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⼤学物理上册（第五版）重点总结归纳及试题详解第⼗五章狭义相对论基础第⼗五章狭义相对论基础⼀、基本要求1. 理解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。
2. 了解洛仑兹变换及其与伽利略变换的关系；掌握狭义相对论中同时的相对性，以及长度收缩和时间膨胀的概念，并能正确进⾏计算。
3. 了解相对论时空观与绝对时空观的根本区别。
4. 理解狭义相对论中质量和速度的关系，质量和动量、动能和能量的关系，并能分析计算⼀些简单问题。
⼆、基本内容1.⽜顿时空观⽜顿⼒学的时空观认为，物体运动虽然在时间和空间中进⾏，但时间的流逝和空间的性质与物体的运动彼此没有任何联系。
按⽜顿的说法是“绝对空间，就其本性⽽⾔，与外界任何事物⽆关，⽽永远是相同的和不动的。
”，“绝对的，真正的和数学的时间⾃⼰流逝着，并由于它的本性⽽均匀地与任何外界对象⽆关地流逝着。
”以上就构成了⽜顿的绝对时空观，即长度和时间的测量与参照系⽆关。
2．⼒学相对性原理所有惯性系中⼒学规律都相同，这就是⼒学相对性原理（也称伽利略相对性原理）。
⼒学相对性原理也可表述为：在⼀惯性系中不可能通过⼒学实验来确定该惯性系相对于其他惯性系的运动。
3. 狭义相对论的两条基本原理（1）爱因斯坦相对性原理：物理规律对所有惯性系都是⼀样的，不存在任何⼀个特殊的（例如“绝对静⽌”的）惯性系。
爱因斯坦相对论原理是伽利略相对性原理（或⼒学相对性原理）的推⼴，它使相对性原理不仅适⽤于⼒学现象，⽽且适⽤于所有物理现象。
（2）光速不变原理：在任何惯性系中，光在真空中的速度都相等。
光速不变原理是当时的重⼤发现，它直接否定了伽利略变换。
按伽利略变换，光速是与观察者和光源之间的相对运动有关的。
这⼀原理是⾮常重要的。
没有光速不变原理，则爱因斯坦相对性原理也就不成⽴了。
这两条基本原理表⽰了狭义相对论的时空观。
4. 洛仑兹变换()--='='='--='2222211c u xc u t t z z y y c u ut x x （K 系->'K 系）()-'+'='='=-'+'=2222211c u x c u t t z z y y c u t u x x （K 系->'K 系）令u c β=，γ=①当0→β，γ=1得ut x x -='，,',','t t z z y y ===洛仑兹变换就变成伽利略变换。
狭义相对论基础练习题一、填空1、一速度为U的宇宙飞船沿X轴的正方向飞行，飞船头尾各有一个脉冲光源在工作，处于船尾的观察者测得船头光源发出的光脉冲的传播速度大小为________________________；处于船头的观察者测得船尾光源发出的光脉冲的传播速度大小为________________________。
2、一门宽为a，今有一固有长度为L0（L>a）的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动。
若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为________________________。
3、在地球上进行的一场足球赛持续的时间为90秒，在以速率为0.8cυ=飞行的飞船上观测，这场球赛的持续时间为_______________________。
4、狭义相对论的两条基本原理中，相对性原理说的是_________________________________________；光速不变原理说的是_________________________________________。
5、当粒子的动能等于它静止能量时，它的运动速度为_______________________；当粒子的动量等于非相对论动量的2倍时，它的运动速度为______________________。
6、观察者甲以4c/5的速度（c为真空中光速）相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一长度为L,截面积为S，质量为m的棒，这根棒安放在运动方向上，则甲携带测得此棒的密度为_____________________；乙测得此棒的密度为_______________。
7、一米尺静止在'K系，且与'X轴的夹角为30，'K系相对于K系的X轴的正向的运动速度为0.8c,则K系中测得的米尺的长度为L=___________；他与X轴的夹角为θ=___________。
8、某加速器将电子加速到能量Ｅ＝２×１０６eV时，该电子的动能Ｅk＝_______________________eV。
（完整word版）大学物理（上）知识总结,推荐文档一质点运动学知识点： 1．参考系为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参考系。
要作定量描述，还应在参考系上建立坐标系。
2．位置矢量与运动方程位置矢量（位矢）：是从坐标原点引向质点所在的有向线段，用矢量r 表示。
位矢用于确定质点在空间的位置。
位矢与时间t 的函数关系：k ?)t (z j ?)t (y i)t (x )t (r r ++==??称为运动方程。
位移矢量：是质点在时间△t内的位置改变，即位移：)t (r )t t (r r -+=??轨道方程：质点运动轨迹的曲线方程。
3．速度与加速度平均速度定义为单位时间内的位移，即：t r v =速度，是质点位矢对时间的变化率：dtr d v ?=平均速率定义为单位时间内的路程：tsv ??=速率，是质点路程对时间的变化率：ds dtυ=加速度，是质点速度对时间的变化率：dtv d a ??=4．法向加速度与切向加速度加速度τ?a n ?a dtvd a t n +==??法向加速度ρ=2n v a ，方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。
切向加速度dtdv a t =，方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。
在圆周运动中，角量定义如下：角速度dt d θ=ω 角加速度 dtd ω=β 而R v ω=，22n R R v a ω==，β==R dtdv a t 5．相对运动对于两个相互作平动的参考系，有'kk 'pk pk r r r +=，'kk 'pk pk v v v +=，'kk 'pk pk a a a ?+=重点：1. 掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。
2. 确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。
第一章 质点运动学一、 基本要求1． 掌握位矢、位移、速度、加速度、角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。
2．能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和加速度。
3．能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向和法向加速度。
4．理解伽利略坐标变换和速度变换。
二、 基本内容1． 位置矢量（简称位矢）位置矢量，表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r 表示。
r 的端点表示任意时刻质点的空间位置。
r 同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。
位矢是描述质点运动状态的物理量之一。
注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即()t =r r ；（2）相对性：用r 描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r 表达形式可以是不相同的。
它表示了r 的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性：r 为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。
在直角坐标系Oxyz 中x y z =++r i j k==r rr z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos质点的运动方程为 ()()()()t x t y t z t ==++r r i j k （矢量式）或()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x （标量式）。
2．位移()(),t t t x y z ∆=+∆-=∆+∆+∆r r r i j k ∆r 的模∆=r注意：（1）∆r 与r ∆的区别：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。
（2）∆r 与s ∆的区别：s ∆表示t ~t t ∆+时间内质点通过的路程，是标量，只有质点在直线直进时两者的大小相等或当0→∆t 时，s ∆=∆r 。
3. 速度d dt=rv ，是质点位置矢量对时间的变化率。
在直角坐标系中x y z d dx dy dz dt dt dt dt==++=++v v v v r i j k i j kv 的大小：===v vv 的方向：在直线运动中，0>v 表示质点沿坐标轴正向运动，0<v 表示质点沿坐标轴负向运动；在曲线运动中，v 沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方。
大学物理教程第十五章狭义相对论基础第五篇近代物理学基础19世纪末物理学已经发展成为一套相当完整的理论，力学方面有牛顿力学，电磁学方面有麦克斯韦电磁理论，光学方面有光的波动理论，最后亦归结为麦克斯韦电磁理论，热现象方面有完整的热力学以及玻耳兹曼、吉布斯等人建立的统计物理学，日常所见的物理现象都可以用这套理论来解释．因此19世纪末许多物理学家认为物理学的发展已经是登峰造极，以后不会有多大发展了．但是，就在19世纪末和20世纪初，发现的许多新的实验事实不能用这套所谓经典物理学来解释．例如寻找以太的迈克耳孙—莫雷实验的结果是否定的，黑体辐射能谱、光电效应、康普顿效应和原子光谱等都不能用经典理论来解释．这些问题使经典物理学遭遇了极大困难，也使一些物理学家感到困惑．20世纪初期，爱因斯坦提出相对性理论，普朗克提出量子假设，爱因斯坦提出光子假设，玻尔等人又把量子概念应用于原子结构，使上述问题得到解决或初步得到解决．直到德布罗意提出实物粒子和光一样具有波粒二象性假设后，一个体系较完整的理论——量子力学才建立起来．近代物理学是对经典物理学而言的，相对论和量子力学是近代物理学的两大支柱，也是许多基础科学和工程科学的基础．本篇主要介绍狭义相对论，并说明一切微观粒子都具有波粒二象性，在此基础上简单介绍量子力学及其对原子结构、激光及半导体导电机制等的应用．第十五章狭义相对论基础在上册§2－l中讲过，牛顿力学只适用于低速运动的宏观物体，宏观物体的高速运动问题则要用相对论力学处理．相对论分为狭义相对论和广义相对论．局限于惯性参考系的理论称为狭义相对论，推广到一般参考系包括引力场在内的理论称为广义相对论．本章只对狭义相对论作简单介绍．本章重点是狭义相对论的两条基本原理、相对论时空观、洛伦兹变换和相对论动力学等，但为了更好地理解相对论的两条基本原理和其他有关问题，我们从伽利略相对性原理、经典力学时空观、伽利略变换讲起．§15－1 伽利略相对性原理经典力学时空观伽利略变换一、伽利略相对性原理在远古时代，人们认为大地是平坦的．古代中国有“天圆地方”之说，而西方人则以为平坦的大地是坐落在一只大龟的背上，而龟又漂浮在大海之中．直到两千多年前，亚里士多德才给出了一个精致而复杂的宇宙模型，主张地球是球形的，位于整个宇宙的中心，太阳、行星和恒星都环绕地球作完美的圆周运动．按照亚里士多德的观念，地球中心在空间位置上具有决定意义，而空间方向的“上”和“下”却相对化了，即没有一个方向具有绝对优越的性质，这就是空间方向上的相对性．这是人类走向科学时空观的第一步．哥白尼否定了地心作为宇宙中心的绝对意义，把宇宙中心移到太阳上，这是走向宇宙无中心论的关键的一步．此后，牛顿发现苹果落地与月亮绕地球旋转是由同一个原因引起的，在牛顿的力学方程中没有宇宙中心的位置，任何空间点都是平等的．因为没有宇宙中心，对于所有的参考系，物理规律都是一样的，所有的运动都是相对的．1632年，伽利略在《关于哥白尼和托勒玫两大世界体系的对话》中写道：“把你和一些朋友关在一条大船甲板下的主舱里，再让你们带几只苍蝇、蝴蝶和其他小飞虫．舱内放一只大水碗，其中放几条鱼．然后，挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的宽口罐里．船停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行，鱼向各个方向随便游动，水滴滴进下面的罐子中．你把任何东西扔给你的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向用更多的力．你双脚齐跳，无论向哪个方向跳过的距离都相等．当你仔细地观察这些事情后(虽然当船停止时，事情无疑一定是这样发生的)，再使船以任何速度前进，只要运动是匀速的、也不忽左忽右地摆动，你将发现，所有上述现象丝毫没有变化，你也无法从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是停着不动．即使船运动得相当快，在跳跃时，你将和以前一样，在船底板上跳过相同的距离．你跳向船尾也不会比跳向船头来得远，虽然你跳到空中时，脚下的船底板向着你跳的相反方向移动．你把不论什么东西扔给你的同伴时，不论他是在船头还是在船尾，只要你自己站在对面，你也并不需要用更多的力．水滴将像先前一样，滴进下面的罐子，一滴也不会滴向船尾，虽然水滴在空中时，船已行驶了很多柞1．鱼在水中游向水碗前部所用的力，不比游向水碗后部来得大；它们一样悠闲地游向放在水碗边缘任何地方的食饵．最后，蝴蝶和苍蝇将继续随便地到处飞行，它们也绝不会向船尾集中，并不因为它们可能长时间留在空中，脱离了船的运动，为赶上船的运动显出累的样子．”这些现象表明在作匀速直线运动的大船中观察到的物体的行为与大船静止时相同，即物体的行为在所有惯性系中都是相同的，或者说，支配物体行为的物理规律在所有惯性系中都是相同的．这就是伽利略提出的相对性原理的基本思想．伽利略相对性原理可以表述为：一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受到系统作为整体的匀速直线运动的影响．二、经典力学时空观时空观，就是对有关时间和空间的物理性质的认识．什么是时间，什么是空间？这是两个人们最常用而又很难确切回答的问题．对于时间和空间这两个基本概念来说，重要的问题并不在于它们本身的定义，而是它们之间的关系，以及它们与物质运动的联系．在时空观上，伽利略、牛顿等建立的经典力学体系否定了亚里士多德体系中空间位置的绝对意义，但是在牛顿力学中仍然引入了绝对静止的空间和绝对不变的时间的概念．牛顿在他的《自然哲学的数学原理》一书中写道：“绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，始终保持着相似和不变．”“绝对的、纯粹的数学的时间，就其本身和本性来说，均匀地流逝而与任何外在的情况无关．”表明空间、时间和“外在的情况”三者都是相互独立的、无关的，空间的延伸和时间的流逝都是绝对的．三、伽利略变换我们首先介绍事件概念．事件是在空间某一点和时间某一时刻发生的某一现象．例如一辆公交车在某一时刻到达某个车站，就是一个事件．宏观物体的运动可以分解为一系列的事件．公交车的运动就是由按固定线路顺序到达一系列站点及其时刻的事件构成的．事件是构成宏观物体运动的基本要素．一个事件是用它发生的地点和发生的时刻来描述的．在一个参考系中空间一点要用三个坐标x、y、z来描述，一个时刻要用一个坐标t来描述，所以一个事件在一个参考系中要用四个坐标x、y、z、t来描述．设S为一个惯性参考系，坐标系x、y、z固定于其中，S'为另一个以恒定速度u相对于S运动的惯性参考系，坐标系x'，y'，z'固定于其中．为简单起见，取x、x'轴在同一直线上，并且都指向u的方向．y'、z'轴分别与y、z轴平行，如图15－1所示．我们假定两个参考系中的观察者都备有米尺和时钟，可以用来1张开手时拇指尖到中指尖的距离，约为20 cm．测量事件的空时坐标．现在来考虑在P 点发生的一个事件．S 系中的观察者测出这一事件的空时坐标是(x ，y ，z ，t )，S'系中的观察者测出这一事件的空时坐标是(x'，y'，z'，t')．这两组坐标之间有什么关系呢？假设两个观察者所用的时钟已经校准且快慢相同，并且都从两个参考系的原点O 及O'重合的时刻开始计时(即在此时刻t = t' = 0)，则P 点发生的事件的两个时间坐标有如下关系： t' = t 又假设两个观察者所用的米尺已经比较过且长度相同．则由图15－1看出，该事件的两组空间坐标有如下关系；x' = x – uty' = yz' = z合并以上结果得两组空时坐标之间的关系如下：='='='-='t t z z y y ut x x 或 '='='='+'=t t z z y y t u x x （15－1）上式中两组方程分别称为伽利略坐标变换及其逆变换．若写为矢量形式，则为='-='t t t u r r 或 ?=''+'=t t t u r r （15－2）其中r 、r '分别为P 点对S 系的原点O 及S'系的原点O '的径矢．由(15－1)式可以看出，在伽利略变换中t' = t ，即两个惯性系中的时间t 和t'被认为是相同的，而且空间变换式与时间无关，与S'系和S 系之间的相对运动情况无关．因此，伽利略变换体现了牛顿力学时空观的绝对时间和绝对空间的概念，体现了牛顿力学时空观的空间、时间和“外在的情况”三者都是相互独立的、无关的概念．当P 点为一个运动的质点时，将(15－2)式微分得d r ' = d r - u d td t' = d t将以上二式相除得u r r -=''tt d d d d 即 v ' = v - u （15－3）这就是伽利略变换下的速度合成定理．将(15－3)式对时间t' (= t )求导数并考虑到u 为常量，得图15－1tt d d d d v v ='' 即 a ' = a （15－4）上式表示质点相对于S'系的加速度与它相对于S 系的加速度相等，即质点的加速度在伽利略变换下是不变量．因S 系是惯性系，牛顿第二定律成立，即F = m a （15－5）用伽利略变换把这方程从S 系变换到S'系．为简单起见假设作用于质点的力F 只是该质点相对于其他质点的相对位置(即该质点相对于其他质点的相对径矢r - r i )的函数(此处r i 为任一其他质点i 对S 系的原点O 的径矢)，例如万有引力就是如此．由(15－2)式很容易证明r -r i 在伽利略变换下是不变量，因此力F 在伽利略变换下是不变量，即F ' = F在经典力学中物体的质量被认为是常量，与参考系无关，即m' = m将以上两式和(15－4)式代入(15－5)式得F ' = m'a ' （15－6）比较(15－5)及(15－6)两式看出，牛顿第二定律在S 系和S'系中(也就是在所有惯性系中)具有相同的形式，或者说牛顿第二定律在伽利略变换下形式不变．因为力和加速度在伽利略变换下都是不变量，所以牛顿第一和第三定律在所有惯性系中也具有相同的形式，或者说牛顿第一和第三定律在伽利略变换下形式不变．牛顿定律是整个经典力学的基础，经典力学中一切定律都是从牛顿定律推出的．既然牛顿定律在伽利略变换下形式不变，由牛顿定律推出的力学定律也必然在伽利略变换下形式不变．因此我们得出如下结论：在所有惯性系中力学定律具有相同的形式．因此，我们不能在一个惯性系内部通过力学实验来找出该惯性系相对于其他惯性系的运动情况，当然也无法测定其速度．这就表明伽利略变换得出的结论与伽利略提出的相对性原理的基本思想是一致的．现在已经清楚，伽利略变换只适用于低速的机械运动，对于电磁过程等力学范围之外的物理过程，即使低速情况下伽利略变换也不适用，而要采用洛仑兹变换．然而，伽利略相对性原理却被爱因斯坦作为狭义相对论的一条基本原理保留下来．§15－2 以太假设迈克耳孙—莫雷实验一、电磁学问题在上一节中已经指出，对于电磁过程等力学范围之外的物理过程，即使低速情况下伽利略变换也不适用．在经典物理学中电磁现象是由麦克斯韦方程组来处理的，这些方程支配着一切电磁现象的行为，正如牛顿定律支配着一切力学现象的行为一样．牛顿定律在伽利略变换下形式保持不变，然而麦克斯韦方程组在伽利略变换下形式却要发生改变．下面通过一个简单的例子来说明这一问题．第八章的习题8－18讨论了相距为d 的两个正电荷q 1、q 2当运动速度v 1和v 2相互垂直时的作用力的问题．如果将参考系改换到随一个电荷运动的惯性系上，其答案就会与题设的实验室参考系中得到的结果完全不同．这里我们将问题再作一些简化，假设在实验室参考系S 中相距为d 的两个正电荷q 1、q 2相对静止(图15－2a )．两个正电荷之间无磁场力，根据库仑定律，存在着库仑力F e ．如果在另一个相对于S 系以速度v 向右运动的惯性系S'中观察，这两个正电荷都显示出向左的运动速度-v ．那么这两个正电荷之间除了存在着库仑力F 'e 之外，由于都处于对方电荷运动所产生的磁场中，将受到磁场引力F 'm 的作用(图15－2b )．在牛顿力学中，两个惯性系中正电荷q 2所受的作用力应该相等，即F e = F 'e +F 'm ．由此可得F'e > F e ，如果假定在两个惯性系中电荷为不变量，则q 1在q 2处的电场强度存在如下关系：E' > E同理，在包围电荷q 1半径为d 的闭合球面上都可以得到如上结果．以此球面作为高斯面，将上式积分得 >?'S E S E d d （15－7）如果高斯定理在实验室参考系中成立，则01d εq =??S E 那么由(15－7)式可以看出，高斯定理在参考系S'中就不成立．19世纪末的一些物理学家希望伽利略变换不但适用于力学现象，也应适用于电磁现象，于是假定通常形式的麦克斯韦方程组只在一个特定的参考系成立，而且认为这个特定参考系就是相对以太静止的参考系，称为以太系．当时认为传播电磁波需要有介质，正如传播声波需要有介质——空气一样，并且将传播电磁波的介质称为以太．二、速度合成定理应用于光的传播过程由伽利略坐标变换导出的速度合成定理，是经典力学的重要规律之一．但是速度合成定理的正确性是有限度的．为了说明这一问题，我们应用速度合成定理来分析一下有关光的传播现象．900多年前，北宋年间的史书《宋会要》中记载了一次非常著名的超新星的爆发事件．书中提到，在宋仁宗至和元年(公元1054年)，超新星出现在金牛座ζ星(天关)附近，非常之亮，白天也能看到，历时23天才慢慢暗下来， 22个月后隐没．这次爆发的残骸形成了著名的金牛星座的蟹状星云(图15－3)．这一历史记录与光速有关．当一颗恒星发生超新星爆发时，它的外围物质向四面八方飞散．因此，有些抛射物向我们运动，有些则沿横向运动．假设抛射物的运动速度为u ，如果光线服从伽利略坐标变换的速度合成定理，向我们运动的抛射物发出的光线的速度为c + u ，横向运动的抛射物发出的光线的速度大约仍为c ．这些光线到达地球的时间分别应为t = l /(c + u )和t' = l /c ，蟹状星云到地球的距离l 大约是5千光年，爆发中抛射物的速度大约是1500 km/s ，代入这些数据可得t' - t ≈ 25 年．即至少在25 年的时间里都可以看到开始爆发时所发出的(a) (b)图15－2 图15－3强光，而史书中记录的是“岁余稍没”．结论似乎是：超新星发出的光速是一样的，与发光物体本身的速度无关．即光速不服从经典的速度合成定理．对于上面天文观测所得出的结论，曾经一度做出这样的解释：由于光具有波动特性，光的传播速度与光源的速度无关，只与传播光的介质——以太的运动状态有关，这样就能避免出现上述的矛盾．到十九世纪末，人们认为电磁波和光波的传播介质是以太，而且对以太的兴趣剧增．当时似乎感觉到，以太是可以观察到的．按照伽利略变换下的速度合成定理，在相对于以太以速度u 运动的参考系中光的速度应该不相同，这样在地球上就可以通过光学实验测定地球相对于以太的速度．相对于以太的速度称为绝对速度，相对于以太的运动称为绝对运动．只要找出地球的绝对速度，以太这个参考系就算找到了．三、迈克耳孙—莫雷实验迈克耳孙—莫雷实验(1887年)就是为测量地球相对于以太的绝对运动而设计的．迈克耳孙—莫雷实验所用的仪器就是§14－8所讲的迈克耳孙干涉仪．实验装置如图15－4(a)所示，测试仪器安装在边长为1.5 m 的正方形厚石板上，石板浮于水银槽中，以便于整个装置能在无形变的情况下缓慢旋转，采用多次镜面反射使干涉仪的臂长l 达到11 m ．图15－4(b)为干涉仪的实验原理图．由光源S 发出波长为λ的光入射到半镀银的玻片G 1后，一部分由G l 反射到平面镜M 2，再由M 2反射回来透过G 1到达望远镜T ，另一部分透过G 1到达平面镜M 1，再由M 1和G 1先后反射到达T ．在实验中两臂长相等G 1M 1 = G 1M 2 = l ．假设地球(即仪器)相对于以太以速度u 沿G 1M 1方向运动，光相对于地球(仪器)的速度为v ．取以太为S 系，地球为S'系，则由伽利略变换下的速度变换法则，光对地球(仪器)的速度v 等于光对以太的速度c 减去地球对以太的速度u ，即v = c - u （15－8）由(15－8)式看出，u 的大小和方向都是一定的，c 的大小也是一定的，但其方向可以变化，所以光对地球的速度v 的大小随方向而变化．沿u 方向v = c - u (图15－5a)，逆u 方向v = c + u (图15－5b)，垂直于u 的方向22u c -=v (图15－5c)．所以来回于G 1、M 1之间的光束所需时间为+≈???? ??-=-=++-=-2212222212122c u c l c u c l u c cl u c l u c l t(a) (b)图15－4来回于G 1、M 2之间的光束所需时间为+≈???? ??-=-=-222/122221212122c u c l c u c l u c l t 所以这两个时间之差为3222221221212c lu c u c l c u c l t t =+-???? ??+=- （15－9）因此两光束的光程差为()2212clu t t c =-=δ 如果把整个仪器绕中心支轴旋转90°，则两光束互换位置，其光程差由δ变为-δ，可见这一旋转引起了光程差的改变为2δ．这相当于仪器中的反射镜M 2移动了一段距离d ：2222clu d ==δ 所以在转动过程中，应看到干涉条纹移过视场．当转至90°时，由上式及(14－30)式得移过视场的干涉条纹数为22222/Δc lu d N λλδλ=== 现在来估计一下ΔN 的数值．在上式中c = 3.0×108 m/s ，l = 11 m ，又取地球相对于以太运动的速度等于地球绕太阳运动(公转)的速度，即u = 3.0×104 m/s ，实验中所用光波波长λ = 5.9×10-7 m ，代入上式得4.0)100.3(109.5)100.3(112Δ28724≈=-N 这相当于在仪器旋转以前的亮条纹在旋转以后几乎变为暗条纹．实验的精确度很高，可以观察到0.01条条纹的移动，因此应当毫无困难地观察到0.4条条纹的移动．但仔细观察并没有看到这个预期的条纹的移动．以上设u = 3.0×104 m/s 为地球绕太阳运动的速度，不一定是地球相对于以太运动的速度．但是一方面地球绕太阳运动，其速度的方向是连续地变化的，另一方面太阳又在运动，以每秒几百公里的速度绕银河系的中心运动，银河系也在运动，人们曾经推测在一年中总有某个时候会观察到与这个速度相对应的条纹的移动．但情况不是这样，迈克耳孙等人在白天、晚上以及一年中所有季节都进行了(a) (b) (c)图15－5实验，观察到的条纹移动比预期的要小得多．近年来更加精确的实验指出，在非常小的误差范围内根本不存在条纹的移动．寻找以太的迈克耳孙—莫雷实验的结果是否定的，那么出路只有两条：要么是地球相对于以太的速度总为零；要么以太假设本身是不对的，二者必居其一．由于自哥白尼以后，人们再也不能同意任何形式的地球为宇宙中心的观念了，因此前一个答案是不能接受的．结论只能是：以太假设并不成立，以太根本不存在．§15－3 爱因斯坦假设当时有许多科学家提出种种不同的假说来解释迈克耳孙—莫雷实验，但他们对以太的假说和绝对时空观——伽利略变换都采取毫不怀疑的态度，因而他们的努力都失败了．1905年，爱因斯坦发表了一篇关于狭义相对论的论文，抛弃了没有事实根据的以太假说和经典力学的绝对时空观——伽利略变换，提出如下两个假设：1．相对性原理在所有惯性系中一切物理定律都具有相同的形式，即是说所有惯性系对于描写一切物理现象的规律性都是等价的．2．光速不变原理在所有惯性系中的观察者测得光在真空中沿各方向传播的速度都等于恒定的值c，与光源和观察者的运动无关．爱因斯坦的狭义相对论的相对性原理与伽利略的相对性原理的基本思想是一致的，即我们不能在一个惯性系内部通过任何物理实验来找出该惯性系相对于其他惯性系运动的速度，因而不能找到绝对静止惯性系，这就否定了绝对静止惯性系存在的可能性．但是伽利略给出的具体变换式(15－1)却只能适用于牛顿力学，而不能保证电磁现象(包括光)也满足相对性原理．爱因斯坦的相对性原理则希望能适用于一切物理规律．按照光速不变原理可以很简单地解释迈克耳孙—莫雷实验的结果．因为在仪器中沿两臂来回传播的光速都是c，所以两束光同时到达望远镜T，而不会有(15－9)式所预期的时间差．上述两条原理是狭义相对论的基础，狭义相对论是建立在这两条原理的基础之上的．§15－4 狭义相对论的时空观本节将从狭义相对论的两条原理出发，导出“同时”的相对性、时间的相对性即“时间延迟”、长度的相对性即“长度收缩”，说明狭义相对论时空观与经典力学时空观的主要区别．一、“同时”的相对性经典力学认为所有惯性系具有同一的绝对时间，即如果有两个事件，在某一惯性系中观察是同时的，那么在所有惯性系中观察也都是同时的．在狭义相对论中情况却不是这样．所谓两个事件是同时发生的，是指两个事件空间位置可以不同，但发生的时刻是相同的．例如，当电台发出整点报时信号时，处于不同地点的人都可以对一下表，校准自己的时钟．通常认为不同地点的人对钟的时刻是同时的，因此各地的时钟也就可以依此而校准．但是电磁波是以光速传播的，报时信号从电台传到接收机需要时间，不同地点间因距离电台的远近出现的时间差虽然按日常生活的标准是难以觉察的，但是当我们讨论原则性问题时，哪怕再小的差异也是不允许的．根据爱因斯坦的光速不变原理，有一个异地对钟的准则．将两个要校准的钟放在A 、B 两点，令它们与电台的距离相同，均为l ，如图15－6所示．电台在t = 0时发出整点报时信号，在t = l /c 时同时到达A 、B 两点．也就是说，信号到达A 和B 的两个事件是同时发生的，则A 、B 两点依此校正自己的时钟．用这样的方式，可以将同一个惯性系中的时钟全部校准．按照上面的准则，在同一个惯性系中的观察者对两个事件是否同时发生的看法是一致的．下面我们将会发现，根据爱因斯坦的光速不变原理，处于相对运动状态的几个观察者，对两个事件是否同时发生的看法则是不一致的．为了说明这一点，爱因斯坦提出了一个理想实验．设想有一高速列车，它相对于站台以速度u 向右作匀速直线运动．在车厢正中点C 处安置有一车灯，如图15－7所示．当车中C 处的灯打开后，列车中的观察者将断定灯光相对于他以同等的速率传播，并同时到达车的首尾两端A 和B ．但是对于站台上的观察者来说，他也声称光相对于他以不变的速率传播，因为车尾B 端以速率u 向光靠近，而车头A 端以速率u 离开光，所以光应先到达车尾B 端，后到达车头A 端．即表明，对于列车中的观察者，在不同地点同时发生的两个事件(灯光同时到达A 、B 两端)，对于站台上的观察者来说，却并不是同时发生的．这就是说，对于列车参考系为同时发生的事件，对于站台参考系则不是同时的．由此可见，同时性与参考系有关．这就是同时性的相对性．从以上的讨论可以看出“同时”是相对的，有些情况下，两事件的先后时序也是相对的，这是光速不变原理的直接结果．如果光速为无限大，“同时”便是绝对的了．经典力学就是建立在作用的传递不需要时间的假定之上的，因此认为时间是绝对的，时间、空间与物质运动无关，这在高速运动的情况是不正确的．二、时间间隔的相对性(时间膨胀)现在考虑另一个理想实验，希望给出在两个惯性系中时间间隔差别的定量结果．设想高速列车相对于站台以速度u 向右作匀速直线运动．光源B 安装在车厢顶棚，其正下方车厢地板上有一面反射镜M ，车厢高度为h ，如图15－8所示．车厢中的观察者测量到光脉冲从光源B 发出经镜面M 反射再回到顶棚B 所需时间图15－6图15－7间隔为。
1 第5章狭义相对论习题及答案1. 牛顿力学的时空观与相对论的时空观的根本区别是什么？二者有何联系？答：牛顿力学的时空观认为自然界存在着与物质运动无关的绝对空间和时间，这种空间和时间是彼此孤立的；狭义相对论的时空观认为自然界时间和空间的量度具有相对性，时间和空间的概念具有不可分割性，而且它们都与物质运动密切相关。
在远小于光速的低速情况下，狭义相对论的时空观与牛顿力学的时空观趋于一致。
2. 狭义相对论的两个基本原理是什么？答：狭义相对论的两个基本原理是：（1）相对性原理在所有惯性系中，物理定律都具有相同形式；（2）光速不变原理在所有惯性系中，光在真空中的传播速度均为c ,与光源运动与否无关。
3．你是否认为在相对论中，一切都是相对的？有没有绝对性的方面？有那些方面？举例说明。
解在相对论中，不是一切都是相对的，也有绝对性存在的方面。
如，光相对于所有惯性系其速率是不变的，即是绝对的；又如，力学规律，如动量守恒定律、能量守恒定律等在所有惯性系中都是成立的，即相对于不同的惯性系力学规律不会有所不同，此也是绝对的；还有，对同时同地的两事件同时具有绝对性等。
4．设'S 系相对S 系以速度u 沿着x 正方向运动，今有两事件对S 系来说是同时发生的，问在以下两种情况中，它们对'S 系是否同时发生？（1）两事件发生于S 系的同一地点；（2）两事件发生于S 系的不同地点。
解由洛伦兹变化2()vt t x c g ¢D =D -D 知，第一种情况，0x D =，0t D =，故'S 系中0t ¢D =，即两事件同时发生；第二种情况，0x D ¹，0t D =，故'S 系中0t ¢D ¹，两事件不同时发生。
5-5飞船A 中的观察者测得飞船B 正以0.4c 的速率尾随而来，一地面站测得飞船A 的速率为0.5c ，求：（1）地面站测得飞船B 的速率；（2）飞船B 测得飞船A 的速率。
第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v ,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ．(1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr ｜= Δs = Δr(B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r (C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s (D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x ．下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a ｔ表示切向加速度．对下列表达式,即(1)d v /d t ＝a ；(2)d r /d t ＝v ；(3)d s /d t ＝v ；(4)d v /d t ｜＝a ｔ． 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的 1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( ) (A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变*1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v 0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v ,则小船作( )(A) 匀加速运动,θcos 0v v =(B) 匀减速运动,θcos 0v v = (C) 变加速运动,θcos 0v v =(D) 变减速运动,θcos 0v v = (E) 匀速直线运动,0v v =1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s ．求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．1 -8 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr ；*(4) 2ｓ 内质点所走过的路程s ．1 -13质点沿直线运动,加速度a＝4 -t2,式中a的单位为m·ｓ-2,t的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x＝9 m,v＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．1 -15一质点具有恒定加速度a ＝6i＋4j,式中a的单位为m·ｓ-2．在t ＝0时,其速度为零,位置矢量r0＝10 m i．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．1 -17质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r＝2.0t i＋(19.0 -2.0t2)j,式中r的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1.0s 到t2＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t1＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．1 -23一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t＝2.0ｓ时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ-1．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．1 -28一质点相对观察者O 运动, 在任意时刻t , 其位置为x ＝v t , y ＝gt2/2,质点运动的轨迹为抛物线．若另一观察者O′以速率v沿x轴正向相对于O 运动．试问质点相对O′的轨迹和加速度如何？第二章 牛顿定律2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )(A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ2 -2 用水平力F N 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F N 逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f 的大小( )(A) 不为零,但保持不变 (B) 随F N 成正比地增大(C) 开始随F N 增大,达到某一最大值后,就保持不变 (D) 无法确定2 -3 一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R ,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gR μ (B) 必须等于gR μ(C) 不得大于gR μ (D) 还应由汽车的质量m 决定 2 -4 一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,( ) (A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变 (B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加 (C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心 (D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加2 -5图(a)示系统置于以a ＝1/4 g的加速度上升的升降机内,A、B 两物体质量相同均为m,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为()(A) 58 mg(B) 12 mg(C) mg(D) 2mg2 -8如图(a)所示,已知两物体A、B 的质量均为m ＝3.0kg 物体A 以加速度a ＝1.0 m·ｓ-2运动,求物体B 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)2 -11火车转弯时需要较大的向心力,如果两条铁轨都在同一水平面内(内轨、外轨等高),这个向心力只能由外轨提供,也就是说外轨会受到车轮对它很大的向外侧压力,这是很危险的．因此,对应于火车的速率及转弯处的曲率半径,必须使外轨适当地高出内轨,称为外轨超高．现有一质量为m 的火车,以速率v沿半径为R的圆弧轨道转弯,已知路面倾角为θ,试求：(1) 在此条件下,火车速率v0 为多大时,才能使车轮对铁轨内外轨的侧压力均为零？(2) 如果火车的速率v≠v0 ,则车轮对铁轨的侧压力为多少？2 -12一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁．设演员和摩托车的总质量为m,圆筒半径为R,演员骑摩托车在直壁上以速率v 作匀速圆周螺旋运动,每绕一周上升距离为h,如图所示．求壁对演员和摩托车的作用力．2 -14一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t＋40,式中F的单位为N,t的单位的ｓ．在t ＝0 时,质点位于x＝5.0 m处,其速度v0＝6.0 m·ｓ-1 ．求质点在任意时刻的速度和位置．2 -16质量为m 的跳水运动员,从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为b v2 ,其中b 为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy轴,求：(1) 运动员在水中的速率v与y的函数关系；(2) 如b /m＝0.40m -1,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1 /10？(假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)2 -19光滑的水平桌面上放置一半径为R的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v0 ,求：(1) t 时刻物体的速率；(2) 当物体速率从v0减少到12 v0时,物体所经历的时间及经过的路程．2 -22质量为m的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作,它所受的阻力与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是v m．试计算从静止加速到v m/2所需的时间以及所走过的路程．2 -24在卡车车厢底板上放一木箱,该木箱距车箱前沿挡板的距离L＝2.0 m,已知刹车时卡车的加速度a＝7.0 m·ｓ-2,设刹车一开始木箱就开始滑动．求该木箱撞上挡板时相对卡车的速率为多大？设木箱与底板间滑动摩擦因数μ＝0.50．*2 -26如图(a)所示,在光滑水平面上,放一质量为m′的三棱柱A,它的斜面的倾角为α．现把一质量为m的滑块B 放在三棱柱的光滑斜面上．试求：(1)三棱柱相对于地面的加速度；(2) 滑块相对于地面的加速度；(3) 滑块与三棱柱之间的正压力．第三章动量守恒定律和能量守恒定律3 -1对质点组有以下几种说法：(1) 质点组总动量的改变与内力无关；(2) 质点组总动能的改变与内力无关；(3) 质点组机械能的改变与保守内力无关．下列对上述说法判断正确的是()(A) 只有(1)是正确的(B) (1)、(2)是正确的(C) (1)、(3)是正确的(D) (2)、(3)是正确的3 -2有两个倾角不同、高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下,则()(A) 物块到达斜面底端时的动量相等(B) 物块到达斜面底端时动能相等(C) 物块和斜面(以及地球)组成的系统,机械能不守恒(D) 物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒3 -3对功的概念有以下几种说法：(1) 保守力作正功时,系统内相应的势能增加；(2) 质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零；(3) 作用力和反作用力大小相等、方向相反,所以两者所作功的代数和必为零．下列上述说法中判断正确的是()(A) (1)、(2)是正确的(B) (2)、(3)是正确的(C) 只有(2)是正确的(D) 只有(3)是正确的3 -4如图所示,质量分别为m1和m2的物体A和B,置于光滑桌面上,A 和B之间连有一轻弹簧．另有质量为m1和m2的物体C和D分别置于物体A与B 之上,且物体A和C、B和D之间的摩擦因数均不为零．首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧被压缩,然后撤掉外力,则在A和B弹开的过程中,对A、B、C、D 以及弹簧组成的系统,有()(A) 动量守恒,机械能守恒(B) 动量不守恒,机械能守恒(C) 动量不守恒,机械能不守恒(D) 动量守恒,机械能不一定守恒3 -5如图所示,子弹射入放在水平光滑地面上静止的木块后而穿出．以地面为参考系,下列说法中正确的说法是()(A) 子弹减少的动能转变为木块的动能(B) 子弹-木块系统的机械能守恒(C) 子弹动能的减少等于子弹克服木块阻力所作的功(D) 子弹克服木块阻力所作的功等于这一过程中产生的热3 -8F x＝30＋4t(式中F x的单位为N,t 的单位为s)的合外力作用在质量m＝10 kg 的物体上,试求：(1) 在开始2ｓ内此力的冲量；(2) 若冲量I＝300 N·s,此力作用的时间；(3) 若物体的初速度v1＝10 m·s-1 ,方向与Fx相同,在t＝6.86s时,此物体的速度v2．3 -10 质量为m 的小球,在合外力F ＝-kx 作用下运动,已知x ＝A cos ωt ,其中k 、ω、A 均为正常量,求在t ＝0 到ωt 2π时间内小球动量的增量．3 -17 质量为m 的质点在外力F 的作用下沿Ox 轴运动,已知t ＝0 时质点位于原点,且初始速度为零．设外力F 随距离线性地减小,且x ＝0 时,F ＝F 0 ；当x ＝L 时,F ＝0．试求质点从x ＝0 处运动到x ＝L 处的过程中力F 对质点所作功和质点在x ＝L 处的速率．3 -22 一质量为m 的质点,系在细绳的一端,绳的另一端固定在平面上．此质点在粗糙水平面上作半径为r 的圆周运动．设质点的最初速率是v 0 ．当它运动一周时,其速率为v 0 /2．求：(1) 摩擦力作的功；(2) 动摩擦因数；(3) 在静止以前质点运动了多少圈？3 -28如图所示,把质量m＝0.20 kg 的小球放在位置A 时,弹簧被压缩Δl＝7.5 ×10 -2m．然后在弹簧弹性力的作用下,小球从位置A由静止被释放,小球沿轨道ABCD运动．小球与轨道间的摩擦不计．已知BCD是半径r＝0.15 m 的半圆弧,AB相距为2r．求弹簧劲度系数的最小值．3 -29如图所示,质量为m、速度为v的钢球,射向质量为m′的靶,靶中心有一小孔,内有劲度系数为k的弹簧,此靶最初处于静止状态,但可在水平面上作无摩擦滑动．求子弹射入靶内弹簧后,弹簧的最大压缩距离．3 -30质量为m的弹丸A,穿过如图所示的摆锤B后,速率由v减少到v /2．已知摆锤的质量为m′,摆线长度为l,如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动,弹丸速度v的最小值应为多少？3 -33如图所示,一质量为m′的物块放置在斜面的最底端A处,斜面的倾角为α,高度为h,物块与斜面的动摩擦因数为μ,今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射入物块并留在其中,且使物块沿斜面向上滑动．求物块滑出顶端时的速度大小．3 -34如图所示,一个质量为m的小球,从内壁为半球形的容器边缘点A 滑下．设容器质量为m′,半径为R,内壁光滑,并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上．开始时小球和容器都处于静止状态．当小球沿内壁滑到容器底部的点B时,受到向上的支持力为多大？*3 -36一系统由质量为3.0 kg、2.0 kg 和5.0 kg 的三个质点组成,它们在同一平面内运动,其中第一个质点的速度为(6.0 m·s-1)j,第二个质点以与x 轴成-30°角,大小为8.0 m·s-1的速度运动．如果地面上的观察者测出系统的质心是静止的,那么第三个质点的速度是多少？第四章刚体的转动4－1有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．对上述说法下述判断正确的是( )(A) 只有(1)是正确的(B)(1)、(2)正确，(3)、(4)错误(C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误 (D)(1)、(2)、(3)、(4)都正确4－2关于力矩有以下几种说法：(1) 对某个定轴转动刚体而言，内力矩不会改变刚体的角加速度；(2) 一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零；(3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的运动状态一定相同．对上述说法下述判断正确的是( )(A) 只有(2)是正确的 (B) (1)、(2)是正确的(C)(2)、(3)是正确的 (D) (1)、(2)、(3)都是正确的4－3均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是( )(A) 角速度从小到大，角加速度不变(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大(C) 角速度从小到大，角加速度从大到小(D) 角速度不变，角加速度为零4－4一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计．如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘和子弹系统的角动量L以及圆盘的角速度ω的变化情况为( )(A) L 不变，ω增大 (B) 两者均不变(C) L不变，ω减小 (D) 两者均不确定4－5 假设卫星环绕地球中心作椭圆运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的( )(A) 角动量守恒，动能守恒 (B) 角动量守恒，机械能守恒(C) 角动量不守恒，机械能守恒 (D) 角动量不守恒，动量也不守恒(Ｅ) 角动量守恒，动量也守恒4－8水分子的形状如图所示，从光谱分析知水分子对AA′轴的转动惯量J AA′＝1.93 ×10-47 kg·m2，对BB′轴转动惯量J BB′＝1.14 ×10-47 kg·m2，试由此数据和各原子质量求出氢和氧原子的距离D和夹角θ．假设各原子都可当质点处理．4－11用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为R 的飞轮支承在O 点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动(如图)．记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量．试写出它的计算式．(假设轴承间无摩擦)．4－14质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在图(a)所示的组合轮两端.设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计.试求两物体的加速度和绳的张力.4－15如图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A、B.A置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ，若B向下作加速运动时，求：(1) 其下落加速度的大小；(2) 滑轮两边绳子的张力.(设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑.)4－17 一半径为R、质量为m 的匀质圆盘，以角速度ω绕其中心轴转动，现将它平放在一水平板上，盘与板表面的摩擦因数为μ.(1) 求圆盘所受的摩擦力矩.(2) 问经多少时间后，圆盘转动才能停止？4－19如图所示，一长为2l的细棒AB，其质量不计，它的两端牢固地联结着质量各为m的小球，棒的中点O焊接在竖直轴z上，并且棒与z轴夹角成α角.若棒在外力作用下绕z轴(正向为竖直向上)以角直速度ω＝ω0(1－e－t) 转动，其中ω0为常量.求(1)棒与两球构成的系统在时刻t对z轴的角动量；(2) 在t＝0时系统所受外力对z轴的合外力矩.4－21在光滑的水平面上有一木杆，其质量m1＝1.0kg，长l＝40cm，可绕通过其中点并与之垂直的轴转动.一质量为m2＝10g的子弹，以v ＝2.0×102 m· s－1的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交.若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度.4－27一质量为1.12kg，长为1.0m的均匀细棒，支点在棒的上端点，开始时棒自由悬挂.以100N的力打击它的下端点，打击时间为0.02s.(1) 若打击前棒是静止的，求打击时其角动量的变化；(2) 棒的最大偏转角.4－31质量为0.50kg，长为0.40m的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动.如将此棒放在水平位置，然后任其落下，求：(1) 当棒转过60°时的角加速度和角速度；(2) 下落到竖直位置时的动能；(3) 下落到竖直位置时的角速度.4－33在题3－30的冲击摆问题中，若以质量为m′的均匀细棒代替柔绳，子弹速度的最小值应是多少？电磁学求解电磁学问题的基本思路和方法本书电磁学部分涉及真空中和介质中的静电场和恒定磁场、电磁感应和麦克斯韦电磁场的基本概念等内容，涵盖了大学物理课程电磁学的核心内容.通过求解电磁学方面的习题，不仅可以使我们增强对有关电磁学基本概念的理解，还可在处理电磁学问题的方法上得到训练，从而感悟到麦克斯韦电磁场理论所体现出来的和谐与美.求解电磁学习题既包括求解一般物理习题的常用方法，也包含一些求解电磁学习题的特殊方法.下面就求解电磁学方面的方法择要介绍如下.1.微元法在求解电场强度、电势、磁感强度等物理量时，微元法是常用的方法之一.使用微元法的基础是电场和磁场的叠加原理.依照叠加原理，任意带电体激发的电场可以视作电荷元d q单独存在时激发电场的叠加，根据电荷的不同分布方式，电荷元可分别为体电荷元ρd V、面电荷元σd S和线电荷元λd l.同理电流激发的磁场可以视作为线电流元激发磁场的叠加.例如求均匀带电直线中垂线上的电场强度分布.我们可取带电线元λd l为电荷元，每个电荷元可视作为点电荷，建立坐标，利用点电荷电场强度公式将电荷元激发的电场强度矢量沿坐标轴分解后叠加αr lλεE l l cos d π4122/2/0⎰-= 统一积分变量后积分，就可以求得空间的电场分布.类似的方法同样可用于求电势、磁感应强度的分布.此外值得注意的是物理中的微元并非为数学意义上真正的无穷小，而是测量意义上的高阶小量.从形式上微元也不仅仅局限于体元、面元、线元，在物理问题中常常根据对称性适当地选取微元.例如，求一个均匀带电圆盘轴线上的电场强度分布，我们可以取宽度为d r 的同心带电圆环为电荷元，再利用带电圆环轴线上的电场强度分布公式，用叠加的方法求得均匀带电圆盘轴线上的电场强度分布. 2.对称性分析对称性分析在求解电磁场问题时是十分重要的.通过分析场的对称性，可以帮助我们了解电磁场的分布，从而对求解电磁学问题带来极大方便.而电磁场的对称性有轴对称、面对称、球对称等.下面举两个例子.在利用高斯定律求电场强度的分布时，需要根据电荷分布的对称性选择适当的高斯面，使得电场强度在高斯面上为常量或者电场强度通量为零，就能够借助高斯定律求得电场强度的分布.相类似在利用安培环路定律求磁感强度的分布时，依照电流分布的对称性，选择适当的环路使得磁感强度在环路上为常量或者磁场环流为零，借助安培环路定律就可以求出磁感强度的分布. 3.补偿法补偿法是利用等量异号的电荷激发的电场强度，具有大小相等方向相反的特性；或强度相同方向相反的电流元激发的磁感强度，具有大小相等方向相反这一特性，将原来对称程度较低的场源分解为若干个对称程度较高的场源，再利用场的叠加求得电场、磁场的分布.例如在一个均匀带电球体内部挖去一个球形空腔，显然它的电场分布不再呈现球对称.为了求这一均匀带电体的电场分布，我们可将空腔带电体激发的电场视为一个外半径相同的球形带电体与一个电荷密度相同且异号、半径等于空腔半径的小球体所激发电场的矢量和.利用均匀带电球体内外的电场分布，即可求出电场分布.4.类比法在电磁学中，许多物理量遵循着相类似的规律，例如电场强度与磁场强度、电位移矢量与磁感强度矢量、电偶极子与磁偶极子、电场能量密度与磁场能量密度等等.他们尽管物理实质不同，但是所遵循的规律形式相类似.在分析这类物理问题时借助类比的方法，我们可以通过一个已知物理量的规律去推测对应的另外一个物理量的规律.例如我们在研究L C 振荡电路时，我们得到回路电流满足的方程01d d 22=+i LCt i 显然这个方程是典型的简谐振动的动力学方程，只不过它所表述的是含有电容和自感的电路中，电流以简谐振动的方式变化罢了. 5.物理近似与物理模型几乎所有的物理模型都是理想化模型，这就意味着可以忽略影响研究对象运动的次要因素，抓住影响研究对象运动的主要因素，将其抽象成理想化的数学模型.既然如此，我们在应用这些物理模型时不能脱离建立理想化模型的条件与背景.例如当带电体的线度远小于距所考察电场这一点的距离时，一个带电体的大小形状可以忽略，带电体就可以抽象为点电荷.但是一旦去研究带电体临近周围的电场分布时，将带电体当作点电荷的模型就失效了.在讨论物理问题时一定要注意物理模型的适用条件.同时在适用近似条件的情况下，灵活应用理想化模型可大大简化求解问题的难度.电磁学的解题方法还有很多，我们希望同学们通过练习自己去分析、归纳、创新和总结.我们反对在学习过程中不深入理解题意、不分析物理过程、简单教条地将物理问题分类而“套”公式的解题方法.我们企盼同学们把灵活运用物理基本理论求解物理问题当成是一项研究课题，通过求解问题在学习过程中自己去领悟、体会，通过解题来感悟到用所学的物理知识解决问题后的愉悦和快乐，进一步加深理解物理学基本定律，增强学习新知识和新方法的积极性.第五章静电场5 －1电荷面密度均为＋σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板如图(A)放置，其周围空间各点电场强度E(设电场强度方向向右为正、向左为负)随位置坐标x变化的关系曲线为图(B)中的( )5 －2下列说法正确的是( )(A)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内一定没有电荷(B)闭合曲面上各点电场强度都为零时，曲面内电荷的代数和必定为零(C)闭合曲面的电通量为零时，曲面上各点的电场强度必定为零(D)闭合曲面的电通量不为零时，曲面上任意一点的电场强度都不可能为零5 －3下列说法正确的是( )(A) 电场强度为零的点，电势也一定为零(B) 电场强度不为零的点，电势也一定不为零(C) 电势为零的点，电场强度也一定为零(D) 电势在某一区域内为常量，则电场强度在该区域内必定为零5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为2204π1L r QεE -=(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为2204π21L r r QεE +=若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.5 －12 两条无限长平行直导线相距为r 0 ，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为λ.(1) 求两导线构成的平面上任一点的电场强度( 设该点到其中一线的垂直距离为x )；(2) 求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力.。
相对论初步知识相对论是本世纪物理学的最伟大的成就之一，它标志着物理学的重大发展，使一些物理学的基本概念发生了深刻的变革。
狭义相对论提出了新的时空观，建立了高速运动物体的力学规律，揭露了质量和能量的内在联系，构成了近代物理学的两大支柱之一。
§ 1 狭义相对论基本原理 1、伽利略相对性原理1632年，伽利略发表了《关于两种世界体系的对话》一书，作出了如下概述： 相对任何惯性系，力学规律都具有相同的形式，换言之，在描述力学的规律上，一切惯性系都是等价的。
这一原理称为伽利略相对性原理，或经典力学的相对性系原理。
其中“惯性系”是指凡是牛顿运动定律成立的参照系。
2、狭义相对论的基本原理19世纪中叶，麦克斯韦在总结前人研究电磁现象的基础上，建立了完整的电磁理论，又称麦克斯韦电磁场方程组。
麦克斯韦电磁理论不但能够解释当时已知的电磁现象，而且预言了电磁波的存在，确认光是波长较短的电磁波，电磁波在真空中的传播速度为一常数，秒米/100.38⨯=c ，并很快为实验所证实。
从麦氏方程组中解出的光在真空中的传播速度与光源的速度无关。
如果光波也和声波一样，是靠一种媒质（以太）传播的，那么光速相对于绝对静止的以太就应该是不变的。
科学家们为了寻找以太做了大量的实验，其中以美国物理学家迈克耳孙和莫雷实验最为著名。
这个实验不但没能证明以太的存在，相反却宣判了以太的死刑，证明光速相对于地球是各向同性的。
但是这却与经典的运动学理论相矛盾。
爱因斯坦分析了物理学的发展，特别是电磁理论，摆脱了绝对时空观的束缚，科学地提出了两条假设，作为狭义相对论的两条基本原理：（1）狭义相对论的相对性原理在所有的惯性系中，物理定律都具有相同的表达形式。
这条原理是力学相对性原理的推广，它不仅适用于力学定律，乃至适合电磁学，光学等所有物理定律。
狭义相对论的相对性原理表明物理学定律与惯性参照系的选择无关，或者说一切惯性系都是等价的，人们不论在哪个惯性系中做实验，都不能确定该惯性系是静止的，还是在作匀速直线运动。
第一章复习一、描述运动的物理量1、描写质点运动的基本物理量（线量）（1）位置矢量：k z j y i x r++=。
（2）位移12r r r-=∆，注意与路程的区别。
（3）速度：dt r d v =，平均速度：t r v ∆∆= ，速率：||||dtrd dt dS v v ===（4）加速度直角坐标系：22dtrd dt v d a ==；平面自然坐标系：n v dt dv n a a a n ρτττττ2+=+= 2、描写刚体定轴转动的基本物理量（角量） （1）角位置θ（2）角位移12θθθ-=∆ （3）角速度dtd θω=（4）角加速度22dtd dt d θωβ==3、圆周运动角量与线量的关系：θ∆=∆R s ； R v ω=； R dtdva βτ==； R R v a n 22ω==。
二、运动方程1、直角坐标系中的运动方程：)(t r r=；2、定轴转动刚体的运动方程：)(t θθ=；3、自然坐标系中的运动方程：)(t s s =；三、轨迹方程四、可能出现的题型：1、根据运动方程求：位移，路程，速度，平均速度，速率，加速度，平均加速度等。
注意判别所求的物理量是矢量还是标量！2、根据加速度或速度以及初始条件求运动方程等。
可能用到的方法：图形面积法；矢量积分法（注意式中各物理量之间的变换，如：dxvdvdx dx dt dv dt dv a ===）。
3、根据运动方程求轨迹方程——消去运动方程中的时间即可。
4、利用匀变速直线运动公式或匀变速转动公式求解有关量。
匀变速直线运动公式：恒量=a ，at v v +=0，20021at t v x x ++=，)(20202x x a v v -=-匀变速转动公式：恒量=β，t βωω+=0，20021t t βωθθ++=，)(20202θθβωω-=-5、n a a a ,,τ的求解（1）直角坐标系中一般可由22dt r d dt v d a ==求出总加速度a，再根据||||dtr d v v ==求出速率，再根据dtdv a =τ求τa ，然后根据22n a a a +=τ求n a ，进而求曲率半径。
大学物理狭义相对论知识点总结
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大学物理 狭义相对论知识点总结
1． 狭义相对论基本原理
（1） 相对性原理：在所有惯性系中物理定律的表达形式都相同；
（2） 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速具有相同的量值c.
2． 洛伦兹变换
'''
'
x y y z z
t ====
逆变换为：
x y y z z t ''=
'
='
==
3． 相对论的时空观
（1） 同时的相对性；（2
）时间延缓't ∆=
3）尺度缩短
l l =4．
相对论中的质量、动量和能量： （1）质量与速度的关系：
m =
（2）动量的定义：
p =
； （3） 静止能量：200E m c = 总能量：
2E mc =
动能：
2220001)k E E E mc m c m c =-=-= 当v c 时，即是经典力学中的动能。
（4）能量和动量的关系： 2222
0E p c E =+。
第十五章狭义相对论基础一、基本要求1. 理解爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设。
2. 了解洛仑兹变换及其与伽利略变换的关系；掌握狭义相对论中同时的相对性，以及长度收缩和时间膨胀的概念，并能正确进行计算。
3. 了解相对论时空观与绝对时空观的根本区别。
4. 理解狭义相对论中质量和速度的关系，质量和动量、动能和能量的关系，并能分析计算一些简单问题。
二、基本内容1.牛顿时空观牛顿力学的时空观认为，物体运动虽然在时间和空间中进行，但时间的流逝和空间的性质与物体的运动彼此没有任何联系。
按牛顿的说法是“绝对空间，就其本性而言，与外界任何事物无关，而永远是相同的和不动的。
”，“绝对的，真正的和数学的时间自己流逝着，并由于它的本性而均匀地与任何外界对象无关地流逝着。
”以上就构成了牛顿的绝对时空观，即长度和时间的测量与参照系无关。
2．力学相对性原理所有惯性系中力学规律都相同，这就是力学相对性原理（也称伽利略相对性原理）。
力学相对性原理也可表述为：在一惯性系中不可能通过力学实验来确定该惯性系相对于其他惯性系的运动。
3. 狭义相对论的两条基本原理（1）爱因斯坦相对性原理：物理规律对所有惯性系都是一样的，不存在任何一个特殊的（例如“绝对静止”的）惯性系。
爱因斯坦相对论原理是伽利略相对性原理（或力学相对性原理）的推广，它使相对性原理不仅适用于力学现象，而且适用于所有物理现象。
（2）光速不变原理：在任何惯性系中，光在真空中的速度都相等。
光速不变原理是当时的重大发现，它直接否定了伽利略变换。
按伽利略变换，光速是与观察者和光源之间的相对运动有关的。
这一原理是非常重要的。
没有光速不变原理，则爱因斯坦相对性原理也就不成立了。
这两条基本原理表示了狭义相对论的时空观。
4. 洛仑兹变换()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='2222211c u xc u t t z z y y c u ut x x （K 系->'K 系）()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=2222211c u x c u t t z z y y c u t u x x （K 系->'K 系） 令u c β=，γ=①当0→β，γ=1得ut x x -='，,',','t t z z y y ===洛仑兹变换就变成伽利略变换。
②u >c ,21β-<0，洛仑兹变换失去意义。
故相对论指出，物体运动速度不能超过真空中光速。
③在狭义相对论中洛仑兹变换是两条基本假设的直接结果。
5. 狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观认为，时间和空间有密切的联系，时间、空间与物质运动是不可分割的，根本不存在脱离了物质运动的绝对时间和绝对空间。
其中包括同时的相对性，长度的收缩，时间的延迟等都反映了狭义相对论的时空观。
（1）同时性的相对性在某惯性系中同时发生的两个事件，在另一相对它运动的惯性系中并不一定同时发生。
如两事件在K 系中同时异地的发生，在'K 系中的观察者观测这两事件必定不是同时发生的。
由洛仑兹变换式可得''21t t -=2122121)()(β----x x c t t u显然，21t t =，12x x ≠, 则''210t t -≠，两事件在'K 系中不同时发生。
所以同时性是相对的。
（2）时间膨胀一个事件所经历的时间的量度也与参照系有关。
若一事件在K 系中s x =处发生，起始于1t 时刻、终止于2t 时刻、经历时间为12t t t -=∆。
定义在相对于事件发生的地点为静止的参照系（如K 系）中测得的时间间隔为固有时（或原时），用120t t -=τ。
则在相对K 系匀速运动的'K 系中测得此时间间隔为'''12t t t -=∆，称't ∆为运动时，用τ表示，则由洛仑兹变换式得运动的钟变慢的公式21βττ-=显然τ>0τ，称为运动的时钟变慢或时间膨胀效应。
时间膨胀是一种相对论效应，不是钟的内部结构有了什么变化。
若在'K 系中测得时间为0τ，则在K 系中测得时间间隔为τ，仍有21βττ-=，这与第一条基本假设一致。
在v <<c 时，0ττ=，与牛顿绝对时空观相符。
（3）长度收缩设一固定在K 系中的物体，它沿x 轴的长度，在K 系测得为12x x l -=（K 系相对于物体沿x 方向无相对运动），l 称为该物体的固有长度。
则在相对K 系沿x 方向相对匀速运动的'K 系中，在某时刻't 测得该物体长度12'''x x l -=（应在同时测出21','x x ），则有21'β-=l l即'l <l 。
这个效应称为长度收缩。
注意：①长度收缩为一相对论效应，物体运动速度越大，此效应越显著。
当v <<c 时，l l ='，收缩效应几乎显示不出来。
②在与相对速度υ垂直方向上l l =' ，即与相对速度垂直的方向上无长度收缩效应。
③一般说来，这个长度收缩效应用肉眼很难看到。
因为用肉眼看物体时，除有相对论效应外，还有光学效应。
6. 质量与速度的关系201β-=m m注意：①物体的运动质量m 与物体相对观察的运动速度v 相关。
此处m 与经典力学中变质量问题不同。
②当v <<c ，0m m →，回到经典力学中，可认为质量与物体运动无关。
③光子的静止质量00=m 。
7. 相对论力学的基本方程⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=201βv F m dt d上式当v <<c ，又回到牛顿第二定律。
8．质量和能量关系物体的静止能量200c m E =（物体相对于观察者静止时的能量） 物体的运动能量2mc E =（物体相对于观察者以υ的速度运动时的能量） 相对论动能202c m mc E k -= 质能关系式2mc E =，200c m E = 9．动量和能量关系4202220222c m p c E p c E +=+= 式中p 为动量，相对论动量 201β-=v p m上式具有极重要的意义，它反映了动量和能量间的关系，也反映了动量和能量的不可分割性和统一性，如同时间与空间的不可分割性与统一性一样。
如光子，,00=m 但光子动量为c E p =，光子的质量2cEm =。
三、习题选解15-3 一质点在惯性系'S 中作匀速圆运动，轨迹为0',''222==+z a y x （1） 试证明对另一惯性系S （S 以速率u 沿'x 正向相对于'S 运动）中观察者来说，这一质点的运动轨迹为一椭圆，椭圆的中心以速率u 运动;（2） 若不考虑相对论效应，又将如何？解：（1）S 以速率u 沿'x 正向相对于'S 运动，根据洛仑兹变换 21'β-+=ut x x y y ='代入222''a y x =+ 得22222)1()(a y ut x =+-+β1)1()(22222=+-+ay a ut x β 故对惯性系S 中的观察者，质点运动轨迹为椭圆，半长轴和半短轴分别为a 和21β-a ，椭圆中心以速率u 运动。
（2）若不计相对论效应，把ut x x +='和y y ='代入222''a y x =+得222)(a y ut x =++在S 系中观察者看仍为圆，圆心以速率u 运动。
15-4 设'S 系相对于S 系以速率c u 8.0=沿x 轴正向运动，在'S 系中测得两个事件的空间间隔为m x 300'=∆，时间间隔为s t 6100.1'-⨯=∆，求S 系中测得两个事件的空间间隔和时间间隔。
解：设S 系中两事件的坐标为（11,t x ）和（22,t x ），在'S 系中两事件的坐标为（11','t x ）和（22','t x ），根据洛仑兹变换)''()''(112212ut x ut x x x x +-+=-=∆γγ '')''()''(1212t u x t t u x x ∆+∆=-+-=γγγγ221'c ux -∆=+221'c u t u -∆把c u s t m x 8.0,100.1',300'6=⨯=∆=∆-代入上式m m m x 900400500=+=∆'')''()''(2121222x cu t x c u t x c u t t ∆+∆=+-+=∆γγγγs s s 66610310333.110666.1---⨯=⨯+⨯=15-5 在宇宙飞船上的人从飞船后面向前面的靶子发射一颗高速子弹，此人测得飞船长m 60，子弹的速率是c 8.0，求当飞船对地球以c 6.0的速率运动时，地球上的观察者测得子弹飞行的时间是多少？解：以飞船为参照系S '，飞船长度,60'''12m x x x =-=∆子弹射中靶子的飞行时间为,8.0608.0''cc x t =∆=∆以地面为参照系S ，子弹飞行的时间为 )''()''(12122212x c ut x c u t t t t +-+=-=∆γγ'')''()''(212212x cut x x c u t t ∆+∆=-+-=γγγγ ')6.0(1)6.0(1122222x c cc u t c c ∆-+∆-=710625.4-⨯=s15-6 一短跑选手，在地球上以s 10的时间跑完m 100，在飞行速率为c 98.0的飞船中观察者看来，这选手跑了多长时间和多长距离？设飞船运动与选手奔跑同方向。
解：以地球为参照系S ，选手跑过的距离m x x x 10012=-=∆，所用时间为s t t t 1012=-=∆,飞船速率,98.0c u =由洛仑兹变换，以飞船为参照系S '，选手跑了的距离为)()('''112212ut x ut x x x x ---=-=∆γγt u x t t u x x ∆-∆=---=γγγγ)()(1212 =m t u x c c 10221048.1)()98.0(11⨯-=∆-∆-选手用的时间为 )()('''12122212x cu t x c u t t t t ---=-=∆γγ s x c ut c c 25.50)()98.0(11222=∆-∆-=15-7 设想有一艘飞船，以c u 8.0=的速率在地球上空飞行。
