最短路径---饮马问题

中考专题复习——饮马问题及其拓展
一、专题分析
初中数学路径最短问题通常是指利用两点之间线段最短和垂线段最短等基本原理求点与点，点与线距离最短的问题。

由于这类问题除了领用两大原理外，还柔和了“轴对称”、“平移”“旋转”、“展开”等变换，以及与直角坐标系中函数图象的综合，体现了知识的综合应用，也能很好的考察学生的空间想象力和数形结合的能力以及化归于转化的能力和灵活应变的能力，因此是中考数学考试的一个热点。

初中最短路径问题，根据使用的数学原理，主要分为两类，一类是利用两点之间线段最短解决的问题；一类是利用垂线段最短解决的问题。

其中在第一类问题中，最著名的主要有“造桥选址问题”、“饮马问题”、“蚂蚁吃蜂蜜问题”，考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，根据两点之间线段最短来说明路径最短。

二、教学目标
1、理解饮马问题的解题原理，掌握解题方法，会求最短距离
2、对于饮马问题的变式问题，能灵活应用其解题思路来解决问题。

3、通过该专题提升学生数形结合的能力和培养学生化归与转化的数学思想的应用能力。

三、教学重点
饮马问题的典型问题及其解法
四、教学难点
饮马问题的变式问题及其解法
五、教学方法
引领探究教学法
六、教学媒体
希沃电子白板+PPT课件
教学过程
一、问题原型
将军在战场（A处）A大获全胜，人饥马渴，想到河边（直线MN处）饮马，然后回到帐篷（B 处）休息，问将军选择在何处饮马，才能使他从战场到帐篷所走的路程最短？
图一图二
分析：作点A关于直线MN的对称的A’,连接BA’与直线MN交于点P，连AP，BP则直线MN 上，点P到点A和点B的距离之和AP+BP最小。

即将军在P处饮马，能使他从战场到帐篷所走的路程最短。

原因分析：
设P’使直线MN上除点P外的任一点，连AP’
和BP’、A’P’，因为MN是线段AA’的垂直
平分线，∴AP’=A’P’，AP=A’P
∴AP’+BP’=A’P’+BP’，AP+BP=A’B
∵在△A’P’B中，两边之和大于第三边
∴A’P’+P’B＞A’B
∴AP’+BP’＞AP+BP
∴点P到A，B的距离之和最短
另一方面，利用轴对称，我们把在直线MN同侧的两点转化为直线MN的异侧，就把这一问题转化为了“两点之间线段最短”的问题。

几何模型：“两静一动，三点一线”
这是一个“两定”“一动”的问题，即两定点在直线的同侧，在直线上找出与两定点距离之和最小的点。

操作方法：
作出（或找出）其中一个定点关于这条直线的对称点，该对称点与另一定点的连线与动点所在直线的交点，就是直线上与两定点距离之和最小的点。

计算方法：“化折为直”
把两条折线转化为一条直线，通过解三角形来计算最短路径的长。

解题步骤：识别---寻点---连线---说明---计算
二、简单举例：
例、
①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使
所用的水管最短。

②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。

请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。

③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。

三、典型应用：
1、在三角形中的应用
例1，如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+MC的最小值。

图一图二图三
图(2)
E
B
D A
C
P
例2、如图，在锐角△ABC 中，AB=24,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是
图一 图二
2、在特殊四边形中的应用
例1、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为。

图一 图二
例2、在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为。

图(3)D B A O
C
P
3、在圆中的应用
例1、AB 是⊙O 的直径，AB=2，OC 是⊙O 的半径，OC ⊥AB ，点D 在弧AC 上，弧AD = 2倍弧CD ，点P 是半径OC 上的一个动点，则AP+PD 的最小值为_____。

图一 图二 4、在函数图像中的应用
例1、一次函数y=kx+b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
例2、如图，直线33+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B.抛物线)0()2(2
≠+-=a k x a y 经过A ，B 两点，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P 。

（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使△ABM 的周长最小？若存在，求△ABM 的周长，若不存在，请说明理由。

图一 图二
四、典型应用练习题
1、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为____。

2、如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙0上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=1,则△PMN周长的最小值为
3、在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，
点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线
段EF上找一点P，使BP+AP最短．
4、如图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度
数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求
BP+AP的最小值．
5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且
抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点
B．
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M，使△ACM周长最小，
请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值．（结果保留根号）
五、课堂小结
1、什么是“饮马问题”？
2、解决“饮马问题”一般步骤是什么？
3、怎样在不同的几何图形中识别“饮马问题”并达到求最短路径的目的？
六、课后作业
△是等边三角形，点E在
1、(2009年抚顺市)如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE
A D
P
E
正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26
C ．3
D ．6
2、（07南通）已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C 在x 轴的正半轴上．关于y 轴对称的抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过A 、D(3，－2)、P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上． (1)求直线BC 的解析式；
(2)求抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的解析式及点P 的坐标； (3)设M 是y 轴上的一个动点，求PM ＋CM 的取值范围．
3、（09年新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为
A
B O
(第4题图)
D x
y
y
O
x
P
D
B
(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重
合）．
（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总造桥与PD 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式； （3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；
（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．。