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教案韦达定理TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】教案：韦达定理（一）王伟光一、教学目标1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
二、教学重点、难点1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导．2．教学难点：韦达定理的灵活应用．x2+2x﹣4=0 3x2+2x﹣6=0 2x2﹣5x﹣3=0x 1+x2=? x1+x2=? x1+x2=?x 1x2=? x1x2=? x1x2=?问题1：对于一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0（a≠0）是否也具备这个特征？x1+x2=-，x1·x2=，如何推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系？设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．∴aacbbx2421-+-=，aacbbx2422---=.()042≥-acb由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）—韦达定理三：韦达定理内容：韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b cx +x =x x =a a-⋅，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。
其逆命题：如果12x x ，满足1212bc x +x =x x =a a-⋅，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。
四：韦达定理应用：韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。
金鼎培训将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用等。
教案：初中数学韦达定理教学目标：1. 理解并掌握韦达定理的内容及应用。
2. 能够运用韦达定理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 韦达定理的内容及应用。
2. 运用韦达定理解题的方法和技巧。
教学难点：1. 理解并掌握韦达定理的推导过程。
2. 灵活运用韦达定理解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT或黑板，展示韦达定理的推导过程和应用实例。
2. 准备一些练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾一元二次方程的解法，例如因式分解、配方法等。
2. 提问：解一元二次方程时，我们能否直接得到方程的根与系数之间的关系呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍韦达定理的背景和意义。
2. 推导韦达定理的公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），如果方程有两个实数根x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
3. 解释韦达定理的推导过程，引导学生理解并掌握。
三、实例讲解（15分钟）1. 通过具体的例子，展示如何运用韦达定理解题。
2. 引导学生观察方程的根与系数之间的关系，并运用韦达定理进行解答。
四、练习与讨论（15分钟）1. 让学生独立完成一些练习题，巩固对韦达定理的理解和应用能力。
2. 鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调韦达定理的重要性和应用范围。
2. 提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够理解和掌握韦达定理的内容及应用。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，鼓励他们提出问题和解决问题。
同时，通过练习题的设置，检验学生对韦达定理的理解和应用能力。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
对于学习有困难的学生，可以适当给予个别辅导，帮助他们理解和掌握韦达定理。
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）教学设计——191403228周小凤1. 韦达公式的定义及推导。
设一元二次方程中ax²＋bx＋c＝0（a,b,c∈R,a≠0），两根x₁、x₂有如下关系：，。
利用求根公式代入推导换算。
2. 韦达定理应用。
（1）简单练习训练求方程两根的和与积（2）经典例题a,已知方程一根，求另一根与待定系数（3）经典例题b,利用两根和，积去求相关代数式的值（4）经典例题c,根与系数的关系与根的判别式综合运用（5）课后巩固师：同学们，在我们已经学习了一元二次方程的基础上，今天我将和大家一起探究一元二次方程根与系数的关系。
首先，老师问一下大家，你们还记的一元二次方程的求根公式么？学：师：好，非常棒！一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a≠0）的求根公式,不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，那么一元二次方程根与系数的联系还有其他表现方式么?学：（同学们大多答不上来）或答不清楚师：同学们，看老师的板书。
同学们最后我们得出了一个这样的关系：，这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
以上引出一个概念“韦达定理”，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达提出的，设一元二次方程中ax²＋bx＋c＝0（a,b,c∈R,a≠0），两根x₁、x₂有如下关系：。
应用该定理时，我们一定要注意两个前提条件：一是a≠0，二是满足根的判别式b² - 4ac ≥0.如果当a=0，它是一个一元一次方程与我们探究的一元二次方程与根的关系无关，那么如果当b² - 4ac ‹0，无根，就没有关系上的探究了。
（1）简单练习训练求方程两根的和与积师：接下来我们就要运用到这个定理。
请同学们完成例四，有同学敢上黑板来展示么示（较为简单代入，直接对答案，给予同学表扬）（2）经典例题a,已知方程一根，求另一根与待定系数师：大家学的都很不错，下面我们将更深入的去应用韦达定理。
韦达定理教案教案标题：探索韦达定理教学目标：1. 了解并理解韦达定理的概念和应用。
2. 掌握使用韦达定理解决三角形相关问题的方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 韦达定理的定义和基本概念。
2. 韦达定理在解决实际问题中的应用。
教学难点：1. 学生对于韦达定理的应用理解深度。
2. 学生在解决实际问题时的思考和分析能力。
教学准备：1. 教师准备教学投影仪，展示相关示意图和计算过程。
2. 准备课本和练习题集等教材资料。
3. 给学生准备纸和笔，以及计算器。
教学过程：引入（5分钟）：1. 教师可以通过一个简单有趣的问题来引起学生对韦达定理的兴趣。
例子：在平面内，有三条线段，它们分别连接一个点和一个普通的五边形的三个顶点。
这三个线段的长度分别是3、4和5，那么这个五边形的面积是多少呢？2. 引导学生思考可能的解决方法，引出韦达定理。
讲解与示范（15分钟）：1. 通过示意图和具体的数学推导，讲解韦达定理的定义和公式表达方式。
2. 给出韦达定理的一些示例问题，并详细解答过程。
3. 强调韦达定理在解决实际问题中的应用，如测量三角形的边长、面积等。
实践与巩固（20分钟）：1. 学生个别或分组完成一些练习题，检验对韦达定理的理解和应用能力。
2. 提供不同难度的问题，鼓励学生运用韦达定理解决实际场景中的三角形问题。
总结与拓展（10分钟）：1. 教师与学生总结韦达定理的要点和应用方法。
2. 引导学生思考并讨论韦达定理的拓展应用，如四边形、多边形等。
课后作业：1. 布置一些与韦达定理相关的作业题，以巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生在实际生活中观察和应用韦达定理。
教学资源：1. 教师投影仪、示意图PPT等。
2. 课本和练习题集等教材。
3. 白板和彩色笔等。
评估与反馈：1. 教师针对学生的课堂表现和作业完成情况进行评估，并及时给予反馈。
2. 针对学生对韦达定理的理解程度和问题解决能力，进行个别指导和辅导。
韦达定理的教案教案标题：韦达定理的教案教学目标：1. 理解韦达定理的概念和应用。
2. 掌握使用韦达定理解决三角形边长和角度的方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学重点：1. 韦达定理的定义和公式推导。
2. 运用韦达定理解决实际问题。
3. 引导学生进行逻辑推理和问题解决。
教学难点：1. 理解韦达定理的几何意义。
2. 运用韦达定理解决复杂的三角形问题。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、计算器、教学课件、实物三角形模型。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、量角器。
教学过程：引入：1. 引导学生回顾勾股定理的概念和应用，并与韦达定理进行对比。
2. 提问：你们知道韦达定理是什么吗？它有什么作用？讲解：1. 通过教学投影仪展示韦达定理的定义和公式推导过程，并解释其几何意义。
2. 引导学生理解韦达定理的应用场景，如计算三角形的边长和角度。
示范：1. 通过实物三角形模型，展示如何使用韦达定理计算三角形的边长和角度。
2. 指导学生进行模仿实践，自主解决一些简单的韦达定理问题。
练习：1. 分发练习题，包括计算三角形边长和角度的各种情况。
2. 引导学生在小组内讨论解题思路，并互相检查答案。
拓展：1. 提供一些复杂的韦达定理问题，鼓励学生进行深入思考和解决。
2. 鼓励学生在解题过程中进行逻辑推理和问题分析，培养其问题解决能力。
总结：1. 总结韦达定理的定义和应用，并强调其在几何问题中的重要性。
2. 鼓励学生将所学知识应用到实际生活中，如测量建筑物高度等。
作业：1. 布置相关的作业题目，巩固学生对韦达定理的理解和应用能力。
2. 鼓励学生在作业中提出自己的问题，并积极探索解决方法。
教学反思：1. 回顾本节课的教学过程和效果，总结教学中存在的问题和不足。
2. 提出改进措施，并在下一次教学中加以改进。
通过以上教案的设计和实施，学生将能够全面理解韦达定理的概念和应用，并能够运用韦达定理解决各种三角形问题。
同时，通过引导学生进行逻辑思维和问题解决的训练，培养其综合素质和学习能力。
韦达定理教案范文一、教案概述本教案针对高中数学课程中的韦达定理进行讲解和练习。
韦达定理是高中数学的重要内容之一，它是用来求解二次方程根的一种方法。
本教案以理论讲解和例题演练相结合的方式，旨在帮助学生深入理解韦达定理的原理和应用。
二、教学目标1.理解韦达定理的定义和原理；2.掌握使用韦达定理解二次方程的方法；3.能够灵活运用韦达定理求解实际问题。
三、教学内容1.韦达定理的定义和原理；2.韦达定理的应用；3.实际问题的解决方法。
四、教学步骤及教学方法1.引入新课(5分钟)通过引入类比，向学生介绍韦达定理，让学生从直观的例子中理解韦达定理的定义和原理。
2.理论讲解(25分钟)通过讲解例题和解题思路，详细阐述韦达定理的应用方法和步骤，包括如何列方程、如何计算韦达定理的公式、如何求解根等。
3.例题演练(15分钟)以课本上的习题为例，分组演练韦达定理的应用，教师抽取几道题目，引导学生进行讨论和解答，同时解答学生在解题过程中出现的疑惑和问题。
4.进一步拓展(10分钟)通过提供一道拓展习题，引导学生思考如何将韦达定理应用于实际问题的解决。
5.小结与作业布置(5分钟)对本节课的重点内容进行小结，鼓励学生进行课后练习，并布置相应的作业。
五、教学手段及教具教学手段：讲解、演练、互动探究。
教具：教师课件、习题、实物类比。
六、教学评估1.在课堂上观察学生的主动参与情况；2.检查学生在例题演练中的解题思路和结果；3.对学生的课堂表现进行口头评估。
七、教学资源教师课件、学生课本、习题集。
八、教学反思通过对学生课后作业的批改和教学评估，进一步了解学生对韦达定理的掌握情况。
在下节课中，可以根据学生的学习情况，进一步引导学生应用韦达定理解决更加复杂的实际问题。
同时，在讲解过程中，要注意与学生的互动，鼓励学生积极思考和提问，培养学生的解决问题的能力。
第0讲 一元二次方程与韦达定理【课程要求】 《初中课程要求》1.一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为高中阶段的使用打下基础.2.一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向我们展示了认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索，锻炼我们分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.3.一元二次方程的根与系数的关系，中考考查的频率不高，高考常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分. 《高中课程要求》1.韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．2.韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．【知识梳理】 根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a-=，则有122222b b b bx x a a a a ---+=+==-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====；||4|2424|||22221a acb a ac b b a ac b b x x -=-----+-=-． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知 x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．【典型例题】1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．2. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．3. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或24. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．5. 已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．6. 已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．1. 已知关于x 的方程x 2+x ﹣a =0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．62. 已知1x =是一元二次方程20x ax b ++=的一个根，则222a ab b ++=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．-13. 关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根，则m 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦D ．()1,00,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭4. 若关于x 的一元二次方程12x 2﹣2kx +1﹣4k ＝0有两个相等的实数根，则代数式（k ﹣2）2+2k （1﹣k ）的值为__________．5. 方程22112310x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为____________.【课堂小结】韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．【课后训练】一、单选题1. 下列关于x 的方程有实数根的是（ ） A ．x 2-x +1=0 B ．x 2+x +1=0 C ．(x -1)2+1=0D ．x 2-4x +4=02．关于x 的方程220x kx +-=的一个根是－2，则方程的另一个根是（ ） A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知方程2210x x --=的两根为1x 与2x ，则2212x x +=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．64．若关于x 的一元二次方程210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．14k >且0k ≠ B ．14k <且0k ≠ C ．14k ≤且0k ≠ D ．14k <5．已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程()22230x m x m -++=的两个不相等的实数根，并且满足12111x x +=，则实数m 的值是（ ） A ．1- B ．3 C ．1-或3 D ．3-或16．关于x 的一元二次方程：2240x x m --=有两个实数根1x 、2x ，则21211m x x ⎛⎫+⎪⎝⎭=（ ） A ．44mB ．44m -C ．4D ．-4二、填空题7．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根1x 、2x ，若2212126x x x x +=-15，则k 的值为________.8．已知方程2310x x --=的两根为1x ，2x ，则()()1233x x --=________.9．已知α、β是方程22430x x +-=的两个根，则11αβ+=________.三、解答题10．已知关于x 的一元二次方程22210x ax a +-+=的两个实根的平方和为294，求a 的值.11．已知1x ，2x 是关于x 的方程22(21)0x a x a +-+=的两个实根，若()()122211x x ++=，求a 的值．12．已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-=有两个不等实根. （1）求实数m 的取值范围；（2）设方程的两个实根为12,x x ，且21212()()120x x x x +-+-=，求实数m 的值.。
教师一对一个性化教案学生姓名年级科目授课教师日期时间段课时授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容个性化学习问题解决教学重点、难点及考点分析教学过程求代数式的值求待定系数一元二次韦达定理应用构造方程方程的求解特殊的二元二次方程组根公式二次三项式的因式分解【内容分析】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠，如果方程有两个实数根12,x x，那么1212,b cx x x xa a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx xa+=-的负号与b的符号的区别根系关系的三大用处（1）计算对称式的值例若12,x x是方程2220070x x+-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x+；(2)1211x x+；(3)12(5)(5)x x--；(4)12||x x-．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x+=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x+=+-=---=(2) 121212112220072007x xx x x x+-+===-(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x--=-++=---+=-(4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x-=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：教学过程222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。
