最新高中数学《空间直角坐标系及空间向量》自测试题汇总

高 中 数 学 空 间 直 角 坐 标 系 试 题一、选择题（每小题5分，共60分） 1．以棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（ ）A ．（0，0.5，0.5）B ．（0.5，0，0.5）C ．（0.5，0.5，0）D ．（0.5，0.5，0.5）【解答】解：由题意如图，平面AA 1B 1B 对角线交点是横坐标为AB 的中点值，竖坐标为AA 1的中点值，纵坐标为0，所以平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为（0.5，0，0.5）．故选B ．2．设点B 是点A （2，-3，5）关于xOy 面的对称点，则A 、B 两点距离为（ ）A ．10B ．10C ．38D ．38【解答】解：点B 是A （2，-3，5）关于xoy 平面对称的点，∴B 点的横标和纵标与A 点相同，竖标相反，∴B （2，-3，-5）∴AB 的长度是5-（-5）=10，故选A ．3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为（ ）A ．a 2B ．a 22C ．aD ．a21 【解答】解：如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A′B′C′D′，∵A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），A′（a ，0，a ），A′C 的中点E 与AB 的中点F ，∴F （a ，2a ，0），E （2a ，2a ，2a ）， |EF|=222)0()2()(aa a a a a a -+-+-=22a ．4．一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（ ）A ．37B ．47C ．33D ．57【解答】解：点P （1，1，1）平面xoy 的对称点的M 坐标（1，1，-1），一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是：222)16()13()13(++-+-=57．故选D ．5．点P （x ，y ，z ）满足222)1()1()1(++-+-z y x =2，则点P 在（ ）A ．以点（1，1，-1）为圆心，以2为半径的圆上B ．以点（1，1，-1）为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点（1，1，-1）为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定【解答】解：式子222)1()1()1(++-+-z y x =2的几何意义是动点P （x ，y ，z ）到定点（1，1，-1）的距离为2的点的集合．故选C ．6．若A 、B 两点的坐标是A （3cosα，3sinα），B （2cosθ，2sinθ），则|AB|的取值范围是（ ）A ．[0，5]B ．[1，5] C.（1，5） D ．[1，25]【解答】解：由题意可得|AB|=22)sin 2sin 3()cos 2cos 3(βαβα-+-=βαβαsin sin cos cos 1249+-+ =)cos(1213βα--．∵-1≤cos （α-β）≤1，∴1≤13-12cos （α-β）≤25，∴1≤)cos(1213βα--≤5，故选B ． 7．在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是（ ）C ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，﹣y ，z ）；②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，﹣y ，﹣z ）；③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，﹣y ，z ）；④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（﹣x ，﹣y ，﹣z ）．A ． 3B ． 2C ． 1D ． 08．设A （3,3,1）、B （1,0,5）、C （0,1,0），则AB 中点M 到C 点的距离为（ ）CA ．B ．C ．D ．9．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正投影，则|OB|等于（ ）BA ．B ．C ．D ．10．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，﹣5，1），C （3，7，﹣5），则点D 的坐标为（ ）DA ． （3.5，4，﹣1）B ． （2，3，1）C ． （﹣3，1，5）D ． （5，13，﹣3）11．已知点A （1，﹣2，11），B （4，2，3），C （x ，y ，15）三点共线，那么x ，y 的值分别是（ ）CA ． 0.5，4B ． 1，8C ． -0.5，﹣4D ． ﹣1，﹣812．在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是（ A ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．点P （1，2，3）关于y 轴的对称点为P 1，P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，则|P 1P 2|= ____214【解答】解：∵点P （1，2，3）关于y 轴的对称点为P 1，所以P 1（-1，2，-3），P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，所以P 2（1，-2，3），∴|P 1P 2|=222)33()22()11(--+++--=214．故答案为：21414．已知三角形的三个顶点为A （2，-1，4），B （3，2，-6），C （5，0，2），则BC 边上的中线长为 _____________211【解答】解：∵B （3，2，-6），C （5，0，2），∴BC 边上的中点坐标是D （4，1，-2）∴BC 边上的中线长为222)42()11()24(--+++-=22，故答案为：21115．已知x ，y ，z 满足（x-3）2+（y-4）2+z 2=2，那么x 2+y 2+z 2的最小值是 ____________27-102．【解答】解：由题意可得P （x ，y ，z ），在以M （3，4，0）为球心，2为半径的球面上， x 2+y 2+z 2表示原点与点P 的距离的平方，显然当O ，P ，M 共线且P 在O ，M 之间时，|OP|最小，此时|OP|=|OM|-2=432+-2=52，所以|OP|2=27-102．故答案为：27-102．16. 已知点A （﹣3，1，4），则点A 关于原点的对称点B 的坐标为 ；AB 的长为 ．（3，-1，-4）2三、解答题（共70分）17．如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP 、BP 、CP 、DP ，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，以O 为原点，射线OM 、ON 、OP 分别为Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的正方向建立空间直角坐标系．若E 、F 分别为PA 、PB 的中点，求A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标．解：【解答】解：如图所示，B 点的坐标为（1，1，0），因为A 点关于x 轴对称，得A （1，-1，0），C 点与B 点关于y 轴对称，得C （-1，1，0）， D 与C 关于x 轴对称，的D （-1，-1，0），又P （0，0，2），E 为AP 的中点，F 为PB 的中点，由中点坐标公式可得E （0.5，-0.5，1），F （0.5，0.5，1）．18．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x 轴上求一点P ，使它与点P 0（4，1，2）的距离为30；（2）在xOy 平面内的直线x+y=1上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小．解：【解答】解：（1）设点P 的坐标是（x ，0，0），由题意|P0P|=30，即22221)4(++-x =30，∴（x-4）2=25．解得x=9或x=-1．∴点P 坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）．先设点M （x ，1-x ，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可．（2）设点M （x ，1-x ，0）则|MN|=51)1(22+-x ∴当x=1时，|MN|min=51．∴点M 的坐标为（1，0，0）时到点N （6，5，1）的距离最小．19．已知空间直角坐标系O-xyz 中点A （1，1，1），平面α过点A 且与直线OA 垂直，动点P （x ，y ，z ）是平面α内的任一点．（1）求点P 的坐标满足的条件；（2）求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．解：【解答】解：（1）因为OA ⊥α，所以OA ⊥AP ，由勾股定理可得：|OA|2+|AP|2=|OP|2，即3+（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=x 2+y 2+z 2，化简得：x+y+z=3．（2）设平面α与x 轴、y 轴、z 轴的点分别为M 、N 、H ，则M （3，0，0）、N （0，3，0）、H （0，0，3）．所以|MN|=|NH|=|MH|=32， 所以等边三角形MNH 的面积为：3/4×(32)2=93/2．又|OA|=3，故三棱锥0-MNH 的体积为：31×93/2×3=4.5．20．如图，已知正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，M 为BD′的中点，点N 在A′C′上，且 |A′N|=3|NC′|，试求MN 的长．【解答】解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），C'（0，a ，a ），D'（0，0，a ）．由于M 为BD'的中点，取A'C'中点O',所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a ，a ）．因为|A'N|=3|NC'|，所以N 为A'C'的四等分,从而N 为O'C'的中点，故N （4a ，43a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得|MN |＝222)2()432()42(a a a a a a -+-+-＝46a21．在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，﹣3），试问（1）在y轴上是否存在点M，满足|MA|=|MB|？。

空间直角坐标系一、选择题1．在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ．(-1,2,3)B ．(1,-2,-3)C ．(-1, -2, 3)D ．(-1 ,2, -3)2．在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为（ ）A ．(-3,4,5)B ．(-3,- 4,5)C ．(3,-4,-5)D ．(-3,4,-5)3．在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为（ ）A ．6B ．6C ．3D ．24．点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P /的坐标为（ ）A ．(-1, 0, 2)B ．(-1,0, 2)C ．(1 , 0 ,2)D ．(-2,0,1)5．点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（ ）A ．( 4, 2, 2)B ．(2, -1, 2)C ．(2, 1 , 1)D ． 4, -1, 2)6．若向量a 在y 轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量a 平行的坐标平面是（ ）A ． xOy 平面B ． xOz 平面C ．yOz 平面D ．以上都有可能7．在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对8．已知点A 的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B 的坐标是(2 , t, t), 则A 与B 两点间距离的最小值为（ ）A ．55B ．555C ．553D ． 511 9．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的射影，则OB 等于（ ）A ．14B ．13C ．32D ．1110．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为 （ ）A ．（27，4，－1） B ．（2，3，1） C ．（－3，1，5） D ．（5，13，－3）11．点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（ ） A ．22b a + B ．c C ．c D ．b a + 12．已知点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是（ ）A ．21，4B ．1，8C ．21-，－4 D ．－1，－8 13．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（ ）A ．26B ．3C ．23D ．36 二、填空题14．在空间直角坐标系中, 点P 的坐标为(1, 3,2),过点P 作yOz 平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________．15．已知A(x, 5-x, 2x-1)、B （1，x+2，2-x ），当|AB|取最小值时x 的值为_______________．16．已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B （2，4，1）、C （p ，3，q+2），若A 、B 、C 三点共线，则p =_________，q=__________．17．已知点A(-2, 3, 4), 在y 轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B 的坐标为________________．三、解答题18．求下列两点间的距离:(1)A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1);(2)C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3).19．已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ABC是直角三角形.20．求到下列两定点的距离相等的点的坐标满足的条件:(1)A(1 , 0 ,1) , B(3 , -2 , 1) ;(2)A(-3 , 2 , 2) , B(1 , 0 , -2).21．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，PD=2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，写出点E，F，G，H的坐标．答案：1.B;2.A;3.A;4.B;5.C;6.B;7.B;8.C;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14. (0, 3,2); 15. 78; 16. 3 , 2; 17. (0, )0,293±; 18. 解: (1)|AB|=;1)10()11()11(222=-+-+- (2)|CD|=222)35()21()03(-+++--=.2219. 证明: ,||||||,14||,75||,89||222AB BC AC BC AC AB =+∴===ABC ∆∴为直角三角形.20. 解: (1)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则222222)1()2()3()1()0()1(-+++-=-+-+-z y x z y x , 化简得4x-4y-3=0即为所求.(2)设满足条件的点的坐标为(x ,y , z) , 则222222)2()0()1()2()2()3(++-+-=-+-++z y x z y x , 化简得2x-y-2z+3=0即为所求.21. 解: 由图形知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，建立如图空间坐标系D －xyz ．因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH 与底面ABCD 平行， 从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b ，由H 为DP 中点，得H （0，0，b ）E 在底面面上的投影为AD 中点，所以E 的横坐标和纵坐标分别为a 和0，所以E （a ，0，b ）， 同理G （0，a ，b ）；F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E 横坐标相同都是a ， 与G 的纵坐标也同为a ，又F 竖坐标为b ，故F （a ，a ，b ）．。

一、选择题1．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）．A ．14B ．12C ．34D ．12．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 3．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为（ ）A ．41B ．41C 17D ．17 4．已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） A ．a b +，a ，a b -B ．a b +，b ，a b -C ．a b +，c ，a b -D ．a b +，2a b -，a b - 5．空间四点()(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)A B C D x 、，，、、共面，则x =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．46．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，13AA =，2AB AC BC ===，则1AA 与平面11AB C 所成角的大小为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ）A ．1515B ．155C ．5D ．5 8．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)OEF ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 9．在如图所示的几何体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，AD DE =，90ADE ∠=，//AB CD ，120ADC ∠=．给出下列三个命题：1:p 平面ABCD ⊥平面EDCF ；2:p 异面直线AF 与BD 所成角的余弦值为34； 3:p 直线AF 与平面BDF 5 那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．12p p ∧B ．13p p ⌝∧C ．23p p ∧D ．13p p ∧10．如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AB a =,AD b =,1AA c =,M 是1D D 的中点,点N 是1AC 上的点,且113AN AC =,用,,a b c 表示向量MN 的结果是( )A ．12a b c ++B ．114555a b c ++C ．1315105a b c --D ．121336a b c -- 11．如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A ．111333OA OB OC ++ B ．111234OA OB OC ++ C ．111244OA OB OC ++ D ．111446OA OB OC ++ 12．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为63：④二面角A BC D --2：其中正确结论的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 13．已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接,,EF FB BE ，点H 为BF 的中点，有下述四个结论：①DE BF ⊥； ②EF 与CH 所成角为60︒；③EC ⊥平面DBF ； ④BF 与平面ACFE 所成角为45︒．其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题14．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为___15．三棱锥O ABC -中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC ==.给出下列四个命题：①()()223OA OB OC OA ++=； ②()0BC CA CO ⋅-=；③()OA OB +和CA 的夹角为60； ④三棱锥O ABC -的体积为()16AB AC BC ⋅. 其中所有正确命题的序号为______________. 16．已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为2020，过其底面中心O 作动平面α交线段PC 于点S ，交,PA PB 的延长线于,M N 两点，则111PS PM PN ++的取值范围为__________17．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为_____．18．已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-，且//l α，则m =____19．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,3,4AB BC AA ===，则点D 到平面11A D C 的距离是______．20．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当0AP BP ⋅=取最小值时，点P 的坐标为__________．21．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AB AD AA ===，90BAD ∠=，1160BAA DAA ∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是________． 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是底边为1的菱形，60BAD ∠=，2PB =，PA PD =，当直线PB 与底面ABCD 所成角为30时，二面角P CD A --的正弦值为______.23．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.24．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.25．已知四棱柱111ABCD A BC D -的底面ABCD 是矩形，5AB =，3AD =，14AA =，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =________.26．平面α的法向量u =(x,1,-2),平面β的法向量v =1-1,,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,已知α∥β,则x+y=______.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】 利用空间向量的基本定理可计算得出1111333OG OA OB OC =++，由已知条件可得出134OG OG =，进而可求得x 、y 、z 的值，由此可求得结果. 【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =， 而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+， ()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+ ()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭， 所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=. 故选：C.【点睛】 方法点睛：对于空间向量的基底分解的问题，一般需要利用向量的加减法法则进行处理，也可以借助一些相应的结论对运算进行简化.2．A解析：A【分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出BD 关于a 、b 、c 的表达式.【详解】()11112222OD OA AD OA AC OA OC OA OA OC =+=+=+-=+， 因此，11112222BD OD OB OA OB OC a b c =-=-+=-+. 故选：A.【点睛】 本题考查利用基底表示空间向量，考查计算能力，属于中等题.3．D解析：D【分析】画出图形，作,AC CD BD CD ⊥⊥，则6,8,4AC BD CD ===，可得0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，故两异面直线,CA DB 所成的角为60︒，结合已知，即可求得答案.【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒． 可得：.cos6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅= 故由AB AC CD DB =++得22||||AB AC CD DB =++ 2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB +++⋅⋅-⋅= 36166448=++-68=||17AB ∴=故选：D.【点睛】本题考查了立体几何体中求线段长度，解题的关键是作图和掌握空间向量的距离求解公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.4．C解析：C【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A 、B 、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 中的向量不共面【详解】解：()()2a b a b a ++-=，∴a ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除A ； ()()2a b a b b +--=，∴b ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除B ； ()()31222a b a b a b -=-++，∴a b +，a b -，2a b -共面，不能构成基底，排除D ； 若c 、a b +，a b -共面，则()()()()c a b m a b m a m b λλλ=++-=++-，则a 、b 、c 为共面向量，此与{},,a b c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a b +，a b -可构成空间向量的一组基底．故选：C ．【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.5．A解析：A【分析】由于四点A ，B ，C ，D 共面，可得存在实数λ，μ使得AD AB AC λμ=+，解出即可．【详解】(1,1,0),(1,0,1),(1,2,3)AB AC AD x =-=-=-，∵四点A ，B ，C ，D 共面，∴存在实数λ，μ使得AD AB AC λμ=+，(1,2,3)(1,1,0)(1,0,1)x λμ∴-=-+-123x λμλμ-=--⎧⎪∴=⎨⎪=⎩解得4x =-故选：A【点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题．6．A解析：A【分析】建立空间坐标系，计算1AA 坐标，计算平面11AB C 的法向量，运用空间向量数量积公式，计算夹角即可．【详解】取AB 的中点D ，连接CD ，以AD 为x 轴，以CD 为y 轴，以1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，可得()1,0,0A ，()11,0,3A ，故()()()11,0,31,0,00,0,3AA =-=，而 ()()111,0,3,3,3B C -，设平面11AB C 的法向量为()=,,m a b c ，根据110,0m AB m AC ⋅=⋅=，解得()3,3,2m =-，111 1,?2|?|m AA cos m AA m AA ==.故1AA 与平面11AB C 所成角的大小为030，故选A ． 【点睛】考查了空间向量数量积坐标运算，关键构造空间直角坐标系，难度偏难．7．A解析：A 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值． 【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2A ，0，0)，(2E ，1，2)，(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)， (0AE =，1，2)，1(2BD =-，2-，2)，设异面直线AE 与1BD 所成角为θ， 则11||15cos ||||512AE BD AE BD θ=== ∴异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为1515．故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．8．D解析：D 【分析】利用中点坐标公式可得点B 的坐标，设(,,)C x y z ，利用||||3CO CB ==，1cos ,6EF BC <>=可解出点C 的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得OC OF ⋅的值. 【详解】设(,,)C x y z ，(2,2,0)B ，(,,)OC x y z =，(2,2,)BC x y z =--，(22,22,0)EF =-，由(22,22,0)(2,2,)1cos ,436EF BC x y z EF BC EF BC⋅-⋅-===⋅⋅，整理可得：2x y -=， 由||||3CO CB ==2222(2)(2)x y x y +-+- 化简得2x y +=以上方程组联立得23244x y ==， 则()(,,)0,22,0223OC OF x y z =⋅==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．D解析：D 【分析】利用面面垂直的判定定理可判断命题1p 的真假，利用空间向量法可得判断命题2p 、3p 的真假，再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】90ADE ∠=，AD DE ∴⊥，四边形EDCF 是正方形，则DC DE ⊥，AD DC D ⋂=，DE ∴⊥平面ABCD ，又DE ⊂平面EDCF ，故平面ABCD ⊥平面EDCF ，故1p 为真命题；由已知//DC EF ，DC ⊄平面ABFE ，EF ⊂平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE ．又DC ⊂平面ABCD ，平面ABCD 平面ABFE AB =，故//AB CD ，又AD DE =，所以AD CD =，令1AD =，则2AB =，60BAD ∠=， 由余弦定理可得2222cos 3BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=，222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥，如图，以D 为原点，以DA 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，13,22F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0B ， 所以33,,122FA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,0=DB ，13,22DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以异面直线AF 与BD 所成角的余弦值为332cos ,423FA DB FA DB FA DB-⋅<>===⨯⋅2p 为假命题； 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，由00n DB n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以301302x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，取2x =，则0y =，1z =，得()2,0,1n =，5cos ,25F FA n FA A n n⋅<>===⨯⋅． 设直线AF 与平面BDF 所成的角为θ，则5sin 5θ=． 所以直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值为5，故3p 为真命题． 所以13p p ∧为真命题，12p p ∧、13p p ⌝∧、23p p ∧均为假命题. 故选：D. 【点睛】本题考查复合命题的真假的判断，涉及面面垂直的判断、异面直线所成角以及线面角的计算，涉及空间向量法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．D解析：D 【分析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中根据空间向量的加法合成法则,对向量MN 进行线性表示,即可求得答案. 【详解】 连接1C M113AN AC =可得:1123C N C A =()111AC AA AC AA AD AB c a b =+=++=++∴1122223333C N C A c a b ==--- 又112C M a c =--∴11MN C N C M =-22213332c a b a c ⎛⎫=------ ⎪⎝⎭121336a b c --= ∴121336a b N c M =--故选: D. 【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题.11．C解析：C 【分析】因为在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,12OE OA AD =+,即可求得答案. 【详解】在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点∴12OG OA AD =+11()22OA AB AC =+⨯+1()4OA OB OA OC OA =+⨯-+-111244OA OB OC =++ 故选:C. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.12．A解析：A 【分析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论. 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =，1cos 222AD BC AD BC AD BC⋅⋅===⋅⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确： 设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =， 设BC 与面ACD 所成角为θ，则6sin cos ,32BC t BC t BC tθ⋅====⋅⋅，故③正确：平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =， 设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则0m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅， ∴6sin ,3m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确. 故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.13．B解析：B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出所有点的坐标，利用向量法可以判断出正确的结论. 【详解】由题意得，所得几何体可以看成一个正方体，因此,,,DA DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设2AD DC DG ===，(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,2)G ，(2,0,2)E ，(0,2,2)F ，(2,2,0)B ，(1,2,1)H ，①(2,0,2)DE =，(2,0,2)BF =-，4040DE BF ∴⋅=-++=，DE BF ∴⊥，DE BF ∴⊥，①是正确的.②(2,2,0)EF =-，(1,0,1)CH =， 设EF 与CH 所成的角为θ，1cos 2||||EF CH EF CH θ⋅∴==⋅，[0,]θπ∈60θ︒∴=，②是正确的.③(2,2,2)EC =--，(2,2,0)DB =，(0,2,2)DF =，设(,,)n x y z 是平面DBF 的一个法向量，DB n DF n ⎧⋅⊥∴⎨⊥⎩，00DB n DF n ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩ 00x y y z +=⎧⇒⎨+=⎩取1x =，(1,1,1)n ∴=-，2EC n =-，//EC n ，EC ∴⊥平面DBF ，③是正确.④(2,0,2)BF =-，由图像易得：(1,1,0)m =是平面 ACEFF 的一个法量，设BF 与平面 ACFE 所成的角为θ，0,2πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，sin cos ,BF m θ∴= 12||||BF m BF m ⋅==⋅， 30θ︒∴=，④不正确，综上：①②③正确. 故选：B . 【点睛】本题考查异面直线、直线与平面所成角的求法，直线与直线、直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及转化思想的应用，是中档题．二、填空题14．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系写出向量的坐标利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值【详解】如下图所示以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则点因此直线与直线 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出向量1A E 、1B F 的坐标，利用空间向量法可求得直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值. 【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,0,4A 、()12,2,4B、()0,2,2E 、()1,1,0F ， ()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---，11111126cos ,2332A EB F A E B F A E B F⋅<>===⨯⋅， 因此，直线1A E 与直线1B F 26. 故答案为：269. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．①②③【分析】设以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误【详解】设由于两两垂直以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则对解析：①②③ 【分析】设OA OB OC a ===，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误.【详解】设OA OB OC a ===，由于OA 、OB 、OC 两两垂直，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如下图所示：则()0,0,0O、(),0,0A a 、()0,,0B a 、()0,0,C a .对于①，(),,OA OB OC a a a ++=，所以，()()22233OA OB OC a OA ++==，①正确；对于②，(),0,0CA CO OA a -==，()0,,BC a a =-，则()0BC CA CO ⋅-=，②正确；对于③，(),,0OA OB a a +=，(),0,CA a a =-，()()221cos ,22OA OB CA a OA OB CA OA OB CAa+⋅<+>===+⋅， 0,180OA OB CA ≤<+>≤，所以，()OA OB +和CA 的夹角为60，③正确；对于④，(),,0AB a a =-，(),0,AC a a =-，()0,,BC a a =-，则2AB AC a ⋅=，所以，()2231226666a a AB AC BC BC a a ⋅===，而三棱锥O ABC -的体积为3111326V OA OB OC a =⨯⋅⋅=，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可.16．【分析】设则根据空间四点共面的条件又四点共面则即得出答案【详解】设则由为底面中心又因为四点共面所以且所以即即故答案为：【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用属于中档题解析：32020⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】设,,PM x PN y PS z ===,则111333z PA PB PC PO PM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅,根据空间四点共面的条件，又,,,S M N O 四点共面，则202020202020+1333zx y +=，即得出答案. 【详解】设,,PM x PN y PS z ===. 则PA PA PM x=⋅,PB PB PN y=⋅,PC PC PS z=⋅.由O 为底面ABC 中心, ()2132PO PA AO PA AB AC =+=+⨯+ ()()133PA PB PCPA PB PA PC PA ++⎡⎤=+-+-=⎣⎦ 111333z PA PB PCPM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ 333zPA PB PC PM PN PS x y=⋅+⋅+⋅ 又因为,,,S M N O 四点共面,所以+1333zPA PB PC xy+=且2020PA PB PC ===.所以202020202020+1333z x y +=，即1113+z 2020x y += 即11132020PS PM PN ++=. 故答案为：32020⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查空间四点共面的条件的应用，属于中档题.17．4【分析】以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立空间直角坐标系设求出平面的一个法向量则则可以得到答案【详解】解：以为坐标原点所在直线分别为轴轴轴建立如图所示的空间直角坐标系设则故设平面的一个法向量为则解析：4 【分析】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系, 设1DD a =，求出平面1ACD 的一个法向量n ，则11cos ,3n CC <>=，则可以得到答案. 【详解】解：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DD a =，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,)D a ，故(2,2,0)=-AC ，1(2,0,)AD a =-，1(0,0, )CC a =，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则122020n AC x y n AD x az ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，可取21,1,n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故112122cos ,||||4242n CC n CC n CC a a a⋅<>===+⋅+， 又直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13， 21324a =+，解得4a =．故答案为：4．【点睛】本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.18．【分析】由题意可得根据线面平行可得则进而得到解得即可【详解】解：由题意可得则解得【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系根据线面平行线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直考查了空间向解析：1-【分析】由题意可得，根据线面平行可得d n⊥，则=0d n，进而得到4950m+-=，解得即可.【详解】解：由题意可得d n⊥，则4950m+-=解得1m=-【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.19．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法能求出点到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系设平面的法向量则即取得∴点到平面的距离：故答案为【点睛】空间中点到平面的距离解析：12 5【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面11A D C的距离．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，1(3,0,4)A ，1(0,0,4)D ，(0,3,0)C ，1(0,0,4)D D =-，11(3,0,0)D A =，1(0,3,4)DC =-， 设平面11A D C 的法向量(,,)n x y z =，则11100n D A n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30340x y z =⎧⎨-=⎩，取4y =，得(0,4,3)n =， ∴点D 到平面11A D C 的距离：112||5D D n d n ⋅==．故答案为125． 【点睛】空间中点到平面的距离的计算，应该通过作出垂足把距离放置在可解的平面图形中计算，注意在平面图形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）来求线段的长度、面积等.我们也可以利用空间向量来求，把点到平面的距离问题转化为直线的方向向量在平面的法向量上的投影问题.20．(00)【分析】设P(x00)求出·＝x(x －1)＋2＝(x －)2＋再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标【详解】设P(x00)则＝(x －1－20)＝(x －11)·＝x(x －1)＋2＝(x －解析：(12，0,0) 【分析】设P (x,0,0)，求出·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标. 【详解】 设P (x,0,0)，则＝(x －1，－2,0)，＝(x ，－1,1)，·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋， ∴当x ＝时，·取最小值，此时点P 的坐标为(，0,0)．故答案为(12，0,0) 【点睛】(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 111222121212(,,),(,,),a x y z b x y z a b x x y y z z ==⋅=++.21．【分析】利用表示向量利用空间向量数量积计算出即可得解【详解】如下图所示：所以因此异面直线与所成角的余弦值是故答案为：【点睛】方法点睛：求异面直线所成角的余弦值方法如下：一是几何法：作—证—算；二是向解析：23【分析】利用AB 、AD 、1AA 表示向量1AB 、1BC ，利用空间向量数量积计算出11cos ,AB BC <>，即可得解.【详解】 如下图所示：11AB AB AA =+，111BC BC BB AD AA =+=+，()222222111111122cos AB AB AA AB AA AB AA AB AA AB AA BAA =+=++⋅=++⋅∠22212222122=++⨯⨯=，123AB ∴= ()222222111111122cos BC AD AA AD AA AD AA AD AA AD AA DAA =+=++⋅=++⋅∠22212222122=++⨯⨯=，123BC ∴= ()()21111111AB BC AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+222111111cos cos 22282AB AA BAA AD AA DAA AA =⋅∠+⋅∠+=⨯⨯+=，所以，()111121182cos ,3AB BC AB BC AB BC ⋅<>===⋅， 因此，异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是23. 故答案为：23. 【点睛】方法点睛：求异面直线所成角的余弦值，方法如下： 一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线的夹角的余弦值为cos ,m n m n m n⋅<>=⋅.22．1【分析】取中点过作于点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得平面从而得到；再根据线面垂直判定定理得到面由线面角定义可知通过勾股定理可求得由此可知在直线上从而得到面面垂直关系可知二面角为从解析：1 【分析】取AD 中点E ，过P 作PF BE ⊥于F 点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得AD ⊥平面PBE ，从而得到AD PF ⊥；再根据线面垂直判定定理得到PF ⊥面ABCD ，由线面角定义可知30PBF ∠=，通过勾股定理可求得EF BE =，由此可知F在直线CD 上，从而得到面面垂直关系，可知二面角为90，从而得到正弦值. 【详解】取AD 中点E ，连接BE 并延长，过P 作PF BE ⊥于F 点PA PD =，E 为AD 中点 PE AD ⊥∴四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠= ABD ∴∆为等边三角形 BE AD ∴⊥ ,PE BE ⊂平面PBE ，PE BE E ⋂= AD ∴⊥平面PBEPF ⊂平面PBE AD PF ∴⊥又PF BF ⊥，,BF AD ⊂平面ABCD ，BFAD E = PF ∴⊥面ABCD∴直线PB 与底面ABCD 所成角为PBF ∠ sin 2sin301PF PB PBF ∴=⋅∠=⨯=在PBE ∆中，由余弦定理得：22233372cos 444222PE PB BE PB BE PBE =+-⋅∠=+-⨯=223EF PE PF ∴=-=，又3BE = F ∴在CD 延长线上 PF ∴⊂平面PCD ∴平面PCF ⊥平面ABCD∴二面角P CD A --的大小为90，正弦值为1故答案为：1 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定定理、直线与平面所成角、勾股定理等知识的应用；关键是能够通过线面垂直关系确定直线与平面所成角的位置.23．【分析】建立空间直角坐标系由求得得到进而求得三角形的面积的最小值得到答案【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点以DC 所在直线为y 轴以DA 所在直线为x 轴以为z 轴建立空间直角坐标系则点所以因为所以因为所以【分析】建立空间直角坐标系，由1D P CM ⊥，求得22z y =-，得到BP =而求得三角形的面积的最小值，得到答案. 【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)P y z D ，所以1(2,,2)D P y z =-.因为(0,2,0),(2,0,1)C M ，所以(2,2,1)CM =-,因为1D P CM ⊥,所以4220y z -+-=，所以22z y =-， 因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-，所以BP ===因为02y ≤≤，所以当65y =时，min BP =.因为BC ⊥BP ,所以min 1()2255PBC S ∆=⨯⨯=.. 【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得BP 的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.24．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量属于中档题解析：78【分析】利用向量的加法公式得出111222MN OA OB OC =-++，再由1324OG OM MG OA MN =+=+，得出,,x y z 的值，即可得出,,x y z 的和.【详解】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++ 133,,888x y z ∴===即78x y z ++= 故答案为：78【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题.25．【分析】根据两边平方化简得到得到答案【详解】故故故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的运算意在考查学生的计算能力【分析】根据11AC AB AD AA =++，两边平方化简得到182AC =. 【详解】11AC AB AD AA =++故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅222113452432458222=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故182AC =【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.26．【解析】【分析】由α∥β可得∥利用向量共线定理即可得出【详解】因为α∥β所以u ∥v 则即故x+y=【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：154【解析】 【分析】由α∥β，可得u ∥v ．利用向量共线定理即可得出． 【详解】因为α∥β,所以u ∥v .则1-21-12x y ==,即4,1-,4xy=⎧⎪⎨=⎪⎩故x+y=154.【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

一、选择题1．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，1BC α⊥，点E 、F 分别为1AA 、1CC 的中点，112C G GD =，若α平面ABCD m =，α平面EFG n =，则直线m 与直线n 所成角的正切值为（ ） A ．227B ．32C ．427D ．6272．若(),,0OA m n =，40,,OB p n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,4,0F ，1AF m =+，1BF p =+，则m p +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．63．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，12AP PA =，点M 在侧面11AA B B 内.若1D M CP ⊥，则点M 的轨迹为（ ）A ．线段B ．圆弧C ．抛物线一部分D ．椭圆一部分4．三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示NM ，则NM 等于( )A ．1()2a b c -++ B ．1()2a b c +- C ．1()2a b c -+D ．1()2a b c --+5．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )A 6B 3C 6D ．236．若直线l 的方向向量,1)2(,m x -=，平面α的法向量2,2(),4n -=-，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是( )A ．1B ．5C ．﹣1D ．﹣57．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a b ⊥，a α⊥，b α⊄，则//b α；②若//a α，a β⊥，则αβ⊥；③若a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂；④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥．其中正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．以下四个命题中，正确的是（ ） A ．若1123OP OA OB =+，则P 、A 、B 三点共线 B ．若{,,}a b c 为空间的一个基底，则{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底 C ．()a b c a b c ⋅=⋅⋅D ．ABC 为直角三角形的充要条件是·0AB AC = 9．给出下列命题：①若空间向量,a b 满足a b =，则a b =； ②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅，则a b =； ④在向量的数量积运算中()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅. 其中假．命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．410．如图，在菱形ABCD 中，23ABC π∠=，线段AD 、BD 的中点分别为E 、F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，当二面角A BD C --的余弦值为13时，异面直线BE 与CF所成角的正弦值是（ ）A ．356B ．16C ．265D ．1511．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN x AB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）A ．12B ．12-C ．－2D ．212．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若2AB =，1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．23D ．413．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，1CC 的中点，则直线1A E 与平面11B D F 所成角的正弦值是（ ） A 15 B 15C 5 D 30第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题14．在三棱锥P -ABC 中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为________.15．正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为_____________.16．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，则1AC 与平面11BB C C 所成角的余弦值为_________.17．如图：二面角α﹣l ﹣β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于__．18．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，2BC =，四棱锥外接球的球心为O ，点E 是棱AD 上的一个动点，给出如下命题：①直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒；②BE 与PC 一定不垂直；③三棱锥E BCO -的体积为定值；④CE PE +的最小值为22，其中正确命题的序号是__________.（将你认为正确的命题序号都填上）19．若向量()1,,1a λ=，()2,1,2b =-，且a 与b 夹角的余弦值为13，则λ=__________. 20．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于______.21．已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-，且//l α，则m =____22．在空间直角坐标系中， ()()()2,1,1,3,4,,2,7,1,A B C AB CB 若λ-⊥,则λ=____ 23．在棱长为9的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F 分别在棱AB ，DD '上，满足2AE D E DFB F '==，点P 是DD '上一点，且//PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为______.24．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为__________.25．若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.26．点(1,A 2，1)，(3,B 3，2)，(1,C λ+4，3)，若,AB AC 的夹角为锐角，则λ的取值范围为______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】以1D 为原点，11D A 为x 轴，11DC 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，用向量法计算即可. 【详解】不妨设AB =2, 以1D 为原点，11D A 为x 轴，11DC 为y 轴，1D D 为z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,02,0,02,0,22,0,10,2,00,2,20,2,1D A A E C C F ，，，，，，， ()()()12,2,22,2,0,2,0,2,B EF C B =-=-，112420,,00,,133C G GD G GF ⎛⎫⎛⎫=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面EFG 的一个法向量()1,,n x y z =，则11·2204·03n EF x y n GF y z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，不妨令x =1，则141,1,3n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 易知平面ABCD 的一个法向量为()20,0,1n =，设直线m ，n 的方向向量分别为()0000,,m x y z =，()0222,,n x y z = 因为α平面ABCD m =，1BC α⊥，所以0100020·220·0m C B x z m n z ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩不妨令0y =1，则()00,1,0m =同理可求071,,13n ⎛⎫=--⎪⎝⎭设直线m 与直线n 所成角为θ，则0000007||||7673cos |cos ,|||||491114m n m n m n θ-====⨯⨯++所以sin67θ===sintancosθθθ===故选：B【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.2．C解析：C【分析】根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到11mp=+=+，推出22163282230m p n nn n-+-++=，配方整理，即可求出最小值.【详解】因为(),,0OA m n=，40,,OB pn⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,4,0F，1AF m=+，1BF p=+，所以11mp=+=+，则()2222224214421m n m mp p pn⎧+-=++⎪⎨⎛⎫-+=++⎪ ⎪⎝⎭⎩，即()224214421n mpn⎧-=+⎪⎨⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎩，所以22221632164812261628822 n n nm p nn n n n⎛⎫⎛⎫-++-+-=++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=22444822466n n nn n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=+-+≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当44n n+=，即2n =时，22m p +取得最小值3，则m p +的最小值为3. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于利用空间向量模的坐标表示，用n 表示出22m p +，即22164882222n n n m n p ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，配方整理，即可求解.3．A解析：A 【分析】首先建立空间直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示求点M 的轨迹. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设棱长为3，()3,0,2P ，()0,3,0C，()10,0,3D ，()3,,M y z ，()13,,3D M y z =-，()3,3,2CP =-， ()193230D M CP y z ⋅=-+-=，整理为：3230y z --=，点M 的轨迹方程是关于,y z 的二元一次方程，所以轨迹是平面11ABB A 平面内，直线3230y z --=内的一段线段.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何中的轨迹问题，本题的关键是解题方法，建立空间直角坐标系后，转化为坐标运算，根据方程形式判断轨迹.4．B解析：B 【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得：1()2NM NA NB =+，1()2AN AO AC =+，1()2BN BO BC =+，AC OC OA =-，BC OC OB =-，代入化简即可得出．【详解】解：1()2NM NA NB=+，1()2AN AO AC=+，1()2BN BO BC=+，AC OC OA=-，BC OC OB=-，∴1111()2222MN AN BN OA OB OC=+=--+111222a b c=--+，∴111222NM a b c=+-，故选：B．【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．5．C解析：C【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a，a,0)，F(a,0,0)，AG＝(a，a,0)，AC＝(0,2a,2a)，BG＝(a，－a，0)，BC＝(0,0,2a)，设平面AGC的法向量为n1＝(x1，y1,1)，由11{AG nAC n⋅=⋅=⇒⇒111{1xy==-⇒n1＝(1，－1,1)．sinθ＝11BG nBG n⋅⋅＝23a⨯6.6．C解析：C【分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐标关系即可计算出x 的值. 【详解】因为直线l ⊥平面α，所以//m n ， 所以12224x -==--，所以1x =-. 故选：C. 【点睛】本题考查根据直线与平面的位置关系求解参数，其中涉及到空间向量的共线计算，难度一般.已知直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若//l α则有a b ⊥，若l α⊥则有//a b . 7．D解析：D 【分析】设直线a ，b 的方向向量分别为11,a b ，α，β的法向量分别为11,n m ，将各选项中的题设条件转化为向量的关系后可得相应的结论是否成立. 【详解】对于①，因为a b ⊥，a α⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，故11n b ⊥，因b α⊄，故//b α， 故①正确.对于②，因为//a α，a β⊥，故11a n ⊥，11a m λ=，故11n m ⊥即αβ⊥，故②正确. 对于③，因为a β⊥，αβ⊥，故11a m λ=，11n m ⊥，故11n a ⊥即//a α或a α⊂， 故③正确.对于④, 因为a b ⊥，a α⊥，b β⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，11b m μ=， 故11n m ⊥即αβ⊥，故④正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，此类问题一般是根据位置关系的判定定理和性质定理来考虑，也可以利用直线的方向向量和法向量的关系来判断位置关系，本题属于中档题.8．B解析：B 【分析】对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，故A 不正确；对于B ， ,,a b b c c a +++不共线，所以 {,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确.【详解】对于A ,P ，A ， B 三点共线时，(1)OP OA OB λμλμ=++=，1123OP OA OB =+，P ∴，A ，B 三点共线不成立，故A 不正确；对于B ，若{,,}a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共线，∴,,a b b c c a +++不共线，∴{,,}a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故B 正确；对于C ，设,a b θ<>=，则|()||||||||cos |a b c a b c θ=，故C 不正确；对于D ，·0AB AC =时，A ∠为直角，故ABC ∆为直角三角形，反之也可以是B ，C ∠为直角，故D 不正确.故选：B【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查向量共线的条件，考查向量的数量积的计算，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9．D解析：D【分析】结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，空间向量,a b 的方向不一定相同，即a b =不一定成立，故①错误； 对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；对于③，取()0,0,0a =，()1,0,0b =，()0,1,0c =，满足0a c b c ⋅=⋅=，且0c ≠，但是a b ≠，故③错误；对于④，因为a b ⋅和b c ⋅都是常数，所以()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅表示两个向量，若a 和c 方向不同，则()a b c ⋅⋅和()a b c ⋅⋅不相等，故④错误.故选：D.【点睛】本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题. 10．A解析：A【分析】过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设二面角A BD C --的大小为α，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由向量数量积的运算律得出CF BE CF HE ⋅=⋅，由题意可得出12HE BE =，利用数量积的定义可求出cos ,CF BE <>的值，即可求出cos θ的值，进而利用同角三角函数的平方关系可求出sin θ的值.【详解】如下图所示，过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点， 设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 记二面角A BD C --的大小为α，()CF BE CF BH HE CF HE ⋅=⋅+=⋅， 即()cos CF BE CF HE πα⋅=⋅-，即11cos ,23CF BE CF BE CF BE ⎛⎫⋅<>=⋅⋅- ⎪⎝⎭， 1cos ,6CF BE ∴<>=-，所以1cos 6θ=，即35sin 6θ=， 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，同时也考查了二面角的定义，涉及利用空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.11．B解析：B【分析】利用向量运算得到131442MN AB AC AD =--+得到答案. 【详解】 ()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=--+=--+ 故12x y z ++=-故选：B【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.12．B解析：B【分析】由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求．【详解】 解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，()1||||cos 1801201212CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=． ∴2124219CD =+++⨯=，||3CD ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．D解析：D【分析】设正方体棱长为2，以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求得1(0,1,2)A E =-和平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】设正方体棱长为2，分别以1,,AD AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则111(0,0,2),(0,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)A E B D F ，所以1111(0,1,2),(2,2,0),(2,0,1)A E B D B F =-=-=-.设平面11B D F 的法向量为(,,)n x y z =，则1110,0,n B D n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20,x y x z -=⎧⎨-=⎩令1x =，则1,2y z ==， 即平面11B D F 的一个法向量为(1,1,2)n =.设直线1A E 与平面11B D F 所成角为θ， 则1130sin 1030n A E n A E θ⋅===⋅. 故选D.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解直线与平面所成的角，根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题14．【分析】首先可证平面PAC 则BD 与平面PAC 所成角为所以当D 为PC 的中点时取得最大值如图建立空间直角坐标系利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：因为PAABAC 两两垂直所以平面PAC 则BD 与311 【分析】首先可证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以当D 为PC 的中点时ADB ∠取得最大值，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：因为PA ，AB ，AC 两两垂直，PA AC A =所以AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠，所以3tan AB ADB AD AD∠==，当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值在等腰Rt PAC △中，当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ，则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC =-，(3,2,0)BC =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=，即220320y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令3y =，得(2,3,3)n =. 因为311cos ,11222n AD 〈〉==⨯， 所以AD 与平面PBC 311. 311 【点睛】 (1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角． 15．【分析】结合由数量积定义计算【详解】正四面体中点EF 分别是BCAD 的中点连接则而所以平面又平面所以即所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计解析：24a 【分析】AE AB BE =+，结合AD BC ⊥，由数量积定义计算．【详解】正四面体ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接,AE DE ，则,BC AE BC DE ⊥⊥，而AE DE E =，所以BC ⊥平面ADE ，又AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥，即AF BE ⊥， 所以21()cos 6024a AE AF AB BE AF AB AF BE AF a a ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯︒=． 故答案为：24a ．【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计算的向量，然后由数量积定义计算，是基本方法，实质上也可以应用空间向量基本定理表示向量，把向量的运算转化为空间向量的基底进行运算．16．【分析】取BC 的中点E 连接AE 证明面可得就是与平面所成的角解直角三角形即可【详解】如上图取BC 的中点E 连接AE 则∵正三棱柱中面面面面∴面∴就是与平面所成的角不妨设正三棱柱的所有棱长都为2则在中故答案 解析：104 【分析】取BC 的中点E ，连接1C E ，AE ，证明AE ⊥面11BB C C ，可得1E AC ∠就是1AC 与平面11BB C C 所成的角，解直角三角形1AC E 即可．【详解】如上图，取BC 的中点E ，连接1C E ，AE ，则AE BC ⊥，∵正三棱柱111ABC A B C -中，面ABC ⊥面11BB C C ，面ABC面11BB C C BC =，∴AE ⊥面11BB C C ，∴1E AC ∠就是1AC 与平面11BB C C 所成的角， 不妨设正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，则1C E =1AC = 在1Rt AC E ∆中，111cos 4C E AC E AC ∠===.故答案为：4. 【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题. 17．2【分析】求CD 的长即为由向量的加法可得利用向量的数量积运算即可得出答案【详解】∵AB 是棱l 上两点ACBD 分别在半平面αβ内AC ⊥lBD ⊥l 因为所以因为所以故答案为：2【点睛】本题主要考查空间向量的解析：2【分析】求CD 的长即为CD ，由向量的加法可得CD CA AB BD =++，利用向量的数量积运算即可得出答案.【详解】∵A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，0,0∴⋅=⋅=CA AB BD AB ，,60︒<>=CA BD因为1AB AC BD ===，所以111cos602︒⋅=⨯⨯=CA BD ， 因为CD CA AB BD =++， 所以2()12=++==CD CA AB BD故答案为：2【点睛】本题主要考查空间向量的加法，减法及几何意义和空间向量的数量积，考查了运算求解能力和转化的数学思想，属于一般题目. 18．①③④【分析】由三垂直可采用以为轴建立空间直角坐标系①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体再结合等体积法即可求解三棱锥 解析：①③④【分析】由,,AB AD AP 三垂直，可采用以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，①中通过异面直线的夹角公式和不等式性质即可判断正确；②中结合向量数量积公式可判断错误；③采用补形法将四棱锥还原为长方体，再结合等体积法即可求解三棱锥E BCO -的体积为定值；④中将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ，结合两点间直线最短即可判断正确【详解】如图所示：以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P ，()1,0,0B ，(1,2,0)C ，设(0,,0)E y ，[]0,2y ∈，则(1,0,1)BP =-，(1,2,0)CE y =--， 2||2cos ,2||||21(2)BP CE BP CE BP CE y ⋅〈〉==≤⋅⋅+-，当2y =时等号成立， 此时,4BP CE π〈〉=，故直线PB 与直线CE 所成的角中最小的角为45︒，①正确；(1,,0)(1,2,1)21BE PC y y ⋅=-⋅-=-，当12y =时，BE PC ⊥，②错误； 将四棱锥放入对应的长方体中，则球心为体对角线交点， 1111112323226BCE E BCO O BCE AP V V S --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，③正确； 如图所示：将平面ABCD 以AD 为轴旋转到平面PAD 内形成平面''AB C D ， 则22''2222CE PE C E PE PC +=+≥=+=，当'PEC 共线时等号成立，④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查向量法在立体几何中的实际应用，合理建系，学会将所求问题有效转化是解决问题的关键，如本题求线线角的最小值转化为求线线夹角的余弦值，求两直线垂直转化为数量积为0，求三棱锥体积的补形法和等体积法，利用旋转将异面直线的距离转化为共面直线的距离，属于中档题19．【分析】根据条件可求出再根据夹角的余弦为即可求出解出即可【详解】解：又夹角的余弦值为解得故答案为：【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算根据向量坐标求向量长度的方法向量数量积的计算公式解析：74【分析】根据条件可求出2||2,||3a b λ=+=，224a b λλ=-+=-，再根据,a b 夹角的余弦为13，即可求出224λλ+=-，解出λ即可． 【详解】解：2||2,||3a b λ=+=，224a b λλ=-+=-，又,a b 夹角的余弦值为13， ∴2||||cos ,24a b a b a b λλ=<>=+=-，解得74λ=． 故答案为：74． 【点睛】 本题考查空间向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的计算公式．20．【分析】建立空间直角坐标系写出的坐标写出向量的坐标用两向量的夹角公式求出余弦值【详解】建立空间直角坐标系如图所示则所以异面直线和所成角的余弦值等于故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角属于基础题 解析：15 【分析】建立空间直角坐标系，写出1,,,D F O E 的坐标，写出向量1,FD OE 的坐标，用两向量的夹角公式求出余弦值.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示则()()()()10,0,2,1,0,0,1,1,0,0,2,1D F O E ，()()111,0,2,1,1,1,5,3FD OE FD OE ∴=-=-==，111cos ,3OE FD OE FD OEFD ∴〈〉===， 所以异面直线OE 和1FD . . 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于基础题. 21．【分析】由题意可得根据线面平行可得则进而得到解得即可【详解】解：由题意可得则解得【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系根据线面平行线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直考查了空间向 解析：1-【分析】由题意可得，根据线面平行可得d n ⊥，则=0d n ，进而得到4950m +-=，解得即可.【详解】解：由题意可得d n ⊥，则4950m +-=解得1m =-【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.22．【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题然后利用向量的数量积坐标运算计算的值即可【详解】又即解得故答案为【点睛】本题主要考查空间向量的应用向量垂直的充分必要条件等知识意在考 解析：3±【分析】利用空间向量的结论将垂直的问题转化为向量数量积等于零的问题，然后利用向量的数量积坐标运算计算λ的值即可.【详解】()()()2,1,1,3,4,,2,7,1A B C λ-， ∴AB ()1,3,1,λ=+CB ()1,3,1λ=--， 又,AB CB ⊥0AB CB ∴⋅=，即()()()1133110λλ⨯+⨯-++-=，解得3λ=±，故答案为3±.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．【分析】以为原点分别为轴建立空间直角坐标系设由平面可得P 点的坐标根据四棱锥的特点可得外接球的直径可得答案【详解】以为原点分别为轴建立空间直角坐标系由则设设平面的法向量为则即不妨令则得因为平面所以即解 解析：178π【分析】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P t ，由//PB 平面CEF 可得P 点的坐标，根据四棱锥P ABCD -的特点可得外接球的直径可得答案.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，由2AE D E DF B F '==， 则(9,6,0),(0,9,0)E C ，(0,0,3)F ，(9,9,0)B ，设(0,0,)P t ，∴()9,3,0EC =-， ()0,9,3CF =-，()9,9,PB t =-设平面FEC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n EC n CF ⎧=⎨=⎩，即930930x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3z =，则11,3y x ==， 得1,1,33n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为//PB 平面CEF ， 所以0PB n ⋅=，即1919303t ⨯+⨯-=，解得4t =， 所以(0,0,4)P ，由PD ⊥平面ABCD ，且底面是正方形，所以四棱锥P ABCD -外接球的直径就是PB ，由()9,9,4PB =-，得29PB == 所以外接球的表面积241782PB S ππ⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭. 故答案为：178π.【点睛】本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力.24．【分析】建立空间直角坐标系由求得得到进而求得三角形的面积的最小值得到答案【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点以DC 所在直线为y 轴以DA 所在直线为x 轴以为z 轴建立空间直角坐标系则点所以因为所以因为所以 25 【分析】建立空间直角坐标系，由1D P CM ⊥，求得22z y =-，得到25128BP y y =-+而求得三角形的面积的最小值，得到答案.【详解】以D 点为空间直角坐标系的原点，以DC 所在直线为y 轴，以DA 所在直线为x 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.则点1(2,,),(0,0,2)P y z D ，所以1(2,,2)D P y z =-.因为(0,2,0),(2,0,1)C M ，所以(2,2,1)CM =-,因为1D P CM ⊥,所以4220y z -+-=，所以22z y =-，因为B(2，2，0)，所以(0,2,)BP y z =-， 所以22222(2)(2)(22)5128BP y z y y y y =-+=-+-=-+因为02y ≤≤，所以当65y =时，min 255BP =. 因为BC ⊥BP ,所以min 12525()22PBC S ∆=⨯= 25. 【点睛】 本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得BP 的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.25．【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可【详解】解：两个平面的法向量分别为则这两个平面所成的锐二面角的大小是这两个平面所成的锐二面角的余弦值为故答案为：【点睛】本题考查空间二面解析：5【分析】直接利用空间向量的数量积求解两个平面的二面角的大小即可．【详解】解：两个平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u →=，(1,1,0)v →=-，则这两个平面所成的锐二面角的大小是θ，2cos 4a ba b θ→→→→+===这两个平面所成的锐二面角的余弦值为5.故答案为：5. 【点睛】 本题考查空间二面角的求法，空间向量的数量积的应用，考查计算能力．26．【分析】根据的夹角为锐角可得且不能同向共线解出即可得出【详解】12的夹角为锐角且不能同向共线解得则的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查了向量夹角公式向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：()()2,44,∞-⋃+【分析】根据,AB AC 的夹角为锐角，可得0AB AC ⋅>，且不能同向共线.解出即可得出．【详解】(2,AB =1，1)，(,AC λ=2，2)，,AB AC 的夹角为锐角，2220AB AC λ∴⋅=++>，且不能同向共线．解得2λ>-，4λ≠．则λ的取值范围为()()2,44,∞-⋃+．故答案为()()2,44,∞-⋃+．【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

自我小测1．在空间直角坐标系中，点P(3,1，－2)到x轴的距离为()．A．1B．2C D．32．若点P′与P关于平面xOy对称，点P″与P′关于z轴对称，则点P″与P关于()对称．A．x轴B．平面yOzC．原点O D．不是以上答案3．已知点A(1,2，－1)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则线段BC的长为()．A．B．4 C．D．4．已知点A(x,5－x,2x－1)、B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为()．A．19 B．87C．87D．19145．点M(－1,3，－4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的投影的坐标分别是____________________．6．在空间直角坐标系中，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于_____________．7．在长方体OABC－O1A1B1C1中，如图建立空间直角坐标系，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，作OD⊥AC于D，求O1到点D的距离．8．在三棱锥A－BCD中，|AD|＝|BC|＝1，|AC|＝|AB|＝|DC|＝|DB|＝2，求该三棱锥的体积．9.正四棱锥S－ABCD的底面边长为a，侧棱长为a，E为SC的中点，AC与BD交于Oa，若存在，找出F点的位置；点，问在线段BD上是否存在一点F，使得EF的长为3若不存在，请说明理由．参考答案1. 答案：C2. 答案：C解析：设P (x ，y ，z )，则P ′(x ，y ，－z )，则P ″(－x ，－y ，－z )，∴点P 与P ″关于原点O 对称．3. 答案：B解析：由题意C 点坐标为(1,2,1)，B 点坐标为(1，－2,1)，∴|BC |＝4．4. 答案：C5. 答案：(－1,3,0)、(－1,0，－4)、(0,3，－4)6.答案：3解析：由于已知点A (3，－1,2)和中心点M (0,1,2)，所以可求出点A 关于点M 的对称点C 1(－3,3,2)．这样正方体的对角线的长为1||AC ==3=． 7. 解：由题意得点A (2,0,0)、O 1(0,0,2)、C (0,3,0)．设点D (x ，y,0)，在R t △AOC 中，|OA |＝2，|OC |＝3，|AC =，∴||OD ==． R t △ODA 中，|OD |2＝|x |·|OA |，∴361813||213x x ===． 在R t △ODC 中，|OD |2＝|y |·|OC |，∴361213||313y y ===．∴点D (1813，1213，0)．∴1||O D ===． 8. 解：建立如图所示的空间直角坐标系：|AC |＝|AB |＝2，|BC |＝1，易求得112ABC S ∆=⨯=． A (0,0,0)，B (0,2,0)，，74,0)．设D (x ，y ，z )，由|DA |＝1得x 2+y 2+z 2＝1， ①由|DC |＝2得2227(()44x y z +-+=， ② 由|DB |＝2得x 2＋(y －2)2＋z 2＝4． ③由①③得－4y ＋4＝3，14y =． ④将①④代入②，得x = ⑤将④⑤代入①，得z ===，∴三棱锥的体积为1341512⨯⨯=． 9. 解：建立如图所示的坐标系，则A (2a ，2a -,0)，B (2a ，2a ,0)，C (2a -，2a ,0)，D (2a -，2a -,0)，S (0,0，2a )，所以E (4a -，4a ，4a )． 设F (m ，m,0)，则||EF ==，解得m =， 所以F 点坐标为a ,0)或(，,0)．。

空间直角坐标系基础练习题本文档将为您提供一系列关于空间直角坐标系的基础练题，帮助您加深对该概念的理解和应用。

每道题目均包含问题和解答部分。

1. 问题一个物体在空间直角坐标系中的位置由三个坐标确定，分别为x、y和z坐标。

给定以下点和向量，请回答下列问题。

1.1 点A(3, 2, 5)和点B(-1, 4, 7)，求线段AB的长度。

1.2 向量v1(2, -3, 1)和向量v2(-5, 4, 0)，求向量v1与v2的点积。

1.3 向量v3(1, 2, 3)和向量v4(4, 5, 6)，求向量v3与v4的叉积。

2. 解答2.1 线段AB的长度可以通过计算两点之间的距离来求解。

利用以下公式计算距离：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)将点A(3, 2, 5)和点B(-1, 4, 7)的坐标代入公式，可得：d = sqrt((-1 - 3)^2 + (4 - 2)^2 + (7 - 5)^2)= sqrt((-4)^2 + 2^2 + 2^2)= sqrt(16 + 4 + 4)= sqrt(24)= 2*sqrt(6)所以，线段AB的长度为2*sqrt(6)。

2.2 两个向量的点积可以通过以下公式计算：v1 · v2 = v1x*v2x + v1y*v2y + v1z*v2z将向量v1(2, -3, 1)和向量v2(-5, 4, 0)的坐标代入公式，可得：v1 · v2 = 2*(-5) + (-3)*4 + 1*0= -10 - 12 + 0= -22所以，向量v1与v2的点积为-22。

2.3 两个向量的叉积可以通过以下公式计算：v3 × v4 = (v3y*v4z - v3z*v4y, v3z*v4x - v3x*v4z, v3x*v4y -v3y*v4x)将向量v3(1, 2, 3)和向量v4(4, 5, 6)的坐标代入公式，可得：v3 × v4 = (2*6 - 3*5, 3*4 - 1*6, 1*5 - 2*4)= (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8)= (-3, 6, -3)所以，向量v3与v4的叉积为(-3, 6, -3)。

高中数学《空间向量与立体几何》练习题（含答案解析）一、单选题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，与点()1,2,1-关于平面xOz 对称的点为（ ）A ．()1,2,1--B ．()1,2,1-C ．()1,2,1---D ．()1,2,1--2．在空间直角坐标系内，平面α经过三点(1,0,2),(0,1,0),(2,1,1)A B C -，向量(1,,)n λμ=是平面α的一个法向量，则λμ+=（ ）A ．7-B ．5-C ．5D ．73．已知点()3,1,0A -，若向量()2,5,3AB =-，则点B 的坐标是（ ）．A ．()1,6,3-B ．()5,4,3-C ．()1,6,3--D ．()2,5,3-4．如图，O A B '''△是水平放置的OAB 的直观图，6A O ''=，2''=B O ，则OAB 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．D ．5．平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直6．已知某圆柱的内切球半径为92，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．492π B ．49π C ．812π D ．81π7．O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ） A ．OA 、OB 、OC 共线B ．OA 、OB 共线C ．OB 、OC 共线D ．O 、A 、B 、C 四点共面8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 10．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，则（ ）A ．1AB ⊥平面11A BCB ．异面直线1AB 与11AC 所成的角为30° C ．平面11ABD ∥平面1BC Q D ．平面1B CD ⊥平面1B DP二、填空题11．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________. 12．若直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，且直线l ⊥平面α，则实数x 的值是______.13．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，2PA AC ==，BC =则四面体P ABC 的外接球的表面积为______．14．设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．三、解答题15．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC △平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC =，求证：CD ⊥平面11ABB A ．16．如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：（1）EH △平面BCD ；（2）BD △平面EFGH .17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，E 为PB 的中点.(1)求证：EO平面PDC ；(2)求证：平面PAC ⊥平面PBD .18．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.参考答案与解析1．A【分析】根据空间直角坐标系的对称点坐标特点直接求解即可.【详解】解：因为点()1,2,1-，则其关于平面xOz 对称的点为()1,2,1--.故选：A.2．D【解析】求出(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-，利用与(1,,)n λμ=数量积为0，求解即可.【详解】(1,1,2)AB =--，(2,0,1)BC =-120n AB λμ⋅=-+-=20n BC μ⋅=-+=可得2μ=，5λ=，7λμ+=故选：D3．B【分析】利用空间向量的坐标运算求得B 的坐标.【详解】设O 为空间坐标原点，()()()3,1,02,5,35,4,3OB OA AB =+=-+-=-.故选：B4．B【分析】由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==，直接求解其面积即可．【详解】解：由直观图画法规则，可得OAB 是一个直角三角形，其中直角边6,4OA OB ==， △11641222OAB S OA OB =⋅=⨯⨯=． 故选：B ．5．C【分析】由题设知6m n =-，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. 【详解】平面α的一个法向量是1(2n =,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =-,6,2)-， ∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．6．D 【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9，从而可求出其侧面积 【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为92，圆柱的高为9， 所以该圆柱的侧面积为929812ππ⨯⨯=. 故选：D7．D【解析】根据向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.【详解】因为O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA 、OB 、OC 不能构成空间的一个基底，所以OA 、OB 、OC 共面，所以O 、A 、B 、C 四点共面，故选：D8．B【分析】连接1AD ，AE ，得到11//AD BC ，把异面直线1D E 与1BC 所成角转化为直线1D E 与1AD 所成角，取1AD 的中点F ，在直角1D EF 中，即可求解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1AD ，AE ，可得11//AD BC ，所以异面直线1D E 与1BC 所成角即为直线1D E 与1AD 所成角，即1AD E ∠为异面直线1D E 与1BC 所成角，不妨设12AA =，则1AD =1D E AE =取1AD 的中点F ，因为1D E AE =，所以1EF AD ⊥，在直角1D EF中，可得111cos D F AD E D E ∠==. 故选：B.9．C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d =【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=，解得：3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d =.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.10．D【分析】A 项反证法可得；B 项由平移法计算异面直线所成角；C 项由面面平行的判断和性质可得结果；D 项建立空间直角坐标系可得结果.【详解】对于选项A ，假设1AB ⊥面11A BC ，则111AB AC ⊥，这与已知1AB 与11A C 不垂直相矛盾，所以假设不成立.故选项A 错误； 对于选项B ，连接1DC ，1DA ，因为11AB DC ∥，所以11DC A ∠为异面直线1AB 与11A C 所成的角或补角，又因为△11AC D 为等边三角形，所以1160DC A ∠=︒，故选项B 错误；对于选项C ，因为11B D BD ∥，11AD BC ∥，由面面平行的判定定理可得平面11AB D ∥平面1BDC ，而平面1BQC 与平面1BDC 相交，所以平面11AB D 与平面1BC Q 也相交，故选项C 错误；对于选项D ，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则()0,0,0D ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，11,,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()11,1,1DB =，()0,1,0DC =，11,,02DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面1B CD 的法向量为()1,,n x y z =， 则11100n DB x y z n DC y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩，可取1x =，则0y =，1z =-，即()11,0,1n =-， 设平面1B DP 的法向量为()2,,b c n a =，则2120102n DB a b c n DP a b ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 可取1a =，则2b =-，1c =，可得平面1B DP 的一个法向量为()21,2,1n =-，由121010n n ⋅=+-=，所以12n n ⊥，即平面1B CD ⊥平面1B DP ，故选项D 正确. 故选：D.11．135°【分析】首先根据题意将图画出，然后根据α＝45°，AB △CD ，可得180BCD α︒∠=-，进而得出结论.【详解】解：如图，由题意知α＝45°，AB △CD ，180135BCD α︒︒∴∠=-=，即135β︒=.故答案为：135°.【点睛】本题考查了平行线的性质，结合图会使问题变得简单，属于基础题.12．-1【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.【详解】直线l 的方向向量(),1,2m x =-，平面α的法向量()2,2,4n =--，直线l ⊥平面α， 必有//m n ，即向量m 与向量n 共线，m n λ∴= ，△11222x -==--，解得=1x -； 故答案为：-1.13．16π 【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．【详解】由于PA ⊥平面ABC ，因此PA 与底面上的直线,,AC AB BC 都垂直，从而AC 与AB 不可能垂直，否则PBC 是锐角三角形，由于<AC BC ，因此有AC BC ⊥， 而PA 与AC 是平面PAC 内两相交直线，则BC ⊥平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥， 所以PB 的中点O 到,,,P A B C 四个点的距离相等，即为四面体P ABC 的外接球球心．2222222222216PB PA AB PA AC BC =+=++=++=，4PB =， 所以所求表面积为224()42162PB S πππ=⨯=⨯=． 故答案为：16π．14．1【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a 坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i =，()0,1,0j =，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则(a xi y j r x --=-当,r x s y ==时a xi y j --的最小值是2，2t ∴=±取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5.取(),,2a x y =- 则()3,,1a k x y += 23a k x ∴+=+又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1.故答案为：1.15．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连接1BC ，交1B C 于点E ，连接ED ，用中位线证明1ED AC ∥即可；(2)证明CD △AB ，CD △1AA 即可.【详解】（1）连接1BC ，交1B C 于点E ，连接.ED△111ABC A B C 是三棱柱，△四边形11BCC B 为平行四边形，△E 是1BC 的中点.△点D 是AB 的中点，△ED 是1ABC 的中位线，△1ED AC ∥，又ED ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，△1AC △平面1CDB .（2）△1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，△1AA AB ⊥，△AC BC =，AD BD =，△CD AB ⊥，△1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，△CD ⊥平面11ABB A .16．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）推导出EH △BD ，由此能证明EH △平面BCD ；（2）由BD △EH ，由此能证明BD △平面EFGH .【详解】（1）△EH 为△ABD 的中位线，△EH △BD .△EH △平面BCD ，BD △平面BCD ，△EH △平面BCD ；（2）△FG 为△CBD 的中位线，△FG △BD ，△FG △EH ，△E 、F 、G 、H 四点共面，△BD △EH ，BD △平面EFGH ，EH △平面EFGH ，△BD △平面EFGH .【点睛】本题考查线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题.17．(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）证明：△四边形ABCD 为正方形，△O 为BD 的中点，△E 为PB 的中点，△OE PD ∥，又△OE ⊄平面,PDC PD ⊂平面PDC ，△OE 平面PDC ；（2）证明：△四边形ABCD 为正方形，△AC BD ⊥，△PD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥，又△,PD BD ⊂平面PBD ，且PD BD D ⋂=，△AC ⊥平面PBD ，又△AC ⊂平面PAC ，△平面PAC ⊥平面PDB .18．(1)证明见解析； 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为AB AD =，O 是BD 中点，所以OA BD ⊥，因为OA ⊂平面ABD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以OA ⊥平面BCD ．因为CD ⊂平面BCD ，所以OA CD ⊥.（2）[方法一]：通性通法—坐标法如图所示，以O 为坐标原点，OA 为z 轴，OD 为y 轴，垂直OD 且过O 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则1,0),(0,1,0),(0,1,0)2C D B -，设12(0,0,),(0,,)33A m E m ,所以4233(0,,),(,,0)3322EB m BC =--=， 设(),,n x y z =为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可求得平面EBC 的一个法向量为2(3,1,)n m =--． 又平面BCD 的一个法向量为()0,0,OA m =，所以cos ,n OA ==1m =． 又点C 到平面ABD 112132A BCD C ABD V V --==⨯⨯⨯=， 所以三棱锥A BCD - [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作EG BD ⊥，垂足为点G ．作GF BC ⊥，垂足为点F ，连结EF ，则OA EG ∥．因为OA ⊥平面BCD ，所以EG ⊥平面BCD ，EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG FG =．由已知得1OB OD ==，故1OB OC ==．又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以BC =因为24222,,,,133333GD GB FG CD EG OA ======，111122(11)13332A BCD BCD BOC V S O S OA A -==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=． [方法三]：三面角公式考虑三面角B EDC -，记EBD ∠为α，EBC ∠为β，30DBC ∠=︒，记二面角E BC D --为θ．据题意，得45θ=︒．对β使用三面角的余弦公式，可得cos cos cos30βα=⋅︒，化简可得cos βα=．△使用三面角的正弦公式，可得sin sin sin αβθ=，化简可得sin βα=．△ 将△△两式平方后相加，可得223cos 2sin 14αα+=， 由此得221sin cos 4αα=，从而可得1tan 2α=±．如图可知π(0,)2α∈，即有1tan 2α=， 根据三角形相似知，点G 为OD 的三等分点，即可得43BG =，结合α的正切值，可得2,13EG OA ==从而可得三棱锥A BCD - 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.。

2021年高考数学 7.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算练习(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是( )A.a∥b,a∥cB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上都不对【解析】选C.因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.2.(xx·中山模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于()A. B. C. D.【解析】选D.因为a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),所以a与b不平行,又因为a,b,c三向量共面,则存在实数x,y使c=xa+yb,即解得λ=.故选D.【加固训练】(xx·洛阳模拟)O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点()A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断【解题提示】根据=x+y+z(x+y+z=1)⇒P,M,A,B四点共面判断.【解析】选B.因为=++,且++=1,所以A,B,C,P四点共面.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(-)-;②(+)-;③(-)-2;④(+)+.其中与向量相等的是()A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选A.①(-)-=-=;②(+)-=-=;③(-)-2=-2≠;④(+)+=+=≠,综上,①②符合题意.4.(xx·长沙模拟)若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值为()A.19B.-C.D.【解析】选C.||==,所以当x=时,||min=.5.设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定【解题提示】通过·,·,·的符号判断△BCD各内角的大小,进而确定出三角形的形状.【解析】选C.·=(-)·(-)=·-·-·+2=2>0,同理·>0,·>0.故△BCD为锐角三角形.【加固训练】(xx·太原模拟)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为()A.(1,1,1)B.C. D.(1,1,2)【解析】选A.由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,a)(a>0),则E.所以=(0,0,a),=,||=a,||===.又cos<,>=,所以=,解得a2=4,即a=2,所以E(1,1,1).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx·安庆模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a⊥(a+b),则y的值为.【解析】a+b=(-2,-1+y,5),由于a⊥(a+b),所以a·(a+b)=0,即-4+1-y+15=0,解得y=12,答案:127.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则|AE|=.【解题提示】确定A,E的坐标,可得的坐标,然后求出AE的长度.【解析】由题意长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,则A(1,0,0),E,所以=, 所以||==.答案:8.(xx·天津模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,①(++)2=32;②·(-)=0;③向量与向量的夹角是60°;④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确的序号是.【解析】①中,(++ )2= 2+2+2=32,故①正确;②中,-=,因为AB1⊥A1C,故②正确;③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但与的夹角为120°,故③不正确,④中,|··|=0,故④也不正确.答案:①②三、解答题(每小题10分,共20分)9.(xx·银川模拟)已知a=(3,5,-4),b=(2,1,8),c=(0,0,1).(1)计算3a-2b及a·b.(2)求实数λ的值,使λa+2b与c垂直.【解析】(1)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以3a-2b=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).a·b=3×2+5×1-4×8=-21.(2)因为a=(3,5,-4),b=(2,1,8),所以λa+2b=(3λ+4,5λ+2,-4λ+16),因为(λa+2b)⊥c,所以(λa+2b)·c=0.因为c=(0,0,1),所以0+0-4λ+16=0,解得λ=4.10.(xx·唐山模拟)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)求a和b夹角的余弦值.(2)设|c|=3,c∥,求c的坐标.【解析】(1)因为=(1,1,0),=(-1,0,2),所以a·b=-1+0+0=-1,|a|=,|b|=.所以cos<a,b>===.(2)=(-2,-1,2).设c=(x,y,z),因为|c|=3,c∥,所以=3,存在实数λ使得c=λ,即联立解得或所以c=±(-2,-1,2).(20分钟40分)1.(5分)(xx·宜宾模拟)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是()A.-1B.C.D.【解析】选D.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)·(2a-b)=3(k-1)+2k-2×2=5k-7=0,解得k=.2.(5分)二面角α-l-β为60°,A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为()A.2aB.aC.aD.a【解题提示】选,,为基向量,进行基向量运算求解.【解析】选A.因为AC⊥l,BD⊥l,所以<,>=60°,且·=0,·=0,所以=++,所以||===2a.3.(5分)(能力挑战题)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内(含正方体表面)任取一点M,则·≥1的概率p=.【解析】由题知正方体的体积为V=8,以A为原点建立空间直角坐标系,AB为x轴,AD为y轴,AA1为z轴.那么A(0,0,0),A1(0,0,2),设M(x,y,z),那么x,y,z∈[0,2],所以=(x,y,z),=(0,0,2),·≥1,即2z≥1,z≥.即点M与平面ABCD的距离大于等于,点M的轨迹是正方体的,其体积为V1=×8,则·≥1的概率p为. 答案:4.(12分)(xx·长春模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以,为边的平行四边形的面积.(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.【解析】(1)由题意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以cos<,>====.所以sin<,>=,所以以,为边的平行四边形的面积为S=2×||·||·sin<,>=14×=7.(2)设a=(x,y,z),由题意得解得或所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).5.(13分)(xx·太原模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求的模.(2)求cos<,>的值.(3)求证:A1B⊥C1M.【解析】如图,建立空间直角坐标系.(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以||==.(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).所以=(1,-1,2),=(0,1,2),·=3,||=,||=,所以cos<,>==.(3)依题意,得C1(0,0,2),M,=(-1,1,-2),=.所以·=-++0=0,所以⊥.所以A1B⊥C1M.【方法技巧】用向量法解决空间垂直、平行位置关系与空间角计算的技巧.(1)基向量法:先选一组基向量,将其他向量都用基向量表示出来,然后根据向量的运算求解.(2)坐标法:根据条件建立适当的空间直角坐标系,求出相关点的坐标,根据向量的坐标运算求解.31859 7C73 米28372 6ED4 滔34538 86EA 蛪? -33283 8203 舃36940 904C 遌|x32028 7D1C 紜26948 6944 楄20419 4FC3 促36771 8FA3 辣。

【高中数学】《4.3 空间直角坐标系》测试题【高中数学】《4.3空间直角坐标系》测试题一、选择题1.在空间直角坐标系则中，未知点p得出以下4条描述：①点p关于轴的对称点的坐标是；②点p关于平面的对称点的座标就是；③点p关于轴的对称点的坐标是；④点p关于原点的对称点的座标就是.其中正确的个数是().a.3b.2c.1d.0考查目的：考查空间直角坐标系中对称点的坐标特征.答案：c.解析：根据空间直角坐标系中，关于线和面对称的点的坐标的特征可以判断，点p关于轴的对称点的坐标是，关于平面的对称点的坐标是，关于轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点的坐标是.答案应选c.2.未知空间直角坐标系则中点p(1，2，3)，现在轴上投一点q，使最轻，则q点的座标为().a.(0，0，1)b.(0，0，2)c.(0，0，3)d.(0，1，0)考查目的：考查空间两点间的距离公式的应用领域.答案：c.解析：设点q的座标为(0，0，)，则，当时，.3.以正方体的棱ab、ad、所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则棱中点的坐标为().a.(，1，1)b.(1，，1)c.(1，1，)d.(，，1)考查目的：考查空间直角坐标系中的中点坐标公式.答案：c.解析：分别以正方体的棱ab、ad、所在的直线为轴建立空间直角坐标系，依题意得，点的坐标为(1，1，0)，点的坐标(1，1，1)，所以中点的坐标为(1，1，).二、填空题4.(2021安徽)在空间直角坐标系中，已知点a(1，0，2)，b(1，-3，1)，点m在轴上，且点m到点a与到点b的距离相等，则m的坐标是.考查目的：考查空间直角坐标系则中两点间的距离公式的应用领域.答案：(0，-1，0).解析：设点m的座标为(0，，0)，则，Champsaur，∴点m的座标为(0，-1，0).5.设为任意实数，则点p(1，2，)的集合对应的图形为.考查目的：考查对空间点的座标和凸包所对应的图形的重新认识.答案：过点(1，2，0)且平行于轴的一条直线.解析：因为点p(1，2，)在空间直角坐标系则中，横坐标、纵坐标维持不变，只有斜座标就是任一实数，所以点p(1，2，)则表示的凸包就是经过点(1，2，0)且平行于轴(或与平面横向)的一条直线.6.若p在坐标平面内，点a的坐标为(0，0，4)，且，则点p的轨迹是__________.考查目的：考查空间直角坐标系中动点的轨迹的带发修行.答案：坐标平面内以(0，0，0)为圆心，以3为半径的圆.解析：设点p的座标为p(，，0)，依题意得，整理得，∴，这个方程则表示，p点的轨迹就是座标平面内以点(0，0，0)为圆心，以3为半径的圆.三、解答题7.以棱长为的正方体的三条棱为坐标轴，创建空间直角坐标系则，点p在正方体的对角线ab上，点q在正方体的棱cd上.若点p为对角线ab的中点，且点q在棱cd上运动，谋pq的最小值.考查目的：考查空间直角坐标系，空间两点间的距离公式与二次函数的最值.答案：.解析：由题意得a(，，0)，b(0，0，)，c(0，，0)，d(0，，).∵点p为对角线ab的中点，∴点p的坐标为(，，).设点q的坐标为(0，，)，则，∴当时，pq获得最小值，此时q为cd的中点.8.在空间直角坐标系中，已知a(3，0，1)和b(1，0，－3)，试问：⑴在轴上与否存有点，满足用户？⑵在轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，试求出点坐标.考查目的：考查空间两点间的距离公式的应用领域.答案：⑴轴上任意一点都满足条件；⑵在轴上存在点，使得为等边三角形，点的坐标为(0，，0)，或(0，，0).解析：⑴假设在轴上存有点，使.∵在轴上，∴可以设点m的座标为(0，，0).由得，似乎，此式对任一的恒设立，表明轴上所有的点都满足用户关系；⑵假设在轴上存在点，使为等边三角形.由⑴知，轴上任意一点都有，∴只要就可以使得是等边三角形.∵，，∴，解得，∴在轴上存在点，使得为等边三角形，符合题意的点的坐标为(0，，0)，或(0，，0).。

高中数学单元测试试题空间向量与立体几何专题（含答案）学校： __________ 姓名： __________ 班级： __________ 考号： __________题号一二三总分得分第 I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．平面的法向量为 m，若向量AB m ，则直线AB与平面的位置关系为( ) (A)AB ( B) AB∥(C)AB或AB∥( D) 不确定2．a＝ ( 2，－ 3， 1) ， b＝ ( 2，0， 3) ，c＝( 0， 0，2) ，则 a＋6b－ 8c＝( )( A )( 14，－ 3， 3) ( B )( 14，－ 3， 35)( C)( 14，－ 3，－ 12) ( D )( －14， 3，－3)3．已知二面角－l－的大小为π，异面直线a，b分别垂直于平面，，则异面直线3a， b 所成角的大小为( )πππ2π(A)(B)(C)(D)632 34．若直线 l 与平面成角为π，直线a在平面内，且直线l 与直线 a 异面，则直线l 与直3线 a 所成的角的取值范围是( )π( B) (A) (0, ]3π 2ππ ππ[ , ] (C)[ , ] (D) (0, ] 3 3 3 2 25．下列各组向量中不平行的是( ) 高中数学( A ) a＝( 1， 2，－ 2) ， b＝( － 2，－ 4， 4)( B ) c＝ ( 1， 0， 0) ，d＝ ( －3， 0， 0) ( C) e＝ ( 2， 3， 0) ，f ＝( 0， 0， 0)( D ) g＝( － 2， 3， 5) ， h＝( 16， 24，40)第 II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题6．已知平行六面体ABCD A1B1 C1 D1 中， AB 4， AD 3，AA1 5 ，BAD 90 ，BAA1 DAA1 60 ，则 AC1 85 ．7．已知O为坐标原点，OA (1,2,3) ， OB (2,1,2) ， OC (1,1,2) ，若点M在直线OC 上运动，则AM BM 的最小值为▲ .8．已知向量a (3, 2, z) ， b (1, y, 1) ，若a // b，则yz的值等于.9．如图，矩形ABCD和梯形BEFC 所在平面互相垂直， BE∥CF 且 BE＜CF,∠BCF= ，2 AD= 3， EF=2.（1）求证： AE∥平面 DCF；（2）设AB( 0) ，当为何值时，二面角A— EF— C 的大小为。