高中数学基本定理证明

掌握勾股定理的必备三种证明方法详解五勾股定理的三角函数证明方法勾股定理是初中数学中最基本的定理之一，它是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

在证明勾股定理时，有多种方法可以使用。

其中，三角函数证明方法是一种非常常用的证明方法。

下面将详细介绍勾股定理的三角函数证明方法。

一、正弦函数证明法正弦函数是一个关于锐角θ的三角函数，定义为：sinθ=对边/斜边。

根据此定义，可以得到sin²θ=（对边/斜边）²=对边²/斜边²。

同样地，根据余弦函数和正切函数的定义，可以得到cos²θ=（邻边/斜边）²=邻边²/斜边²和tan²θ=（对边/邻边）²=对边²/邻边²。

由于勾股定理中涉及到三条线段，因此可以将其表示为：a²+b²=c²。

将a、b、c分别表示为直角三角形中锐角θ的余弦、正弦、正切，则有：cos²θ+sin²θ=tan²θ+1代入上述公式，并化简可得：cos²θ+sin2 θ = 1即：a^2/b^2 + b^2/b^2 = c^2/b^2化简后得：a^2 + b^2 = c^2这就是勾股定理的三角函数证明法。

二、余弦函数证明法余弦函数是一个关于锐角θ的三角函数，定义为：cosθ=邻边/斜边。

根据此定义，可以得到cos²θ=（邻边/斜边）²=邻边²/斜边²。

同样地，根据正弦函数和正切函数的定义，可以得到sin²θ=（对边/斜边）²=对边²/斜边²和tan²θ=（对边/邻边）²=对边²/邻边²。

将a、b、c分别表示为直角三角形中锐角θ的余弦、正弦、正切，则有：cos²θ+sin²θ=tan²θ+1代入上述公式，并化简可得：cos θ = a/csin θ = b/ctan θ = sin θ / cos θ = b/a由此可得：a^2 + b^2 = (ac)^2 / c^2 + (bc)^2 / c^2化简后得到：a^2 + b^2 = c ^ 2这也是勾股定理的三角函数证明法。

高中数学必备定理
1.中线定理：连接一个三角形两边中点的线段为这个三角形的中线，三条中线交于一点，且这个交点到每条中线的距离相等。

2. 弧度制：圆心角所对的弧长等于半径的长度，该圆心角的大小就是1弧度。

3. 三角函数的基本关系式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1，1 + tan^2(x) = sec^2(x)，1 + cot^2(x) = csc^2(x)。

4. 对数运算的基本性质：log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)，log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)，log_a(M^p) = plog_a(M)。

5. 向量运算的基本性质：向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积。

6. 三角函数的周期性质：sin(x + 2π) = sin(x)，cos(x + 2π) = cos(x)，tan(x + π) = tan(x)。

7. 三角函数的奇偶性质：sin(-x) = -sin(x)，cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)。

8. 导数的定义和性质：导数的定义，加减法、乘法、除法、反函数、复合函数的求导法则。

9. 积分的定义和性质：定积分的定义，积分的线性性、区间可加性、换元积分法、分部积分法。

10. 平面向量的坐标表示：向量的坐标表示，向量的模长、方向角、方向余弦。

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高中数学中常见的证明方法一、直接证明法直接证明法是最基本也是最常见的证明方法之一。

它通过对所要证明的命题进行逻辑推理和分析，直接给出证明的过程和结论。

要使用直接证明法，一般需要明确以下几个步骤：1. 提出所要证明的命题：首先，明确所要证明的命题，即要证明的结论。

2. 建立前提条件：在进行证明前，需要明确前提条件，即已知条件或已知命题。

3. 逻辑推理：通过逻辑推理和分析，根据已知条件和逻辑关系，逐步推导出结论。

4. 结论：最后，根据已有的证明过程，给出结论。

二、间接证明法间接证明法又称反证法，它是通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是正确的。

间接证明法的一般步骤如下：1. 假设反命题：首先，假设所要证明的命题的反命题是正确的。

2. 推导过程：根据假设和已知条件，通过逻辑推理进行推导，尽可能多地得到信息。

3. 矛盾结论：最终推导出一个与已知事实矛盾的结论。

4. 否定假设：由于假设的反命题与已知事实矛盾，所以可以否定假设，即所要证明的命题是正确的。

间接证明法常用于证明一些数学定理、存在性证明和最大最小值的存在性等问题。

三、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明一类命题或定理，如整数性质、等差数列的性质等。

它基于两个基本步骤：基本情况的验证和归纳假设的使用。

数学归纳法的一般步骤如下：1. 基本情况的验证：首先，验证当命题成立的最小情况，通常是n=1或n=0的情况。

2. 归纳假设的使用：假设当n=k时命题成立，即假设命题对于某个特定的正整数k是成立的。

3. 归纳步骤的推理：在归纳假设的基础上进行推理和分析，证明当n=k+1时命题也成立。

4. 归纳法的结论：根据归纳步骤的推理和基本情况的验证，可以得出结论，即所要证明的命题对于所有正整数都成立。

数学归纳法在数学推理和定理证明中有着广泛的应用，尤其适用于证明具有递推性质的命题。

四、逆否命题证明法逆否命题证明法是通过对命题的逆否命题进行证明，从而间接地证明所要证明的命题。

高中所有数学定理以及公式三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ²cotα＝1sinα ²cscα＝1cosα ²secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。

）sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ²tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ²tanβ2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin———²cos———2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos———²sin———2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos———²cos———2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin———²sin———2 2 1sinα ²cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 21cosα ²sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）] 21cosα ²cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ²sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式集合、函数集合简单逻辑任一x∈A x∈B，记作A BA B，B A A＝BA B＝{x|x∈A，且x∈B}A B＝{x|x∈A，或x∈B}card（A B）＝card（A）+card（B）－card（A B）（1）命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若 p则 q逆否命题若 q，则 p（2）四种命题的关系（3）A B，A是B成立的充分条件B A，A是B成立的必要条件A B，A是B成立的充要条件函数的性质指数和对数（1）定义域、值域、对应法则（2）单调性对于任意x1，x2∈D若x1＜x2 f（x1）＜f（x2），称f（x）在D上是增函数若x1＜x2 f（x1）＞f（x2），称f（x）在D上是减函数（3）奇偶性对于函数f（x）的定义域内的任一x，若f（－x）＝f（x），称f （x）是偶函数若f（－x）＝－f（x），称f（x）是奇函数（4）周期性对于函数f（x）的定义域内的任一x，若存在常数T，使得f（x+T）＝f(x)，则称f（x）是周期函数（1）分数指数幂正分数指数幂的意义是负分数指数幂的意义是（2）对数的性质和运算法则loga（MN）＝logaM+logaNlogaMn＝nlogaM（n∈R）指数函数对数函数（1）y＝ax（a＞0，a≠1）叫指数函数（2）x∈R，y＞0图象经过（0，1）a＞1时，x＞0，y＞1；x＜0，0＜y＜10＜a＜1时，x＞0，0＜y＜1；x＜0，y＞1a＞ 1时，y＝ax是增函数0＜a＜1时，y＝ax是减函数（1）y＝logax（a＞0，a≠1）叫对数函数（2）x＞0，y∈R图象经过（1，0）a＞1时，x＞1，y＞0；0＜x＜1，y＜00＜a＜1时，x＞1，y＜0；0＜x＜1，y＞0a＞1时，y＝logax是增函数0＜a＜1时，y＝logax是减函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)＝b f（x）＝ab（a＞0，a≠1）同底型logaf（x）＝logag（x） f（x）＝g（x）＞0（a＞0，a≠1）换元型 f（ax）＝0或f (logax)＝0数列数列的基本概念等差数列（1）数列的通项公式an＝f（n）（2）数列的递推公式（3）数列的通项公式与前n项和的关系an+1－an＝dan＝a1+（n－1）da，A，b成等差 2A＝a+bm+n＝k+l am+an＝ak+al等比数列常用求和公式an＝a1qn＿1a，G，b成等比 G2＝abm+n＝k+l aman＝akal不等式不等式的基本性质重要不等式a＞b b＜aa＞b，b＞c a＞ca＞b a+c＞b+ca+b＞c a＞c－ba＞b，c＞d a+c＞b+da＞b，c＞0 ac＞bca＞b，c＜0 ac＜bca＞b＞0，c＞d＞0 ac＜bda＞b＞0 dn＞bn（n∈Z，n＞1）a＞b＞0 ＞（n∈Z，n＞1）（a－b）2≥0a，b∈R a2+b2≥2ab|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法（1）要证明不等式a＞b（或a＜b），只需证明a－b＞0（或a－b＜0＝即可（2）若b＞0，要证a＞b，只需证明，要证a＜b，只需证明综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。

高中数学例题：利用平面向量基本定理证明三点共线问题 例3．设OA 、OB 、OP 是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A 、B 、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线⇒m+n=1，且OP mOA nOB ==成立；（2）上述条件成立⇒A 、B 、P 三点共线．
【证明】（1）由三点共线⇒m 、n 满足的条件．
若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使AP AB λ=，即()OP OA OB OA λ-=-，∴(1)OP OA OB λλ=-+． 令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+且m+n=1．
（2）由m 、n 满足m+n=1⇒A 、B 、P 三点共线．
若OP mOA nOB =+且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-．
则()OP OB m OA OB -=-，即BP mBA =．
∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．
【解析】 因为1212121(4)()233
AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=，所以AC 与CD 共线．。

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a −+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD ACCD AB −=−⇔⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===−−−=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=−+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222−+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE −==−==−==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠−︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠−︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr −−−==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和F A 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABC D 4||R d R S S EF −=∆∆．。

高中数学定理公式大全高中数学是数学学科的一部分，主要包括数学分析和数学推理两个方面。

数学分析是研究数学对象和数学对象之间的关系、性质和变化规律的学科，而数学推理是运用数学知识进行问题求解和推理的学科。

高中数学的学习过程中有许多重要的定理和公式，下面是一些高中数学常见的定理和公式的介绍。

1.二项式定理：对于任意实数a,b和正整数n，成立(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n，其中C(n,k)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的方法的数量。

2. 一次函数的斜率公式：对于一次函数y = mx + c，其中m表示斜率，c表示截距，斜率m可以通过任意两个点(x1, y1)和(x2, y2)来求得，m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

3. 三角函数的基本关系式：sin^2θ + cos^2θ = 1，1 + tan^2θ= sec^2θ，1 + cot^2θ = csc^2θ。

4.三角函数的和差公式：sin(A ± B) = sin(A) * cos(B) ± cos(A) * sin(B)cos(A ± B) = cos(A) * cos(B) ∓ sin(A) * sin(B)tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1 ∓ tan(A) * tan(B))5. 余弦定理：对于任意三角形ABC，设a、b、c分别表示边BC、AC、AB的长度，A、B、C分别表示∠BAC、∠ABC、∠BCA的大小，则有c^2 =a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)。

6. 正弦定理：对于任意三角形ABC，设a、b、c分别表示边BC、AC、AB的长度，A、B、C分别表示∠BAC、∠ABC、∠BCA的大小，则有a /sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)。

高中数学的归纳平面几何基本定理与证明总结在高中数学中，平面几何是一个非常重要的分支，它研究了平面内各种图形之间的关系和性质。

而在学习平面几何时，归纳法是一个常用的证明方法。

本文将对高中数学中的归纳平面几何基本定理与证明进行总结。

一、线段中点定理线段中点定理是平面几何中的基本定理之一，它指出：在一条线段的中点上，可以作一条平行于这条线段的直线。

换句话说，如果在线段AB的中点M上作一条直线l，那么l与AB平行。

证明：连接AM、BM。

由于M是线段AB的中点，所以AM=BM，且由中点连线定理可知，AM∥BM。

根据平行线的性质可知，l∥AB。

二、角平分线定理角平分线定理是另一个重要的平面几何定理，它指出：一条角的平分线将这个角分成两个相等的小角。

证明：设∠AOB为一锐角，其中OC是∠AOB的平分线。

要证明∠AOC=∠BOC，我们可以利用三角形AOB和COA的相似性来进行证明。

由于OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC。

又因为∠AOB是个锐角，所以∠COA也是个锐角，故∆COA和∆AOB是相似三角形。

根据相似三角形的性质可知，AO/CO=BO/CO，即AO=BO。

因此，∠AOC=∠BOC。

三、垂直平分线定理垂直平分线定理也是平面几何中的重要定理，它指出：一条线段的垂直平分线上所有点到线段的两个端点的距离相等。

证明：设线段AB上的垂直平分线为l，垂直平分线上的一点为M。

要证明AM=BM，我们可以利用三角形AMO和BMO的全等性来进行证明。

由于l是线段AB的垂直平分线，所以AM=BM，且∠AMO=∠BMO=90°。

又因为OM是l的一部分，所以MO=MO，自反性成立。

故∆AMO和∆BMO是全等三角形。

根据全等三角形的定义，可知AM=BM。

四、角的外角定理角的外角定理指出：一个三角形的外角等于它的两个不相邻内角的和。

证明：设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，对于∠A，其外角为∠D。

我们可以利用∆ABC和∆ACD的相似性来进行证明。

. ............................. 北為 ................... ...................高中数学常用公式及定理1熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到很大的作用。

2•所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。

1. 元素与集合的关系：x A x C u A,x C U A x A.2. 德摩根公式：C u(Ap|B) C U A(JC U B；C U(A[J B) C u A^C u B.3. 包含关系A^B A A[J B B AB C u B C u A C u B C u B R4. 容斥原理card(A^B) cardA cardB card(A「|B)card (A |J B |Jc) cardA cardB cardC card (A^j B)card (A『|B) card(B 什C) card (^^| A) card (A『| C).5. 集合｛a i,a2,|||,a n｝的子集个数共有2n个；真子集有2n- 1个；非空子集有2n- 1个；非空的真子集有2n- 2个.6. 二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x) ax2 bx c(a 0) ; (2) 顶点式f(x) a(x h)2 k(a 0);(3)两根式f (x) a(x x1)(x x2)(a 0).7. 解连不等式N f(x) M常有以下转化形式：N f(x) M [f(x) M][f(x) N] 0 ;8. 方程f(x) 0在(k「k2)上有且只有一个实根,与f(kjf(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程ax2 bx c 0(a 0)有且只有一个实根在(《,k2)内,等价于“f(kjf(k2)0 ”或“f(kj 0且人卫—2 ”或“ fh) 0且勺邑—k2 ”2a 2 2 2a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数f (x) ax2 bx c(a 0)在闭区间p,q上的最值只能在x —处及区间的两2a 端点处取得，具体如下：10. 一元二次方程的实根分布f(m)f( n) 0,则方程f(x) 0在区间(m, n)内至少有一个实根•p 2 4q 0f(x) 0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m) 0或_p m 2f(m) 0f( n) 0 f (m) 0pm nf(n) 011. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据:2(1)当a>0时，若x⑵当a<0时，若xb2ab2a b2ab 2ap,q ，则 f(x)minp,q , p,q , p,q , 曲 為 vi/mf .....................................bf ( —), f (x)max max f(P ), f(q)；af(x) max maxf (p), f (q) ，f (x) min min f (p), f(q).则 f (x)min min f (p), f (q)；则 f(x )maxmax f (p), f (q) ， f (x)minmin f (p), f (q).(3) 方程f(x)0在区间(，n)内有根的充要条件为f(n)2p0或上2 4q依据：若 f(x)x 2 px q ，则方程 (1) (2) 方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)f (m) 0f(n) 0 2p4q £ 2f(m) 0 f(n) 0p m —2(1)在给定区间( )的子区间L (形如不同)上含参数的二次不等式f (X,t) 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是f ( X, t) min0(x L).(2)在给定区间()的子区间上含参数的二次不等式 f(x,t) 0(t 为参数)恒成立的充要条件是f (x,t)man0(x L).⑶ f(x) ax 4 bx 2c 0 (a 0)恒成立的充要条件是bb0 0 2a 或 2ac 0b 2 4ac 0....................... 曲為viZk#................................................12. 真值表13. 常见结论的否定形式14.四种命题的相互关系若非p则非q 互逆若非q贝U非p ....................... 北為............. ...............15. 充要条件(1)充分条件：若p q ,则p是q充分条件.(2)必要条件：若q p，则p是q必要条件.(3)充要条件：若p q，且q p，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16. 函数的单调性⑴设X i X2 a,b,X i X2那么(% x2) f(xj f(x2) 0 f (Xl)一f (x2)o f (x)在a,b 上是增函数；X i X2(为x2) f(xj f (x2) 0 f (Xi)一f (X2)o f (x)在a,b 上是减函数.X-I x2⑵设函数y f (x)在某个区间内可导，如果f (x) 0，则f (x)为增函数；如果f (x) 0，则f (x)为减函数.17. 如果函数f (x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x) g(x)也是减函数；如果函数y f (u)和u g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y f[g(x)]是增函数. 18•奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.19. 若函数y f (x)是偶函数，贝U f (x a) f ( x a)；若函数y f(x a)是偶函数，贝U f (x a) f ( x a)，并且y f (x)关于x a对称.20. 对于函数y f (x) ( x R), f (x a) f (b x)恒成立,则函数f (x)的对称轴是函数x -b;两个函数y f(x a)与y f (b x)的图象关于直线x --对称.2 221. 若f (x) f ( x a),则函数y f (x)的图象关于点(a,0)对称；若f (x) f (x a),则函数y f(x)为周期为2a的周期函数.2....................... 北為viZmf-.................. ............................. 22. 多项式函数P(x) a n x n a n用1川a0的奇偶性多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数y f(x)的图象的对称性(1)函数y f(x)的图象关于直线x a 对称 f (a x) f (a x) f (2 a x) f (x)⑵函数y f(x)的图象关于直线x a b对称 f (a mx) f (b mx)f (a b mx) f (mx)2m24. 两个函数图象的对称性(1) 函数y f (x)与函数y f( x)的图象关于直线x 0(即y轴)对称.⑵函数y f(mx a)与函数y f(b mx)的图象关于直线x --对称.2m(3)函数y f(x)和y f tx)的图象关于直线y=x对称.25. 若将函数y f (x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y f (x a) b的图象；若将曲线f (x,y) 0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f (x a, y b) 0的图象.26. 互为反函数的两个函数的关系：f(a) b f 1(b) a .27. 若函数y f (kx b)存在反函数,则其反函数为y 1 [f^x) b]，并不是y f tkx b)，而k函数y f 1(kx b)是y —[ f (x) b]的反函数.k28. 几个常见的函数方程(1) 正比例函数f(x) cx,具有性质：f (x y) f(x) f(y), f (1) c.(2)指数函数f (x) a x,具有性质：f (x y) f(x)f(y), f(1) a 0 .(3)对数函数f (x) lo9f (x) f(y), f(a) 1(a 0,a 1).a x ,具有性质：f (xy)⑷幕函数f(x) x ,具有性质：f (xy) f (x)f (y), f'(1).(5)余弦函数f(x) cosx,正弦函数g(x) sin x，具有性质：f (x y) f(x)f(y) g(x)g(y)，1.f (0) 1,lim g^x 0x29.几个函数方程的周期(约定a>0)(1) f(x) f(x a)，则f(x)的周期T a;⑵f(x a)f (x)或 f (x期T 2a⑶ f(xa)- 1—-,(f (x)1 f (x) ⑷ f (X 1X 2)f(xj f(X 2) 1 f (X 1) f (X 2)则f(x)的周期T 4a ;⑸ f(xa) f(x) f(x aa) 1)，则f(x)的周期T 3a ;且 f(a) 1(f(xJ f(X 2)1,0)，则f(x)的周期T 缶(f(x) 0)或f(x a)—(f(x) 0),贝U f(x)的周 f(x)|为 X 2I 2a),6a.30.分数指数幕 m ___ (1) a n n ? (a 0, m, n N ，且 n 1 )；⑵ a(a 0, m, n N ，且31 •根式的性质 (1) (n ・a)n a . (2)当n 为奇数时, 当n 为偶数时，n a n| a|a,a 0 a, a 032.有理指数幕的运算性质 (1) a r a s a r s (a 0,r,s Q);⑵(a r ) a rs (a 0,r,s Q);⑶(ab)r a r b r (a0,b 0,r Q)33.指数式与对数式的互化式 log a N bN (a 0,a 1,N0).34.对数的换底公式 log m N bg a N話(a 0,且a 1, N 0).n loga b ( a m 35.对数的四则运算法则 推论log m b n a0,且a 0,且 m 1, n 1, N 0).右 a > 0, a 工 1, Mt> 0, N> 0,则 (1) log a (MN ) log a M log N ;(2) log a M log a N M log a N ;(3) log a M n nlogM(nR).36.设函数 f(x) log m (ax 2 bx c)(a 0)，记 b 2 4ac .若f(x)的定义域为R ,则a 0 ,且 0 ;若f(x)的值域为R,则a 0 ,且 0.【对于a 0的情形，需要单独检验.】37.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p ,则对于时间x的总产值y，有y N（1 p）x.38.数列的通项公式a n与前n项的和S n的关系％39.等差数列的通项公式: a n a-i (n i)d dn a i d(n N其前n项和S n公式为: Sn n(a i a.)2n(n i)d2 -d)n.240.等比数列的通项公式: ana i nq (n a(i其前n项的和公式为: q ) i qg,q in、亠,qa i或S niF’qig,q i,q4i.等比差数列a n : a n i qa n d,a i b(q 0）的通项公式为a nb (n i)d,q i bq n(d b)q n i d,q【用待定系数法来求】；i42•常见三角不等式(i)若x (0,)，则sinx2x tanx ; (2) (0,2)，则i sinx cosx 2.(3) |sinx| |cosx| i.43.同角三角函数的基本关系式: sin2cos2tan sincostan cot i. 44.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变, 符号看象限ni)2 sin , n为偶数n ii)2 cos , n为奇数co S(n245.和角与差角公式sin( )sin cos cos sin ;cos(tan(tan tani-- ta n tanasin bcos = . a2b2sin( ）（辅助角定,tanni)2cosn ii)2sincos cos,n为偶数,n为奇数・・sinsin所在象限由点（a, b）的象限决sin sin k ( 1) (k Z).48.三角函数的周期公式50.余弦定理51.面积定理53. 简单的三角方程的通解1)k arcsi na(k Z,| a| 1).k46.二倍角公式cos ；cos 22cos・2 sinsin 22si n ta n22ta n1 tan2 .47.三倍角公式si n3 3si n 4sin 34si n sin (— 3 ）sin（3 cos34cos 3 3cos 4cos cos(— 3 )cos(—3 ta n33ta ntan 32tan tan(—)tan 上);); ).2 22cos 11 2sin ;函数y sin( x ）及函数y cos( x ）的周期T 2 ；函数y tan( x ）的周期T49.正弦定理: a sin Ab sin B csin C2R （R 为ABC 的外接圆半径）.a 2b 2c 22bc cos A ； b 22 2 2 c a 2ca cosB ； c2 2a b 2abcosC .111ahabhbchc2 2 2 1 1absin C bcsin A 2 252.三角形内角和定理(1) S (2)S在厶 ABC 中，有 A B（h a、h b 、h c 分别表示a 、 b 、c 边上的高）.(A B) C 2 -2C 22( A B).2 2sin x a cosx a 2k arccosa(k Z,| a| 1).tan x ak arctana(k Z,a R).1 21严B ；⑶S OAB |)2曲 為 viZk#tan tan54. 实数与向量的积的运算律：设入、卩为实数，那么(1) 结合律：入(卩a)=(入卩)a;(2) 第一分配律：(入+卩)a=入a+卩a ； (3)第二分配律：入(a+b)=入a+入b. 55. 向量的数量积的运算律：(三个向量的数量积不满足结合律)(1) a • b= b • a (交换律)；(2) ( a ) • b= (a • b ) = a • b= a • ( b ); (3) (a+b ) • c= a • c +b • c. 56. 平面向量基本定理如果e i 、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只 有一对实数入1、入2,使得a=X e+入2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底. 57. 向量平行的坐标表示设 a=(x 「％), b=(X 2, y 2)，则 a // b x°2 x ?% 0. 53. a 与b 的数量积(或内积) a • b=| a|| b|cos 0.58. a • b 的几何意义：数量积a • b 等于a 的长度| a|与b 在a 的方向上的投影| b|cos 0的乘 积.59. 平面向量的坐标运算⑴ 设 a =(x !,y !), b=(x 2, y 2)，则 a+bp^ X 2,y i y ?). ⑵ 设 a^x^yj , b=(X 2, y 2)，则 a-b= (x x ?/ y ?).⑷设 a=(x, y), R ，贝U a=( x, y).⑸设 a=(x i ,yj , b=(X 2,y 2)，则 a • bf x ? y 』2).60. 两向量的夹角公式cos cos 2k(k Z).区"2 y i ).(k Z). ⑶设 A (x i ,y i )，B (X 2,y 2),cos^^y i^ (a=(x i, y i),b=(x2,y2)).X! y i v X2 y26i.平面两点间的距离公式62. 向量的平行与垂直设 a=(x i ,y i ), b=(X 2, y 、，则64. 三角形的重心坐标公式△ ABC 三个顶点的坐标分别为A (X i ，y J 、B (X 2，y 2)、C (X g ,y 3),则厶ABC 的重心的坐标是X i *365. 点的平移公式hO P P P .注：图形F 上的任意一点P(X ， y)在平移后图形F 上的对应点为P (X , y )，且PP 的坐标 为(h,k).66. “按向量平移”的几个结论(1) 点 P(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到点P '(x h, y k).(2) 函数y f(x)的图象C 按向量a=(h,k)平移后得到图象 C ',则c '的函数解析式为y f (x h) k .(3) 图象c '按向量a=(h,k)平移后得到图象C ,若C 的解析式y f(x),则c '的函数解析式为 y f (x h) k .⑷ 曲线C : f(x,y) 0按向量a= (h,k)平移后得到图象C ',则C '的方程为xj 2 (y ? yj 2 (A(X i ,yJ , BgS).a //b b= X a x 1 y 2 x 2y 10 ； a b a • b=0X 1X 2 y°2 0.63. 线段的定比分公式设 P(x i ,yj ，P 2(X 2,y 2)，P(X,y)是线段 PP 的分点,是实数，且F[PP P 2，则X 1 X1y 土 也1X 21(1 t)OP 2 (t).1X 2 X 3 y 1 y 2y 3)dA, B= | AB|f (x h, y k) 0.(5)向量n=(x, y)按向量a=(h, k)平移后得到的向量仍然为m=(x, y).北 為 viZmf-. ....................... 北 為 viZmf- ................ .....................67.三角形四“心”向量形式的充要条件，设 O 为ABC 所在平面上一点，则OA OB OC 0.OA OB OB OC OC O A .aOA bOB cOC 0.（ a,b,c 为角 A,B,C 所对边长）(1) (2) (3) (4) 68.常用不等式: (1) a, b (2) a, b (3) (4) (5) ABC 的外心 ABC 的重心 ABC 的垂心 ABC 的内心3 .3 a b c 3柯西不等式 a 2 b 22ab （当且仅当a = b 时取“二”号）山、ab （当且仅当a = b 时取“二”号）2 3abc(a 0,b 0, c 0). (a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd)2,a,b,c,d R. 69.已知x,y 都是正数，则有 （1）若积xy 是定值p ，则当x y 时和x y 有最小值2「p ;（2）若和x y 是定值s ，则当x y 时积xy 有最大值^s 2.470. 一兀二次不等式ax 2 bx c 0(或 0) (a 0, b 2 4ac 0)，如果 a 与 ax 2 bx c 同号, 则其解集在两根之外；如果 a 与 ax 2 bxc 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. X 1 X X 2 (x x 1)(x X 2)0(X i X 2)；X 1,或 xX 2(x x 1)(x x 2) 0(x 1 x 2).71.含有绝对值的不等式 当a>0时，有|x 72.无理不等式 x 2 a2a X a ； x a2 2x aX a 或 f(x) 0f(x) 0g(x) 0 ；(2)f (x)g(x)g(x) 0 或f(x) g(x)f(x)[g(x)]2xa(D f(x) g(x) f (x) g(x)f(x) 0(3) . -f (x) g(x) g(x) 0.2f(x) [g(x)]73.指数不等式与对数不等式f(x) 0(1)当 a 1 时,a f(x) a g(x) f(x) g(x) ; log a f(x) log a g(x) g(x) 0 f(x) g(x)f(x) 0⑵当 0 a 1 时,a f(x)a g(x)f(x) g(x) ; log a f(x) log a g(x) g(x) 0f(x) g(x)74.斜率公式： k y y ( P(X 1,y 1)、卩:化小)). X 2 X-|75.直线的五种方程k(x xj (直线I 过点R (X 1, %)，且斜率为k) •x x(% y 2)( R(x 1,yJ 、(为 X 2)).X 2 X 1(4) 截距式x y1( a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b 0)a b(5) 一般式 Ax By C 0(其中A B 不同时为0). 76. 两条直线的平行和垂直(1)若 h : y «x b 1， l 2: y k 2X b 2① l 1 ||l 2k 1 k 2,b 1 b 2 :② l 1 l 2 k 1k 2 1. ⑵若 h:AxB 1yC 10, l 2: A 2xB 2yC 20,且 AB 、C 2 都不为零，① h||l 2△C 1 •，② l 1 l 2A 1A 2B 1B 2 0 ；A 2B 2C 277. 夹角公式：tan | & ' |.( h : y k/ 0， l 2: y k 2x b 2 , k 1k 21)1 k 2k 1直线l 1 l 2时，直线l 1与丨2的夹角是一.278. h 到 J 的角公式：tan 空 “ •( h : y Kx d ，J : y k ?x b 2, k 1k 21)1 k 2k 1(1)点斜式y y !(2)斜截式ykx b (b 为直线I 在y 轴上的截距).(3)两点式丄丄y 2 y 1北 為 viZmf- .. ...................... 北 為 ............. ..............直线l l 12时，直线l 1到丨2的角是—•279•四种常用直线系方程(1) 定点直线系方程：经过定点P o (x o ,y o )的直线系方程为y y ° k(x x °)(除直线x x o ),其 中k 是待定的系数；经过定点F 0(x o ,y o )的直线系方程为A(x X 。

高中极点极线基本定理1. 介绍高中数学中的极点极线基本定理是指在平面几何中，对于任意一个给定的圆，存在一条直线，使得这条直线上的任意一点到圆上的任意一点的距离等于这条直线到圆心的距离。

这个定理在解决一些几何问题时非常有用，尤其是在求解切线和法线问题时。

2. 极点极线首先，我们来了解什么是极点和极线。

在平面几何中，给定一个圆C和一个不在圆上的点P，在以P为顶点的所有射线中，与圆C相交于两个不同的点A和B。

我们称A和B是以P为极点的圆C的对应弦上两个对称的点。

而连接A和B的直线称为以P为极点的圆C的对应弦所确定的直线或者说是以P为极点的圆C所确定的直线。

3. 极点极线基本定理根据高中数学教材中关于圆和直线性质以及距离公式等知识，我们可以得出如下结论：对于任意一个给定圆C和不在圆上的点P，以P为极点的圆C的对应弦所确定的直线与以P为极点的圆C上任意一点的距离相等。

具体来说，如果以P为极点的圆C与直线L相交于两个不同的点A和B，则PA = PB = PL。

这可以通过距离公式得到证明。

因为A和B是以P为极点的圆C上两个对称的点，所以PA = PB。

而根据距离公式可知，PL = PA = PB。

4. 极点极线基本定理的应用4.1 切线问题在解决切线问题时，可以利用极点极线基本定理来简化计算过程。

例如，给定一个圆C和一条切线t，我们需要求解切线t与圆C的交点坐标。

首先找到切线t与圆C相交于两个不同的点A和B，然后通过极点极线基本定理可知PA = PB = PT（其中T是切线t上任意一点），从而得到PT与圆心O之间的关系。

通过这种方式，我们可以更简单地求解出切线与圆C的交点坐标。

4.2 法线问题在解决法线问题时，同样可以利用极点极线基本定理来简化计算过程。

例如，给定一个圆C和一条法线n，我们需要求解法线n与圆C的交点坐标。

首先找到法线n与圆C相交于两个不同的点A和B，然后通过极点极线基本定理可知PA = PB = PN （其中N是法线n上任意一点），从而得到PN与圆心O之间的关系。