菱形知识点及经典题

初三数学上册《菱形》知识讲解及例题演练（含解析）
菱形
【学习目标】
1. 理解菱形的概念.
2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．
【要点梳理】
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
要点诠释：
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.。

（初中）数学《菱形的性质与判定》中考专项复习训练典型试题梳理汇总菱形的性质与判定基础同步过关知识点一：菱形的性质定理1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC∠BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。

3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。

∠AC=BD；∠∠OAB=∠OBA；∠AC∠BD；∠有4条对称轴；∠AD=BD；∠∠OAB=∠OAD。

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH∠AB于点H，则DH的长为。

第1题图第2题图第3题图第4题图5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE∠AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°7.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=3，点E是BC边上的一个动点（点E与点C不重合），点F,G分别是AE,CE的中点，则线段FG的长度为（）B.3第5第6题图第7题图知识点二：菱形的判定定理8.已知四边形ABCD中，AC∠BD，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）A.AC=BDB.AB=BCC.AC与BD互相平分D.∠ABC=90°9.如图，将∠ABC沿BC方向平移得到∠DCE，连接AD.下列条件中，能够判定四边形ACED为菱形的是（）A .AB=BC B. AC=BC C.∠ABC=60° D.∠ACB=60°10.AC,BD相交于点O，点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，（写出一种即可）11.折纸游戏一直很受大家的欢迎，小丽同学要用一张矩形纸片折出一个菱形，她用沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到四边形AECF（如图）。

《菱形》知识清单一、菱形的定义在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

需要注意的是，菱形首先是平行四边形，然后在此基础上增加了“一组邻边相等”这个条件。

二、菱形的性质1、边菱形的四条边都相等。

这是菱形最基本也是最显著的特征之一。

因为菱形是平行四边形，平行四边形对边相等，再加上菱形的一组邻边相等，所以四条边都相等。

2、角菱形的对角相等，邻角互补。

这一点与平行四边形的性质相同。

3、对角线（1）菱形的对角线互相垂直且平分。

两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。

（2）菱形的对角线平分一组对角。

也就是说，两条对角线与菱形的边所形成的夹角分别相等。

4、对称性菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

同时，菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴。

5、面积（1）菱形的面积可以用底乘以高来计算。

（2）由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积还可以用对角线乘积的一半来计算。

三、菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

这是根据菱形的定义直接得出的判定方法。

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

因为对角线互相垂直的平行四边形，其四条边都相等，满足菱形的定义。

3、四条边都相等的四边形是菱形。

这是从边的角度直接判定一个四边形为菱形。

四、菱形性质与判定的应用1、在几何证明题中如果已知一个四边形是菱形，那么可以利用菱形的性质来得出边、角、对角线等方面的关系，从而解决问题。

如果要证明一个四边形是菱形，则需要根据给定的条件，选择合适的判定方法进行证明。

2、在实际生活中的应用菱形的图案和结构在建筑、艺术设计、纺织等领域都有广泛的应用。

例如，一些窗户的设计采用菱形的格子，既美观又能保证结构的稳定性；在纺织品的花纹设计中，菱形图案也经常出现。

五、与菱形相关的常见题型1、计算型题目（1）已知菱形的边长、对角线长度等，求菱形的面积、周长等。

（2）根据菱形的面积和其中一条对角线的长度，求另一条对角线的长度。

菱形的性质与判定 1. 概念：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

如图（1）有一组邻边_______的平行四边形是菱形。

（2）对角线________的平行四边形是菱形。

（3）四条边都______的四边形是菱形。

例1：如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD 的长是________.例1图 例2图 例3图例2,：如图，已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD 的面积为_______.例3：如图，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，∠BAC=∠DAC （1） 求证：AB=BC（2） 若AB=2,AC=2 ，求平行四边形ABCD 的面积。

nmEDA BC60°DABCDA B CC例4：如图：AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线，过AC 中点O 的直线分别交AD 、BC 于点E 、F 。

（1） 求证：△AOE ≌△COF（2） 当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AFCE 是菱形？说明理由。

例5：如图，将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转角α到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1、BC 1分别相交于点E 、F 。

（1） 求证△BCF ≌△BA 1D（2） 当∠C=α时，判定四边形A 1BCE 的形状并请说明理由。

例6：如图，在菱形ABCD 中,AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BC 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0<α<90°）后得直线l ，直线l 与AD 、BC 两边分别相交于点E 和点F 。

（1） 求证△AOE ≌△COF（2） 当α=30°时，求线段EF 的长度EOFDABCC1CF BA1EDA lEOFDABC。

八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。

小学菱形知识点总结菱形是一种四边形，它的特点是四条边都相等，相对的角也相等。

在小学数学中，学生会接触到菱形的概念，并学习关于菱形的性质、面积、周长等知识点。

本文将对小学菱形的知识点进行总结，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。

一、菱形的基本概念1. 定义：菱形是一种特殊的四边形，它的四条边长度相等，相对的角也相等。

通常用符号“◇”来表示。

2. 特点：菱形的特点是四条边相等，相对的角也相等，且对角线互相垂直且平分。

3. 实例：常见的例子有菱形路标、菱形钻石等。

二、菱形的性质1. 对角线垂直平分：菱形的两条对角线互相垂直且平分。

2. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等。

3. 对角线交点：菱形的两条对角线交点称为菱形的中心，也是对角线的交点。

4. 对角线长：菱形的对角线长度可以通过菱形的边长和对角角度来计算。

5. 内角度：菱形的每个内角度为90度。

三、菱形的周长和面积1. 周长：菱形的周长等于四条边长度的和，即4倍边长。

2. 面积：菱形的面积可以通过对角线的长度来计算，公式为（对角线1乘以对角线2）除以2。

四、菱形的相关题目1. 练习题目1：已知菱形的一条对角线长度为8cm，另外一条对角线长度为6cm，求菱形的周长和面积。

2. 练习题目2：菱形的一个内角是120度，求另外三个内角的度数。

3. 练习题目3：已知菱形的周长为24cm，求菱形的边长。

以上是小学菱形的基本知识点总结，通过掌握这些内容，学生可以更好地理解和运用菱形的性质和计算方法。

希望学生能够在老师的指导下，认真学习并掌握这一部分内容，为进一步学习数学打下坚实的基础。

菱形练习题知识点1 菱形的定义菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;数学语言：如图,在平行四边形ABCD中,如果AB=AD,那么平行四边形ABCD 是菱形;知识点2 菱形的性质（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角；（3）对称性：既是关于对角线的交点成中心对称图形,又是以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形；（4）菱形的面积公式：①菱形的面积=底×高；②菱形的面积=两条对角线乘积的一半巩固练习1．菱形的对角线长分别为6和8,则菱形的边为 ,菱形的面积为 ;2．若菱形周长为52cm,一条对角线长为10cm,则其面积为A．240 cm2 B．120 cm2 C．60 cm2 D．30 cm23．如下图,菱形ABCD中,O是对角线AC BDAO=,则，的交点,5cmAB=,4cmBD=____________cm．4、如上图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC＝8,BD＝6,过点O作OH丄AB,垂足为H,则点O到边AB的距离___________5．一个菱形两条对角线之比为1︰2,一条较短的对角线长为4cm,那么菱形的边长为A ．2cmB ．4cmC ．(225)cm +D ．25cm6．如图,菱形ABCD 的边长为2,45ABC ∠=,则点D 的坐标为 ．7．如图,将一个长为10cm,宽为8cm 的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下,再打开,得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm8.如图所示,菱形ABCD 中,对角线AC BD 、相交于点O ,H 为AD 边中点,菱形ABCD 的周长为24,则OH 的长等于 ． 9．菱形ABCD 中,AE 垂直平分BC ,垂足为E ,AB ＝4cm ．那么,菱形ABCD 的面积是 ,对角线BD 的长是 ． 10．如图,点E ,F 分别是菱形ABCD 中BC ,CD 边上的点E ,F 不与B ,C ,D 重合在不连辅助线的情况下请添加一个条件,说明AE ＝AF ．11、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC,E 为垂足.且BE=CE,AB=2.求：1∠BAD 的度数；2对角线AC 的长及菱形ABCD 的周长.AD CE BO B AD x yC B AHD CO12．如图,在菱形ABCD 中,E 是AB 的中点,且DE ⊥AB ,AB ＝4．求：1∠ABC 的度数；2菱形ABCD 的面积． 13.在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,AB=5,AC=6.过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于点E.1求△BDE 的周长； 2点P 为线段BC 上的点,连接PO 并延长交AD 于点Q,求证：BP=DQ. 14．如图,四边形ABCD 是菱形,DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ,DF ⊥BC ,交BC 的延长线于F ;请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系并证明你的猜想．有一个角为60°的特殊菱形1．若菱形的边长为1cm,其中一内角为60°,则它的面积为A ．23cm 2B ．23cmC ．22cmD ．223cm 2．已知菱形的周长为96㎝,两个邻角的比是1︰2,则较短对角线的长是A ．21㎝B ．22㎝C ．23㎝D ．24㎝3．如图,在菱形ABCD 中,60A ∠=°,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若2EF =,则菱形ABCD 的边长是_____________．4．如图,菱形ABCD 中,∠B ＝60°,AB ＝2,E 、F 分别是B C ．CD 的中点,连接AE 、EF 、AF ,则△AEF 的周长为A ． 32B ． 33C ． 34D ． 3提高题1．如图,菱形111AB C D 的边长为1,160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ,以2AD 为一边,做第二个菱形222AB C D ,使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ,以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ,使360B ∠=；依此类推,这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 ． A D FC E B2．如图,在菱形ABCD 中,∠A ＝110°,E ,F 分别是边AB 和BC 的中点,EP ⊥CD 于点P ,则∠FPC ＝A ．35° B．45° C．50° D．55°知识点3 菱形的判定方法（1） 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3） 四条边都相等的四边形是菱形.1．把菱形ABCD 沿对角线AC 的方向平移到菱形A′B′C′D′的位置,它们重叠部分的四边形A′FCE 是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．不确定2．如图,下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD =A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③ 3．如图,□ABCD 中,AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形AECF 为菱形,则添加的一个条件可以是 只需写出一个即可,图中不能再添加别的“点”和“线”.4．如图,在三角形ABC 中,AB ＞AC ,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,△ADE 沿线段DE 翻折,使点A 落在边BC 上,记为A '．若四边形ADA E '是菱形,则下列说法正确的是1D B A C BCDB DC ABC DA．DE是△ABC的中位线 B．AA'是BC边上的中线C．AA'是BC边上的高 D．AA'是△ABC的角平分线5．四个点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个,能使四边形ABCD是菱形的选法有．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种证明题1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,求证：四边形ADEF是菱形2．两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图放置,AB＝BF．求证：四边形BNDM为菱形．3、如图,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积等于__________cm2．4、如图,在平行四边形ABCD中,∠DAB＝60°,AB＝2AD,点 E、F分别是CD的中点,过点A 作AG∥BD,交CB的延长线于点G;求证：四边形DEBF是菱形;5、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上,且AF=CE=AE．1说明四边形ACEF是平行四边形；2当∠B满足什么条件时,四边形ACEF是菱形,并说明理由;6．在矩形ABCD中,AB＝6cm, BC＝8cm,若将矩形对角线BD对折,使B点与D 点重合,折痕为EF,问：四边形EBFD是菱形吗请说明理由,并求这个菱形的边长．7．如图,□ABCD中,AB⊥AC,AB＝1,BC＝5．对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F．1证明：当旋转角为90°时,四边形ABEF是平行四边形；2试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等；3在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗如果不能,请说明理由；如果能,画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．8．如图,ABC△中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN BC∥,设MN交BCA∠的平分线于点E,交BCA∠的外角平分线于点F．1探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；2当点O在边AC上运动时,四边形BCFE有可能是菱形吗若是,请证明,若不是,则说明理由AF NDCBM E O。

菱形一、菱形的性质菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称和中心对称图形.推论 对角线垂直的四边形面积=两条对角线乘积的一半（由对角线互相垂直可得）二、菱形的判定①有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ②四条边都相等的四边形是菱形. ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形. ④对角线垂直且平分的四边形是菱形.⑤每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形. 例题分析例题1 下列命题中，正确的是（ ） A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是菱形例题2 如图1-1-1，将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案。

设菱形中较小角为x 度，平行四边形中较大角为y 度，则y 与x 的关系式是（ ）︒+=9031.x y A x y B 21.= ︒+=9021.x y C x y D 31.=图1-1-1图1-1-2例题3 如图1-1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠BAD=60° ，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.例题4 如图1-1-3，已知菱形ABCD 的对角线AC=16cm ，BD=12cm ，DE 垂直BC 于点E ，求DE 的长.例题 5 如图1-1-4，在菱形ABCD 中，F E ，分别是CD BC 、上的点，且CEF BAE EAF B ∠18∠60∠∠求，，°=°==的度数.例题6 如图1-1-5，在菱形ABCD 中，作一个正∆AEF ，且AE=AB ，那么∠C 的度数是多少？例题7 已知菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，求菱形的四个内角.图1-1-3图1-1-4图1-1-5例题8 如图1-1-6，在菱形ABCD中， ABC=120°，点E平分DC，点P在BD上，且PE+PC=1，求边长AB的最大值.1-1-6课堂练习1.下列命题中，正确的是( )A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（）A．168 cm2B．336 cm2C．672 cm2 D．84 cm23.在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于F，交AB于E，则，∠CDF=（）A、80°B、70°C、65°D、60°4.在凸四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形ABCD需要满足什么条件（）A.四边形ABCD是梯形B.四边形ABCD是平行四边形C.对角线AC=BDD.AD=BC5.顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（）A.任意四边形B.两条对角线相等的四边形C.矩形D.平行四边形6.若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则另一条对角线长为_______，边长为________，一条边上的高为_________。

菱形复习一 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.二 性质：边：菱形的两组对边分别平行.菱形的四条边相等.角：菱形的两组对角分别相等,邻角互补.对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分.菱形的每一条对角线都平分一组对角对称性：菱形是轴对称图形三 判定：边： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.四条边都相等的四边形是菱形.对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.四 菱形面积的计算：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半. 即假设用a 、b 表示菱形的两条对角线，那么菱形的面积为： 有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.五 典型例题：一 如图，已知AD 平分∠BAC ，DE//AC ，DF//AB,AE=5.〔1〕判断四边形AEDF 的形状？〔2〕四边形AEDF 的周长为多少？二 如图，CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线交CD 于E ，交BC 于F ，FG ⊥AB 于G ．求证：四边形EGFC 为菱形．〔图在本子上〕三 如图，已知在□ABCD 中，AD=2AB ，E 、F 在直线AB 上，CE 与AD 交与点M ， DF 与CB 交与点N ，且AE=AB=BF ， 求证:CE ⊥DF.四 如下图，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。

AB C F D Eb a S ⋅=21五如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，〔1〕求证四边形BDEF是菱形。

〔2〕假设AB=12cm，求菱形BDEF的周长？六．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．七已知：如下图，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB、BC的垂线，与AB、BC，CD，DA分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH为矩形。

九年级数学上菱形知识点在九年级数学学习中，菱形是一个重要的几何形状。

菱形具有特殊的性质和定理，学好菱形的知识将有助于我们更好地理解几何的相关概念和应用。

本文将介绍九年级数学上与菱形相关的重要知识点。

一、菱形的定义与性质菱形是一个四边形，它有以下两个特点：1. 所有边相等：菱形的四个边长度相等，可以表示为AB=BC=CD=DA。

2. 对角线相互垂直且平分：菱形的对角线互相垂直，并且平分对方的对角线，即AC和BD互为对方的平分线。

二、菱形的面积计算菱形的面积计算公式为：面积 = 对角线1 ×对角线2 ÷ 2，即S = d1 × d2 ÷ 2，其中d1和d2分别表示对角线的长度。

三、菱形的周长计算菱形的周长计算公式为：周长 = 4 ×边长，即P = 4 × a，其中a 表示菱形的边长。

四、菱形的定理1. 菱形内角定理：菱形的内角都是锐角，且相邻内角的和为180度。

2. 菱形的对角线垂直定理：菱形的对角线相互垂直。

3. 菱形的对角线长度关系定理：菱形的对角线长度满足d1² + d2² = 4a²，其中d1和d2分别表示对角线的长度，a表示边长。

五、菱形的应用1. 建筑设计：菱形作为一种美观、稳定的几何形状，常被应用于建筑设计中，如屋顶、玻璃幕墙等。

2. 电子产品：许多电子产品的外观和按键都采用了菱形设计，例如手机屏幕、电视遥控器等。

3. 菱形区域划分：在地理勘探、城市规划等领域，菱形常被用来划分区域，以实现一定的空间分隔和布局。

六、菱形的例题解析例题1：已知菱形ABCD，AD=10cm，BD=24cm，计算菱形的面积和周长。

解析：先计算菱形的边长a，由于BD互为对角线的平分线，因此可以将菱形分为两个等腰三角形。

根据勾股定理可得，(AD/2)² + (BD/2)² = a²，代入已知数据计算得a=14cm。