 2 tan t
在积分表（六）中查得公式（37）
dx 1 | x| x x 2 a 2 a ln a x 2 a 2 C du 1 |u| ln C 2 2 2 2 3 3 u 3 u u 3
将 u 2 x 代入得
dx 1 2| x | x 4 x 2 9 3 ln 3 4 x 2 9 C .
2
说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在， 但原函数不一定都是初等函数.
例 e
x2
dx ,
sin x x dx,
1 ln x dx.
例5. 求
解: 令 x 1 2 tan t , 则 dx 2 sec 2 t dt 原式
2 tan t 3
(4 tan t 3) 2 sec t
2
2 sec 2 t dt
2 sin t 3 cos t dt 2 2 t3 3 cos t 1) 2 4 (x (x 4 sin 1) 2 sin t dt cos t dt 2 3 2 2 4 sin t 3 cos t 4 sin 2 t 3 cos 2 t dcos t d sin t 2 3 2 2 4 cos t sin t 3
4 sin xdx . 例4 求
在积分表（十一）中查得公式（95）
n 1 sin x cos x n 1 n n 2 sin xdx sin xdx n n
利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使 用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这 个公式叫递推公式. 现在 n 4 于是
1 dx. 被积函数中含有三角函数 例2 求 5 4 cos x
在积分表（十一）中查得此类公式有两个
a 5, b 4 a 2 b 2 选公式（105）
dx 2 ab x ab a b cos x a b a b arcot a b tan 2 C