分式和二次根式知识总结

分式与二次根式的知识点分式与二次根式是数学中的重要知识点，它们在代数运算、方程求解、函数图像等方面都有应用。

本文将逐步介绍分式与二次根式的基本概念、运算规则以及解题思路。

1.分式的基本概念分式是由两个整数或多项式构成的比值形式，通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母。

分子和分母可以是整数、多项式或含有变量的表达式。

分式可以表示实数、有理数、无理数等不同类型的数。

2.分式的化简与运算（1）分式的化简：当分式的分子和分母有公约数时，可以通过约分的方式化简分式。

即找到分子和分母的最大公约数，将其约去，使得分子和分母互质。

（2）分式的加减乘除：分式的加减运算可以通过通分的方式进行。

即将两个分式的分母化为相同的数，然后将分子进行加减运算。

分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的运算。

3.二次根式的基本概念二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。

当a为正实数时，二次根式的值为正实数；当a为零时，二次根式的值为零；当a为负实数时，二次根式的值为虚数。

4.二次根式的化简与运算（1）二次根式的化简：当二次根式内部存在完全平方数因子时，可以将其化简为有理数的形式。

即将完全平方数因子提取出来，使得根号内只剩下非完全平方数。

（2）二次根式的加减乘除：二次根式的加减运算可以通过化简后的形式进行。

即先将二次根式化简为有理数形式，然后进行加减运算。

二次根式的乘除运算可以直接对根号内的数进行相应的运算。

5.解题思路在解题时，我们需要根据具体的问题，灵活运用分式与二次根式的知识。

常见的解题思路包括：（1）化简分式与二次根式，使得问题更加简化。

（2）通过分式与二次根式的运算规则，将复杂的表达式转化为简单的形式。

（3）注意分式与二次根式在方程求解、函数图像等问题中的应用。

分式与二次根式是数学中的重要知识点，掌握了它们的基本概念、运算规则和解题思路，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

在学习过程中，我们应该多进行练习，加深对分式与二次根式的理解和掌握。

数学中的二次根式与分式方程二次根式是数学中的一种重要概念，与之相关的分式方程也是数学中一个常见且有挑战性的问题。

本文将介绍二次根式的定义、性质以及与分式方程的关系，并通过例题进行具体说明。

一、二次根式的定义与性质1. 定义：二次根式是形如√a 的数，其中 a 为非负实数。

其中，√a 可以理解为满足b^2 = a 的非负实数b。

在二次根式中，a 称为根式的被开方数，b 称为根式的值。

2. 性质：（1）二次根式的值是不唯一的，因为一个数的平方可能有两个相反的值。

（2）二次根式的乘法：√a * √b = √(a * b)。

即根式的乘积等于被开方数的乘积的二次根式。

（3）二次根式的除法：√a / √b = √(a / b)。

即根式的商等于被开方数的除法的二次根式。

二、分式方程的概念与解法1. 概念：分式方程是一个含有分式的方程，其中方程中至少有一个变量（未知数）存在于分式中。

2. 解法：解决分式方程的关键是将方程中的分式转化为整式，从而得到更简化的等式。

下面将介绍三种常见的解法。

（1）通分法：将方程中的所有分式的分母找出最小公倍数，并使每个分式的分母都等于最小公倍数，然后将方程两边同乘以最小公倍数，消去分母。

（2）消去法：通过观察可以将分式方程进行简化，将分子或分母中某些数值相同的项通过消去的方式，从而得到一个更简单的等式，进而求解。

（3）代换法：对于某些特定的分式方程，可以通过适当的代换使得方程更加简洁，然后利用已知的数学性质求解。

三、例题分析1. 题目：求解方程 3 / (x+2) + 2 / (x-1) = 1解法：采用通分法解此方程。

首先，找到最小公倍数为 (x+2)*(x-1)，然后将方程两边同时乘以(x+2)*(x-1)，得到 3*(x-1) + 2*(x+2) = (x+2)*(x-1)。

经过展开和整理后，得到 7x - 7 = x^2 + x - 2。

进一步整理后变为 x^2 - 6x + 5 = 0。

数学知识点二次根式与分式的运算数学知识点：二次根式与分式的运算在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。

二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。

正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。

本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。

一、二次根式的运算二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。

在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。

1. 合并同类项合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。

例如：√9 + √4 = √(9+4) = √132. 分解因式分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。

例如：√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√33. 有理化有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。

例如：1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2二、分式的运算分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。

分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。

1. 四则运算分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。

例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/62. 化简化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。

例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/23. 通分通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。

例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/64. 约分约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。

例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2三、综合运算在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。

例如：例1：计算√(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。

人教版小学八年级上册数学知识点总结一、数与代数（一）二次根式1.二次根式的概念二次根式是指形如√a（a≥0）的数学表达式，其中a被称为被开方数。

当a>0时，二次根式有两个值，分别为正根和负根；当a=0时，二次根式的值为0。

2.二次根式的性质•非负性：对于任意实数a，√a的值总是非负的。

•乘方与开方互逆：对于任意非负实数a，有√(a^2) = a。

•运算性质：√(ab) = √a × √b（a≥0, b≥0）；√(a/b) = √a / √b（a≥0, b>0）。

3.二次根式的化简与运算通过合并同类二次根式、利用二次根式的乘法法则进行化简和运算。

（二）一元二次方程1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的方程称为一元二次方程。

一般形式为ax^2 + bx + c = 0（a≠0）。

2.一元二次方程的解法•直接开平方法：当一元二次方程可以化为x^2 = p或(x-m)^2 = p的形式时，可以直接开平方求解。

•配方法：通过配方将一元二次方程转化为完全平方的形式，然后开平方求解。

•公式法：对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其解为x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)。

•因式分解法：将一元二次方程化为两个一次方程的乘积形式，然后分别求解。

3.一元二次方程的应用一元二次方程在实际问题中有广泛应用，如面积、体积、速度、时间等问题。

通过设立未知数，建立一元二次方程，然后求解未知数，可以得到实际问题的解。

（三）分式1.分式的概念一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母。

分式是不同于整式的一类代数式。

2.分式的性质•分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

•分式的约分与通分：通过约分可以化简分式，通过通分可以比较分式的大小或进行分式的加减运算。

3 整式与分解因式【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即nnnb a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n aa 1=-（a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2∙a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ． 【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x 2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中22a b =-=．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．4 分式与分式方程【知识梳理】1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =3．先化简11112-÷-+x xx ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．4．解下列方程（1）013522=--+xx x x （2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【检测】1．当99a =时，分式211a a --的值是．2．当x 时，分式112--x x 有意义；当x 时，该式的值为0． 3．计算22()ab ab的结果为 ．4. ．若分式方程xxk x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-25．若分式32-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x yx 4y 5x y x 4xy5x y 2xy x 2222-+-+÷-++的值7．先化简，再求值：4xx 16x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x8.解分式方程． (1)22011xx x -=+- (2)x 2)3(x 22x x -=--；(3) 11322xx x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+--5 二次根式【知识梳理】 1.二次根式：(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：（1a 0b 0≥≥，）（2a 0b 0≥ ，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用【例题精讲】 【例1有意义，x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠B ．0x ≠C ．10x x >-≠且D ．10x x ≠≥-且【例2）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间【例3】 若实数x y ，2(0y =，则xy 的值是 ．【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有52π7-，，四个实数，从中任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．【例5】计算：（1）103130tan 3)14.3(27-+︒---）（π （2）101(1)52-⎛⎫π-+-+-- ⎪⎝⎭【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-⨯+--a a a ，其中33-=a ．【检测】1.计算：（1032tan 60(1--+-．（2）cos45°·(－21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋121-（3）023cos 304sin 60-++-．2.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简。

二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。

如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。

不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。

如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。

如25 可以写作 5 。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。

其中a≥0是 a 有意义的前提条件。

（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。

要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。

练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。

二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。

（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。

数学中的二次根式与分式在数学中，二次根式和分式是我们经常会遇到的两个概念。

它们在解决方程、计算和简化表达式等方面都具有重要的作用。

本文将详细介绍二次根式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、二次根式的定义与性质二次根式是指根号下包含二次项的表达式。

具体地说，对于一个非负实数a和正整数n，我们定义二次根式√a为满足以下条件的实数x：x的n次方等于a，即x^n = a。

其中，n称为根式的指数，而a则是根式的被开方数。

二次根式的性质如下：1. 非负性质：二次根式的值不会小于0，即根号下的被开方数必须为非负实数。

2. 分解性质：对于一个二次根式√ab，可以将其分解为√a * √b。

3. 合并性质：对于两个同类项的二次根式√a和√b，可以合并为√(a+b)。

4. 化简性质：如果被开方数能够整除完全平方数，那么二次根式就可以化简为一个有理数。

二、分式的定义与性质分式是数学中的一种表达形式，通常由分子和分母组成，中间用分数线分隔。

分式可以表示两个数之间的关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。

分式的定义如下：对于两个整数a和b（其中b≠0），我们定义分式a/b为两个整数a和b的比值。

在分式中，a被称为分子，b被称为分母。

分式的性质如下：1. 除法性质：分式表示的是除法运算，即a/b = a÷b。

2. 分子和分母的性质：在一个分式中，如果分子和分母乘（或除）以同一个非零实数k，则分式的值不变。

3. 分式的简化：如果分子和分母有一个公因数，那么可以进行约分，将分式化简为最简形式。

4. 分式的加减乘除：两个分式的加减可以通过通分和化简的方法进行，两个分式的乘除可以通过分子乘分子、分母乘分母的方法进行。

三、二次根式与分式的联系与应用二次根式和分式在数学中经常会有联系，并在解决问题中应用到一起。

1. 化简分式时可以利用二次根式的性质进行转化。

比如，在分式中出现二次根式时，可以将其转化为最简形式，使得分母中不存在二次根式。

复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法复习初中数学揭秘二次根式与分式的计算方法初中数学是我们基础教育中不可或缺的一门学科，而在初中数学中，二次根式与分式是常见的数学概念和计算方法。

了解和掌握二次根式与分式的计算方法对于正确理解和解决数学问题至关重要。

本文将揭秘二次根式与分式的计算方法，帮助大家复习初中数学知识。

一、二次根式的计算方法二次根式是一个数学表达式，其中包含有平方根的形式。

要计算二次根式，需要掌握以下几个基本方法。

1. 二次根式的化简当二次根式中含有分式、复数时，我们需要进行化简，以方便进行计算。

化简的方法主要有：（1）利用平方根的性质将二次根式中的分式转化为有理数，例如：$\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2}$。

（2）将二次根式中的复数部分分离出来，例如：$\sqrt{-4}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} = 2i$，其中$i$为虚数单位。

2. 二次根式的加减法二次根式的加减法需要满足根号内的数值和分母相同的情况下，才能进行计算。

例如：$\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。

3. 二次根式的乘法二次根式的乘法可以通过将根号内的数相乘，然后合并同类项得到最简形式。

例如：$\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}=\sqrt{15}$。

4. 二次根式的除法二次根式的除法可以通过将根号内数的比值相除，然后将分子和分母进行化简。

例如：$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$。

二、分式的计算方法分式是由分子和分母组成的有理数。

在初中数学中，分式的计算方法主要包括四则运算和简化。

1. 分式的加减法分式的加减法需要满足分母相同的情况下，才能进行计算。

例如：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}=2$。

2. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子和分母分别相乘，然后再将结果化简。