第十三章测试卷 全等三角形一、选择题(每小题3分，共30分)1.判断命题“如果 n <1,那么 n²−1<0"是假命题，只需举出一个反例，反例中的n 可以为 ( )A.−2B.−12 C.0 D.122.下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧 △ABC 一定全等的是( )A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙3.若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.2 或44.如图,DE 是. △ABC 的边AB 的垂直平分线,点 D 为垂足,DE 交AC 于点 E,且 AC =8,BC =5,则 △BEC 的周长是 ( )A.12B.13C.14D.155.如图，在 △ABC 中， ∠C =90∘,AC =8,DC =13AD,BD 平分 ∠ABC,则点 D 到AB 的距离等于( ) A.4 B.3 C.2 D.16.三个等边三角形的摆放位置如图，若 ∠1+∠2=120°,则 ∠3的度数为( ) A.90° B.60° C.45° D.30°7.如图,∠C=∠D=90°,补充下列条件后不能判定△ABC≌△BAD 的是( ) A.∠1=∠2 B.∠3 =∠4 C. AC=BD D. AD=BC8.下列选项所给条件能画出唯一△ABC 的是 ( ) A. AC=3,AB=4,BC=8 B.∠A=50°,∠B=30°,AB=2C.∠C=90°,AB=90D. AC=4,AB=5,∠B=60°9.如图,在△ABC 和△A'B'C 中,△ABC≌△A'B'C,AA'∥BC,∠ACB =α,∠BCB'=β,则αβ满足关系 ( )A.α+β=90°B.α+2β=180°C.2α+β=180°D.α+β=180°10. 如图,∠C =90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB 于点 E,有下列结论:①CD=ED;②AC + BE = AB;③DA 平分∠CDE;④∠BDE = ∠BAC;⑤S ABD:S ACD=AB:AC,其中正确的结论有( )A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题(每小题3分，共15分)11.把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式：12. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,要使△ABD≌△ACD,若根据“H. L.”判定,还需要加条件.13.如图,已知△ABC的周长是20,OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=2,则△ABC的面积是 .14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是线段AC 的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为 .15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为 .三、解答题(本大题共9个小题，满分75 分)16.(7分)如图,已知△ABC中,点 D 为BC 边上一点,∠B=∠4,∠1=∠2=∠3.求证：BC=DE.17.(7分)如图，小明站在堤岸的点A处，正对他的点S处停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达点 C.然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于点 D 处.那么C、D两点间的距离就是在点 A处小明与游艇的距离，你知道这是为什么吗?18.(7 分)如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=120°,BC=6cm,，AB的垂直平分线交 BC于点M,交AB 于点 E,AC 的垂直平分线交 BC 于点 N,交AC于点 F，则MN的长为多少?19.(7 分)如图,已知∠ABC,求作:(1)∠ABC的平分线BD(写出作法，并保留作图痕迹)；(2)在BD上任取一点 P,作直线PQ,使PQ⊥AB (不写作法,保留作图痕迹).20.(8分)如图,已知AB=AC,AD=AE, BD和CE相交于点O.(1)求证:△ABD≌△ACE;(2)判断△BOC的形状，并说明理由.21.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,点 D、E、F 分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.(1)求证:△DEF是等腰三角形;(2)当∠A=44°时,求∠DEF的度数.22.(9分)已知：如图，点 D 是等边三角形 ABC 的边 BC 延长线上的一点，∠EBC=∠DAC,CE‖AB.(1)求∠AHB的度数；(2)求证:△CFG是等边三角形.23.(10分)如图1,AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB,，垂足分别为点A、点B，AC=5cm .点 P 在线段AB上以2cm/s的速度由点 A 向点B运动，同时点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为ts (当点P运动结束时，点Q运动随之结束).(1)若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系，请分别说明理由；(2)如图2,若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA",点 Q 的运动速度为xcm/s,，其他条件不变，当点 P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值.24.(11分)已知等边△ABC和点 P,设点 P 到△ABC三边 AB、AC、BC 的距离分别为ℎ₁、ℎ₂、ℎ₃,△ABC的高为h.(1)若点 P 在一边 BC 上(如图1),此时ℎ₃=0,求证：ℎ₁+ℎ₂+ℎ₃=ℎ;(2)当点 P 在△ABC内(如图2)，以及点 P 在△ABC外(如图3)这两种情况时，上述结论是否成立? 若成立，请予以证明；若不成立，ℎ₁、ℎ₂、ℎ₃与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由.第十三章测试卷 全等三角形1. A2. B3. C4. B5. C6. B7. B8. B9. C 10. A 11.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 12. AB=AC 13.2014.2a+3b 15.69°或21°16.证明:∵∠ADC=∠ADE+∠3=∠1+∠B,∠1=∠3,∴∠ADE=∠B.∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.∵∠B=∠4,∴AB=AD.在△ABC 和△ADE 中, {∠BAC =∠DAEAB =AD,∠B =∠ADE,∴△ABC≌△ADE(A. S.A.),∴BC=DE.17.解:在△ABS 与△CBD 中, {∠A =∠C =90∘,AB =CB,∠ABS =∠CBD,∴ △ABS≌△CBD(A. S. A.),∴ AS =CD，即C 、D 两点间的距离就是在点A 处小明与游艇的距离.18.解：如图，连结AM ，AN.根据线段垂直平分线的性质，得 BM = AM,CN = AN,∴ ∠MAB = ∠B,∠CAN =∠C.∵ ∠BAC=120°,AB=AC,∴ ∠B=∠C =30°,∴∠AMN=∠ANM=60°,∴△AMN 是等边三角形,∴AM = AN = MN,∴ BM = MN = NC.∵ BC =6 cm,∴MN=2cm.19.解:(1)作法:①以点B 为圆心,任意长为半径画弧,分别交 BA 、BC 于点 M 、N;②再分别以点 M 、N 为圆心，以大于线段MN 长的一半为半径画弧，两弧在∠ABC 内相交于点 D,作射线BD,BD 为所作. (2)如图,PQ 为所作.20.(1)证明:∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS).(2)解:△BOC 是等腰三角形.理由如下:∵ △ABD≌△ACE,∴∠ABD = ∠ACE.∵AB=AC,∴∠ABC = ∠ACB,∴ ∠ABC --∠ABD = ∠ACB --∠ACE,∴ ∠OBC =∠OCB,∴BO=CO,∴△BOC 是等腰三角形.21.(1)证明:∵ AB=AC,∴∠B=∠C.在△DBE 和△ECF 中, {BD =CE,∠B =∠C,BE =CF,∴△DBE≌△ECF(SAS),∴DE=EF,∴△DEF 是等腰三角形.(2)解∵ ∠A =44∘,∠B =∠C,∴∠B =∠C =12(180∘−∠A )=12×(180∘−44∘)=68∘. 由(1)知△DBE≌△ECF,∴∠BDE=∠CEF.∵ ∠DEC =∠BDE+∠B,∴∠CEF + ∠DEF=∠BDE+∠B,∴∠BDE+∠DEF=∠BDE+∠B,∴∠DEF=∠B=68°.22.(1)解:∵ △ABC 是等边三角形,∴∠ACB=60°.在△BCF 和△AHF 中,∵∠EBC=∠DAC,∠BFC=∠HFA,∴∠AHB=∠ACB=60°,(2)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴BC=AC,∠ABC=∠ACB=60°.∵CE∥AB,∴∠ECD=∠ABC=60°,∴∠ACG=180°-∠ACB -∠ECD=60°.在△BCF 和△ACG 中, {∠EBC =∠DAC,BC =AC,∠BCF =∠ACG,∴△BCF≌△ACG(A. S. A.),∴FC=GC.∵∠ACG=60°,∴△CFG 是等边三角形.23.解:(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下:∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴∠A=∠B=90°.∵AP=BQ=2×1=2( c m),AB=7cm,AC=5cm,∴BP=5cm=AC.在△ACP 和△BPQ 中,AC=BP,∠A =∠B,AP = BQ,∴△ACP≌△BPQ (S. A. S.),∴ ∠C =∠BPQ,又∵∠C+∠APC=90°,∴∠BPQ+∠APC=90°,∴∠CPQ=90°,∴PC⊥PQ. (2)∵ ∠CAB = ∠DBA,∴ 要使△ACP 与△BPQ 全等,必须△ACP≌△BPQ 或△ACP≌△BQP.①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,可得5=7-2t,2t= xt,解得x=2,t=1;②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,可得5= xt,2t=7-2t,解得x=207,t=74.综上所述,当△ACP与△BPQ全等时,x的值为2 或207.24.解:(1)如图1,连结AP,则S ABC=S ABP+S ACP.∴12BC⋅AM=12AB⋅PD+12AC.PE,即-12BC⋅ℎ=12AB⋅ℎ1+12AC⋅ℎ2.又∵ △ABC 是等边三角形,∴BC =AB =AC,∴.ℎ=ℎ₁+ℎ₂.又∵ℎ₃=0,∴ℎ=ℎ₁+ℎ₂+ℎ₃.(2)当点 P 在△ABC 内时,ℎ=ℎ₁+ℎ₂+ℎ₃.理由如下:如图2,连结AP、BP、CP,则S ABC=S ABP+S ACP+S BcP::12BC⋅AM=12AB⋅PD+12AC⋅PE+12BC⋅PF,即12BC⋅ℎ=12AB⋅ℎ1+12AC⋅ℎ2+12BC⋅ℎ3.又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC.∴ℎ=ℎ₁+ℎ₂+ℎ₃.当点P在△ABC外时,ℎ=ℎ₁+ℎ₂−ℎ₃.理由如下:如图3,连结AP、BP、CP,则S ABC=ΔABP+S ACP−S BcP,∴12BC⋅AM=12AB⋅PD+12AC⋅PE−12BC⋅PF I12BC⋅ℎ=12AB⋅ℎ1+12AC⋅ℎ2−12BC⋅ℎ3.∵ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC,∴ℎ=ℎ₁+ℎ₂−ℎ₃.。
