[原创]2021年 《南方新中考》 数学 第一部分 第五章 第2讲 图形的相似[配套课件](精品课件

第五章图形与变换第1讲图形的轴对称、平移与旋转1．(2013年广东)下列图形中，不是轴对称图形的是()A B C D2．(2014年广东)在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A B C D3．(2013年广东广州)如图5-1-11，在6×6方格中，将图(1)中的图形N平移后的位置如图(2)，则图形N的平移方法中，正确的是()A．向下移动1格B．向上移动1格C．向上移动2格D．向下移动2格图5-1-11图5-1-12图5-1-134．(2014年广东梅州)如图5-1-12，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D.若∠A′DC＝90°，则∠A＝________.5．(2014年广东)如图5-1-13，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′.若∠BAC ＝90°，AB＝AC＝2，则图中阴影部分的面积等于________．6．(2013年广东茂名)在格纸上按以下要求作图，不写作法．(1)在图5-1-14中作出“小旗子”向右平移6格后的图案；(2)在图5-1-14中作出“小旗子”绕O点按逆时针方向旋转90°后的图案．图5-1-147．(2013年广东梅州)如图5-1-15，在平面直角坐标系中，A(－2,2)，B(－3，－2)．(1)若点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标为________；(2)将点A向右平移5个单位得到点D，则点D的坐标为________；(3)由点A，B，C，D组成的四边形ABCD内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．图5-1-158．(2012年广东深圳)如图5-1-16，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF，CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c.请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．图5-1-16A级基础题1．(2013年内蒙古呼和浩特)观察图5-1-17所示的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有()图5-1-17A．1个B．2个C．3个D．4个2．(2013年四川遂宁)将点A(3,2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是()A．(－3,2) B．(－1,2) C．(1,2) D．(1，－2)3．(2014年广西桂林)如图5-1-18，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是()A．70°B．35°C．40°D．50°图5-1-18图5-1-19 图5-1-20 4．(2014年四川德阳)如图5-1-19，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为() A．(3，1)B．(3，－1) C．(1，－3) D．(2，－1)5．(2014年山东泰安)将两个斜边长相等的三角形纸片如图5-1-20①放置，其中∠ACB ＝∠CED＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°.把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图5-1-20②.连接D1B，则∠E1D1B的度数为()A．10°B．20°C．7.5°D．15°6．(2012年贵州遵义)把一张正方形纸片按如图5-1-21(1)(2)所示对折两次后，再按如图5-1-22(3)所示挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是()图5-1-21A B C D7．(2014年广西钦州)如图5-1-22，△A′B′C′是△ABC经过某种变换后得到的图形．如果△ABC中有一点P的坐标为(a,2)，那么变换后它的对应点Q的坐标为________．图5-1-22 图5-1-238．(2013年河北)如图5-1-23，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝________.9．(2013年黑龙江牡丹江)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图5-1-24，A(0,6)，D(4,0)，将菱形ABCD先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O旋转90°，则边AB中点的对应点的坐标为______________．图5-1-2410．(2013年四川广元)以图5-1-25(1)(以O为圆心，半径为1的半圆)作为“基本图形”，分别经历如下变换，能得到图5-1-25(2)的有____________．图5-1-25①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．11．(2013年黑龙江龙东)方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图5-1-26.(1)将△ABC向上平移3个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)作出△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2；(3)将△ABC绕点O顺时针旋转90°，请画出旋转后的△A3B3C3，求点B在旋转过程中所经过的路径长(结果保留π)．图5-1-26B级中等题12．(2014年江苏宿迁)如图5-1-27，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD ＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点．过点E作与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A，B，C三点在同一直线上时[如图5-1-27(1)]，求证：M为AN的中点；(2)将图5-1-27(1)中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时[如图5-1-27(2)]，求证：△CAN为等腰直角三角形．(1)(2)图5-1-27C级拔尖题13．(2013年贵州六盘水)(1)观察发现．如图5-1-28，若点A，B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P.线段AB′的长度即为AP＋BP的最小值．图5-1-28图5-1-29如图5-1-29，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这就是所求的点P.故BP＋PE的最小值为______________．(2)实践运用．如图5-1-30，已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，则BP＋AP的最小值为________________．图5-1-30(3)拓展延伸．如图5-1-31，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB，BC上作出点M，N，使PM ＋PN的值最小．(保留作图痕迹，不写作法)图5-1-31第五章 图形与变换第1讲 图形的轴对称、平移与旋转【真题·南粤专练】1．C 2.C 3.D 4.55° 5.2－1 6．解：(1)(2)如图55.图55 图567．解：(1)(2，－2) (2)(3,2) (3)如图56，四边形ABCD 内(不包括边界)任取一个横、纵坐标均为整数的点有15个．其中横、纵坐标之和恰好为零的有3个．所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是315＝15. 8．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠AEF ＝∠EFC . 由折叠的性质，得∠AEF ＝∠CEF ，AE ＝CE ，AF ＝CF . ∴∠EFC ＝∠CEF .∴CF ＝CE .∴AF ＝CF ＝CE ＝AE .∴四边形AFCE 为菱形．(2)解：a ，b ，c 三者之间的数量关系式为：a 2＝b 2＋c 2. 理由：由折叠的性质，得CE ＝AE . ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝90°. ∵CE ＝AE ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ， 在Rt △DCE 中，CE 2＝CD 2＋DE 2.∴a ，b ，c 三者之间的数量关系式为：a 2＝b 2＋c 2. 【演练·巩固提升】 1．C 2.C 3.C 4.B5．D 解析：由题意可知，∠CD 1E 1＝∠D ＝30°，∠D 1CE 1＝∠DCE ＝90°－30°＝60°. ∵把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1， ∴∠BCE 1＝15°，∴∠D 1CB ＝60°－15°＝45°.在△ACB 与△D 1BC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD 1，∠ABC ＝∠D 1CB ＝45°，CB ＝BC .∴△ACB ≌△D 1BC (SAS)．∴∠CD 1B ＝∠A ＝45°.∴∠E 1D 1B ＝∠CD 1B －∠CD 1E 1＝45°－30°＝15°. 故选D.6．C 7.(a ＋5，－2) 8.95°9．(－5,7)或(5，－7) 10.②③④11．解：(1)图略． (2)图略． (3)图略．点B 在旋转过程中所经过的路径长为：90π·17 180＝17 2π.12．证明：(1)∵点M为DE的中点，∴DM＝ME.∵AD∥EN，∴∠ADM＝∠NEM.又∵∠DMA＝∠EMN，∴△DMA≌△EMN.∴AM＝MN，即M为AN的中点．(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知，DA＝EN.又∵DA＝AB，∴AB＝NE.∵∠ABC＝∠NEC＝135°，BC＝CE，∴△ABC≌△NEC.∴AC＝CN，∠ACB＝∠NCE.∵∠BCE＝∠BCN＋∠NCE＝90°，∴∠BCN＋∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°.∴△CAN为等腰直角三角形．13．解：(1) 3(2)2解析：如图57，作B点关于CD的对称点E，连接AE，交CD于点P.连接OA，OB，OE，P A，PB，∵AC的度数为60°，且点B是AC的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝30°.∵点B与点E关于CD对称，∴∠COE＝∠BOC＝30°.∴∠AOE＝3×30°＝90°.∵⊙O的直径CD为2，∴OA＝OE＝1.在Rt△AOE中，AE＝OA2＋OE2＝12＋12＝ 2.∴BP＋AP＝EP＋AP＝AE＝ 2.(3)如图58.图57 图58。

第2讲 图形的相似1．(2014年某某某某)若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D ．4∶12．(2014年某某某某)如图5­2­10，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG ，DE ，DE 和FG 相交于点O .设AB ＝a ，CG ＝b (a >b )．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③DG GC ＝GO CE；④(a －b )2·S △EFO ＝b 2·S △DGO .其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个图5­2­10 图5­2­113．(2014某某某某)如图5­2­11，双曲线y ＝k x 经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足AO AB＝23，与BC 交于点D, S △BOD ＝21，则k ＝________. 4．(2013年某某某某)如图5­2­12，网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF .图5­2­125．(2012年某某某某)如图5­2­13，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E . (1)求证：△ADE ∽△BCE ；(2)如果AD 2＝AE ·AC ，求证：CD ＝CB .图5­2­136．(2012年某某某某)如图5­2­14，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE，交AD于点P.求证：(1)D是BC的中点；(2)△BEC∽△ADC；(3)AB·CE＝2DP·AD.图5­2­14A级基础题1．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为( )A．1,2,3,4 B．1,2,2,4 C．3,5,9,13 D．1,2,2,32．(2013年)如图5­2­15，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB＝( )A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m图5­2­15 图5­2­163．(2013年某某)如图5­2­16，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB＝( )A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶54．(2014年某某)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：对于两人的观点，下列说法正确的是( )A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对5．(2013年某某某某)如图5­2­17，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，AD＝1，BC＝4，则△AOD与△BOC的面积之比等于( )A.12B.14C.18D.116图5­2­17图5­2­186．(2013年某某威海)如图5­2­18，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论错误的是( )A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABCC．S△BCD＝S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点7．(2014年某某某某)如图5­2­19，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度．移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O，此时O点与竹竿的距离OD＝6 m，竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为________m.图5­2­19图5­2­20图5­2­21 8．(2014年某某某某)如图5­2­20，在平行四边形ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形________．9．(2013年某某某某)如图5­2­21，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3,0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为(－1,0)，则点B′的坐标为________．10．(2012年某某株洲)如图5­2­22，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O.(1)求证：△∽△CBA；(2)求线段OM的长度．图5­2­22B级中等题11．如图5­2­23，大江的同一侧有A，B两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，AD，BE的长度分别为3 km和2 km，且两条小路之间的距离为5 km.现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管路最短，则供水站应建在距E处多远的位置？图5­2­2312.(2012年某某株洲)如图5­2­24，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5 m ，AC ＝12 m ．点M 在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1 m/s ；同时点N 在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2 m/s ，运动时间为t s .(1)当t 为何值时，∠AMN ＝∠ANM ；(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大，并求出这个最大值．图5­2­24C 级 拔尖题BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm,8 cm ，为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 应为多长(材质及其厚度等暂忽略不计)?图5­2­25第2讲 图形的相似【真题·南粤专练】 1．B2．B 解析：①由四边形ABCD 、CEFG 都是正方形， 可得BC ＝DC ，CG ＝CE ，∠BCG ＝∠DCE . ∴△BCG ≌△DCE (SAS)．故①正确．②如图59，延长BG 交DE 于点H ，由①，得∠CDE ＝∠CBG ，∠DGH ＝∠BGC .∴∠BCG ＝∠DHG ＝90°.故②正确．③由GF ∥CE ，可证△DGO ∽△DCE .∴DG DC ＝GO CE ，而不是DG GC ＝GO CE.故③不正确．④△EFO ∽△DGO ，S △EFO S △DGO 等于“相似比”的平方，即S △EFO S △DGO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EF DG 2＝b 2a －b2.∴(a －b )2S △EFO ＝b 2S △DGO .故④正确．故选B.图59 图603．8 解析：如图60，过A 作AE ⊥x 轴于点E .∵S △OAE ＝S △OCD ，∴S 四边形AECB＝S △BOD ＝21.∵AE ∥BC ，∴△OAE ∽△OBC .S △OAE S △OBC ＝S △OAE S △OAE ＋S 四边形AECB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AO OB 2＝425. ∴S △OAE k ＝8.4．解：∵AC ＝2，BC ＝10，AB ＝4，DF ＝2 2，EF ＝210，DE ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE＝12. ∴△ABC ∽△DEF .5．证明： (1)∵CD ＝CD ，∴∠A ＝∠B . 又∵∠CEB ＝∠AED ，∴△ADE ∽△BCE .图61(2)如图61，由AD 2＝AE ·AC ，得AE AD ＝AD AC. 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACD . ∴∠AED ＝∠ADC . 又∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，即有∠AED ＝90°. ∴直径AC ⊥BD .∴CD ＝BC .∴CD ＝CB .6．证明：(1)∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC . 又∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点． (2)在△BEC 与△ADC 中， ∵∠C ＝∠C ，∠CAD ＝∠CBE ，∴△BEC ∽△ADC .(3)∵△BEC ∽△ADC ，∴AC BC ＝CD CE. 又∵D 是BC 的中点， ∴2BD ＝2CD ＝BC . ∴AC 2BD ＝BD CE.则2BD 2＝AC ·CE .① 在△BPD 与△ABD 中，有∠BDP ＝∠BDA . 又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD . 又∵∠CAD ＝∠CBE ，∴∠DBP ＝∠BAD . ∴△BPD ∽△ABD .∴BD PD ＝AD BD.则BD 2＝PD ·AD .②∴由①，②，得AC ·CE ＝2BD 2＝2PD ·AD . ∴AB ·CE ＝2DP ·AD . 【演练·巩固提升】8．△DCF ∽△EBF (或△DCF ∽△EAD ，△DCF ∽△BAP ，△EAD ∽△BAP ，△BAP ∽△EBF ，△EAD ∽△EBF ，答案不唯一)．9.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－4 10．(1)证明：∵A 与C 关于直线MN 对称， ∴AC ⊥MN .∴∠＝90°.在矩形ABCD 中，∠B ＝90°，∴∠＝∠B . 又∵∠ACB ＝∠MCO ，∴△∽△CBA . (2)解：∵在Rt △CBA 中，AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，∴OC ＝5. ∵△∽△CBA ，∴OC CB ＝OM AB ，OM ＝154.11．解：如图62，作出点B 关于江边的对称点C ，连接AC ，则BF ＋FA ＝CF ＋FA ＝CA .根据两点之间线段最短可知，当供水站在点F 处时，供水管路最短．∵△ADF ∽△CEF ，∴设EF ＝x ，则FD ＝5－x . 根据相似三角形的性质，得EF FD ＝CE AD ，即x 5－x ＝23.解得x ＝2. 故供水站应建在距点E 2 km 处．图6212．解：(1)由题意，得AM ＝12－t ，AN ＝2t . 若∠AMN ＝∠ANM ，则AM ＝AN .从而12－t ＝2t .解得t ＝4. ∴当t 为4 s 时，∠AMN ＝∠ANM . (2)如图63，过点N 作NH ⊥AC 于点H ，图63∴∠NHA ＝∠C ＝90°.∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA .∴AN AB ＝NH BC ，即2t 13＝NH 5.∴NH ＝10t 13. 从而有S △AMN ＝12(12－t )·10t 13＝－513t 2＋6013t ＝－513(t －6)2＋18013.∴当t ＝6 s 时，S 有最大值为18013m 2.13．解：如图64，过点C 作CM ∥AB ，交EF ，AD 于点N ，M ，作CP ⊥AD ，交EF ，AD 于点Q ，P .图64由题意，得四边形ABCM 是平行四边形， ∴EN ＝AM ＝BC ＝20.∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知，CP＝40，PQ＝8，∴CQ＝32. ∵EF∥AD，∴△F∽△CMD.∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240.解得NF＝24.∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为44 cm.。