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韦达定理根与系数的关系韦达定理（Vieta's theorem）是数学中的一个重要定理，它描述了多项式根与系数之间的关系。
这个定理以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名，他在16世纪首次提出了这个定理。
韦达定理的表述非常简洁，它指出：对于一个n次多项式，其根的乘积等于(-1)^n乘以常数项与最高次项系数的商。
换句话说，如果一个多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中a_i为多项式的系数，那么它的根r_1、r_2、...、r_n满足以下关系：r_1 * r_2 * ... * r_n = (-1)^n * a_0 / a_n这个定理的证明可以通过多项式展开和对称多项式的性质来完成，但在这篇文章中，我们将重点讨论韦达定理的应用。
我们可以利用韦达定理来求解多项式的根。
对于一个已知的多项式，我们可以通过观察常数项和最高次项系数的关系，来推测根的乘积。
然后，我们可以根据多项式的次数和已知的根之间的关系，来求解其他缺失的根。
通过这种方法，我们可以快速而准确地求解多项式的根。
韦达定理还可以用于多项式的因式分解。
根据韦达定理，如果我们已知一个多项式的根r_1、r_2、...、r_n，那么我们可以将这个多项式表示为以下形式的乘积：P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)这个形式的多项式就是多项式的因式分解形式。
通过将多项式因式分解，我们可以更好地理解多项式的性质，并且更方便地进行计算和求解。
韦达定理还可以用于多项式系数的求解。
对于一个已知的多项式，如果我们已知其中n-1个根，以及一个系数，那么根据韦达定理，我们可以求解出剩下的一个系数。
这种方法在实际问题中非常有用，可以帮助我们建立和求解多项式方程。
除了以上应用之外，韦达定理还有很多其他的应用。
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些
韦达定理指出了⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，让我们⼀起来了解⼀下吧。
下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系
韦达定理指出：⼀元⼆次⽅程中两根的和等于它的⼀次项系数除以⼆次项系数所得的商的相反数;两根的积等于它的常数项除以⼆次项系数所得的商。
设⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0中(a，b，c∈R，a≠0)，设此⼀元⼆次⽅程有两根x₁、x₂，有如下关系：
由⼀元⼆次⽅程求根公式如下：
达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
⼀元⼆次⽅程的根的判别式为：△=b2-4ac(a，b，c分别为⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数，⼀次项系数和常数项)。
根的判别式是判定⽅程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
⽆论⽅程有⽆实数根，实系数⼀元⼆次⽅程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定⼀元⼆次⽅程根的状况和特征。
韦达定理为数学中的⼀元⽅程的研究奠定了基础，对⼀元⽅程的应⽤创造开拓了⼴泛的发展空间。
已知两个根其中的⼀个，就可以代⼊韦达定理的关系式⾥求得另⼀个根，并且还可以⽤另⼀个关系式来检验。
妙用韦达定理巧解根与系数的关系问题作者：徐菊萍
来源：《初中生世界·九年级》2018年第09期
法国数学家韦达发现一元二次方程的根与系数之间有着某种特殊关系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，则x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca].用文字语言表述为：一元二次方程中两根的和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根的积等于它的常数项除以二次项系数所得的商.我们称这个结论为韦达定理，妙用韦达定理，常常可以避开繁琐的求解，找到解题的捷径.
一、已知方程，求关于方程两根的代数式的值
【點评】已知一个根，用韦达定理求另一个根时，需要观察系数特点.若一次项系数是已知数，则用两根和求另一个根；若常数项是已知数，则用两根积求另一个根，再用另一组关系求字母系数.以x1，x2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）为：x2-（x1+x2）x+x1x2=0.
（作者单位：南京师范大学附属苏州石湖中学）。
一元一次方程根与系数的关系（韦达定理）1. 一元一次方程的根与系数的关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b cx x x x a a+=-= 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 2. 韦达定理的重要推论：推论1：如果方程20x px q ++=的两个实数根是12,x x ，那么1212,x x p x x q +=-= 推论2：以两个实数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是方程：()212120x x x x x x -++=3. 利用根与系数关系，可知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有如下重要结论1．若两互为相反数，则120,0bx x b a+=-== 2.若两根互为倒数，则12120,0,1b cx x b x x a a+=-====，得到a c = 3 若有一根是0，则1200cx x c a===， 4.若有一根为1，则0a b c ++= 5. 若有一根为-1，则0a b c -+=根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．：【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（3）定性判断字母系数的取值范围 【典型例题】例1 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．例2 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．A 组1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) A ．2B ．2-C ．12D ．923．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于( )A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或 4．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆= B ．M ∆> C ．M ∆< D ．大小关系不能确定5．若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则代数式1111b a a b --+--的值为()A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，则,,a b c 之间的关系是 ______ 7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．8．若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．10．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ． 11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．若0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n的值．13．已知关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．14．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？ (2)k 的值．B 组1．已知关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围； (2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．3．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 若1212x x =，求k 的值．。
一元3次方程根与系数的关系对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d=0（a≠0），设其三个根分别为x_{1}，x_{2}，x_{3}。
根与系数的关系如下：1. 韦达定理的第一个关系（x^2项系数与根的关系）- 我们有x_{1}+x_{2}+x_{3}=-(b)/(a)。
- 推导过程：- 对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d = 0，根据代数基本定理，它可以分解为a(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})=0。
- 将a(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})展开得a(x^3-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}) = 0。
- 对比ax^3+bx^2+cx + d = 0与ax^3-a(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+a(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x -ax_{1}x_{2}x_{3}=0中x^2项的系数，可得x_{1}+x_{2}+x_{3}=-(b)/(a)。
2. 韦达定理的第二个关系（x项系数与根的关系）- x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=(c)/(a)。
- 推导过程：- 由上面展开式a(x^3-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}) = 0对比ax^3+bx^2+cx + d = 0中x项的系数，可得x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=(c)/(a)。
3. 韦达定理的第三个关系（常数项与根的关系）- x_{1}x_{2}x_{3}=-(d)/(a)。
- 推导过程：- 同样根据a(x^3-(x_{1}+x_{2}+x_{3})x^2+(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})x - x_{1}x_{2}x_{3}) = 0对比ax^3+bx^2+cx + d = 0中的常数项，可得x_{1}x_{2}x_{3}=-(d)/(a)。
一元n次韦达定理公式是怎样的（最新版）目录1.韦达定理的背景和历史2.一元 n 次方程的韦达定理公式3.韦达定理的应用举例4.韦达定理的推广和意义正文一、韦达定理的背景和历史韦达定理是数学领域中关于方程根与系数之间关系的一个重要定理。
最早由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）于 1615 年在他的著作《论方程的识别与订正》中提出。
韦达定理对于一元二次方程以及更高次方程的根与系数之间的关系进行了深入的探讨，成为了数学史上的一个重要里程碑。
二、一元 n 次方程的韦达定理公式对于一元 n 次方程 ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+...+zx+p=0（其中 a ≠0），它的根记作 x1，x2，x3...xn。
韦达定理说明了方程的根与系数之间的关系，具体公式如下：x1 + x2 + x3 +...+ xn = -b/ax1x2 + x1x3 + x1x4 +...+ x1xn = c/ax1x2x3 + x1x2x4 + x1x2x5 +...+ x1x2xn = -b/a...x1x2...xn-1 = (-1)^(n-1) * c / ax1x2...xn = (-1)^n * p / a其中，-b/a 表示两根之和，c/a 表示两根之积，(-1)^(n-1) * c / a 表示三根之和，(-1)^n * p / a 表示三根之积。
三、韦达定理的应用举例例如，对于一个三次方程 x^3 - 3x^2 - 10x + 5 = 0，设它的三根分别为 x1，x2，x3。
根据韦达定理，我们有：x1 + x2 + x3 = 3x1x2 + x1x3 + x2x3 = -3x1x2x3 = -5通过求解这个方程组，我们可以得到方程的三个根。
四、韦达定理的推广和意义韦达定理不仅适用于实数域，还适用于复数域。
在复数域中，韦达定理对于多项式的根与系数之间的关系提供了一种优美的解释。
韦达定理根与系数的关系韦达定理是数学中一个重要的定理，它揭示了多项式方程根与系数之间的关系。
韦达定理在代数学和数学分析中有着广泛的应用，对于理解多项式方程的根的性质和特征具有重要意义。
韦达定理的正式表述如下：对于一个n次多项式方程，其一般形式为：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$是多项式的系数，$n$是方程的次数，$x$是未知数。
韦达定理指出，如果多项式方程有一个根为$x=k$，那么可以将方程表示为以下形式：$(x-k)(a_nx^{n-1} + b_{n-1}x^{n-2} + ... + b_1x + b_0) = 0$其中$a_n, b_{n-1}, ..., b_1, b_0$是新的系数，$x-k$是一次因式。
通过展开上述等式，我们可以得到：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0$这说明多项式方程的一个根$k$对应着方程的一个一次因式$x-k$。
这意味着，如果我们能够找到多项式方程的所有根，那么我们就能够将方程完全分解成一次因式的乘积，从而得到多项式的因式分解式。
韦达定理还告诉我们，根与系数之间存在着一种重要的关系。
设多项式方程的根为$x_1, x_2, ..., x_n$，那么我们可以得到以下关系：$x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$$x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$...$x_1x_2...x_n = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}$这些关系告诉我们，多项式方程的根的各种组合方式与系数之间有着密切的联系。
通过这些关系，我们可以在已知多项式方程的系数的情况下，计算出方程的根的和、乘积以及根的各种组合之和。
