偏微分方程 课程总结

偏微分方程 （13）

古典解的性质
—— 热传导方程

能 量 估 计
该类估计方法在物理上可以反映能量关系 特点: 在方程两端乘以u的某种关系式, 再 积分, 利用 利用一些已知的不等式进行估计 些已知的不等式进行估计, 最 终得到解u与已知函数之间的积分不等式.
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常用概念
设 Ω ⊂ R , p ≥ 1. 1 我们用 L (Ω) 表示满足条件
N p
的 Ω 上的Lebesgue可测函数u所构成的线性空 p 间. 对 u ∈ L (Ω), 定义 1/ p
|| u || p = || u || L p ( Ω ) =
∫
Ω
| u( x ) |p dx < +∞
(∫
Ω
| u ( x ) | p dx
)
.
Ω 上的Lebesgue可测函数 u 称为在 Ω 上本性有 界,如果存在 如果存在一个常数 个常数 K 使得 | u( x ) |≤ K a .e . Ω . 常数 K的下确界叫做 u 在 Ω 上的本性上确界, 记做
ess sup | u ( x ) | .
L (Ω) 表示Ω 上全体本性有界函数组成的线性空间.
|| u ||∞ = || u || L∞ ( Ω ) = ess sup | u ( x ) | .
x∈Ω
∞
x ∈Ω
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常用概念
L (Ω)
p loc
u 是 Ω 上的可测函数:
对任意的紧集 G ⊂ Ω , 都有 u ∈ Lp (G)
L (Ω) 中的函数称为 Ω 上的局部可积函数.
1 loc
设 u 和 v 是 R 上的局部可积函数, 如果 u 和 v 满 足积分等式
− ∫ u( x )ϕ '( x )dx = ∫ v ( x )ϕ ( x )dx ,
R R
∀ϕ ∈ D( R ),
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则称 u 广义可导, 而称 v 为 u 的广义导数.

常用概念
设 Ω ⊂ R , 定义
N
H 1 (Ω )
u ∈ L (Ω ) : u 的一阶广义偏导数 ∂u 2 都属于 L (Ω) ( j = 1,2, 1 2 N) ∂x j
2
|| u || H 1 ( Ω ) =
(∫
Ω
( u ( x ) + | ∇ u ( x ) | ) dx
2 2
)
1/ 2
.
1 ∞ H0 (Ω) 是由 C0 (Ω) 按H1 (Ω)中的范数完备化得到的.
∞ 即 C0 (Ω) 中所有按 H1 (Ω) 中的范数的Cauchy序 列的极限构成的集合.
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Poincaré 不等式
N
常用不等式
设 Ω ⊂ R 为一有界区域, 则存在仅依赖于 Ω 直 1 u ∈ H μ > 0 径的常数 , 使得对所有的 0 (Ω) , 都有
∫
Ω
u ( x )dx ≤ μ ∫ | ∇u( x ) | dx .
2 2 Ω
Young不等式 1 1 0 b>0 0, p > 1 1, q > 1, 1 且 + = 1. 1 则有 设 a > 0, p q p q a b ab ≤ + . p q 当 p = q = 2 时, 又称为Cauchy 不等式
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考虑
能量估计
∂u − Δ u + c ( x , t ) u = f ( x , t ), ∂t u( x , t ) = 0,
假如所给的边值条件为
( x , t ) ∈ QT , ( x , t ) ∈ ∂ p QT .
u ( x , t ) = g ( x , t ),
( x , t ) ∈ ∂ p QT ,
而 g 在 QT 上适当光滑, 则可代替原方程而考虑 u − g 的方程, 它是一个右端换成了另一个函 数的热传导方程.
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考虑
能量估计
∂u − Δ u + c ( x , t ) u = f ( x , t ), ( x , t ) ∈ QT , ∂t ( x , t ) ∈ ∂ p QT . u ( x , t ) = 0,
定理2.12 2 12 设 Ω 是 N 中的有界区域, c 是 QT 内的非 2 2,1 0,1 f ∈ L ( Q ), u ∈ C ( Q ) ∩ C (Ω × (0, T )) ∩ C (QT ) 负函数, T T 是上述问题的解, 则
0< t sup || u(⋅, t ) ||L2 (Ω) + || u ||L2 (Q ) + || ∇u ||L2 (Q ) ≤ M || f ||L2 (Q ) ,
T T T
其中 M 仅依赖于Ω 的直径.
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这种能量估计方法对于Poisson方程也是成立的. 对于弦振动方程来说, 极值原理不再成立. 这是双 曲型方程与椭圆型方程和抛物型方程的一个重要 差别.
∂ 2u ∂ 2u − 2 = 0, 0 < x < 2π , t > 0, 2 ∂t ∂x u(0, t ) = u(π , t ) = 0, t > 0, u( x , 0) = 0 0, 0 < x < 2π , ∂u ( x , 0) = sin x , 0 < x < 2π . ∂t
u( x , t ) = sin x sin t
可以验证u为解且其上下确界均在区域内部达到. 可以对双曲型方程建立能量估计.
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磨光算子

定理

设是中的开集, 则()(),1,p x L p ϕ∈Ω≤<∞ΩN R ()();

N

J x C εϕ∞∈R 1)2)||||||||;

p p J εϕϕ≤00−3)||||0,0.

p J εϕϕε→ →变分学基本原

变分学基本原理设1

)如果

0,(),

u x x dx C ∞= ∀∈R (),loc u L ∈R 0()(),ϕϕ∫R 则()0,...u x a e x = ∈R