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选修基本不等式

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选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)

选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)

a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六

高三选修基本不等式知识点总结

高三选修基本不等式知识点总结

高三选修基本不等式知识点总结高中数学中，基本不等式是一项重要的内容，也是学习不等式的基础。

掌握基本不等式的知识，对于解决解析几何和一元二次函数的相关问题以及应对高考数学题目都有着重要的作用。

本文将对高三选修基本不等式的知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、不等式的基础概念在掌握基本不等式之前，我们首先要明确不等式的基础概念。

不等式是一种数学关系，通过不等于号（>、<、≥、≤）来表示数之间的大小关系。

在解不等式时，我们需要找到使不等式成立的数的范围，这个范围就是不等式的解集。

解不等式的方法包括图像法、试位法、代入法等，具体的解法要根据具体的不等式形式进行选择。

二、基本不等式的形式和证明1. 平均值不等式平均值不等式是基本不等式的核心内容之一。

设有n个正数a₁，a₂，...，aₙ，则它们的算术平均数不大于它们的几何平均数，即(a₁+a₂+...+aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。

这一不等式的证明可通过构造不等式链进行完成，具体证明过程略。

2. 开平方不等式开平方不等式是基于二次函数的求解加以证明的不等式。

设函数f(x) = x²为所考察不等式的左侧，即 f(x) > 0。

我们通过研究函数f(x)的图像，得到不等式的解集。

3. 其他常用基本不等式除了平均值不等式和开平方不等式之外，以下这些基本不等式也是我们在高中数学中经常会遇到的，同学们需要注意这些不等式的性质并掌握其应用方法。

- Cauchy-Schwarz不等式- AM-GM不等式- Jensen不等式- Muirhead不等式- Schur不等式- Holder不等式三、基本不等式的应用了解基本不等式的形式和证明只是学习的一部分，我们还需要应用这些不等式解决实际问题。

以下是一些典型的基本不等式应用示例。

1. 解决最值问题通过利用基本不等式，我们可以解决一些求最值的问题。

例如，求证当a+b+c=3时，有(a²+3)(b²+3)(c²+3) ≥ 64。

高中数学-选修4-5不等式的基本性质

高中数学-选修4-5不等式的基本性质
即 加法法则：同向可相加
性质6 若a > b>0 ，且 c >d>0，那么 ac > bd . 也就是说，两边都是正数的同向不等式相乘，所得 的不等式和原不等式同向。
即 乘法法则：同向可相乘
性质7 如果 a > b>0, 那么an bn.(n N, n 1)
也就是说，当不等式的两边都是正数时，不等式两 边同时乘方所得的不等式与原不等式同向
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式的基本性质
一、实数比较大小的理论依据
ab0 a b ab0 a b ab0 a b
要比较两个实数的大小，只要考察他们的差与0 的大小就可以了.
二、不等式的基本性质
性质1： 如果 a > b ，那么 b < a ；
如果 b < a ，那么 a > b.
题型3：利用不等式的性质求取值范围
例4：已知12 a 60,15 b 36,求a b 及 a的取值范围。
b
例5：已知f (x) ax2 c,且 4 f (1) 1, 1 f (2) 5,求f (3)的取值范围。
a>b b<a
性质2：如果 a > b ，且 b > c ，那么 a > c .
a > b ，b > c
等价命题是： c<b, b<a
a>c c<a
性质3：如果 a > b，那么 a + c > b + c。
(1) 等价命题：如果 a < b，那么 a + c < b + c
(2) 移项法则：如果 a + b > c，那么 a > c－b

1.1.2.基本不等式 课件(人教A选修4-5)

1.1.2.基本不等式 课件(人教A选修4-5)

a＋b 如果 a，b 都是正数，我们就称 2 为 a，b 的算术平均，
ab 为 a，b 的几何平均．
4．利用基本不等式求最值 对两个正实数 x，y， (1)如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 积 P 取得最 大 值； (2)如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 和 S 取得最 小 值．
行证明．
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同 向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不 等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话 要搞清楚．
[通一类] 1．设a，b，c∈R＋，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
证明：∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又 a，b，c∈R＋， ∴ a2＋b2≥

每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平
均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付 的总费用最少？ (2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此 优惠条件？请说明理由．
2
2 2 |a＋b|＝ (a＋b)． 2 2
2
2 2 2 2 同理： b ＋c ≥ (b＋c)， c ＋a ≥ (a＋c)． 2 2
三式相加， 得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当且仅当 a＝b＝c 时取等号.
[研一题]
[例 2] 1 9 已知 x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
[精讲详析]
本题考查基本不等式在证明不等式中的应
用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋ a分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．

人教数学选修4-5全册精品课件：第一讲一2.基本不等式第一课时

人教数学选修4-5全册精品课件：第一讲一2.基本不等式第一课时

即：a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2.
(2)∵当 a>0，b>0 时 a＋b≥2 ab， bc ac ∴ ＋ ≥2 a b bc ac · ＝2c. a b bc ab · ＝2b. a c
bc ab 同理： ＋ ≥2 a c ac ab ＋ ≥2 b c
ac ab · ＝2a. b c
2．基本不等式
第一课时
学习目标
第 一 课 时
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.理解并掌握基本不等式的结构和成立的条
件，及它的几种变形形式和公式的逆运用；
2．利用基本不等式比较大小，证明不等式．
课前自主学案
1．对于任意实数a都有a2≥ __0；当且仅当a＝ __时等号成立； 0
2．对于任意实数a，b都有a2＋b2__2ab，当 ≥ 且仅当____时等号成立； a＝b
2
2
3 3
【错因】 审题出错，a，b，c不全相等与a， b，c各不相等混淆．三式相乘的条件不充 分．
【自我校正】 ∵a，b，c 是不全相等 的三个正数， ∴a2b＋b2a≥2 a3b3>0； a2c＋c2a≥2 a3c3>0； b2c＋c2b≥2 b3c3>0. 在以上三个不等式中至少有一个不取等 号． ∴将以上三个不等式相乘可得 (a2b＋b2a)(a2c＋c2a)(b2c＋c2b)>8a3b3c3.
课堂互动讲练
考点突破 利用基本不等式比较大小
例1 若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则 a＋
b，2 ab，2ab，a ＋b 中最大的是( A．a2＋b2 C．2ab B．2 ab D．a＋b
2

高中数学人教A版选修4-5112基本不等式教案

高中数学人教A版选修4-5112基本不等式教案

课题名称1.1.2 基本不等式三维目标学习目标1. 理解重要不等式与基本不等式，知道不等式等号成立的条件;2. 初步掌握不等式证明的方法重点目标理解重要不等式与基本不等式，知道不等式等号成立的条件导入示标难点目标初步掌握不等式证明的方法目标三导学做思一：自学探究问题1.如果,a b R∈, 那么222a b ab+≥.（当且仅当a b=时, 等号成立）.你能从几何的角度解释这个结论吗？学做思二问题2.如果,a b R+∈, 那么2a bab+≥（当且仅当a b=时, 等号成立）.你能从几何的角度解释这个结论吗？★问题3.重要不等式和基本不等式在应用时要注意哪些方面？学做思三技能提炼★ 1.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求1abab+的最小值.2.设,a R ∈b ，求证：(1) 22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭;(2) 222a b c ab bc ac ++≥++．3. (1) 设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ;(2) 设x 、y 是正实数，且x+y=5,则lgx+lgy 的最大值是____________________ ;(3) 若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ． 达标检测变式反馈1.一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量,要求十字应具有254cm 的面 积，问应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省．2.（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+,指出等号成立的条件；。

选修4-5基本不等式


以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
12
Q 1 (lg a lg b), R lg( a b) ，则（ B ）
2
2
A、R P Q B、P Q R C、R P Q D、P Q R
题型二：解决最大（小）值问题
结论：利用 a b 2 ab (a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
1.若a1, a2 , a3,an R ,
则a1 a2 a3 an nn a1 a2 an
当且仅当a1 a2 a3 an时取 号
4.若பைடு நூலகம், b R , 则
1
2
1
ab a b 2
ab
a2 b2 2
几何平均数 算术平均数 平方平均数 调和平均数
（当且仅当a=b时，取“=”号）
ab叫做a,b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为：
算术平均数
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
1、重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？ 基本不等式可以看作是重要不等式的变形，但它们
的前提条件不同。重要不等式中a,b属于全体实数，
而基本不等式中a,b均为大于0的实数。 2、重要不等式与基本不等式的几个推广公式：
B、6 3 C、4 6 D、18 3
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数 y 1 x(x 3)的最小值
x3
例5、求函数 y x2 5 的最小值
x2 4
例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求

选修4-5基本不等式

应用
幂平均不等式在经济学、统计学和信息理论中有广泛应用， 特别是在估计期望值和方差时。
贝努利不等式
定义
对于任意实数$x_1, x_2, ..., x_n$，
有$(x_1 + x_2 + ... +
x_n)(frac{1}{n} + frac{1}{n} + ...
&eq
(sqrt[n]{x_1x_2...x_n})^2$。
证明
利用数学归纳法和平方差公式。
切比雪夫不等式
定义
对于任意的非负随机变量 $X$ 和正实数 $t$，有 $P(|X| geq t) leq frac{mathbb{E}(X^2)}{t^2}$。
证明
利用数学归纳法和期望的性质。
赫尔德不等式
定义
对于任意的正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有 $left(frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}right)^n geq left(frac{a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n}{n}right)$。
证明
利用数学归纳法和二项式定理。
柯西不等式
定义
对于任意的正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和 $b_1, b_2, ..., b_n$，有 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$。
应用
贝努利不等式在概率论、统计学 和决策理论中有广泛应用，特别 是在处理期望值和方差时。

高中数学选修4《基本不等式》导学案

1 §1.1.2基本不等式一、学习目标1．理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题．【重点、难点】教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

二、学习过程【情景创设】1.我们已经学过重要不等式()R b a ab b a ∈≥+,222，该不等式是怎么推导的？ 2.根据1中重要不等式推导b a ab b a ++,,22),(+∈R b a 的不等关系.并思考它们如何应用.【导入新课】自学探究：（阅读课本第5-7页，完成下面知识点的梳理）1.定理1：如果R b a ∈,，那么 ，当且仅当 时，等号成立.2.定理2（基本不等式）如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2，当且仅当 时，等号成立. 说明：1. 基本不等式ab ≤a ＋b 2(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；(3) 结论：两个非负数a ，b 的算术平均数不小于其几何平均数．2. 应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。

“积定和最小；和定积最大”。

三 、典例分析例1.(1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值.例2.(1)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；2例3.已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．【变式拓展】变式1：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。

变式2：若26x y +=，求24x y +的最小值四、总结反思1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，这三个条件缺一不可。

高考数学选修4-5复习《不等关系与基本不等式》


D．(12)a＜(12)b
【解析】 结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较 大小，或用特殊值法判断．
a＞b 并不能保证 a，b 均为正数，从而不能保证 A，B 成 立．又 a＞b⇒a－b＞0，但不能保证 a－b＞1，从而不能保证 C 成立．
显然只有 D 成立．事实上，指数函数 y＝(12)x 是减函数， 所以 a＞b⇔(12)a＜(12)b 成立． 【答案】 D
依题意bbaan＋n 1＝q3q＋3＋n－nd1－d1－1q＝641d＝26d， ③
由②知，q 为正有理数，
∴d 为 6 的因子 1,2,3,6 中之一，
因此由②③知 d＝2，q＝8，
故 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
≥100×2
2n－1·2n4－1＝400(n≥1)，
当且仅当 2n－1＝2n4－1，即 n＝2 时，ymin＝400(万元)，
由 5 000－400＝4 600(万元)， 所以第 2 年该县从这两个企业获得利润最少，还得另外 筹集 4 600 万元才能解决温饱问题．
(2)到 2017 年，即第 10 年，该县从这两个企业获利润：y ＝100×210－1＋400×(12)9
因 ab＝10，故 lg a＋lg b＝1，
只要证明lg
1 alg
b≥4(*)，
由 a＞1，b＞1，故 lg a＞0，lg b＞0，
所以
0＜lg
alg
b≤(lg
a＋lg 2
b)2＝(12)2＝14.
即(*)式成立．
原不等式 loga c＋logb c≥4lg c 得证．
本题证明把分析法、综合法融于一体，不仅证明不等式 经常遇到，在解决其他数学问题时也常常需要这样思考．
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( a b c ) [ a 2 b 2 c 2 a b b c a c ]
问题探讨 已 知 a,b,c R , 求 证 a3b3c33abc， 并 探 讨 等 号 成 立 的 条 件 ．
证 :Qa3b3c33abc 1 (a b c )[2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 a b 2 b c 2 a c ] 2 1 (a b c )[(a b )2 (b c )2 (a c )2 ] 0 , 2
33 abc，
当 且 仅 当 a b c 时 ， 等 号 成 立 ．
定 理 3如 果 a,b,cR,
那 么 abc3abc， 3
当 且 仅 当 abc时 ， 等 号 成 立 ．
即：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定理3可以推广一般的情形：
对于 n 个正数 a1, a2 , a3,L an，它们的算术平均值 不小于它们的几何平均值，即
3 .求 函 数 yx22(x0 )的 最 小 值 ． x
答 案 : 当 x 1 时 , y m in 3 .
问题探讨
1.把 不 等 式 ab 2
ab(a,bR)推 广 到
三 个 正 数 的 情 形 ,结 果 是 什 么 ？
a3 bc3abc(a,b,cR).
2 . 怎 么 证 明 以 上 不 等 式 ？
3 . 我 们 先 考 虑 把 不 等 式 a2 b 22 a b (a ,b R ) 推 广 到 三 个 正 数 的 情 形 ,结 果 是 什 么 ？
三个正数的算术-几何 平均不等式
02.06.2020
复习回顾
1.基本不等式:
(1)如果a,bR，那么a2b2 2ab, 当且仅当ab时，等号成立．
(2)如果a,b0，那么ab ab, 2
当且仅当ab时，等号成立．
(3)如果a,b0，那么ab(ab)2, 2
当且仅当ab时，等号成立．
2.用均值不等式求最值时,要满足: 一正、二定、三相等.
1 .求 函 数 y x 2 (1 5 x )(0 x 1 )的 最 大 值 ． 答 案 :当 x12 5时 ,y 5 m ax67 45.
2 . 若 x ,y R ,且 x y 2 8 ,求 x 2 y 的 最 小 值 ．
答 案 : 当 x 2 ,y 2 时 , x 2 y 取 最 小 值 6 ．
(a b )3 c 3 3 a 2 b 3 a b 2 3 a b c
( a b c ) [ ( a b ) 2 ( a b ) c c 2 ] 3 a b ( a b c )
( a b c ) [ a 2 2 a b b 2 a c b c c 2 3 a b ]
ห้องสมุดไป่ตู้
证：设长方体同一顶点处的三条棱长 分别为x,y,z, 体积为V,表面积 为S，则S=2(xy+yz+xz),于是得
V2(xyz)2xygxzgyz
z xy
(xyxzyz)3 (S)3，
3
6
∴当且仅当xy=yz=xz, 即x=y=z时，V2有最大值，
从而可知，表面积为定值S的长方体中，以正方 体的体积最大.
a 3 b 3 c 3 3 a b c (a ,b ,c R )
问题探讨 已 知 a,b,c R , 求 证 a3b3c33abc， 并 探 讨 等 号 成 立 的 条 件 ．
(x y )3 x 3 3 x 2 y 3 x y 2 y 3 证 :Qa3b3c33abc
( a 3 3 a 2 b 3 a b x 2 3 b y 3 3 ) 3 (a x 2 b y) 3 (a x b 2 2 x c y 3 y 3 a 2) b c
a1 a2 a3 L n
an ≥ n a1a2a3 L
an
(当且仅当 a1 a2 a3 L an 时取等号.)
基本不等式的变形：
① 若 a,bR,则 ab （ a 2b） 2.
② 若 a ,b ,c R ,则 a b c （ a 3 bc） 3.
③ 若 a 1 ,a 2 ,L ,a n R ,则 a 1 a 2 L a n （ a 1 a 2 n L a n ） n .
(0,
1 )上的最大值.
3
解 ： Q 0x1, 13x0,故 得 3
yx2(13x)4[3xg3xg (13x)] 92 2
4[3x/23x/213x]31.
9
3
243
当 且 仅 当 3 x 13 x,即 x2时 ，
2
9
函 数 yx2(13x)取 最 大 值1． 243
例2 求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积 最大.
x
当 且 仅 当 a 2x4x,即 xa时 , 等 号 成 立 ,
6
即 小 正 方 形 的 边 长 是 原 正 方 形 边 长
a
的 1时 , 盒 子 的 容 积 取 最 大 值 2a3．
6
27
例 3.已 知 a,b,cR,求 证 ：
3(abc3abc)2(ab ab).
3
2
课堂练习：
例3: 如图，把一块边长是a 的正方形铁片的各角切
去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转
作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多
少时？才能使盒子的容积最大？
解: 设小正方形边长为x, 盒子的容积为V,则
V (a 2 x)2g x1[(a 2 x)g (a 2 x)g 4 x]
4
1 4(a2x)(3 a2x)4x322a73,
定理:设 x, y, z 都是正数，那么 ⑴若 xyz S （定值），则 当 x y z 时， x y z 有最小值 33 s. ⑵若 x y z p （定值），则 当 x y z 时， xyz 有最大值 p3/27.
注 ： 一 正 、 二 定 、 三 相 等
例1
求函数
yx2(13x)在
a3b3c33abc, 当 且 仅 当 a b c 时 ， 等 号 成 立 ．
问题探讨
怎 么 证 明 不 等 式 a b c 3a b c (a ,b ,c R ) ？ 3
证：Qabc a 3 b 3 c 3 3 a b c (a ,b ,c R ) (3 a)3 (3 b)3 (3 c)3