分式及二次根式运算

二次根式的运算1.二次根式的乘除运算（1）运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

（2）注意每一步运算的算理。

（3）乘法公式的推广：（4）注意乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式。

2.二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

3.二次根式的混合运算（1）明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的。

（2）整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

（3）二次根式运算结果应化简。

另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数。

4.简化二次根式的被开方数（1）因式内移时，若m＜0，则负号留在根号外。

即：。

（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论。

即：。

二次根式的常用解法1.乘法公式法【例1】计算：【分析】因为，所以中可以提取公因式。

2.因式分解法【例2】化简：【分析】该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。

但我们发现和可以在实数范围内进行因式分解。

3.整体代换法【例3】化简【分析】该代数式的两个分式互为倒数，直接进行运算计算量相当的大。

不妨另辟蹊径，设，，则，。

4.巧构常值代入法【例4】已知x2-3x+1=0，求的值。

【分析】已知形如ax2+bx+a=0（x≠0）的条件，所求式子中含有的项，可先将ax2+bx+a=0化为，即先构造一个常数，再代入求值。

数学知识点二次根式与分式的运算数学知识点：二次根式与分式的运算在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。

二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。

正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。

本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。

一、二次根式的运算二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。

在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。

1. 合并同类项合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。

例如：√9 + √4 = √(9+4) = √132. 分解因式分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。

例如：√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√33. 有理化有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。

例如：1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2二、分式的运算分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。

分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。

1. 四则运算分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。

例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/62. 化简化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。

例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/23. 通分通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。

例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/64. 约分约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。

例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2三、综合运算在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。

例如：例1：计算√(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。

衔接点03 有意义的根式和分式及相关计算【基础内容与方法】1.分式有意义的条件对于分式，分母不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义。

即若0B≠,式子AB有意义；若0B=，则式子AB无意义；若A=0且0B≠，则0AB=，即分式的值为0的条件．2.对于根式，我们主要是指二次根式，一般地，”称为二次根号，是一个非负数，且0a≥．考点一：二次根式的概念例1：在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二次根式的定义作答．【解答】解：（x＞0），，符合二次根式的定义．（y＝﹣2），（x＞0）无意义，不是二次根式．属于三次根式．x+y不是根式．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．考点练习：1．在式子①②③x2④⑤（x≤1）中，二次根式有3个．【分析】根据二次根式的定义填空即可．【解答】解：因为形如（a≥0）叫二次根式，所以①②⑤都符合要求，而③二次根号，④中的被开方数小于0，即二次根式有3个，故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单．考点二：二次根式有意义的条件例2：（1）当x满足x＞0时，代数式有意义；【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不等于零可得x＞0．【解答】解：由题意得：x＞0，故答案为：x＞0．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．（2）要使式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2，且x≠﹣1．【分析】首先保证被开方数x+2≥0，再保证分母x+1≠0，解出不等式即可．【解答】解：∵式子有意义，∴x+2≥0，且x+1≠0，解得：x≥﹣2，且x≠﹣1．故答案为：x≥﹣2，且x≠﹣1．【点评】此题主要考查了分式，二次根式有意义的条件，关键是把握：①二次根式中的被开方数是非负数；②分母≠0．考点练习：1.二次根式有意义，则x应满足的条件是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可列出不等式求解．【解答】解：根据题意得：1﹣2x≥0，解得：x≤．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2.若二次根式有意义，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2 B．m＞﹣2 C．m≥﹣2且m≠﹣1 D．m≤﹣2且m≠1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围．【解答】解：由题意得，m+2≥0且m+1≠0，解得m≥﹣2且m≠﹣1．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.代数式有意义，则x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≤且x≠2，∴x的取值范围为：x≤故答案为：x【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．考点三：与二次根式有关的计算类型（一）1．已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2b﹣ab2的值．【分析】先计算出a﹣b和ab的值，再分解因式得到∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a﹣b＝4，ab＝9﹣8＝1，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝1×4＝4；【点评】本题考查了整体代入的思想．2．已知a＝+2，b＝2﹣，则a2020b2019的值为（）A．﹣﹣2 B．﹣+2 C．1 D．﹣1【分析】由积的乘方与同底数幂的乘法，可得a2016b2015＝（ab）2015•a，然后由平方差公式求解即可求得答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，∴a2020b2019＝（ab）2019•a＝[（+2）（2﹣）]2019•（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的乘法以及积的乘方与同底数幂的乘法．注意掌握积的乘方与同底数幂的乘法公式的逆用．类型（二）阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）请用两种不同的方法化简：；（2）化简：．【分析】（1）利用分母有理化和平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣；方法二：原式＝＝﹣；（2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．类型（三）先阅读然后解答问题：化简解：原式＝根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：（2）化简：．【分析】（1）把4写成2，把9写成4+5，根据完全平方公式配方即可求解；（2）把算式平方然后再求算术平方根即可得解．【解答】解：（1），＝，＝，＝﹣2；（2）∵（）2，＝4++2+4﹣，＝8+2，＝10，∴＝．【点评】本题考查了二次根式的化简，读懂并理解题目信息，根据完全平方公式把被开方数整理成完全平方的形式是解题的关键，难度较大．考点四：分式的意义例3：若分式的值为0，则x的取值为（）A．x≠1B．x≠﹣1 C．x＝1 D．x＝﹣1【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1＝0，且x+1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1，故选：C．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．考点练习：1．若分式的值为零，则x的值是（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．4【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：由x2﹣4＝0，得x＝±2．当x＝2时，x2﹣x﹣2＝22﹣2﹣2＝0，故x＝2不合题意；当x＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝（﹣2）2﹣（﹣2）﹣2＝4≠0．所以x＝﹣2时分式的值为0．故选：C．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．2．分式与都有意义的条件是（）A．x B．x≠﹣1 C．x且x≠﹣1 D．以上都不对【分析】根据分式的分母不能为零分式有意义，可得答案．【解答】解：由分式与都有意义，得2x﹣3≠0且x+1≠0，解得x≠，x≠1，故选：C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不等于零是分式有意义的条件．3．当x＝9时，分式的值等于零．【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：∵|x|﹣9＝0，∴x＝±9，当x＝9时，x+9≠0，当x＝﹣9时，x+9＝0，∴当x＝9时分式的值是0．故答案为9．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．考点五：分式的计算例4：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．【分析】（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．【解答】解：（2）原式＝•＝，当x＝1+，y＝1﹣时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤．考点练习：1．已知a+＝1+，求a2+的值．【分析】根据题目中的式子，两边平方整理化简即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a+＝1+，∴∴∴a2+＝9+2．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．。

分式与二次根式(共50题)一．选择题(共13小题)1．(2020•安顺)当x ＝1时，下列分式没有意义的是( )A ．x+1xB ．x x−1C ．x−1xD ．x x+1【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．【解析】A 、x+1x ，当x ＝1时，分式有意义不合题意；B 、x x−1，当x ＝1时，x ﹣1＝0，分式无意义符合题意；C 、x−1x ，当x ＝1时，分式有意义不合题意；D 、x x+1，当x ＝1时，分式有意义不合题意；故选：B ．2．(2020•遂宁)下列计算正确的是( )A ．7ab ﹣5a ＝2bB ．(a +1a )2＝a 2+1a 2C ．(﹣3a 2b )2＝6a 4b 2D ．3a 2b ÷b ＝3a 2【分析】根据整式的加减、乘除分别进行计算，再判断即可．【解析】7ab 与﹣5a 不是同类项，不能合并，因此选项A 不正确；根据完全平方公式可得(a +1a )2＝a 2+1a 2+2，因此选项B 不正确；(﹣3a 2b )2＝9a 4b 2，因此选项C 不正确；3a 2b ÷b ＝3a 2，因此选项D 正确；故选：D ．3．(2020•金华)分式x+5x−2的值是零，则x 的值为( )A ．2B ．5C ．﹣2D ．﹣5 【分析】利用分式值为零的条件可得x +5＝0，且x ﹣2≠0，再解即可．【解析】由题意得：x +5＝0，且x ﹣2≠0，解得：x ＝﹣5，故选：D ．4．(2020•绥化)化简|√2−3|的结果正确的是( )A ．√2−3B ．−√2−3C ．√2+3D ．3−√2【分析】根据绝对值的定义解答即可．【解析】∵√2−3＜0，∴|√2−3|=−(√2−3)=3−√2．故选：D ．5．(2020•泰州)下列等式成立的是( )A ．3+4√2=7√2B ．√3×√2=√5C ．√36=2√3D ．√(−3)2=3【分析】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得．【解析】A ．3与4√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B ．√3×√2=√6，此选项计算错误；C ．√3÷6=√3×√6=3√2，此选项计算错误； D ．√(−3)2=3，此选项计算正确；故选：D ．6．(2020•聊城)计算√45÷3√3×√35的结果正确的是( )A ．1B ．53C ．5D ．9【分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【解析】原式=3√5÷3√3×√155 =3√5×√39×√155 =√5×3×1515 =1515＝1．故选：A ．7．(2020•无锡)下列选项错误的是( )A ．cos60°=12B ．a 2•a 3＝a 5C ．√2=√22D ．2(x ﹣2y )＝2x ﹣2y 【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．【解析】A ．cos60°=12，故本选项不合题意；B ．a 2•a 3＝a 5，故本选项不合题意；C .√2=√2√2⋅√2=√22，故本选项不合题意； D .2(x ﹣2y )＝2x ﹣4y ，故本选项符合题意．故选：D ．8．(2020•杭州)√2×√3=( )A ．√5B ．√6C ．2√3D ．3√2 【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可．【解析】√2×√3=√6，故选：B ．9．(2020•上海)下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是( )A ．√6B ．√9C ．√12D ．√18【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． 【解析】A .√6与√3的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B .√9=3，与√3不是同类二次根式；C .√12=2√3，与√3被开方数相同，故是同类二次根式；D .√18=3√2，与√3被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C ．10．(2020•绥化)下列等式成立的是( )A ．√16=±4B ．√−83=2C ．﹣a √1a =√−aD ．−√64=−8【分析】分别根据算术平方根的定义，立方根的定义，二次根式的性质逐一化简即可判断．【解析】A .√16=4，故本选项不合题意；B .√−83=−2，故本选项不合题意；C .−a √1a =−√a ，故本选项不合题意；D .−√64=−8，故本选项符合题意．故选：D ．11．(2020•济宁)下列各式是最简二次根式的是( )A ．√13B ．√12C ．√a 3D ．√53【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【解析】A 、√13是最简二次根式，符合题意；B 、√12=2√3，不是最简二次根式，不符合题意；C 、√a 3=|a |√a ，不是最简二次根式，不符合题意；D 、√53=√153，不是最简二次根式，不符合题意．故选：A ．12．(2020•重庆)下列计算中，正确的是( )A ．√2+√3=√5B ．2+√2=2√2C ．√2×√3=√6D ．2√3−2=√3 【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．【解析】A ．√2与√3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B ．2与√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C ．√2×√3=√2×3=√6，此选项计算正确；D ．2√3与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C ．13．(2020•衢州)要使二次根式√x −3有意义，则x 的值可以为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【分析】根据二次根式有意义的条件可得x ﹣3≥0，再解即可．【解析】由题意得：x ﹣3≥0，解得：x ≥3，故选：D ．二．填空题(共12小题)14．(2020•济宁)已如m +n ＝﹣3，则分式m+n m ÷(−m 2−n 2m −2n )的值是 13 ．【分析】根据分式运算法则即可求出答案．【解析】原式=m+n m ÷−(m 2+2mn+n 2)m=m+n m •m−(m+n)2=−1m+n ，当m +n ＝﹣3时，原式=13故答案为：1315．(2020•聊城)计算：(1+a 1−a )÷1a 2−a= ﹣a ． 【分析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】原式=1−a+a 1−a •a (a ﹣1)=11−a •a (a ﹣1) ＝﹣a ．故答案为：﹣a ．16．(2020•南充)若x 2+3x ＝﹣1，则x −1x+1= ﹣2 ．【分析】根据分式的减法可以将所求式子化简，然后根据x 2+3x ＝﹣1，可以得到x 2＝﹣1﹣3x ，代入化简后的式子即可解答本题．【解析】x −1x+1 =x(x+1)−1x+1 =x 2+x−1x+1， ∵x 2+3x ＝﹣1，∴x 2＝﹣1﹣3x ，∴原式=−1−3x+x−1x+1=−2x−2x+1=−2(x+1)x+1=−2， 故答案为：﹣2．17．(2020•重庆)计算：(π﹣1)0+|﹣2|＝ 3 ．【分析】根据零次幂和绝对值的意义，进行计算即可．【解析】(π﹣1)0+|﹣2|＝1+2＝3，故答案为：3．18．(2020•台州)计算1x −13x 的结果是 23x ．【分析】先通分，再相减即可求解．【解析】1x −13x =33x −13x =23x ．故答案为：23x ．19．(2020•湖州)化简：x+1x 2+2x+1= 1x+1 ．【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案．【解析】x+1x +2x+1 =x+1(x+1)2 =1x+1． 故答案为：1x+1．20．(2020•哈尔滨)计算√24+6√16的结果是 3√6 ．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再合并同类二次根式即可．【解析】原式=2√6+√6=3√6．故答案为：3√6．21．(2020•滨州)若二次根式√x −5在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 x ≥5 ．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x ﹣5≥0，求出即可．【解析】要使二次根式√x −5在实数范围内有意义，必须x ﹣5≥0，解得：x ≥5，故答案为：x ≥5．22．(2020•常德)计算：√92−√12+√8= 3√2 ． 【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解析】原式=3√22−√22+2√2＝3√2．故答案为：3√2．23．(2020•常德)若代数式√2x−6在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ＞3 ．【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x ﹣6＞0，再解即可．【解析】由题意得：2x ﹣6＞0，解得：x ＞3，故答案为：x ＞3．24．(2019•衡阳)√27−√3= 2√3 ．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解析】原式＝3√3−√3=2√3．故答案为：2√3．25．(2020•苏州)使√x−13在实数范围内有意义的x 的取值范围是 x ≥1 ． 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解析】由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故答案为：x ≥1．三．解答题(共25小题)26．(2020•连云港)化简a+31−a ÷a 2+3aa −2a+1．【分析】直接利用分式的性质进而化简进而得出答案．【解析】原式=a+31−a •(a−1)2a(a+3)=a+31−a •(1−a)2a(a+3)=1−a a ．27．(2020•泸州)化简：(x+2x +1)÷x 2−1x． 【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则进行计算．【解析】原式=2x+2x ×x (x+1)(x−1)=2(x+1)x ×x (x+1)(x−1)=2x−1．28．(2020•河南)先化简，再求值：4aa 2−9÷(1+a−3a+3)，其中a =√2+3． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得．【解析】原式=4a (a+3)(a−3)÷(a+3a+3+a−3a+3)=4a (a+3)(a−3)÷2a a+3=4a (a+3)(a−3)•a+32a=2a−3，当a =√2+3时，原式=22+3−3=2 =√2．29．(2020•达州)求代数式(2x−1x−1−x ﹣1)÷x−2x 2−2x+1的值，其中x =√2+1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得． 【解析】原式＝(2x−1x−1−x 2−1x−1)÷x−2(x−1)2 =−x 2+2x x−1)÷x−2(x−1)2 =−x(x−2)x−1•(x−1)2x−2＝﹣x (x ﹣1)当x =√2+1时， 原式＝﹣(√2+1)(√2+1﹣1) ＝﹣(√2+1)×√2＝﹣2−√2．30．(2020•泰安)(1)化简：(a ﹣1+1a−3)÷a 2−4a−3； (2)解不等式：x+13−1＜x−14． 【分析】(1)先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得；(2)根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得．【解析】(1)原式＝[(a−1)(a−3)a−3+1a−3]÷(a+2)(a−2)a−3 ＝(a 2−4a+3a−3+1a−3)•a−3(a+2)(a−2) =(a−2)2a−3•a−3(a+2)(a−2)=a−2a+2；(2)去分母，得：4(x +1)﹣12＜3(x ﹣1)，去括号，得：4x +4﹣12＜3x ﹣3，移项，得：4x ﹣3x ＜﹣3﹣4+12，合并同类项，得：x＜5．31．(2020•河南)先化简，再求值：(1−1a+1)÷a2，其中a=√5+1．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解析】(1−1a+1)÷aa2−1=a+1−1a+1×(a−1)(a+1)a＝a﹣1，把a=√5+1代入a﹣1=√5+1﹣1=√5．32．(2020•成都)先化简，再求值：(1−1x+3)÷x+2x2−9，其中x＝3+√2．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】原式=x+3−1x+3•(x−3)(x+3)x+2＝x﹣3，当x＝3+√2时，原式=√2．33．(2020•哈尔滨)先化简，再求代数式(1−2x+1)÷x2−12x+2的值，其中x＝4cos30°﹣1．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把x的值代入得出答案．【解析】原式=x−1x+1•2(x+1)(x−1)(x+1)=2x+1，∵x＝4cos30°﹣1＝4×√32−1＝2√3−1，∴原式=23−1+1=√33．34．(2020•甘孜州)化简：(3a−2−1a+2)•(a2﹣4)．【分析】根据分式的减法和乘法可以解答本题．【解析】(3a−2−1a+2)•(a2﹣4)=3(a+2)−(a−2)(a+2)(a−2)•(a+2)(a﹣2)＝3a+6﹣a+2＝2a+8．35．(2020•乐山)已知y =2x ，且x ≠y ，求(1x−y +1x+y )÷x 2y x −y 的值． 【分析】直接将括号里面通分运算进而结合分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】原式=2x (x+y)(x−y)÷x 2y x 2−y 2=2x x 2−y 2×x 2−y 2x 2y =2xy ，∵y =2x ，∴原式=2x⋅2x=1 解法2：同解法1，得原式=2xy ， ∵y =2x ，∴xy ＝2，∴原式=22=1． 36．(2020•德州)先化简：(x−1x−2−x+2x )÷4−xx −4x+4，然后选择一个合适的x 值代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【解析】(x−1x−2−x+2x )÷4−xx 2−4x+4=[x(x−1)x(x−2)−(x−2)(x+2)x(x−2)]×(x−2)24−x=4−x x(x−2)⋅(x−2)24−x =x−2x， 把x ＝1代入x−2x =1−2x =−1．37．(2020•滨州)先化简，再求值：1−y−x x+2y ÷x 2−y 2x 2+4xy+4y 2；其中x ＝cos30°×√12，y ＝(π﹣3)0﹣(13)﹣1． 【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再计算x ，y 的值，进而代入得出答案．【解析】原式＝1−y−x x+2y ÷(x+y)(x−y)(x+2y)2＝1+x−y x+2y •(x+2y)2(x+y)(x−y) ＝1+x+2y x+y=x+y+x+2y x+y =2x+3y x+y， ∵x ＝cos30°×√12=√32×2√3=3，y ＝(π﹣3)0﹣(13)﹣1＝1﹣3＝﹣2， ∴原式=3×3+3×(−2)3−2=0． 38．(2020•无锡)计算：(1)(﹣2)2+|﹣5|−√16；(2)a−1a−b −1+b b−a ．【分析】(1)根据乘方的定义，绝对值的定义以及算术平方根的定义计算即可；(2)根据同分母分式的加减法法则计算即可．【解析】(1)原式＝4+5﹣4＝5；(2)原式=a−1a−b +1+b a−b=a−1+1+b a−b =a+b a−b ． 39．(2020•南充)先化简，再求值：(1x+1−1)÷x 2−x x+1，其中x =√2+1． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】(1x+1−1)÷x 2−x x+1 =1−(x+1)x+1⋅x+1x(x−1) =1−x−1x(x−1)=−x x(x−1)=11−x ，当x =√2+1时，原式=1−2−1=−√22． 40．(2020•自贡)先化简，再求值：x+1x −4•(1x+1+1)，其中x 是不等式组{x +1≥05−2x ＞3的整数解．【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，再根据x 是不等式组{x +1≥05−2x ＞3的整数解，然后即可得到x 的值，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】x+1x 2−4•(1x+1+1)=x+1(x+2)(x−2)⋅1+x+1x+1=x+2(x+2)(x−2)=1x−2，由不等式组{x +1≥05−2x ＞3，得﹣1≤x ＜1， ∵x 是不等式组{x +1≥05−2x ＞3的整数解， ∴x ＝﹣1，0，∵当x ＝﹣1时，原分式无意义，∴x ＝0，当x ＝0时，原式=10−2=−12．41．(2020•重庆)计算：(1)(x +y )2+x (x ﹣2y )；(2)(1−m m+3)÷m 2−9m 2+6m+9． 【分析】(1)根据整式的四则运算的法则进行计算即可；(2)先计算括号内的减法，再计算除法，注意约分和因式分解．【解析】(1)(x +y )2+x (x ﹣2y )，＝x 2+2xy +y 2+x 2﹣2xy ，＝2x 2+y 2；(2)(1−m m+3)÷m 2−9m 2+6m+9， ＝(m+3m+3−m m+3)×(m+3)2(m+3)(m−3)， =3m+3×m+3m−3， =3m−3．42．(2020•遂宁)先化简，(x 2+4x+4x −4−x ﹣2)÷x+2x−2，然后从﹣2≤x ≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得．【解析】原式＝[(x+2)2(x+2)(x−2)−(x +2)]•x−2x+2 ＝(x+2x−2−x 2−4x−2)•x−2x+2=−x 2+x+6x−2•x−2x+2 =−(x+2)(x−3)x−2•x−2x+2＝﹣(x ﹣3)＝﹣x +3，∵x ≠±2，∴可取x ＝1，则原式＝﹣1+3＝2．43．(2020•常德)先化简，再选一个合适的数代入求值：(x +1−7x−9x )÷x 2−9x． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】(x +1−7x−9x )÷x 2−9x=x(x+1)−(7x−9)x ⋅x (x+3)(x−3)=x 2+x−7x+9(x+3)(x−3)=(x−3)2(x+3)(x−3) =x−3x+3，当x ＝2时，原式=2−32+3=−15． 44．(2020•衢州)先化简，再求值：aa 2−2a+1÷1a−1，其中a ＝3．【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案．【解析】原式=a (a−1)2•(a ﹣1)=a a−1，当a ＝3时，原式=33−1=32． 45．(2020•重庆)计算：(1)(x +y )2+y (3x ﹣y )；(2)(4−a 2a−1+a )÷a 2−16a−1． 【分析】(1)利用完全平方公式和多项式的乘法，进行计算即可；(2)根据分式的四则计算的法则进行计算即可，【解析】(1)(x +y )2+y (3x ﹣y )，＝x 2+2xy +y 2+3xy ﹣y 2，＝x 2+5xy ；(2)(4−a 2a−1+a )÷a 2−16a−1， ＝(4−a 2a−1+a 2−a a−1)×a−1(a+4)(a−4)， =4−a a−1×a−1(a+4)(a−4)，=−1a+4．46．(2020•黔东南州)(1)计算：(12)﹣2﹣|√2−3|+2tan45°﹣(2020﹣π)0； (2)先化简，再求值：(3a+1−a +1)÷a 2−4a 2+2a+1，其中a 从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 【分析】(1)先算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再算加减法即可求解；(2)先通分，把除法转化成乘法，再把分式的分子与分母因式分解，然后约分，最后代入一个合适的数即可．【解析】(1)(12)﹣2﹣|√2−3|+2tan45°﹣(2020﹣π)0 ＝4+√2−3+2×1﹣1＝4+√2−3+2﹣1＝2+√2；(2)(3a+1−a +1)÷a 2−4a 2+2a+1 =3−(a−1)(a+1)a+1×(a+1)2(a+2)(a−2) =−(a+2)(a−2)a+1＝﹣a ﹣1，要使原式有意义，只能a＝3，则当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．47．(2020•铜仁市)(1)计算：2÷12−(﹣1)2020−√4−(√5−√3)0．(2)先化简，再求值：(a+3−a2a−3)÷(a2−1a−3)，自选一个a值代入求值．【分析】(1)原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解析】(1)原式＝2×2﹣1﹣2﹣1＝4﹣1﹣2﹣1＝0；(2)原式=a(a−3)+3−a2a−3•a−3(a+1)(a−1)=−3(a−1)a−3•a−3 (a+1)(a−1)=−3a+1，当a＝0时，原式＝﹣3．48．(2020•黔西南州)(1)计算(﹣2)2﹣|−√2|﹣2cos45°+(2020﹣π)0；(2)先化简，再求值：(2a+1+a+2a2−1)÷aa−1，其中a=√5−1．【分析】(1)直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案；(2)直接将括号里面通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解析】(1)原式＝4−√2−2×√22+1＝4−√2−√2+1＝5﹣2√2；(2)原式＝[2(a−1)(a−1)(a+1)+a+2(a−1)(a+1)]•a−1a=3a(a−1)(a+1)•a−1 a=3a+1，当a=√5−1时，原式=3√5−1+1=3√55．49．(2020•遵义)化简式子x 2−2xx 2÷(x −4x−4x)，从0、1、2中取一个合适的数作为x 的值代入求值． 【分析】直接利用分式的性质进行通分运算，进而结合分式的混合运算法则分别化简得出答案．【解析】原式=x(x−2)2÷x 2−4x+4x =x(x−2)x 2•x (x−2)2=1x−2， ∵x ≠0，2，∴当x ＝1时，原式＝﹣1．50．(2020•湖州)计算：√8+|√2−1|．【分析】首先利用二次根式的性质化简二次根式，利用绝对值的性质计算绝对值，然后再算加减即可．【解析】原式＝2√2+√2−1＝3√2−1．。

根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x ＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为练习1．化简：2．计算：3．计算：。

分式与二次根式一、分式 1．分式的定义（1）一般地，整式A 除以整式B ，可以表示成A B 的形式，如果除式B 中含有字母，那么称AB为分式． （2）分式AB中，A 叫做分子，B 叫做分母． 【注】①若B ≠0，则A B 有意义；②若B =0，则A B 无意义；③若A =0且B ≠0，则AB=0．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 用式子表示为(0)A A C C B B C ⋅=≠⋅或(0)A A C C B B C÷=≠÷，其中A ，B ，C 均为整式． 3．约分及约分法则（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分． 【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．4．最简分式分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式． 5．通分及通分法则（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分． （2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）； ②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式； ③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 7．分式的运算（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减②异分母的分式相加减法则：先通分，变为用式子表示为：a c ad bcb d bd bd ±=±=（2）分式的乘法乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积（3）分式的除法除法法则：分式除以分式，把除式的分子用式子表示为：a c a d a db d bc b⋅÷=⋅=⋅．（4）分式的乘方乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别（5）分式的混合运算含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后二、二次根式1．二次根式的有关概念 （1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中【注】被开方数a 只能是非负数．即要使二（2）最简二次根式：被开方数所含因数是简二次根式．（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后2．二次根式的性质（1）a ≥ 0（a ≥0）；（2）)(2=a（40,0)a b =≥≥3．二次根式的运算 （1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算类二次根式合并成一个二次根式．相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为变为同分母的分式，然后再加减． ad bcbd±． 作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． c母分别乘方．用式子表示为：()(nn n a a n b b=为正整数运算叫做分式的混合运算．最后算加减．有括号的，先算括号里的． ”叫做二次根号，二次根号下的数要使二次根式a 有意义，则a ≥0．因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二)0(≥a a ； （3(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；；（50,0)a b ≥>． 减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，表示为：a c a cb b b±±=． 子表示为：a c a cb d b d⋅⋅=⋅． 正整数，0)b ≠．下的数叫做被开方数．因数或因式的二次根式，叫做最同类二次根式． ，若有同类二次根式，可把同（2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥0,0)a b ≥>． （3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的． 在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．经典例题 分式的有关概念1．若式子111x --在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________． 【答案】1x ≠【分析】由分式有意义的条件可得答案．【解析】解：由题意得：10,x -≠ 1,x ∴≠ 故答案为：1x ≠【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2．若分式11x +的值不存在，则x =__________． 【答案】-1【分析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可． 【解析】∵分式11x +的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1． 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键． 3．分式52x x +-的值是零，则x 的值为（ ） A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－5【答案】D【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．【解析】解：依题意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．故选：D ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．1．要使分式11x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．1x > B ．1x ≠C ．1x =D ．0x ≠【答案】B【分析】根据分式有意义的条件即可解答．【解析】根据题意可知，10x -≠，即1x ≠．故选：B ．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．2．当1x =时，下列分式没有意义的是（ ） A ．1x x+ B ．1x x - C ．1x x- D ．1x x + 【答案】B【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可. 【解析】1xx -,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B. 【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件. 3．方程3101x +=-的解为__________． 【答案】x=-2【分析】先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零的条件解答即可．【解析】解：3101x +=- 31011x x x -+=-- 201x x +=- 则：2010x x +=⎧⎨-≠⎩，解得x=-2． 故答案为x=-2．【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键．经典例题 分式的基本性质1．若a b ¹，则下列分式化简正确的是（ ）A ．22a ab b+=+ B ．22a a b b -=-C ．22a a b b=D ．1212aa b b = 【答案】D【分析】根据a ≠b ，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【解析】∵a ≠b ，∴22a a b b +≠+，选项A 错误；22a ab b-≠-，选项B 错误； 22a a b b ≠，选项C 错误；1212a ab b =，选项D 正确；故选：D ． 【点睛】本题考查分式的性质，解答本题的关键是明确分式的性质．1．分式13-x可变形为( ) A ．13x + B ．-13x+ C ．31-x D ．1-3x - 【答案】D【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可. 【解析】A.13x +≠13-x ，故A 选项错误；B. -13x +=13-x -≠13-x，故B 选项错误；C. 65x ==-13-x ，故C 选项错误；D. 1-3x -=1x-3)-（=13-x ，故D 选项正确，故选D. 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．经典例题 分式的约分与通分1. 关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确 A ．211x x +-约分的结果是1x B ．分式211x -与11x -的最简公分母是x -1C ．22x x 约分的结果是1D ．化简221x x --211x -的结果是1【答案】D 【解析】A 、211x x +-=11x -，故本选项错误； B 、分式211x -与11x -的最简公分母是x 2-1，故本选项错误； C 、22x x =2x ，故本选项错误；D 、221x x --211x -=1，故本选项正确，故选D ． 【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．2．下列分式中，最简分式是（ ）A ．2211x x -+B ．211x x +-C ．2222x xy y x xy-+- D ．236212x x -+【答案】A【解析】选项A 为最简分式；选项B 化简可得原式==；选项C 化简可得原式==；选项D 化简可得原式==，故答案选A. 考点：最简分式.1．分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________． 【答案】()2x x - x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解． 【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x-的最简公分母是()2x x -， 方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-， 移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4． 【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． 2．化简：2121x x x +++＝_____． 【答案】11x + 【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可． 【解析】2121x x x +++＝21(1)x x ++＝11x +．故答案为：11x +． 【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．经典例题 分式的运算1． 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++ 2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++ 第一步32132(3)x x x x -+=-++ 第二步 2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++ 第三步26(21)2(3)x x x --+=+ 第四步26212(3)x x x --+=+ 第五步526x =-+ 第六步任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：726x -+；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．【解析】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；故答案为：五；括号前是“-”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：解；229216926x x x x x -+-+++2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++ 32132(3)x x x x -+=-++ 2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++26(21)2(3)x x x --+=+26212(3)x x x ---=+ 726x =-+．任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．2．先化简，（22444x x x ++-﹣x ﹣2）÷22x x +-，然后从﹣2≤x ≤2范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．【答案】﹣x +3，2【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得．【解析】解：原式＝()()()()2222-2x x x x ⎡⎤+-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦×22x x -+=2242222x x x x x x ⎛⎫+---⨯⎪--+⎝⎭ =26222x x x x x -++-⨯-+ =()()23222x x x x x +---⨯-+=﹣（x －3）=﹣x+3∵x ≠ ±2，∴可取x ＝1，则原式＝﹣1+3＝2．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．1．计算：212(111a aa a a +-+÷++ 【答案】2a a + 【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可．【解析】解：212(1)11a a a a a +-+÷++2(1)(1)1112a a a a a a -+++=⋅++211(2)a a a a a +=⋅++2a a =+． 【点睛】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 2．先化简：2124244x x x x x x x -+-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，然后选择一个合适的x 值代入求值． 【答案】化简结果是：2x x-，选择x =1时代入求值为-1. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x 的值代入进行计算即可【解析】解：原式2124244x x x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫=-÷ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭2(1)(2)(2)4(2)(2)(2)x x x x x x x x x x ⎡⎤-+--=-÷⎢⎥---⎣⎦ 2224(2)(2)4x x x x x x x --+-=⋅--24(2)(2)4x x x x x--=⋅--2x x -=. 当x=1时代入，原式=1211-==-.故答案为：化简结果是2x x-，选择x =1时代入求值为-1. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，最后在选择合适的x 求值时要保证选取的x 不能使得分母为0.经典例题 二次根式的概念与性质1．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≥C ．2x ≤D ．2x ≠-【答案】C【分析】根据二次根式里面被开方数420x -≥即可求解．【解析】解：由题意知：被开方数420x -≥，解得：2x ≤，故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．2．已知3y =+-，则2xy 的值为（ ）A ．15-B ．15C ．152-D ．152【答案】A【解析】由3y =-，得250{520x x -≥-≥，解得 2.5{3x y ==-．2xy （=2×2.5×-）3=-，故选．15A 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，以及有理数的乘法运算，掌握以上知识是解题的关键.1．在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≥C ．2x ≤D ．2x ≠-【答案】B【分析】根据二次根式里面被开方数240x -≥即可求解．【解析】解：由题意知：被开方数240x -≥，解得：2x ≥，故选：B ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．2．函数13y x =+-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x ≥，且3x ≠ B ．2x ≥ C ．3x ≠D ．2x >，且3x ≠【答案】A【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【解析】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得2x ≥，且3x ≠故选A ．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．经典例题1．下列各式是最简二次根式的是（ ）A BC D 【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解析】解：A B =C a =，不是最简二次根式，故选项错误；D =故选A.【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关1．下列二次根式是最简二次根式的是AB【答案】D【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行【解析】A.=，故A 选项不符合C.=，故C 选项不符合题意；【点睛】本题考查最简二次根式的识别，经典例题1．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示A ．2- B ．0【答案】A【分析】根据实数a 和b 在数轴上的位置得【解析】由数轴可知-2＜a ＜-1，1＜b+-=【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运1．已知实数a 在数轴上的对应点位置如图A ．32a -B ．1-【答案】D【分析】根据数轴上a 点的位置，判断出【解析】解：由图知：1＜a ＜2，∴a−1原式＝a−1-2a -＝a−1＋（a−2）＝题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于( ) CD一进行判断即可. 不符合题意；B. =，故B 选项不符合题意；D. 是最简二次根式，符合题意，故选D. ，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概+-的结果是C ．2a -D ．2b位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b ＜0， 11a b a b ++---=()()(11a b a b -++-+-之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正根据运算法则进行判断．置如图所示，则化简|1|a -的结果是（C ．1D ．23a -断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质＞0，a−2＜0， 2a−3．故选D．题属于基础题型．合题意； 式的概念是解题的关键.结果是（ ）． 和绝对值的性质即可求出答案． )=-2故选A.学生正确根据数在数轴上的位置（ ）的性质进行化简．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键． 经典例题 二次根式的运算1．下列计算中，正确的是（ ）A =B ．2+=C =D ．2= 【答案】C【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．【解析】解：A 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B ．2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C ==，此选项计算正确；D ．2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．2． “分母有理化”7==+，设x =->，故0x >，由22332x ==-=，解得x =，即= ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5-【答案】D和2323+-进行化简，然后再进行合并即可.【解析】设x =<∴0x <，∴266x =--++，∴212236x =-⨯=，∴x =，5=-，∴原式5=-5=-D ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.1．计算：2+-=______．【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．【解析】解：2=+=22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平方差公式是解答本题的关键．2．下列等式成立的是（ ）A．3+=B=C= D3= 【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．【解析】解：A 、3和A 错误；B=B 错误； C===，故C 错误；D3=，正确；故选：D ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．经典例题1．设2a =+，则（ ）A ．23a <<B ．34a <<C ．45a <<D ．56a << 【答案】C的范围，再得出a 的范围即可.【解析】解：∵4＜7＜9，∴23<<，∴425<<，即45a <<，故选C.【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法.2-【答案】＜【分析】利用分子有理化即可比较大小．【解析】=-+==-=++<故答案为：＜．【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用分子有理化比较大小是解决此题的关键．1．的值在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【答案】B【分析】因为224225<<在4到5之间，由此可得出答案.【解析】解：∵224225<<，∴45<<．故选：B【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．2. 下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ）A．3.14 B．103CD【答案】C【分析】根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解．【解析】，而17＞42，32＜12＜42＞4，3＜4∴选项中比3大比4．故选：C．【点睛】此题主要考查了无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．。

数学中的二次根式与分式在数学中，二次根式和分式是我们经常会遇到的两个概念。

它们在解决方程、计算和简化表达式等方面都具有重要的作用。

本文将详细介绍二次根式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、二次根式的定义与性质二次根式是指根号下包含二次项的表达式。

具体地说，对于一个非负实数a和正整数n，我们定义二次根式√a为满足以下条件的实数x：x的n次方等于a，即x^n = a。

其中，n称为根式的指数，而a则是根式的被开方数。

二次根式的性质如下：1. 非负性质：二次根式的值不会小于0，即根号下的被开方数必须为非负实数。

2. 分解性质：对于一个二次根式√ab，可以将其分解为√a * √b。

3. 合并性质：对于两个同类项的二次根式√a和√b，可以合并为√(a+b)。

4. 化简性质：如果被开方数能够整除完全平方数，那么二次根式就可以化简为一个有理数。

二、分式的定义与性质分式是数学中的一种表达形式，通常由分子和分母组成，中间用分数线分隔。

分式可以表示两个数之间的关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。

分式的定义如下：对于两个整数a和b（其中b≠0），我们定义分式a/b为两个整数a和b的比值。

在分式中，a被称为分子，b被称为分母。

分式的性质如下：1. 除法性质：分式表示的是除法运算，即a/b = a÷b。

2. 分子和分母的性质：在一个分式中，如果分子和分母乘（或除）以同一个非零实数k，则分式的值不变。

3. 分式的简化：如果分子和分母有一个公因数，那么可以进行约分，将分式化简为最简形式。

4. 分式的加减乘除：两个分式的加减可以通过通分和化简的方法进行，两个分式的乘除可以通过分子乘分子、分母乘分母的方法进行。

三、二次根式与分式的联系与应用二次根式和分式在数学中经常会有联系，并在解决问题中应用到一起。

1. 化简分式时可以利用二次根式的性质进行转化。

比如，在分式中出现二次根式时，可以将其转化为最简形式，使得分母中不存在二次根式。

最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。

2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。

4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。

5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。

6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。

知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。

2) 注意每一步运算的算理。

3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。

2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。

3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。

2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。

例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。

A。

$-3$；B。

$x$；C。

$x^2+1$；D。

$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。